В математике , в частности в геометрии и топологии , классификация многообразий является одним из основных вопросов, о котором известно многое, но остается много открытых вопросов.
Формально классификация многообразий — это классификация объектов с точностью до изоморфизма . Существует много различных понятий «многообразия» и соответствующих понятий «отображения между многообразиями», каждое из которых даёт отдельную категорию и отдельный вопрос классификации.
Эти категории связаны забывающими функторами : например, дифференцируемое многообразие также является топологическим многообразием, а дифференцируемое отображение также непрерывно, поэтому существует функтор .
Эти функторы в общем случае не являются ни однозначными, ни на объекты; эти неудачи обычно упоминаются в терминах «структуры», как указано ниже. Топологическое многообразие, которое находится в образе, называется «допускающим дифференцируемую структуру», а слой над данным топологическим многообразием — это «различные дифференцируемые структуры на данном топологическом многообразии».
Таким образом, учитывая две категории, возникают два естественных вопроса:
В более общих категориях этот структурный набор имеет больше структуры: в Diff это просто набор, но в Top это группа, причем функториально.
Многие из этих структур являются G-структурами , и вопрос заключается в редукции группы структур . Наиболее знакомый пример — ориентируемость: некоторые многообразия ориентируемы, некоторые — нет, а ориентируемые многообразия допускают 2 ориентации.
Существует два обычных способа дать классификацию: явно, путем перечисления, или неявно, в терминах инвариантов.
Например, для ориентируемых поверхностей классификация поверхностей перечисляет их как связную сумму торов, а инвариантом, который их классифицирует, является род или эйлерова характеристика .
Многообразия имеют богатый набор инвариантов, включая:
Современная алгебраическая топология (за пределами теории кобордизмов ), такая как экстраординарная (ко)гомология , мало используется в классификации многообразий, поскольку эти инварианты являются гомотопически инвариантными и, следовательно, не помогают в более тонких классификациях выше гомотопического типа.
Группы кобордизмов (группы бордизмов точки) вычисляются, но группы бордизмов пространства (такого как ), как правило, не вычисляются.
Классификация точечных множеств является базовой — обычно фиксируются предположения точечных множеств, а затем изучается этот класс многообразий. Наиболее часто классифицируемый класс многообразий — это замкнутые, связные многообразия.
Будучи однородными (вдали от любой границы), многообразия не имеют локальных инвариантов точечных множеств, кроме их размерности и границы по сравнению с внутренностью, а наиболее используемыми глобальными свойствами точечных множеств являются компактность и связность. Традиционные названия для их комбинаций:
Например, является компактным многообразием, является замкнутым многообразием и является открытым многообразием, в то время как не является ни одним из них.
Характеристика Эйлера является гомологическим инвариантом и, таким образом, может быть эффективно вычислена с учетом структуры CW , поэтому 2-многообразия классифицируются гомологически.
Характеристические классы и характеристические числа являются соответствующими обобщенными гомологическими инвариантами, но они не классифицируют многообразия в более высокой размерности (они не являются полным набором инвариантов ): например, ориентируемые 3-многообразия параллелизуемы (теорема Стинрода в низкоразмерной топологии ), поэтому все характеристические классы исчезают. В более высоких размерностях характеристические классы, как правило, не исчезают и предоставляют полезные, но не полные данные.
Многообразия в размерности 4 и выше не могут быть эффективно классифицированы: если заданы два n -многообразия ( ), представленные как CW-комплексы или handlebody , не существует алгоритма для определения того, являются ли они изоморфными (гомеоморфными, диффеоморфными). Это связано с неразрешимостью проблемы слов для групп , или, точнее, проблемы тривиальности (если задано конечное представление для группы, является ли она тривиальной группой?). Любое конечное представление группы может быть реализовано как 2-комплекс и может быть реализовано как 2-скелет 4-многообразия (или выше). Таким образом, невозможно даже вычислить фундаментальную группу заданного многообразия высокой размерности, не говоря уже о классификации.
Эта неэффективность является фундаментальной причиной того, что теория хирургии не классифицирует многообразия с точностью до гомеоморфизма. Вместо этого для любого фиксированного многообразия M она классифицирует пары с N многообразием и гомотопической эквивалентностью , причем две такие пары и , считаются эквивалентными, если существуют гомеоморфизм и гомотопия .
Многие классические теоремы римановой геометрии показывают, что многообразия с положительной кривизной ограничены, наиболее драматичным примером является теорема о 1/4-защемленной сфере . Наоборот, отрицательная кривизна является общей: например, любое многообразие размерности допускает метрику с отрицательной кривизной Риччи.
Это явление очевидно уже для поверхностей: существует единственная ориентируемая (и единственная неориентируемая) замкнутая поверхность с положительной кривизной (сфера и проективная плоскость ), а также с нулевой кривизной ( тор и бутылка Клейна ), а все поверхности более высокого рода допускают только метрики отрицательной кривизны.
Аналогично для 3-многообразий: из 8 геометрий все, кроме гиперболической, весьма ограничены.
Таким образом, дифференцируемые многообразия размерности 4 являются наиболее сложными: они не являются ни геометризуемыми (как в меньшей размерности), ни классифицируемыми хирургически (как в большей размерности или топологически), и они демонстрируют необычные явления, наиболее поразительным из которых является несчетное бесконечное множество экзотических дифференцируемых структур на R 4 . Примечательно, что дифференцируемые 4-многообразия являются единственным оставшимся открытым случаем обобщенной гипотезы Пуанкаре .
Можно занять низкоразмерную точку зрения на многообразия высокой размерности и спросить: «Какие многообразия высокой размерности геометризуемы?», для различных понятий геометризуемости (разрезание на геометризуемые части, как в 3-мерном пространстве, на симплектические многообразия и т. д.). В размерности 4 и выше не все многообразия геометризуемы, но они представляют собой интересный класс.
И наоборот, можно занять высокоразмерную точку зрения на низкоразмерные многообразия и спросить: «Что хирургия предсказывает для низкоразмерных многообразий?», имея в виду: «Если бы хирургия работала в низкоразмерных многообразиях, как бы выглядели низкоразмерные многообразия?» Затем можно сравнить фактическую теорию низкоразмерных многообразий с низкоразмерным аналогом высокоразмерных многообразий и посмотреть, ведут ли себя низкоразмерные многообразия «так, как можно было бы ожидать»: в чем они ведут себя как высокоразмерные многообразия (но по другим причинам или посредством других доказательств) и в чем они необычны?
Существует единственное связное 0-мерное многообразие, а именно точка, а несвязные 0-мерные многообразия — это просто дискретные множества, классифицированные по мощности. Они не имеют геометрии, и их изучение — комбинаторика.
Связное компактное одномерное многообразие без границы гомеоморфно (или диффеоморфно, если оно гладкое) окружности. Второе счетное некомпактное одномерное многообразие гомеоморфно или диффеоморфно действительной прямой. Отбросив предположение о второй счетности, получаем два дополнительных многообразия: длинную прямую и пространство, образованное лучом действительной прямой и лучом длинной прямой, пересекающимися в одной точке. [1]
Изучение карт одномерных многообразий является нетривиальной областью. Например:
Каждое связное замкнутое двумерное многообразие (поверхность) допускает постоянную метрику кривизны, согласно теореме об униформизации . [3] Существует 3 таких кривизны (положительная, нулевая и отрицательная). Это классический результат, и, как указано, простой (полная теорема об униформизации более тонкая). Изучение поверхностей тесно связано с комплексным анализом и алгебраической геометрией , поскольку каждую ориентируемую поверхность можно считать римановой поверхностью или комплексной алгебраической кривой . В то время как классификация поверхностей является классической, отображения поверхностей являются активной областью; см. ниже.
Каждое замкнутое 3-мерное многообразие можно разрезать на геометризуемые части, согласно гипотезе геометризации , и таких геометрий существует 8. Это недавний результат, и он довольно сложен. Доказательство ( решение гипотезы Пуанкаре ) аналитическое, а не топологическое.
Четырехмерные многообразия являются наиболее необычными: они не геометризуемы (как в меньших измерениях), а хирургия работает топологически, но не дифференцируемо.
Поскольку топологически 4-многообразия классифицируются хирургическим путем, вопрос дифференцируемой классификации формулируется в терминах «дифференцируемых структур»: «какие (топологические) 4-многообразия допускают дифференцируемую структуру, и на тех, которые допускают, сколько дифференцируемых структур имеется?»
Четырехмерные многообразия часто допускают множество необычных дифференцируемых структур, наиболее поразительно несчетное бесконечное множество экзотических дифференцируемых структур на R 4 . Аналогично, дифференцируемые четырехмерные многообразия являются единственным оставшимся открытым случаем обобщенной гипотезы Пуанкаре .
В размерности 5 и выше (и топологически 4 измерения) многообразия классифицируются по теории хирургии .
Причина размерности 5 заключается в том, что трюк Уитни работает в среднем измерении в размерности 5 и выше: два диска Уитни в общем случае не пересекаются в размерности 5 и выше по общему положению ( ). В размерности 4 можно разрешить пересечения двух дисков Уитни с помощью ручек Кассона , что работает топологически, но не дифференцируемо; см. Геометрическая топология: Размерность для получения подробной информации о размерности.
Более тонко, размерность 5 является обрезанием, поскольку средняя размерность имеет коразмерность больше 2: когда коразмерность равна 2, мы сталкиваемся с теорией узлов , но когда коразмерность больше 2, теория вложения поддается обработке с помощью исчисления функторов . Это обсуждается ниже.
С точки зрения теории категорий классификация многообразий является частью понимания категории: это классификация объектов . Другой вопрос - классификация отображений многообразий с точностью до различных эквивалентностей, и в этой области есть много результатов и открытых вопросов.
Для отображений соответствующим понятием «низкая размерность» для некоторых целей является «самоотображения многообразий низкой размерности», а для других целей — «низкая коразмерность ».
Аналогично классификации многообразий, в высокой коразмерности (больше 2) вложения классифицируются хирургическим путем, в низкой коразмерности или относительной размерности они жесткие и геометрические, а в средней (коразмерность 2) имеет место сложная экзотическая теория ( теория узлов ).
К особенно интересным с топологической точки зрения классам отображений относятся вложения, погружения и субмерсии.
Геометрический интерес представляют изометрии и изометрические погружения.
Фундаментальные результаты в области внедрений и погружений включают в себя:
Ключевыми инструментами при изучении этих карт являются:
Можно классифицировать карты по различным эквивалентностям:
Диффеоморфизмы с точностью до кобордизма были классифицированы Маттиасом Креком [4]
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
