C-симметрия

Симметрия физических законов при преобразовании зарядового сопряжения

В физике зарядовое сопряжение — это преобразование , которое переключает все частицы на соответствующие им античастицы , изменяя таким образом знак всех зарядов : не только электрического заряда , но и зарядов, связанных с другими силами. Термин C-симметрия является аббревиатурой фразы «симметрия зарядового сопряжения» и используется при обсуждении симметрии физических законов при зарядовом сопряжении. Другими важными дискретными симметриями являются P-симметрия (четность) и T-симметрия (обращение времени).

Эти дискретные симметрии C, P и T представляют собой симметрии уравнений, описывающих известные фундаментальные силы природы: электромагнетизм , гравитацию , сильное и слабое взаимодействия . Чтобы проверить, правильно ли какое-либо математическое уравнение моделирует природу , необходимо дать физическую интерпретацию не только непрерывным симметриям , таким как движение во времени, но также и его дискретным симметриям , а затем определить, придерживается ли природа этих симметрий. В отличие от непрерывных симметрий, интерпретация дискретных симметрий немного более интеллектуальна и запутанна. Ранний сюрприз появился в 1950-х годах, когда Цзянь Шиунг Ву продемонстрировал, что слабое взаимодействие нарушает P-симметрию. В течение нескольких десятилетий казалось, что комбинированная симметрия CP сохраняется, пока не были обнаружены взаимодействия , нарушающие CP . Оба открытия принесли Нобелевскую премию .

C-симметрия особенно проблематична с физической точки зрения, поскольку Вселенная в основном заполнена материей , а не антиматерией , тогда как наивная C-симметрия физических законов предполагает, что и того, и другого должно быть в равных количествах. В настоящее время считается, что CP-нарушение в ранней Вселенной могло объяснить «избыточную» материю, хотя споры еще не решены. Более ранние учебники по космологии , выпущенные до 1970-х годов, ^{[ какие? ]} обычно предполагал, что, возможно, далекие галактики полностью состоят из антиматерии, поддерживая таким образом нулевой чистый баланс во Вселенной.

Эта статья посвящена раскрытию и формулированию C-симметрии различных важных уравнений и теоретических систем, включая уравнение Дирака и структуру квантовой теории поля . Различные фундаментальные частицы можно классифицировать по поведению при зарядовом сопряжении; это описано в статье про C-parity .

Неофициальный обзор

Зарядовое сопряжение происходит как симметрия в трех различных, но тесно связанных ситуациях: симметрия (классических, неквантованных) решений нескольких известных дифференциальных уравнений, включая уравнение Клейна-Гордона и уравнение Дирака , симметрия соответствующих квантовых полей. и, в общем случае, симметрия в (псевдо) римановой геометрии . Во всех трех случаях симметрия в конечном итоге оказывается симметрией при комплексном сопряжении , хотя то, что и где именно сопряжено, иногда может быть запутано, в зависимости от обозначений, выбора координат и других факторов.

В классических полях

Симметрия зарядового сопряжения интерпретируется как симметрия электрического заряда , поскольку во всех трех случаях (классическом, квантовом и геометрическом) можно построить нетеровские токи , напоминающие токи классической электродинамики . Это возникает потому, что сама электродинамика, посредством уравнений Максвелла , может быть интерпретирована как структура на расслоении U(1) , так называемом круговом расслоении . Это обеспечивает геометрическую интерпретацию электромагнетизма: электромагнитный потенциал интерпретируется как калибровочная связь ( связь Эресмана ) на расслоении окружностей. Эта геометрическая интерпретация затем позволяет (буквально почти) связать с электромагнитным полем все, что имеет комплексно-числовую структуру, при условии, что эта связь осуществляется калибровочно -инвариантным способом. Калибровочная симметрия в этой геометрической постановке представляет собой утверждение о том, что при движении по кругу связанный объект также должен трансформироваться «кругом», отслеживая соответствующим образом. Более формально говорят, что уравнения должны быть калибровочно-инвариантными относительно замены локальных систем координат на окружности. Для U(1) это просто утверждение о том, что система инвариантна относительно умножения на фазовый множитель , который зависит от координаты (пространство-время) . В этой геометрической постановке зарядовое сопряжение можно понимать как дискретную симметрию , которая выполняет комплексное сопряжение. , что меняет направление движения по кругу на противоположное. ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle e^{i\phi (x)}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle z=(x+iy)\mapsto {\overline {z}}=(x-iy)}$

В квантовой теории

В квантовой теории поля сопряжение зарядов можно понимать как обмен частиц античастицами . Чтобы понять это утверждение, необходимо иметь минимальное представление о том, что такое квантовая теория поля. В (значительно) упрощенных терминах это метод выполнения вычислений для получения решений системы связанных дифференциальных уравнений с помощью теории возмущений . Ключевым компонентом этого процесса является квантовое поле , по одному для каждого из (свободных, несвязанных) дифференциальных уравнений в системе. Квантовое поле традиционно записывается как

${\displaystyle \psi (x)=\int d^{3}p\sum _{\sigma ,n}e^{-ip\cdot x}a\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)+e^{ip\cdot x}a^{\dagger }\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$

где – импульс, – метка спина, – вспомогательная метка для других состояний системы. И являются операторами рождения и уничтожения ( лестничными операторами ) и являются решениями рассматриваемого (свободного, невзаимодействующего, несвязанного) дифференциального уравнения. Квантовое поле играет центральную роль, поскольку, вообще говоря, неизвестно, как получить точные решения системы связанных дифференциальных вопросов. Однако с помощью теории возмущений приближенные решения могут быть построены как комбинации решений в свободном поле. Чтобы выполнить это построение, нужно иметь возможность извлекать и работать с любым заданным решением в свободном поле по требованию, когда это необходимо. Квантовое поле обеспечивает именно это: оно перечисляет все возможные решения в свободном поле в векторном пространстве так, что любое из них можно выделить в любой момент времени с помощью операторов рождения и уничтожения. ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{\dagger }}$ ${\displaystyle u,v}$

Операторы создания и уничтожения подчиняются каноническим коммутационным соотношениям : один оператор «отменяет» то, что «создает» другой. Это подразумевает, что любое данное решение должно быть сопряжено со своим «анти-решением» , чтобы одно отменяло или нейтрализовало другое. Спаривание должно быть выполнено так, чтобы сохранить все симметрии. Поскольку обычно интересует лоренц-инвариантность , квантовое поле содержит интеграл по всем возможным системам координат Лоренца, записанный выше как интеграл по всем возможным импульсам (это интеграл по слою расслоения кадров ) . Для спаривания требуется, чтобы данное было связано с противоположным импульсом и энергией. Квантовое поле также представляет собой сумму всех возможных спиновых состояний; двойная пара снова соответствует противоположным спинам. Аналогично и любые другие квантовые числа, они также являются противоположностями. Существует техническая трудность в выполнении этого двойного спаривания: необходимо описать, что означает, что некоторое данное решение является «двойственным» к какому-то другому решению, и описать его таким образом, чтобы оно оставалось последовательно двойственным при интегрировании по слою расслоение реперов, при интегрировании (суммировании) по волокну, описывающему спин, и при интегрировании (суммировании) по любым другим слоям, встречающимся в теории. ${\displaystyle u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$ ${\displaystyle v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$ ${\displaystyle u\left({\vec {p}}\right)}$ ${\displaystyle v\left({\vec {p}}\right)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v,}$

Когда интегрируемое волокно представляет собой электромагнетическое волокно U(1), двойное спаривание таково, что направление (ориентация) волокна меняется на противоположное. Когда интегрируемое волокно является волокном SU(3) цветового заряда , двойное спаривание снова меняет ориентацию. Это «просто работает» для SU(3), поскольку оно имеет два двойственных фундаментальных представления , которые естественным образом могут быть спарены. Этот рецепт квантового поля естественным образом обобщается на любую ситуацию, когда можно перечислить непрерывные симметрии системы и определить двойственные поля последовательным и непротиворечивым образом. Спаривание связывает противоположные заряды в совершенно абстрактном смысле. В физике заряду сопоставлен генератор непрерывной симметрии. Разные заряды связаны с разными собственными пространствами инвариантов Казимира универсальной обертывающей алгебры для этих симметрий. Это справедливо как для симметрии Лоренца лежащего в основе пространственно-временного многообразия , так и для симметрии любых слоев в расслоении, расположенном над пространственно-временным многообразием. Дуальность заменяет генератор симметрии минус генератором. Таким образом, зарядовое сопряжение связано с отражением вдоль линейного расслоения или детерминантного расслоения пространства симметрий. ${\displaystyle \mathbf {3} }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {3} }}}$

Таким образом, вышеизложенное представляет собой набросок общей идеи квантового поля в квантовой теории поля. Физическая интерпретация состоит в том, что решения соответствуют частицам, а решения соответствуют античастицам, и поэтому зарядовое сопряжение представляет собой пару этих двух явлений. Этот эскиз также дает достаточно подсказок, чтобы показать, как может выглядеть сопряжение зарядов в общих геометрических условиях. Нет особого принудительного требования использовать теорию возмущений для построения квантовых полей, которые будут действовать как посредники в пертурбативном расширении. Зарядовому сопряжению можно дать общую постановку. ${\displaystyle u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$ ${\displaystyle v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$

В геометрии

Для общих римановых и псевдоримановых многообразий есть касательное расслоение , кокасательное расслоение и метрика , которая связывает их вместе. В такой ситуации можно сделать несколько интересных вещей. Во-первых, гладкая структура позволяет ставить дифференциальные уравнения на многообразии; Касательное и котангенсное пространства обеспечивают достаточную структуру для выполнения вычислений на многообразиях . Ключевой интерес представляет лапласиан и, с постоянным членом, то, что составляет оператор Клейна – Гордона. Кокасательные расслоения по своей основной конструкции всегда являются симплектическими многообразиями . Симплектические многообразия имеют канонические координаты , интерпретируемые как положение и импульс, подчиняющиеся каноническим коммутационным соотношениям . Это обеспечивает базовую инфраструктуру для расширения двойственности и, следовательно, зарядового сопряжения до этой общей ситуации. ${\displaystyle x,p}$

Вторая интересная вещь, которую можно сделать, — это построить спиновую структуру . Возможно, самое примечательное в этом то, что это очень узнаваемое обобщение на -мерное псевдориманово многообразие традиционной физической концепции спиноров , живущих в (1,3)-мерном пространстве-времени Минковского . Конструкция проходит через комплексифицированную алгебру Клиффорда для построения расслоения Клиффорда и спинового многообразия . В конце этой конструкции получается система, удивительно знакомая тем, кто уже знаком со спинорами Дирака и уравнением Дирака. В этом общем случае можно провести несколько аналогий. Во-первых, спиноры являются спинорами Вейля и входят в комплексно-сопряженные пары. Они естественно антикоммутативны (это следует из алгебры Клиффорда), что именно и хочется соприкоснуть с принципом исключения Паули . Другой — существование кирального элемента , аналогичного гамма-матрице , который сортирует эти спиноры на левые и правые подпространства. Комплексификация является ключевым ингредиентом и обеспечивает «электромагнетизм» в этой обобщенной ситуации. Спинорное расслоение не «просто» трансформируется под действием псевдоортогональной группы , обобщения группы Лоренца , но и под действием более крупной группы, комплексифицированной спиновой группы . ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \gamma _{5}}$ ${\displaystyle SO(p,q)}$ ${\displaystyle SO(1,3)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).}$ ${\displaystyle SO(p,q)\times U(1).}$

Это изделие можно идентифицировать с электромагнетизмом несколькими разными способами. Один из способов состоит в том, что операторы Дирака на спиновом многообразии, возведенные в квадрат, содержат фрагмент , возникающий из той части связи, которая связана с этим фрагментом. Это полностью аналогично тому, что происходит, когда возводят в квадрат обычное уравнение Дирака в обычном пространстве-времени Минковского. Второй намек заключается в том, что эта часть связана с детерминантным пучком спиновой структуры, эффективно связывая вместе левые и правые спиноры посредством комплексного сопряжения. ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle F=dA}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$

Осталось разобраться с дискретными симметриями приведенной выше конструкции. Есть несколько, которые, по-видимому, обобщают P-симметрию и T-симметрию . Отождествляя измерения со временем, а измерения с пространством, можно повернуть касательные векторы в размерном подпространстве, чтобы получить обращение времени, а переворот направления измерений соответствует четности. C-симметрию можно отождествить с отражением на линейном расслоении. Чтобы связать все это вместе в узел, наконец, появилась концепция транспозиции , согласно которой элементы алгебры Клиффорда можно записать в обратном (транспонированном) порядке. Конечным результатом является то, что не только традиционные физические представления о полях переходят в общую риманову ситуацию, но и идеи дискретных симметрий. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Есть два способа реагировать на это. Один из них — относиться к этому как к интересному курьезу. Другой — осознать, что в низких измерениях (в низкомерном пространстве-времени) существует множество «случайных» изоморфизмов между различными группами Ли и другими структурами. Возможность рассмотреть их в общей обстановке распутывает эти отношения, более четко показывая, «откуда все берется».

Зарядовое сопряжение для полей Дирака

Законы электромагнетизма (как классические , так и квантовые ) инвариантны относительно обмена электрическими зарядами с их отрицательными. Для случая электронов и кварков , которые оба являются фермионными полями фундаментальных частиц , одночастичные полевые возбуждения описываются уравнением Дирака

${\displaystyle (i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi =0}$

Требуется найти зарядово-сопряженное решение.

${\displaystyle (i{\partial \!\!\!{\big /}}+q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi ^{c}=0}$

Достаточно нескольких алгебраических манипуляций, чтобы получить второе из первого. ^{[1] [2] [3]} Стандартные объяснения уравнения Дирака демонстрируют сопряженное поле, интерпретируемое как поле античастиц, удовлетворяющее комплексно-транспонированному уравнению Дирака. ${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0},}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}(-i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)=0}$

Обратите внимание, что некоторые, но не все знаки перевернулись. Транспонирование этого обратного значения дает почти желаемую форму, при условии, что можно найти матрицу 4×4 , которая транспонирует гамма-матрицы для вставки требуемой смены знака: ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C\gamma _{\mu }C^{-1}=-\gamma _{\mu }^{\textsf {T}}}$

Тогда зарядово-сопряженное решение определяется инволюцией

${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}=\eta _{c}\,C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}$

Матрица 4×4 , называемая матрицей зарядового сопряжения, имеет явный вид, приведенный в статье о гамма-матрицах . Любопытно, что эта форма не является независимой от представления, а зависит от конкретного матричного представления, выбранного для гамма-группы (подгруппы алгебры Клиффорда , отражающей алгебраические свойства гамма -матриц ). Эта матрица зависит от представления из-за тонкого взаимодействия, включающего комплексификацию спиновой группы , описывающей лоренц-ковариацию заряженных частиц. Комплексное число — это произвольный фазовый коэффициент, обычно принимаемый равным ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle \eta _{c}}$ ${\displaystyle |\eta _{c}|=1,}$ ${\displaystyle \eta _{c}=1.}$

Зарядовое сопряжение, хиральность, спиральность

Взаимодействие между киральностью и сопряжением зарядов довольно тонкое и требует четкого пояснения. Часто говорят, что зарядовое сопряжение не меняет киральности частиц. Это не относится к полям , отличие, возникающее в интерпретации частиц «теорией дырок», где античастица интерпретируется как отсутствие частицы. Это сформулировано ниже.

Обычно используется в качестве оператора киральности. При зарядовом сопряжении он преобразуется как ${\displaystyle \gamma _{5}}$

${\displaystyle C\gamma _{5}C^{-1}=\gamma _{5}^{\textsf {T}}}$

и будет ли равенство или нет , зависит от выбранного представления гамма-матриц. В дираковском и киральном базисе такое есть , а в майорановском базисе получается. Далее следует рабочий пример. ${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \gamma _{5}}$ ${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}=\gamma _{5}}$ ${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}=-\gamma _{5}}$

Спиноры Вейля

В случае безмассовых спинорных полей Дирака киральность равна спиральности для решений с положительной энергией (и минус спиральность для решений с отрицательной энергией). ^{[2] : § 2-4-3, стр. 87 и} далее. Это можно получить, записав безмассовое уравнение Дирака как

${\displaystyle i\partial \!\!\!{\big /}\psi =0}$

Умножив на единицу, получим ${\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{0}=-i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}$

${\displaystyle {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij}\partial _{m}\psi =\gamma _{5}\partial _{t}\psi }$

где – оператор момента импульса , – полностью антисимметричный тензор . Это можно привести к несколько более узнаваемой форме, определив трехмерный оператор спина, принимающий состояние плоской волны , применив это ограничение на оболочке и нормализовав импульс так, чтобы он был трехмерным единичным вектором: записать ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=i\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]/2}$ ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle \Sigma ^{m}\equiv {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij},}$ ${\displaystyle \psi (x)=e^{-ik\cdot x}\psi (k)}$ ${\displaystyle k\cdot k=0}$ ${\displaystyle {\hat {k}}_{i}=k_{i}/k_{0}}$

${\displaystyle \left(\Sigma \cdot {\hat {k}}\right)\psi =\gamma _{5}\psi ~.}$

Изучая вышеизложенное, можно прийти к выводу, что собственные состояния углового момента ( собственные состояния спиральности ) соответствуют собственным состояниям кирального оператора . Это позволяет безмассовому полю Дирака четко разделить на пару спиноров Вейля , каждый из которых индивидуально удовлетворяет уравнению Вейля , но с противоположной энергией: ${\displaystyle \psi _{\text{L}}}$ ${\displaystyle \psi _{\text{R}},}$

${\displaystyle \left(-p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{R}}=0}$

и

${\displaystyle \left(p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{L}}=0}$

Обратите внимание на свободу приравнивать отрицательную спиральность к отрицательной энергии и, таким образом, античастицу к частице противоположной спиральности. Для ясности: здесь представлены матрицы Паули , а – оператор импульса. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle p_{\mu }=i\partial _{\mu }}$

Зарядовое сопряжение в киральном базисе

Принимая вейлевское представление гамма-матриц, можно записать (теперь считающийся массивным) спинор Дирака как

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}}$

Соответствующее дуальное (античастичное) поле есть

${\displaystyle {\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\left(\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\right)^{\textsf {T}}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{*}\\\psi _{\text{R}}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

Зарядово-сопряженные спиноры

${\displaystyle \psi ^{c}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{c}\\\psi _{\text{R}}^{c}\end{pmatrix}}=\eta _{c}C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

где, как и раньше, – фазовый коэффициент, который можно принять за Обратите внимание, что левое и правое состояния меняются местами. Это можно восстановить с помощью преобразования четности. При четности спинор Дирака преобразуется как ${\displaystyle \eta _{c}}$ ${\displaystyle \eta _{c}=1.}$

${\displaystyle \psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{p}\left(t,{\vec {x}}\right)=\gamma ^{0}\psi \left(t,-{\vec {x}}\right)}$

Тогда при комбинированном заряде и четности

${\displaystyle \psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\\\psi _{\text{R}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}}$

Традиционно берут глобально. Однако см. примечание ниже. ${\displaystyle \eta _{c}=1}$

Состояние Майораны

Условие Майораны накладывает ограничение между полем и его зарядовым сопряжением, а именно, что они должны быть равны: возможно, лучше всего это можно выразить как требование, чтобы спинор Майорана был собственным состоянием инволюции зарядового сопряжения. ${\displaystyle \psi =\psi ^{c}.}$

Это требует некоторой внимательности к обозначениям. Во многих текстах, посвященных зарядовому сопряжению, инволюции не дается явного символического имени применительно к одночастичным решениям уравнения Дирака. Это отличается от случая, когда обсуждается квантованное поле , где определяется унитарный оператор (как это сделано в следующем разделе ниже). В данном разделе назовем инволюцию так: Принимая это за линейный оператор, можно рассмотреть его собственные состояния. Условие Майораны выделяет одно такое: Однако существует два таких собственных состояния: Продолжая в базисе Вейля, как указано выше, эти собственные состояния равны ${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{c}}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}.}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi .}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}.}$

${\displaystyle \psi ^{(+)}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle \psi ^{(-)}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}}$

Спинор Майораны обычно рассматривается как просто положительное собственное состояние, а именно: киральный оператор меняет местами эти два, в этом ${\displaystyle \psi ^{(+)}.}$ ${\displaystyle \gamma _{5}}$

${\displaystyle \gamma _{5}{\mathsf {C}}=-{\mathsf {C}}\gamma _{5}}$

В этом легко убедиться прямой заменой. Имейте в виду, что у него нет матричного представления 4×4! Точнее, не существует комплексной матрицы 4×4, которая могла бы преобразовать комплексное число в комплексно-сопряженное число; для этой инверсии потребуется реальная матрица 8×8. Физическая интерпретация комплексного сопряжения как зарядового сопряжения становится ясной при рассмотрении комплексного сопряжения скалярных полей, описанного в следующем разделе ниже. ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

Проекторы на киральные собственные состояния можно записать так : и и поэтому вышеизложенное переводится как ${\displaystyle P_{\text{L}}=\left(1-\gamma _{5}\right)/2}$ ${\displaystyle P_{\text{R}}=\left(1+\gamma _{5}\right)/2,}$

${\displaystyle P_{\text{L}}{\mathsf {C}}={\mathsf {C}}P_{\text{R}}~.}$

Это напрямую демонстрирует, что зарядовое сопряжение, примененное к одночастичным комплексным решениям уравнения Дирака, меняет киральность решения. Проекторы на собственные пространства зарядового сопряжения : ${\displaystyle P^{(+)}=(1+{\mathsf {C}})P_{\text{L}}}$ ${\displaystyle P^{(-)}=(1-{\mathsf {C}})P_{\text{R}}.}$

Геометрическая интерпретация

Фазовому фактору можно дать геометрическую интерпретацию. Было отмечено, что для массивных спиноров Дирака «произвольный» фазовый фактор может зависеть как от импульса, так и от спиральности (но не от киральности). ^[4] Это можно интерпретировать как утверждение, что эта фаза может меняться вдоль слоя спинорного расслоения в зависимости от локального выбора системы координат. Иными словами, спинорное поле — это локальное сечение спинорного расслоения, а лоренцевы бусты и вращения соответствуют движениям по слоям соответствующего расслоения (опять же, всего лишь выбор локальной системы координат). При таком рассмотрении эту дополнительную фазовую свободу можно интерпретировать как фазу, возникающую из-за электромагнитного поля. Для спиноров Майораны фаза будет ограничена и не будет меняться при ускорении и вращении. ${\displaystyle \ \eta _{c}\ }$ ${\displaystyle \ \eta _{c}\ }$

Зарядовое сопряжение для квантованных полей

Вышеописанное описывает зарядовое сопряжение только для одночастичных растворов. Когда поле Дирака подвергается вторичному квантованию , как в квантовой теории поля , спинорное и электромагнитное поля описываются операторами. Инволюция зарядового сопряжения тогда проявляется как унитарный оператор (каллиграфическим шрифтом), действующий на поля частиц, выражаемый как ^{[5] [6]} ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. ${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}={\mathcal {C}}\ \psi \ {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}\ C\ {\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}$
2. ${\displaystyle {\overline {\psi }}\mapsto {\overline {\psi }}^{c}={\mathcal {C}}\ {\overline {\psi }}\ {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}^{*}\ \psi ^{\textsf {T}}\ C^{-1}}$
3. ${\displaystyle A_{\mu }\mapsto A_{\mu }^{c}={\mathcal {C}}\ A_{\mu }\ {\mathcal {C}}^{\dagger }=-A_{\mu }\ }$

где некаллиграфическое изображение — это та же самая матрица 4×4, указанная ранее. ${\displaystyle \ C\ }$

Перезарядка в электрослабой теории

Зарядовое сопряжение не меняет киральности частиц. Левое нейтрино путем зарядового сопряжения превратится в левое антинейтрино , которое не взаимодействует в Стандартной модели. Именно это свойство и понимают под «максимальным нарушением» C-симметрии в слабом взаимодействии.

Некоторые постулируемые расширения Стандартной модели , такие как модели «лево-право» , восстанавливают эту C-симметрию.

Скалярные поля

Поле Дирака имеет «скрытую» калибровочную свободу, что позволяет ему напрямую связываться с электромагнитным полем без каких-либо дальнейших модификаций уравнения Дирака или самого поля. ^[a] Это не относится к скалярным полям , которые должны быть явно «комплексованы», чтобы соединиться с электромагнетизмом. Это делается путем «тензорирования» дополнительного множителя комплексной плоскости в поле или построения декартова произведения с . ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U(1)}$

Один очень традиционный метод состоит в том, чтобы просто начать с двух вещественных скалярных полей и создать линейную комбинацию. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \psi \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} {\phi +i\chi \over {\sqrt {2}}}}$

Инволюция зарядового сопряжения тогда является отображением, поскольку этого достаточно, чтобы изменить знак электромагнитного потенциала (поскольку это комплексное число используется для связи с ним). Для реальных скалярных полей зарядовое сопряжение — это просто тождественная карта: и поэтому для комплексного поля зарядовое сопряжение — это просто Стрелка «mapsto» удобна для отслеживания того, «что куда идет»; эквивалентные старые обозначения - это просто написать и и ${\displaystyle {\mathsf {C}}:i\mapsto -i}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\chi \mapsto \chi }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{*}.}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\phi =\phi }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\chi =\chi }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{*}.}$

Вышеописанное описывает традиционную конструкцию заряженного скалярного поля. Ввести в поля дополнительную алгебраическую структуру можно и другими способами. В частности, можно определить «реальное» поле, ведущее себя как . Поскольку C-симметрия является дискретной симметрией , у человека есть некоторая свобода играть в подобные алгебраические игры в поисках для теории, которая правильно моделирует некоторую данную физическую реальность. ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto -\phi }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto -\psi ^{*}.}$

В физической литературе такое преобразование можно описать без каких-либо дополнительных пояснений. Формальная математическая интерпретация этого состоит в том, что поле является элементом где Таким образом, собственно говоря, поле следует записать как которое ведет себя при зарядовом сопряжении как Очень заманчиво, но не совсем формально правильно просто перемножить их, чтобы переместить вокруг расположения этого знака минус; в основном это «просто работает», но неспособность отследить это должным образом приведет к путанице. ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi ^{c}=-\phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{+1,-1\}.}$ ${\displaystyle \phi =(r,c)}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:(r,c)\mapsto (r,-c).}$

Комбинация изменения заряда и четности

Некоторое время считалось, что C-симметрию можно объединить с преобразованием инверсии четности (см. P-симметрию ), чтобы сохранить комбинированную CP-симметрию . Однако нарушения этой симметрии были выявлены в слабых взаимодействиях (особенно в каонах и B -мезонах ). В Стандартной модели это нарушение CP связано с одной фазой в матрице CKM . Если CP сочетается с обращением времени ( T-симметрия ), результирующую CPT-симметрию можно показать, используя только аксиомы Вайтмана, которым необходимо соблюдать универсально.

В общих настройках

Аналог зарядового сопряжения можно определить для многомерных гамма-матриц с явной конструкцией для спиноров Вейля, приведенной в статье о матрицах Вейля – Брауэра . Однако обратите внимание, что спиноры, абстрактно определенные в теории представлений алгебр Клиффорда, не являются полями; скорее, их следует рассматривать как существующие в нульмерном пространстве-времени.

Аналог Т-симметрии следует из оператора Т-сопряжения спиноров Дирака. Спинорам также присуща P-симметрия , полученная путем изменения направления всех базисных векторов алгебры Клиффорда, из которой построены спиноры. Связь с P- и T-симметриями фермионного поля на пространственно-временном многообразии немного тонкая, но ее можно грубо охарактеризовать следующим образом. Когда спинор строится с помощью алгебры Клиффорда, для построения требуется векторное пространство. По соглашению, это векторное пространство является касательным пространством пространственно-временного многообразия в данной фиксированной точке пространства-времени (один слой в касательном многообразии ). Тогда операции P и T, применяемые к пространственно-временному многообразию, также можно понимать как переворачивание координат касательного пространства; таким образом, они склеены вместе. Изменение четности или направления времени в одном также меняет его и в другом. Это соглашение. Человек может потерять связь, если не сможет распространить эту связь. ${\displaystyle \gamma ^{1}\gamma ^{3}}$

Это делается путем принятия касательного пространства в качестве векторного пространства , расширения его до тензорной алгебры , а затем использования скалярного произведения векторного пространства для определения алгебры Клиффорда . Рассматривая каждую такую ​​алгебру как слой, мы получаем расслоение, называемое расслоением Клиффорда . При изменении базиса касательного пространства элементы алгебры Клиффорда преобразуются согласно спиновой группе . Построение основного пучка волокон со спиновой группой, поскольку волокно приводит к спиновой структуре .

Все, чего не хватает в приведенных выше абзацах, — это самих спиноров . Для этого требуется «комплексификация» касательного многообразия: тензоризация его комплексной плоскостью. Как только это будет сделано, можно будет построить спиноры Вейля . Они имеют форму

${\displaystyle w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)}$

где - базисные векторы для векторного пространства , касательного пространства в точке пространственно-временного многообразия. Спиноры Вейля вместе с их комплексно-сопряженными элементами охватывают касательное пространство в том смысле, что ${\displaystyle e_{j}}$ ${\displaystyle V=T_{p}M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle M.}$

${\displaystyle V\otimes \mathbb {C} =W\oplus {\overline {W}}}$

Альтернирующая алгебра называется спинорным пространством, именно здесь живут спиноры, а также произведения спиноров (таким образом, объекты с более высокими значениями спина, включая векторы и тензоры). ${\displaystyle \wedge W}$

Смотрите также

• C-паритет
• G-паритет
• Античастица
• Антивещество
• Истинно нейтральная частица

Примечания

1. Эта свобода явно удалена и ограничена спинорами Майораны .

Рекомендации

1. Бьоркен, Джеймс Д. и Дрелл, Сидни Д. (1964). Релятивистская квантовая механика . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. глава 5.2, стр. 66-70.
2. Ицыксон, Клод и Зубер, Жан-Бернар (1980). Квантовая теория поля . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. главы 2–4, стр. 85 и далее.
3. Пескин, М.Э. и Шредер, Д.В. (1997). Введение в квантовую теорию поля . Эддисон Уэсли. ISBN 0-201-50397-2.
4. Itzykson & Zuber (1980), § 2-4-2 Сопряжение заряда , стр. 86, уравнение 2-100
5. Бьоркен и Дрелл (1964), глава 15
6. Ицыксон и Зубер (1980), § 3-4

• Соцци, М.С. (2008). Дискретные симметрии и нарушение CP . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-929666-8.