Кобордизм

Понятие в математике

Кобордизм ( W ; M , N ).

В математике кобордизм — фундаментальное отношение эквивалентности на классе компактных многообразий одной и той же размерности, устанавливаемое с помощью понятия границы ( фр. bord , дающее кобордизм ) многообразия. Два многообразия одной и той же размерности кобордантны, если их дизъюнктное объединение является границей компактного многообразия на одну размерность выше.

Граница ( n  + 1)-мерного многообразия W — это n -мерное многообразие ∂ W , которое замкнуто, т. е. имеет пустую границу. В общем случае замкнутое многообразие не обязательно должно быть границей: теория кобордизмов — это изучение разницы между всеми замкнутыми многообразиями и теми, которые являются границами. Первоначально теория была разработана Рене Томом для гладких многообразий (т. е. дифференцируемых), но теперь существуют также версии для кусочно-линейных и топологических многообразий .

Кобордизм между многообразиями M и N — это компактное многообразие W , граница которого является несвязным объединением M и N , . ${\displaystyle \partial W=M\sqcup N}$

Кобордизмы изучаются как для отношения эквивалентности, которое они порождают, так и как объекты сами по себе. Кобордизм является гораздо более грубым отношением эквивалентности, чем диффеоморфизм или гомеоморфизм многообразий, и его значительно легче изучать и вычислять. Невозможно классифицировать многообразия с точностью до диффеоморфизма или гомеоморфизма в размерностях ≥ 4 — потому что проблема слов для групп не может быть решена — но можно классифицировать многообразия с точностью до кобордизма. Кобордизмы являются центральными объектами изучения в геометрической топологии и алгебраической топологии . В геометрической топологии кобордизмы тесно связаны с теорией Морса , а h -кобордизмы являются основополагающими в изучении многообразий высокой размерности, а именно в теории хирургии . В алгебраической топологии теории кобордизмов являются фундаментальными необычными теориями когомологий , а категории кобордизмов являются областями топологических квантовых теорий поля .

Определение

Коллекторы

Грубо говоря, n -мерное многообразие M — это топологическое пространство, локально (т.е. вблизи каждой точки) гомеоморфное открытому подмножеству евклидова пространства. Многообразие с границей аналогично, за исключением того, что точке M разрешено иметь окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству полупространства . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{n}\geqslant 0\}.}$

Точки без окрестностей, гомеоморфных открытому подмножеству евклидова пространства, являются граничными точками ; граница обозначается . Наконец, замкнутое многообразие , по определению, является компактным многообразием без границы ( .) ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle \partial M=\emptyset }$

Кобордизмы

-мерный кобордизм — это пятерка, состоящая из -мерного компактного дифференцируемого многообразия с краем, ; замкнутых -многообразий , ; и вложений , с непересекающимися образами, таких что ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle (W;M,N,i,j)}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i\colon M\hookrightarrow \partial W}$ ${\displaystyle j\colon N\hookrightarrow \partial W}$

${\displaystyle \partial W=i(M)\sqcup j(N)~.}$

Терминология обычно сокращается до . ^[1] M и N называются кобордантными, если такой кобордизм существует. Все многообразия , кобордантные фиксированному заданному многообразию M, образуют класс кобордизма M  . ${\displaystyle (W;M,N)}$

Каждое замкнутое многообразие M является границей некомпактного многообразия M  × [0, 1); по этой причине мы требуем, чтобы W было компактным в определении кобордизма. Однако следует отметить, что W не обязательно должно быть связным; как следствие, если M  = ∂ W ₁ и N  = ∂ W ₂ , то M и N кобордантны.

Примеры

Простейшим примером кобордизма является единичный интервал I = [0, 1] . Это 1-мерный кобордизм между 0-мерными многообразиями {0}, {1}. В более общем случае, для любого замкнутого многообразия M , ( M × I ; M × {0} , M × {1} ) является кобордизмом из M × {0} в M × {1}.

Кобордизм между одной окружностью (вверху) и парой непересекающихся окружностей (внизу).

Если M состоит из круга , а N из двух кругов, то M и N вместе составляют границу пары брюк W (см. рисунок справа). Таким образом, пара брюк является кобордизмом между M и N. Более простой кобордизм между M и N задается несвязным объединением трех дисков.

Пара брюк является примером более общего кобордизма: для любых двух n -мерных многообразий M , M ′ несвязное объединение кобордантно связной сумме Предыдущий пример является частным случаем, поскольку связная сумма изоморфна Связная сумма получается из несвязного объединения с помощью операции над вложением в , а кобордизм является следом операции. ${\displaystyle M\sqcup M'}$ ${\displaystyle M\mathbin {\#} M'.}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\mathbin {\#} \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}.}$ ${\displaystyle M\mathbin {\#} M'}$ ${\displaystyle M\sqcup M'}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{n}}$ ${\displaystyle M\sqcup M'}$

Терминология

n -многообразие M называется нуль-кобордантным , если существует кобордизм между M и пустым многообразием; другими словами, если M является всей границей некоторого ( n +  1)-многообразия. Например, окружность нуль-кобордантна, поскольку она ограничивает диск. В более общем случае n -сфера нуль-кобордантна, поскольку она ограничивает ( n  + 1)-диск. Кроме того, каждая ориентируемая поверхность нуль-кобордантна, поскольку она является границей handlebody . С другой стороны, 2 n -мерное вещественное проективное пространство является (компактным) замкнутым многообразием, которое не является границей многообразия, как объясняется ниже. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2n}(\mathbb {R} )}$

Общая задача бордизма состоит в вычислении классов кобордизма многообразий, подчиняющихся различным условиям.

Нулевые кобордизмы с дополнительной структурой называются заполнениями . Бордизм и кобордизм используются некоторыми авторами как взаимозаменяемые; другие различают их. Когда кто-то хочет отличить изучение классов кобордизмов от изучения кобордизмов как объектов в их собственном праве, он называет вопрос эквивалентности бордизмом многообразий , а изучение кобордизмов как объектов кобордизмами многообразий . ^{[ требуется ссылка ]}

Термин бордизм происходит от французского bord , что означает граница. Следовательно, бордизм — это изучение границ. Кобордизм означает «совместно связанный», поэтому M и N кобордантны, если они совместно ограничивают многообразие; т. е. если их несвязное объединение является границей. Кроме того, группы кобордизмов образуют необычную теорию когомологий , отсюда и ко-.

Варианты

Вышеизложенное является наиболее базовой формой определения. Это также называется неориентированным бордизмом. Во многих ситуациях рассматриваемые многообразия ориентированы или несут некоторую другую дополнительную структуру, называемую G-структурой . Это приводит к "ориентированному кобордизму" и "кобордизму с G-структурой" соответственно. При благоприятных технических условиях они образуют градуированное кольцо , называемое кольцом кобордизма , с градуировкой по размерности, сложением по несвязному объединению и умножением на декартово произведение . Группы кобордизма являются группами коэффициентов обобщенной теории гомологии. ${\displaystyle \Omega _{*}^{G}}$ ${\displaystyle \Omega _{*}^{G}}$

Когда есть дополнительная структура, понятие кобордизма должно быть сформулировано более точно: G -структура на W ограничивается до G -структуры на M и N . Основные примеры: G = O для неориентированного кобордизма, G = SO для ориентированного кобордизма и G = U для комплексного кобордизма , использующего стабильно комплексные многообразия . Многие другие подробно описаны Робертом Э. Стонгом . ^[2]

Аналогичным образом стандартным инструментом в теории хирургии является хирургия нормальных карт : такой процесс изменяет нормальную карту на другую нормальную карту в пределах того же класса бордизмов .

Вместо рассмотрения дополнительной структуры, также можно принять во внимание различные понятия многообразия, особенно кусочно-линейные (PL) и топологические многообразия . Это приводит к группам бордизмов , которые сложнее вычислить, чем дифференцируемые варианты. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \Omega _{*}^{PL}(X),\Omega _{*}^{TOP}(X)}$

Строительство хирургии

Напомним, что в общем случае, если X , Y — многообразия с границей, то граница многообразия-произведения равна ∂( X × Y ) = (∂ X × Y ) ∪ ( X × ∂ Y ) .

Теперь, если задано многообразие M размерности n = p + q и вложение, определим n -многообразие ${\displaystyle \varphi :\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\subset M,}$

${\displaystyle N:=(M-\operatorname {int~im} \varphi )\cup _{\varphi |_{\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {S} ^{q-1}}}\left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\right)}$

полученный хирургическим путем , путем вырезания внутренней части и склеивания по их границе ${\displaystyle \mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}}$

${\displaystyle \partial \left(\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\right)=\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {S} ^{q-1}=\partial \left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\right).}$

След от операции

${\displaystyle W:=(M\times I)\cup _{\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\times \{1\}}\left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {D} ^{q}\right)}$

определяет элементарный кобордизм ( W ; M , N ). Обратите внимание, что M получается из N с помощью операции над Это называется обращением операции . ${\displaystyle \mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\subset N.}$

Каждый кобордизм представляет собой объединение элементарных кобордизмов, согласно работам Марстона Морзе , Рене Тома и Джона Милнора .

Примеры

Рис. 1

Согласно вышеприведенному определению, операция на круге заключается в вырезании копии и вклеивании . Рисунки на рис. 1 показывают, что результатом этого действия является либо (i) снова, либо (ii) две копии ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {S} ^{0}.}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$

Рис. 2а

Рис. 2б

Для хирургии на 2-сфере существует больше возможностей, поскольку мы можем начать с вырезания либо ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}.}$

1. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}}$: Если мы удалим цилиндр из 2-сферы, у нас останется два диска. Нам нужно склеить обратно – то есть два диска – и ясно, что в результате этого мы получим две непересекающиеся сферы. (Рис. 2а) ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}}$

2. 

   Рис. 2c. Эту форму невозможно встроить в 3-мерное пространство.

   ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}}$: Вырезав два диска, мы склеиваем их обратно в цилиндр. Возможны два результата в зависимости от того, имеют ли наши карты склеивания одинаковую или противоположную ориентацию на двух граничных окружностях. Если ориентации одинаковы (рис. 2b), то полученное многообразие — тор, но если они различны, то мы получаем бутылку Клейна (рис. 2c). ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}.}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$

Функции Морзе

Предположим, что f — функция Морса на ( n  + 1)-мерном многообразии, и предположим, что c — критическое значение с ровно одной критической точкой в ​​его прообразе. Если индекс этой критической точки равен p  + 1, то множество уровня N  := f ⁻¹ ( c  + ε) получается из M  := f ⁻¹ ( c  − ε) с помощью p -хирургии. Обратный образ W  := f ⁻¹ ([ c  − ε, c  + ε]) определяет кобордизм ( W ; M , N ), который можно отождествить со следом этой хирургии.

Геометрия и связь с теорией Морзе и ручками

Для данного кобордизма ( W ; M , N ) существует гладкая функция f  : W → [0, 1] такая, что f ⁻¹ (0) = M , f ⁻¹ (1) = N . В силу общего положения можно предположить, что f является функцией Морса и что все критические точки находятся внутри W . В этом случае f называется функцией Морса на кобордизме. Кобордизм ( W ; M , N ) представляет собой объединение следов последовательности операций на M , по одному для каждой критической точки f . Многообразие W получается из M × [0, 1] путем присоединения одной ручки для каждой критической точки f .

3-мерный кобордизм между 2- сферой и 2- тором с N, полученным из M хирургическим путем, и W, полученным из M × I путем присоединения 1-ручки ${\displaystyle W=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{2}-\mathbb {D} ^{3}}$ ${\displaystyle M=\mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle N=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1},}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}\subset M,}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {D} ^{2}.}$

Теорема Морса/Смейла утверждает, что для функции Морса на кобордизме линии потока f ′ порождают представление ручки тройки ( W ; M , N ). Наоборот, если задано разложение ручки кобордизма, оно получается из подходящей функции Морса. В подходящей нормализованной настройке этот процесс дает соответствие между разложениями ручки и функциями Морса на кобордизме.

История

Кобордизм берет свое начало в (неудачной) попытке Анри Пуанкаре в 1895 году определить гомологию исключительно в терминах многообразий (Dieudonné 1989, стр. 289). Пуанкаре одновременно определил как гомологию, так и кобордизм, которые в общем случае не являются одним и тем же. См. Кобордизм как необычную теорию когомологии для связи между бордизмом и гомологией.

Бордизм был явно введен Львом Понтрягиным в геометрических работах о многообразиях. Он приобрел известность, когда Рене Том показал, что группы кобордизмов могут быть вычислены с помощью теории гомотопий , через комплексную конструкцию Тома . Теория кобордизмов стала частью аппарата экстраординарной теории когомологий , наряду с K-теорией . Он сыграл важную роль, исторически говоря, в развитии топологии в 1950-х и начале 1960-х годов, в частности, в теореме Хирцебруха–Римана–Роха и в первых доказательствах теоремы Атьи–Зингера об индексе .

В 1980-х годах категория с компактными многообразиями в качестве объектов и кобордизмами между ними в качестве морфизмов играла основную роль в аксиомах Атьи–Сигала для топологической квантовой теории поля , которая является важной частью квантовой топологии .

Категориальные аспекты

Кобордизмы являются объектами изучения сами по себе, помимо классов кобордизмов. Кобордизмы образуют категорию , объектами которой являются замкнутые многообразия, а морфизмами — кобордизмы. Грубо говоря, композиция задается путем склеивания кобордизмов конец в конец: композиция ( W ; M , N ) и ( W  ′; N , P ) определяется путем склеивания правого конца первого с левым концом второго, что дает ( W  ′ ∪ _N W ; M , P ). Кобордизм — это своего рода коспан : ^[3] M → W ← N . Категория является кинжальной компактной категорией .

Топологическая квантовая теория поля — это моноидальный функтор из категории кобордизмов в категорию векторных пространств . То есть это функтор , значение которого на несвязном объединении многообразий эквивалентно тензорному произведению его значений на каждом из составляющих многообразий.

В низких размерностях вопрос бордизма относительно тривиален, но категория кобордизма — нет. Например, диск, ограничивающий круг, соответствует нулевой (0-арной) операции, тогда как цилиндр соответствует 1-арной операции, а пара брюк — бинарной операции.

Неориентированный кобордизм

Множество классов кобордизма замкнутых неориентированных n -мерных многообразий обычно обозначается (а не более систематическим ); это абелева группа с дизъюнктным объединением в качестве операции. Более конкретно, если [ M ] и [ N ] обозначают классы кобордизма многообразий M и N соответственно, мы определяем ; это хорошо определенная операция, которая превращается в абелеву группу. Элементом единицы этой группы является класс, состоящий из всех замкнутых n -многообразий, которые являются границами. Далее мы имеем для каждого M , поскольку . Следовательно, является векторным пространством над , полем с двумя элементами . Декартово произведение многообразий определяет умножение, поэтому ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{n}}$ ${\displaystyle \Omega _{n}^{\text{O}}}$ ${\displaystyle [M]+[N]=[M\sqcup N]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{n}}$ ${\displaystyle [\emptyset ]}$ ${\displaystyle [M]+[M]=[\emptyset ]}$ ${\displaystyle M\sqcup M=\partial (M\times [0,1])}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ ${\displaystyle [M][N]=[M\times N],}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{*}=\bigoplus _{n\geqslant 0}{\mathfrak {N}}_{n}}$

является градуированной алгеброй , градуировка которой задается размерностью.

Класс кобордизма замкнутого неориентированного n -мерного многообразия M определяется характеристическими числами Штифеля–Уитни для M , которые зависят от класса стабильного изоморфизма касательного расслоения . Таким образом, если M имеет стабильно тривиальное касательное расслоение , то . В 1954 году Рене Том доказал ${\displaystyle [M]\in {\mathfrak {N}}_{n}}$ ${\displaystyle [M]=0\in {\mathfrak {N}}_{n}}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{*}=\mathbb {F} _{2}\left[x_{i}|i\geqslant 1,i\neq 2^{j}-1\right]}$

полиномиальная алгебра с одним генератором в каждом измерении . Таким образом, два неориентированных замкнутых n -мерных многообразия M , N являются кобордантными, если и только если для каждого набора из k -кортежей целых чисел, таких, что числа Штифеля-Уитни равны ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i\neq 2^{j}-1}$ ${\displaystyle [M]=[N]\in {\mathfrak {N}}_{n},}$ ${\displaystyle \left(i_{1},\cdots ,i_{k}\right)}$ ${\displaystyle i\geqslant 1,i\neq 2^{j}-1}$ ${\displaystyle i_{1}+\cdots +i_{k}=n}$

${\displaystyle \left\langle w_{i_{1}}(M)\cdots w_{i_{k}}(M),[M]\right\rangle =\left\langle w_{i_{1}}(N)\cdots w_{i_{k}}(N),[N]\right\rangle \in \mathbb {F} _{2}}$

с i- м классом Штифеля-Уитни и -коэффициентом фундаментального класса . ${\displaystyle w_{i}(M)\in H^{i}\left(M;\mathbb {F} _{2}\right)}$ ${\displaystyle [M]\in H_{n}\left(M;\mathbb {F} _{2}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

Для четного i можно выбрать класс кобордизма i -мерного вещественного проективного пространства . ${\displaystyle x_{i}=\left[\mathbb {P} ^{i}(\mathbb {R} )\right]}$

Группы неориентированных кобордизмов малой размерности:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{0}&=\mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{1}&=0,\\{\mathfrak {N}}_{2}&=\mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{3}&=0,\\{\mathfrak {N}}_{4}&=\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{5}&=\mathbb {Z} /2.\end{aligned}}}$

Это показывает, например, что каждое 3-мерное замкнутое многообразие является границей 4-мерного многообразия (с краем).

Эйлерова характеристика по модулю 2 неориентированного многообразия M является инвариантом неориентированного кобордизма. Это следует из уравнения ${\displaystyle \chi (M)\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \chi _{\partial W}=\left(1-(-1)^{\dim W}\right)\chi _{W}}$

для любого компактного многообразия с границей . ${\displaystyle W}$

Следовательно, является вполне определенным групповым гомоморфизмом. Например, для любого ${\displaystyle \chi :{\mathfrak {N}}_{i}\to \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \chi \left(\mathbb {P} ^{2i_{1}}(\mathbb {R} )\times \cdots \times \mathbb {P} ^{2i_{k}}(\mathbb {R} )\right)=1.}$

В частности, такое произведение вещественных проективных пространств не является нуль-кобордантным. Характеристическое отображение Эйлера mod 2 является отображением на для всех и групповым изоморфизмом для ${\displaystyle \chi :{\mathfrak {N}}_{2i}\to \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle i=1.}$

Более того, ввиду того , что эти групповые гомоморфизмы собираются в гомоморфизм градуированных алгебр: ${\displaystyle \chi (M\times N)=\chi (M)\chi (N)}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathfrak {N}}\to \mathbb {F} _{2}[x]\\[][M]\mapsto \chi (M)x^{\dim(M)}\end{cases}}}$

Кобордизм многообразий с дополнительной структурой

Кобордизм также может быть определен для многообразий, которые имеют дополнительную структуру, в частности ориентацию. Это делается формальным в общем виде с использованием понятия X -структуры (или G-структуры ). ^[4] Очень кратко, нормальное расслоение ν погружения M в достаточно высокоразмерное евклидово пространство порождает отображение из M в грассманиан , которое, в свою очередь, является подпространством классифицирующего пространства ортогональной группы : ν: M → Gr ( n , n  +  k ) → BO ( k ). Если задан набор пространств и отображений X _k → X _{k +1} с отображениями X _k → BO ( k ) (совместимыми с включениями BO ( k ) → BO ( k +1), X -структура является поднятием ν до отображения . Рассмотрение только многообразий и кобордизмов с X -структурой приводит к более общему понятию кобордизма. В частности, X _k может быть задано как BG ( k ), где G ( k ) → O ( k ) — некоторый гомоморфизм групп. Это называется G-структурой . Примерами являются G = O , ортогональная группа, возвращающая неориентированный кобордизм, а также подгруппа SO( k ) , порождающая ориентированный кобордизм , группа спинов , унитарная группа U ( k ) и тривиальная группа, порождающая оснащенный кобордизм. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k}}$ ${\displaystyle {\tilde {\nu }}:M\to X_{k}}$

Полученные группы кобордизмов определяются затем аналогично неориентированному случаю. Они обозначаются как . ${\displaystyle \Omega _{*}^{G}}$

Ориентированный кобордизм

Ориентированный кобордизм — это кобордизм многообразий с SO-структурой. Эквивалентно, все многообразия должны быть ориентированными , а кобордизмы ( W , M , N ) (также называемые ориентированными кобордизмами для ясности) таковы, что граница (с индуцированными ориентациями) равна , где − N обозначает N с обратной ориентацией. Например, граница цилиндра M  ×  I равна : оба конца имеют противоположные ориентации. Это также правильное определение в смысле экстраординарной теории когомологий . ${\displaystyle M\sqcup (-N)}$ ${\displaystyle M\sqcup (-M)}$

В отличие от группы неориентированных кобордизмов, где каждый элемент является двукрученым, 2 M в общем случае не является ориентированной границей, то есть 2[ M ] ≠ 0 при рассмотрении в ${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}.}$

Группы ориентированных кобордизмов по модулю кручения задаются формулой

${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}\otimes \mathbb {Q} =\mathbb {Q} \left[y_{4i}\mid i\geqslant 1\right],}$

полиномиальная алгебра, порожденная ориентированными классами кобордизма

${\displaystyle y_{4i}=\left[\mathbb {P} ^{2i}(\mathbb {C} )\right]\in \Omega _{4i}^{\text{SO}}}$

комплексных проективных пространств (Том, ​​1952). Группа ориентированных кобордизмов определяется характеристическими числами Штифеля–Уитни и Понтрягина (Уолл, 1960). Два ориентированных многообразия ориентированно кобордантны тогда и только тогда, когда их числа Штифеля–Уитни и Понтрягина одинаковы. ${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}}$

Группы ориентированных кобордизмов малой размерности:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{0}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} ,\\\Omega _{1}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{2}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{3}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{4}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} ,\\\Omega _{5}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} _{2}.\end{aligned}}}$

Сигнатура ориентированного 4i -мерного многообразия M определяется как сигнатура формы пересечения на и обозначается как Это инвариант ориентированного кобордизма, который выражается через числа Понтрягина теоремой Хирцебруха о сигнатуре . ${\displaystyle H^{2i}(M)\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \sigma (M).}$

Например, для любого i ₁ , ..., i _k ≥ 1

${\displaystyle \sigma \left(\mathbb {P} ^{2i_{1}}(\mathbb {C} )\times \cdots \times \mathbb {P} ^{2i_{k}}(\mathbb {C} )\right)=1.}$

Отображение сигнатуры является отображением для всех i ≥ 1 и изоморфизмом для i = 1. ${\displaystyle \sigma :\Omega _{4i}^{\text{SO}}\to \mathbb {Z} }$

Кобордизм как необычная теория когомологий

Каждая теория векторных расслоений (действительная, комплексная и т. д.) имеет необычную теорию когомологий, называемую K-теорией . Аналогично, каждая теория кобордизмов Ω ^G имеет необычную теорию когомологий с группами гомологий («бордизмов») и группами когомологий («кобордизмов») для любого пространства X. Обобщенные группы гомологий ковариантны в X , а обобщенные группы когомологий контравариантны в X. Определенные выше группы кобордизмов являются, с этой точки зрения, группами гомологий точки: . Тогда является ли группа классов бордизмов пар ( M , f ) с M замкнутым n -мерным многообразием M (с G-структурой) и f :  M → X отображением . Такие пары ( M , f ), ( N , g ) являются бордантными , если существует G-кобордизм ( W ; M , N ) с отображением h  : W → X , которое ограничивается до f на M и до g на N. ${\displaystyle \Omega _{n}^{G}(X)}$ ${\displaystyle \Omega _{G}^{n}(X)}$ ${\displaystyle \Omega _{*}^{G}(X)}$ ${\displaystyle \Omega _{G}^{*}(X)}$ ${\displaystyle \Omega _{n}^{G}=\Omega _{n}^{G}({\text{pt}})}$ ${\displaystyle \Omega _{n}^{G}(X)}$

n -мерное многообразие M имеет фундаментальный класс гомологии [ M ] ∈ H _n ( M ) (с коэффициентами в в общем случае и в в ориентированном случае), определяющий естественное преобразование ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\begin{cases}\Omega _{n}^{G}(X)\to H_{n}(X)\\(M,f)\mapsto f_{*}[M]\end{cases}}}$

что в общем случае далеко не изоморфизм.

Теории бордизмов и кобордизмов пространства удовлетворяют аксиомам Эйленберга–Стинрода, за исключением аксиомы размерности. Это не означает, что группы могут быть эффективно вычислены, если известна теория кобордизмов точки и гомологии пространства X , хотя спектральная последовательность Атьи–Хирцебруха дает отправную точку для вычислений. Вычисление легко только в том случае, если частная теория кобордизмов сводится к произведению обычных теорий гомологии, в этом случае группы бордизмов являются обычными группами гомологии ${\displaystyle \Omega _{G}^{n}(X)}$

${\displaystyle \Omega _{n}^{G}(X)=\sum _{p+q=n}H_{p}(X;\Omega _{q}^{G}({\text{pt}})).}$

Это верно для неориентированных кобордизмов. Другие теории кобордизмов не сводятся к обычной гомологии таким образом, в частности, каркасный кобордизм , ориентированный кобордизм и комплексный кобордизм . Последняя теория, в частности, широко используется алгебраическими топологами в качестве вычислительного инструмента (например, для гомотопических групп сфер ). ^[5]

Теории кобордизма представлены спектрами Тома MG : для группы G спектр Тома составлен из пространств Тома MG _n стандартных векторных расслоений над классифицирующими пространствами BG _n . Обратите внимание, что даже для похожих групп спектры Тома могут сильно различаться: MSO и MO сильно различаются, что отражает разницу между ориентированным и неориентированным кобордизмом.

С точки зрения спектров, неориентированный кобордизм является произведением спектров Эйленберга–Маклейна – MO = H ( π _∗ ( MO )) – в то время как ориентированный кобордизм является произведением спектров Эйленберга–Маклейна рационально и в 2, но не в нечетных простых числах: спектр ориентированного кобордизма MSO несколько сложнее, чем MO .

Другие результаты

В 1959 году Ч. Т. К. Уолл доказал, что два многообразия кобордантны тогда и только тогда, когда их числа Понтрягина и Штифеля одинаковы. ^[6]

Смотрите также

• h -кобордизм
• Согласование ссылок
• Список теорий когомологий
• Симплектическое заполнение
• гипотеза кобордизма
• Кобордизм кольцо
• Хронология бордизма

Примечания

1. Обозначение « -мерный» используется для уточнения размерности всех рассматриваемых многообразий, в противном случае неясно, относится ли «5-мерный кобордизм» к 5-мерному кобордизму между 4-мерными многообразиями или к 6-мерному кобордизму между 5-мерными многообразиями. ${\displaystyle (n+1)}$
2. Стонг, Роберт Э. (1968). Заметки о теории кобордизмов . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press .
3. Хотя каждый кобордизм является коспаном, категория кобордизмов не является «категорией коспана»: это не категория всех коспанов в «категории многообразий с включениями на границе», а скорее ее подкатегория, поскольку требование, чтобы M и N образовывали разбиение границы W, является глобальным ограничением.
4. Свитцер, Роберт М. (2002), Алгебраическая топология — гомотопия и гомология , Классика математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42750-6, г-н  1886843, глава 12
5. Равенел, Д.К. (апрель 1986). Комплексные кобордизмы и стабильные гомотопические группы сфер . Academic Press. ISBN 0-12-583430-6.
6. Wall, CTC (1960). «Определение кольца кобордизма». Annals of Mathematics . 72 (2): 292–311. doi :10.2307/1970136. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970136.

Ссылки

• Джон Фрэнк Адамс , Стабильная гомотопия и обобщенные гомологии , Издательство Чикагского университета (1974).
• Аносов, Дмитрий В.; Войцеховский, М.И. (2001) [1994], "бордизм", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Майкл Ф. Атья , Бордизм и кобордизм , Proc. Camb. Phil. Soc. 57, стр. 200–208 (1961).
• Дьедонне, Жан Александр (1989). История алгебраической и дифференциальной топологии, 1900–1960 . Бостон: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3388-2.
• Косински, Антони А. (19 октября 2007 г.). «Дифференциальные многообразия» (документ). Dover Publications.
• Мэдсен, Иб ; Милгрэм, Р. Джеймс (1979). Классифицирующие пространства для хирургии и кобордизмов многообразий . Принстон, Нью-Джерси : Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08226-4.
• Милнор, Джон (1962). «Обзор теории кобордизма». L'Enseignement Mathématique . 8 : 16–23. ISSN  0013-8584.
• Сергей Новиков , Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобордизмов , Изв. АН СССР, Сер. Матем. 31 (1967), 855–951.
• Лев Понтрягин , Гладкие многообразия и их приложения в теории гомотопий. Переводы Американского математического общества, Сер. 2, Т. 11, стр. 1–114 (1959).
• Дэниел Квиллен , О формальных групповых законах теории неориентированных и комплексных кобордизмов, Bull. Amer. Math. Soc., 75 (1969) стр. 1293–1298.
• Дуглас Равенел , Комплексные кобордизмы и стабильные гомотопические группы сфер , Acad. Press (1986).
• Юлий Б. Рудяк (2001) [1994], "Кобордизм", Энциклопедия математики , EMS Press
• Юлий Б. Рудяк , О спектрах Тома, ориентируемости и (ко)бордизмах , Springer (2008).
• Роберт Э. Стонг , Заметки о теории кобордизмов , Princeton Univ. Press (1968).
• Тайманов, Искандер А. (2007). Топологическая библиотека. Часть 1: кобордизмы и их приложения . Серия «Узлы и все такое». Том 39. С. Новиков (ред.). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Хакенсак, Нью-Джерси. ISBN 978-981-270-559-4.
• Рене Том , Quelques proprietés globales des variétés différentiables , Commentarii Mathematici Helvetici 28, 17-86 (1954).
• Wall, CTC (1960). «Определение кольца кобордизма». Annals of Mathematics . Вторая серия. 72 (2). The Annals of Mathematics, Vol. 72, No. 2: 292–311. doi :10.2307/1970136. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970136.

Внешние ссылки

• Бордизм в Атласе многообразий.
• B-бордизм в атласе многообразий.