Коллинеарность

Найдите термины коллинеарность или коллинеарность в Викисловаре, бесплатном словаре.

В геометрии коллинеарность множества точек — это свойство их расположения на одной прямой . ^[1] Множество точек с этим свойством называется коллинеарным (иногда пишется как коллинеарное ^[2] ). В более общем смысле этот термин использовался для выровненных объектов, то есть вещей, находящихся «на одной линии» или «в ряду».

Точки на линии

В любой геометрии множество точек на прямой называется коллинеарным . В евклидовой геометрии это отношение интуитивно визуализируется точками, лежащими в ряд на «прямой». Однако в большинстве геометрий (включая евклидову) линия, как правило, является примитивным (неопределенным) типом объекта , поэтому такие визуализации не обязательно будут уместны. Модель для геометрии предлагает интерпретацию того, как точки, линии и другие типы объектов соотносятся друг с другом, и такое понятие, как коллинеарность, должно интерпретироваться в контексте этой модели. Например, в сферической геометрии , где линии представлены в стандартной модели большими окружностями сферы, множества коллинеарных точек лежат на одной и той же большой окружности. Такие точки не лежат на «прямой» в евклидовом смысле и не считаются находящимися в ряду .

Отображение геометрии в себя, которое переводит прямые в прямые, называется коллинеацией ; оно сохраняет свойство коллинеарности. Линейные отображения (или линейные функции) векторных пространств , рассматриваемые как геометрические отображения, отображают прямые в прямые; то есть они отображают коллинеарные множества точек в коллинеарные множества точек и, таким образом, являются коллинеациями. В проективной геометрии эти линейные отображения называются гомографиями и являются всего лишь одним типом коллинеации.

Примеры в евклидовой геометрии

Треугольники

В любом треугольнике следующие множества точек лежат на одной прямой:

Ортоцентр , центр описанной окружности , центроид , точка Эксетера , точка де Лоншана и центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера .
Точка де Лоншана имеет также и другие коллинеарности .
Любая вершина, касательная к противолежащей стороне вневписанной окружности и точка Нагеля лежат на одной прямой, называемой разделителем треугольника.
Середина любой стороны, точка, которая равноудалена от нее вдоль границы треугольника в любом направлении (таким образом, эти две точки делят периметр пополам ), и центр окружности Шпикера лежат на одной прямой, называемой кливером треугольника. ( Окружность Шпикера является вписанной окружностью срединного треугольника , а ее центр является центром масс периметра треугольника.)
Любая вершина, касание противолежащей стороны с вписанной окружностью и точка Жергонна лежат на одной прямой.
Из любой точки описанной окружности треугольника ближайшие точки на каждой из трех продолженных сторон треугольника лежат на одной прямой с линией Симсона точки описанной окружности.
Линии, соединяющие основания высот, пересекают противоположные стороны в коллинеарных точках. ^[3]^{: стр.199}
Центр вписанной окружности треугольника , середина высоты и точка касания соответствующей стороны с вневписанной окружностью относительно этой стороны лежат на одной прямой. ^[4]^{: стр.120, №78}
Теорема Менелая утверждает, что три точки на сторонах (некоторых продолжениях ) треугольника, противолежащие вершинам, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда следующие произведения длин отрезков равны: ^[3]^{: стр. 147} $P_{1},P_{2},P_{3}$ $А_{1},А_{2},А_{3}$

P_{1}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}\cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\cdot P_{2}A_{1}\cdot P_{3}A_{2}.

Инцентр, центроид и центр круга Шпикера лежат на одной прямой.
Центр описанной окружности, середина Брокара и точка Лемуана треугольника лежат на одной прямой. ^[5]
Две перпендикулярные линии, пересекающиеся в ортоцентре треугольника, пересекают каждую из его расширенных сторон . Средние точки на трех сторонах этих точек пересечения лежат на одной прямой Дро-Фарни .

Четырехугольники

В выпуклом четырехугольнике $ABCD,$ противоположные стороны которого пересекаются в точках $E$ и $F$ , середины AC $,$ $BD$ $,$ $EF лежат на одной прямой, а прямая$ $,$ проходящая через них, называется линией Ньютона . Если четырехугольник является касательным четырехугольником , то его инцентр также лежит на этой прямой. ^[6]
В выпуклом четырехугольнике квазиортоцентр $H$ , «центроид площади» $G$ и квазиописанный центр $O$ коллинеарны в этом порядке, и $HG = 2 GO$ . ^[7] (См. Четырехугольник#Замечательные точки и линии в выпуклом четырехугольнике .)

Другие коллинеарности касательного четырехугольника приведены в разделе Касательный четырехугольник#Точки коллинеарности .
Во вписанном четырехугольнике центр описанной окружности , центроид вершины (пересечение двух бимедиан) и антицентр лежат на одной прямой. ^[8]
Во вписанном четырехугольнике центр площади , центр вершины и пересечение диагоналей лежат на одной прямой. ^[9]
В касательной трапеции касательные к вписанной окружности с двумя основаниями коллинеарны с центром вписанной окружности.
В касательной трапеции середины катетов лежат на одной прямой с центром вписанной окружности.

Шестиугольники

Теорема Паскаля (также известная как теорема Hexagrammum Mysticum) утверждает, что если на коническом сечении (т. е. эллипсе , параболе или гиперболе ) выбраны произвольные шесть точек и соединены отрезками в любом порядке, образуя шестиугольник , то три пары противоположных сторон шестиугольника (при необходимости расширенные) встретятся в трех точках, которые лежат на прямой, называемой линией Паскаля шестиугольника. Обратное также верно: теорема Брейкенриджа–Маклорена утверждает, что если три точки пересечения трех пар прямых, проходящих через противоположные стороны шестиугольника, лежат на одной прямой, то шесть вершин шестиугольника лежат на конике, которая может быть вырожденной, как в теореме Паппуса о шестиугольнике .

Конические сечения

По теореме Монжа , для любых трех окружностей на плоскости, ни одна из которых не лежит полностью внутри другой, три точки пересечения трех пар прямых, каждая из которых касается снаружи двух окружностей, являются коллинеарными.
В эллипсе центр, два фокуса и две вершины с наименьшим радиусом кривизны коллинеарны, а центр и две вершины с наибольшим радиусом кривизны коллинеарны.
В гиперболе центр, два фокуса и две вершины лежат на одной прямой.

Конусы

Центр масс конического тела однородной плотности находится на расстоянии одной четверти расстояния от центра основания до вершины, на прямой линии, соединяющей их.

Тетраэдры

Центроид тетраэдра — это середина между его точкой Монжа и центром описанной окружности . Эти точки определяют линию Эйлера тетраэдра, которая аналогична линии Эйлера треугольника. Центр двенадцатиконечной сферы тетраэдра также лежит на линии Эйлера.

Алгебра

Коллинеарность точек, координаты которых заданы

В координатной геометрии , в $n$ -мерном пространстве, набор из трех или более различных точек является коллинеарным тогда и только тогда, когда матрица координат этих векторов имеет ранг 1 или меньше. Например, если даны три точки

{\begin{align}X&=(x_{1},\ x_{2},\ \точки,\ x_{n}),\\Y&=(y_{1},\ y_{2},\ \точки,\ y_{n}),\\Z&=(z_{1},\ z_{2},\ \точки,\ z_{n}),\end{align}}

если матрица

{\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\z_{1}&z_{2 }&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}

имеет ранг 1 или меньше, точки лежат на одной прямой.

Эквивалентно, для каждого подмножества $X, Y, Z$ , если матрица

{\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2 }&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}

имеет ранг 2 или меньше, точки коллинеарны. В частности, для трех точек на плоскости ( $n = 2$ ) указанная выше матрица является квадратной, а точки коллинеарны тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю; поскольку этот определитель 3 × 3 равен плюс или минус удвоенной площади треугольника с этими тремя точками в качестве вершин, это эквивалентно утверждению, что три точки коллинеарны тогда и только тогда, когда треугольник с этими точками в качестве вершин имеет нулевую площадь.

Коллинеарность точек, попарные расстояния которых заданы

Набор из по крайней мере трех различных точек называется прямым , то есть все точки лежат на одной прямой, тогда и только тогда, когда для каждых трех из этих точек $A, B, C$ следующий определитель Кэли–Менгера равен нулю (где $d (AB)$ означает расстояние между $A$ и $B$ и т. д.):

\det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&1\\d (AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.

Этот определитель, по формуле Герона , равен −16, умноженному на квадрат площади треугольника со сторонами $d (AB), d (BC), d (AC)$ ; поэтому проверка того, равен ли этот определитель нулю, эквивалентна проверке того, имеет ли треугольник с вершинами $A, B, C$ нулевую площадь (то есть вершины лежат на одной прямой).

Эквивалентно, набор из по крайней мере трех различных точек является коллинеарным тогда и только тогда, когда для каждых трех из этих точек $A, B, C$ с $d (AC)$ большим или равным каждому из $d (AB)$ и $d (BC)$ , неравенство треугольника $d (AC) \leq d (AB) + d (BC)$ выполняется с равенством.

Теория чисел

Два числа $m$ и $n$ не являются взаимно простыми , то есть имеют общий множитель, отличный от 1, тогда и только тогда, когда для прямоугольника, изображенного на квадратной решетке с вершинами в точках $(0, 0), (m, 0), (m, n), (0, n)$ , по крайней мере одна внутренняя точка лежит на одной прямой с $(0, 0)$ и $(m, n)$ .

Параллелизм (двойная плоскость)

В различных плоских геометриях понятие перестановки ролей «точек» и «линий» при сохранении связи между ними называется плоскостной двойственностью . При наличии набора коллинеарных точек с помощью плоскостной двойственности мы получаем набор прямых, все из которых встречаются в общей точке. Свойство, которым обладает этот набор прямых (встречаются в общей точке), называется параллельностью , а сами прямые называются параллельными . Таким образом, параллельность является плоскостным двойственным понятием к коллинеарности.

График коллинеарности

Для заданной частичной геометрии $P$ , где две точки определяют не более одной прямой, $граф$ коллинеарности P — это граф , вершинами которого являются точки $P$ , где две вершины являются смежными тогда и только тогда, когда они определяют прямую в $P.$

Использование в статистике и эконометрике

В статистике коллинеарность относится к линейной связи между двумя объясняющими переменными . Две переменные идеально коллинеарны, если между ними существует точная линейная связь, так что корреляция между ними равна 1 или −1. То есть, $X 1$ и $X 2$ идеально коллинеарны, если существуют параметры и такие, что для всех наблюдений $i$ мы имеем $\лямбда _{0}$ $\лямбда _{1}$

X_{2i}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}.

Это означает, что если различные наблюдения $(X 1 i, X 2 i)$ нанесены на плоскость $(X 1, X 2)$ , то эти точки являются коллинеарными в смысле, определенном ранее в этой статье.

Идеальная мультиколлинеарность относится к ситуации, в которой $k (k \geq 2)$ объясняющих переменных в модели множественной регрессии идеально линейно связаны, согласно

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}

для всех наблюдений $i$ . На практике мы редко сталкиваемся с идеальной мультиколлинеарностью в наборе данных. Чаще всего проблема мультиколлинеарности возникает, когда между двумя или более независимыми переменными существует «сильная линейная связь», что означает, что

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}+\varepsilon _{i}

где дисперсия относительно мала. $\varepsilon _ {i}$

Концепция латеральной коллинеарности расширяет эту традиционную точку зрения и относится к коллинеарности между объясняющими и критериальными (т.е. объясняемыми) переменными. ^[10]

Использование в других областях

Антенные решетки

Антенная мачта с четырьмя коллинеарными направленными решетками.

В телекоммуникациях коллинеарная (или коллинеарная) антенная решетка представляет собой решетку дипольных антенн, установленных таким образом, что соответствующие элементы каждой антенны параллельны и выровнены, то есть расположены вдоль общей линии или оси.

Фотография

Уравнения коллинеарности представляют собой набор из двух уравнений, используемых в фотограмметрии и компьютерном стереозрении для связи координат в плоскости изображения ( сенсора ) (в двух измерениях) с координатами объекта (в трех измерениях). В условиях фотографии уравнения выводятся путем рассмотрения центральной проекции точки объекта через оптический центр камеры на изображение в плоскости изображения (сенсора). Три точки, точка объекта, точка изображения и оптический центр, всегда коллинеарны. Другими словами, отрезки линий, соединяющие точки объекта с их точками изображения, все совпадают в оптическом центре. [ ^11]

Смотрите также

Примечания

^ Эта концепция применима к любой геометрии Дембовски (1968, стр. 26), но часто определяется только в рамках обсуждения конкретной геометрии Коксетер (1969, стр. 178), Брэннан, Эсплен и Грей (1998, стр. 106)
^ Коллинеарный (словарь Merriam-Webster)
^ Джонсон, Роджер А., Продвинутая евклидова геометрия , Dover Publ., 2007 (ориг. 1929).
^ Альтшиллер Корт, Натан . Колледжская геометрия, 2-е изд. Barnes & Noble, 1952 [1-е изд. 1925].
^ Скотт, JA «Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника», Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., 472–477.
^ Душан Джукич, Владимир Янкович, Иван Матич, Никола Петрович, Сборник ИМО , Springer, 2006, стр. 15.
^ Мякишев, Алексей (2006), «О двух замечательных прямых, связанных с четырехугольником» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295.
^ Хонсбергер, Росс (1995), «4.2 Циклические четырехугольники», Эпизоды в евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого века , Новая математическая библиотека, т. 37, Cambridge University Press, стр. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
^ Брэдли, Кристофер (2011), Три центроида, созданные вписанным четырехугольником (PDF)
^ Kock, N.; Lynn, GS (2012). «Боковая коллинеарность и вводящие в заблуждение результаты в дисперсионно-ориентированном SEM: иллюстрация и рекомендации» (PDF) . Журнал Ассоциации информационных систем . 13 (7): 546–580. doi :10.17705/1jais.00302. S2CID 3677154.
^ С математической точки зрения более естественно называть эти уравнения уравнениями параллельности , но в литературе по фотограмметрии такая терминология не используется.

Ссылки

Бреннан, Дэвид А.; Эсплен, Мэтью Ф.; Грей, Джереми Дж. (1998), Геометрия , Cambridge University Press, ISBN 0-521-59787-0
Коксетер, HSM (1969), Введение в геометрию , Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50458-0
Дембовский, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , vol. 44, Берлин: Шпрингер, ISBN 3-540-61786-8, МР 0233275