Высота (треугольник)

Перпендикулярный отрезок от стороны треугольника до противолежащей вершины

Три высоты треугольника пересекаются в ортоцентре, который для остроугольного треугольника находится внутри треугольника.

В геометрии высота треугольника — это отрезок прямой, проходящий через данную вершину (называемую вершиной ) и перпендикулярный линии, содержащей сторону или ребро, противоположное вершине (основание ) . Эта (бесконечная) линия, содержащая (конечное) основание, называется расширенным основанием высоты. Пересечение расширенного основания и высоты называется основанием высоты . Длина высоты, часто называемая просто «высотой», — это расстояние между основанием и вершиной. Процесс проведения высоты от вершины к основанию известен как опускание высоты в этой вершине. Это частный случай ортогональной проекции .

Высоты можно использовать при вычислении площади треугольника : половина произведения длины высоты на длину ее основания равна площади треугольника. Таким образом, самая длинная высота перпендикулярна самой короткой стороне треугольника. Высоты также связаны со сторонами треугольника через тригонометрические функции .

В равнобедренном треугольнике (треугольнике с двумя равными сторонами) высота, имеющая неравную сторону в качестве основания, будет иметь середину этой стороны в качестве своего основания. Также высота, имеющая неравную сторону в качестве основания, будет биссектрисой угла при вершине.

Высоту принято обозначать буквой h (как в слове height ), часто с указанием стороны, к которой относится высота.

Высота прямоугольного треугольника от его прямого угла до его гипотенузы является геометрическим средним длин отрезков, на которые разделена гипотенуза. Используя теорему Пифагора о 3 треугольниках со сторонами ( p  +  q , r , s  ) , ( r , p , h  ) и ( s , h , q  ) ,
${\displaystyle {\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}}$

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе c, делит гипотенузу на два отрезка длиной p и q . Если обозначить длину высоты через h _c , то получим соотношение

${\displaystyle h_{c}={\sqrt {pq}}}$  ( Теорема о среднем геометрическом ; см. Специальные случаи, обратная теорема Пифагора )

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из каждого острого угла, совпадает с катетом и пересекает противолежащую сторону в вершине прямого угла (имеет основание в вершине), которая является ортоцентром.

Для остроугольных треугольников все основания высот падают на стороны треугольника (не продолженные). В тупоугольном треугольнике (с тупым углом ) основание высоты к тупоугольной вершине падает внутрь противоположной стороны, но основания высот к остроугольным вершинам падают на противоположную продолженную сторону , внешнюю по отношению к треугольнику. Это показано на соседней диаграмме: в этом тупоугольном треугольнике высота, опущенная перпендикулярно из верхней вершины, которая имеет острый угол, пересекает продолженную горизонтальную сторону вне треугольника.

Ортоцентр

Три высоты, пересекающиеся в ортоцентре

Три (возможно, продолженные) высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника, обычно обозначаемой H. [ ^{1] [2]} Ортоцентр лежит внутри треугольника тогда и только тогда, когда треугольник острый. Если один угол прямой, ортоцентр совпадает с вершиной под прямым углом. ^[2]

Пусть A, B, C обозначают вершины и углы треугольника, а - длины сторон. Ортоцентр имеет трилинейные координаты ^[3] ${\displaystyle a=\left|{\overline {BC}}\right|,b=\left|{\overline {CA}}\right|,c=\left|{\overline {AB}}\right|}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sec A:\sec B:\sec C\\&=\cos A-\sin B\sin C:\cos B-\sin C\sin A:\cos C-\sin A\sin B,\end{aligned}}}$$

и барицентрические координаты

$${\displaystyle {\begin{aligned}&(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}):(a^{2}+b^{2}-c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2}):(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\\&=\tan A:\tan B:\tan C.\end{aligned}}}$$

Поскольку все барицентрические координаты положительны для точки внутри треугольника, но по крайней мере одна отрицательна для точки снаружи, а две из барицентрических координат равны нулю для точки вершины, барицентрические координаты, заданные для ортоцентра, показывают, что ортоцентр находится внутри остроугольного треугольника , в прямоугольной вершине прямоугольного треугольника и снаружи тупоугольного треугольника .

В комплексной плоскости пусть точки A, B, C представляют числа z _A , z _B , z _C и предположим, что центр описанной окружности треугольника △ ABC находится в начале координат плоскости. Тогда комплексное число

${\displaystyle z_{H}=z_{A}+z_{B}+z_{C}}$

представлена ​​точкой H , а именно высотой треугольника △ ABC . ^[4] Из этого можно непосредственно получить следующие характеристики ортоцентра H с помощью свободных векторов :

${\displaystyle {\vec {OH}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {OA}},\qquad 2\cdot {\vec {HO}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {HA}}.}$

Первое из предыдущих векторных тождеств также известно как проблема Сильвестра , предложенная Джеймсом Джозефом Сильвестром . ^[5]

Характеристики

Пусть D, E, F обозначают футы высот от точек A, B, C соответственно. Тогда:

• Произведение длин отрезков, на которые ортоцентр делит высоту, одинаково для всех трех высот: ^{[6] [7]}

${\displaystyle {\overline {AH}}\cdot {\overline {HD}}={\overline {BH}}\cdot {\overline {HE}}={\overline {CH}}\cdot {\overline {HF}}.}$

Окружность с центром в точке H и радиусом, равным квадратному корню этой константы, является полярной окружностью треугольника . ^[8]

• Сумма отношений расстояния ортоцентра от основания к длине высоты на трех высотах равна 1: ^[9] (Это свойство и следующее являются приложениями более общего свойства любой внутренней точки и трех чевиан , проходящих через нее.)

${\displaystyle {\frac {\overline {HD}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {HE}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {HF}}{\overline {CF}}}=1.}$

• Сумма отношений трех высот расстояния ортоцентра от вершины к длине высоты равна 2: ^[9]

${\displaystyle {\frac {\overline {AH}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {BH}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {CH}}{\overline {CF}}}=2.}$

• Изогональное сопряжение ортоцентра является центром описанной окружности треугольника. ^[10]
• Изотомическое сопряжение ортоцентра является точкой симедианы антикомплементарного треугольника . ^[11]
• Четыре точки на плоскости, одна из которых является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими, называются ортоцентрической системой или ортоцентрическим четырехугольником.

Связь с окружностями и коническими сечениями

Обозначим радиус описанной окружности треугольника через R. Тогда ^{[12] [13]}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+{\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}=12R^{2}.}$

Кроме того, обозначив r как радиус вписанной окружности треугольника , r _a , r _b , r _c как радиусы его вневписанных окружностей и R снова как радиус описанной окружности, справедливы следующие соотношения относительно расстояний ортоцентра от вершин: ^[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{a}+r_{b}+r_{c}+r={\overline {AH}}+{\overline {BH}}+{\overline {CH}}+2R,\\&r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}}$

Если любую высоту, например, AD , продолжить до пересечения с описанной окружностью в точке P , так что AD станет хордой описанной окружности, то основание D делит отрезок HP пополам : ^[7]

${\displaystyle {\overline {HD}}={\overline {DP}}.}$

Направляющие всех парабол , которые касаются внешней стороной одной стороны треугольника и касаются продолжений других сторон, проходят через ортоцентр. ^[15]

Окружность , проходящая через ортоцентр треугольника, является прямоугольной гиперболой . ^[16]

Отношение к другим центрам, круг из девяти точек

Ортоцентр H , центроид G , центр описанной окружности O и центр N окружности девяти точек лежат на одной прямой, известной как линия Эйлера . ^[17] Центр окружности девяти точек лежит в середине прямой Эйлера, между ортоцентром и центром описанной окружности, а расстояние между центроидом и центром описанной окружности составляет половину расстояния между центроидом и ортоцентром: ^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\overline {OH}}=2{\overline {NH}},\\&2{\overline {OG}}={\overline {GH}}.\end{aligned}}}$

Ортоцентр находится ближе к инцентру I, чем к центроиду, а ортоцентр находится дальше от центроида, чем инцентр:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {HI}}&<{\overline {HG}},\\{\overline {HG}}&>{\overline {IG}}.\end{aligned}}}$

В терминах сторон a , b , c , радиуса вписанной окружности r и радиуса описанной окружности R , ^{[19] [20] : стр. 449}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {OH}}^{2}&=R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C\\&=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}),\\{\overline {HI}}^{2}&=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.\end{aligned}}}$

Ортогональный треугольник

Треугольник △ abc (соответственно, △ DEF в тексте) является ортотреугольником треугольника △ ABC.

Если треугольник △ ABC является косым (не содержит прямого угла), педальный треугольник ортоцентра исходного треугольника называется ортотреугольником или треугольником высот . То есть, основания высот косого треугольника образуют ортотреугольник △ DEF . Кроме того, инцентр (центр вписанной окружности) ортотреугольника △ DEF является ортоцентром исходного треугольника △ ABC . ^[21]

Трилинейные координаты вершин ортотреугольника задаются формулой $${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}D=&0&:&\sec B&:&\sec C\\E=&\sec A&:&0&:&\sec C\\F=&\sec A&:&\sec B&:&0\end{array}}}$$

Расширенные стороны ортотреугольника встречаются с противоположными расширенными сторонами его исходного треугольника в трех коллинеарных точках . ^{[22] [23] [21]}

В любом остроугольном треугольнике вписанный треугольник с наименьшим периметром является ортотреугольником. ^[24] Это решение задачи Фаньяно , поставленной в 1775 году. ^[25] Стороны ортотреугольника параллельны касательным к описанной окружности в вершинах исходного треугольника. ^[26]

Ортогональный треугольник остроугольного треугольника дает треугольный путь света. ^[27]

Касательные линии окружности девяти точек, проходящие через середины сторон треугольника △ ABC , параллельны сторонам ортотреугольника, образуя треугольник, подобный ортотреугольнику. ^[28]

Ортогональный треугольник тесно связан с тангенциальным треугольником , построенным следующим образом: пусть L _A будет линией, касательной к описанной окружности треугольника △ ABC в вершине A , и определите L _B , L _C аналогично. Пусть Тангенциальный треугольник - это △ A"B"C" , стороны которого являются касательными к описанной окружности треугольника △ ABC в его вершинах; он гомотетичен ортогональному треугольнику. Центр описанной окружности тангенциального треугольника и центр подобия ортогонального и тангенциального треугольников находятся на прямой Эйлера . ^{[20] : стр. 447} ${\displaystyle A''=L_{B}\cap L_{C},}$ ${\displaystyle B''=L_{C}\cap L_{A},}$ ${\displaystyle C''=L_{C}\cap L_{A}.}$

Трилинейные координаты вершин касательного треугольника задаются выражением: Опорный треугольник и его ортотреугольник являются ортологическими треугольниками . $${\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}A''=&-a&:&b&:&c\\B''=&a&:&-b&:&c\\C''=&a&:&b&:&-c\end{array}}}$$

Более подробную информацию об ортотреугольнике см. здесь .

Некоторые дополнительные теоремы о высоте

Высота по сторонам

Для любого треугольника со сторонами a, b, c и полупериметром высота из стороны a (основания) определяется по формуле ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}$

${\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}.}$

Это следует из объединения формулы Герона для площади треугольника через стороны с формулой площади , где основанием является сторона a , а высотой — высота из вершины A (противоположной стороне a ). ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\times {\text{base}}\times {\text{height}},}$

Заменив a на b или c , это уравнение можно также использовать для нахождения высот h _b и h _c соответственно.

Теоремы о вписанном радиусе

Рассмотрим произвольный треугольник со сторонами a, b, c и с соответствующими высотами h _a , h _b , h _c . Высоты и радиус вписанной окружности r связаны соотношением ^{[29] : Лемма 1}

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}$

Теорема о радиусе окружности

Обозначим высоту одной стороны треугольника как h _a , две другие стороны как b и c , а радиус описанной окружности треугольника как R , тогда высота будет определяться как ^[30]

${\displaystyle h_{a}={\frac {bc}{2R}}.}$

Внутренняя точка

Если p ₁ , p ₂ , p ₃ — перпендикулярные расстояния от любой точки P до сторон, а h ₁ , h ₂ , h ₃ — высоты до соответствующих сторон, то ^[31]

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.}$

Теорема площади

Обозначая высоты любого треугольника, проведенные к сторонам a, b, c, соответственно как h _a , h _b , h _c , а полусумму обратных величин высот обозначив так, имеем ^[32] ${\displaystyle H={\tfrac {h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}{2}}}$

${\displaystyle \mathrm {Area} ^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}$

Общая точка на высоте

Если E — любая точка на высоте AD любого треугольника △ ABC , то ^{[33] : 77–78}

${\displaystyle {\overline {AC}}^{2}+{\overline {EB}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {CE}}^{2}.}$

Неравенство треугольника

Поскольку площадь треугольника равна , из неравенства треугольника следует ^[34] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ah_{a}={\tfrac {1}{2}}bh_{b}={\tfrac {1}{2}}ch_{c}}$ ${\displaystyle a<b+c}$

${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}<{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}$.

Особые случаи

Равносторонний треугольник

Из любой точки P внутри равностороннего треугольника сумма перпендикуляров к трем сторонам равна высоте треугольника. Это теорема Вивиани .

Прямоугольный треугольник

Сравнение обратной теоремы Пифагора с теоремой Пифагора

В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c каждый из катетов также является высотой: ⁠ ⁠ ${\displaystyle h_{a}=b}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle h_{b}=a}$ . Третью высоту можно найти по соотношению ^{[35] [36]}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}}={\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.}$

Это также известно как обратная теорема Пифагора .

Обратите внимание в частности:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt]CD&={\tfrac {AC\cdot BC}{AB}}\\[4pt]\end{aligned}}}$

История

Теорема о том, что три высоты треугольника совпадают (в ортоцентре), прямо не изложена в сохранившихся греческих математических текстах, но используется в « Книге лемм» (предложение 5), приписываемой Архимеду (III в. до н. э.), ссылаясь на «комментарий к трактату о прямоугольных треугольниках», работа, которая не сохранилась. Она также упоминалась Паппусом ( Математическое собрание , VII, 62; ок. 340). ^[37] Теорема была сформулирована и доказана явно ан-Насави в его (XI в.) комментарии к « Книге лемм» и приписывается аль-Кухи ( ок.  X в. ). ^[38]

Это доказательство на арабском языке было переведено как часть латинских изданий Книги лемм (начало XVII века) , но не было широко известно в Европе, и поэтому теорема была доказана еще несколько раз в XVII–XIX веках. Сэмюэл Маролуа доказал ее в своей «Геометрии» (1619), а Исаак Ньютон доказал ее в незаконченном трактате «Геометрия кривых линий» ( ок. 1680). ^[37] Позже Уильям Чаппл доказал ее в 1749 году. ^[39]

Особенно элегантное доказательство принадлежит Франсуа-Жозефу Сервуа (1804) и независимо Карлу Фридриху Гауссу (1810): проведите линию, параллельную каждой стороне треугольника, через противоположную точку и сформируйте новый треугольник из пересечений этих трех линий. Тогда исходный треугольник будет срединным треугольником нового треугольника, а высоты исходного треугольника будут перпендикулярными биссектрисами нового треугольника и, следовательно, сойдутся (в центре описанной окружности нового треугольника). ^[40]

Смотрите также

• Треугольный центр
• Медиана (геометрия)

Примечания

1. Смарт 1998, стр. 156
2. Berele & Goldman 2001, стр. 118
3. Энциклопедия треугольных центров Кларка Кимберлинга "Энциклопедия треугольных центров". Архивировано из оригинала 2012-04-19 . Получено 2012-04-19 .
4. Андрееску, Титу; Андрика, Дорин, «Комплексные числа от А до... Я». Биркхойзер, Бостон, 2006, ISBN 978-0-8176-4326-3 , стр. 90, Предложение 3. 
5. Дёрри, Генрих, «100 великих проблем элементарной математики. Их история и решение». Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1965, ISBN 0-486-61348-8 , стр. 142 
6. Джонсон 2007, стр. 163, раздел 255
7. ""Ортоцентр треугольника"". Архивировано из оригинала 2012-07-05 . Получено 2012-05-04 .
8. Джонсон 2007, стр. 176, раздел 278
9. Panapoi, Ronnachai, «Некоторые свойства ортоцентра треугольника», Университет Джорджии .
10. Смарт 1998, стр. 182
11. Вайсштейн, Эрик В. «Изотомическое сопряжение» Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/IsotomicConjugate.html
12. Вайсштейн, Эрик В. «Ортоцентр». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
13. Альтшиллер-Корт 2007, стр. 102
14. Белл, Эми, «Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, ее обратная теорема и обобщение», Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
15. Вайсштейн, Эрик В. «Парабола Киперта». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html
16. Weisstein, Eric W. "Jerabek Hyperbola." Из MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/JerabekHyperbola.html
17. Береле и Голдман 2001, стр. 123
18. Береле и Голдман 2001, стр. 124-126.
19. Мари-Николь Гра, «Расстояния между центром описанной окружности треугольника касания и классическими центрами», Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
20. Смит, Джефф и Леверша, Джерри, «Эйлер и геометрия треугольника», Mathematical Gazette 91, ноябрь 2007 г., 436–452.
21. William H. Barker, Roger Howe (2007). "§ VI.2: Классические совпадения". Непрерывная симметрия: от Евклида до Клейна . Американское математическое общество. стр. 292. ISBN 978-0-8218-3900-3.См. также: Следствие 5.5, стр. 318.
22. Джонсон 2007, стр. 199, раздел 315
23. Альтшиллер-Корт 2007, стр. 165
24. Джонсон 2007, стр. 168, Раздел 264
25. Береле и Голдман 2001, стр. 120-122.
26. Джонсон 2007, стр. 172, раздел 270c
27. Брайант, В. и Брэдли, Х., «Треугольные световые пути», Mathematical Gazette 82, июль 1998 г., 298-299.
28. Кей, Дэвид С. (1993), College Geometry / A Discovery Approach , HarperCollins, стр. 6, ISBN 0-06-500006-4
29. Дорин Андрика и Дэн Стефан Маринеску. «Новые интерполяционные неравенства для Эйлера R ≥ 2r». Форум Geometricorum , том 17 (2017), стр. 149–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf
30. Джонсон 2007, стр. 71, Раздел 101a
31. Джонсон 2007, стр. 74, раздел 103c
32. Митчелл, Дуглас В., «Формула типа Герона для обратной площади треугольника», Mathematical Gazette 89, ноябрь 2005 г., 494.
33. Альфред С. Посаментье и Чарльз Т. Салкинд, Сложные задачи по геометрии , Dover Publishing Co., второе исправленное издание, 1996.
34. Митчелл, Дуглас В., «Формула типа Герона для обратной площади треугольника», Mathematical Gazette 89 (ноябрь 2005 г.), 494.
35. Воулс, Роджер, «Целочисленные решения », Mathematical Gazette 83, июль 1999 г., 269–271. ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$
36. Ричиник, Дженнифер, «Перевернутая теорема Пифагора», Mathematical Gazette 92, июль 2008 г., 313–317.
37. Newton, Isaac (1971). "3.1 Геометрия кривых линий" . В Whiteside, Derek Thomas (ред.). Математические работы Исаака Ньютона . Том 4. Cambridge University Press. С. 454–455.Обратите внимание на сноски Уайтсайда 90–92, стр. 454–456.
38. Хаджа, Моваффак; Мартини, Хорст (2013). «Совпадение высот треугольника» (PDF) . Mathematische Semesterberichte . 60 (2): 249–260. doi :10.1007/s00591-013-0123-z.
    Хогендейк, Ян П. (2008). «Две прекрасные геометрические теоремы Абу Сахла Кухи в голландском переводе XVII века». Tārīk͟h-e ʾElm: Иранский журнал истории науки . 6 : 1–36.
39. Дэвис, Томас Стивенс (1850). "XXIV. Геометрия и геометры" (PDF) . Philosophical Magazine . 3. 37 (249): 198–212. doi :10.1080/14786445008646583.Сноска на стр. 207–208. Цитируется Богомольным, Александром (2010). «Возможно первое доказательство совпадения высот». Cut The Knot . Получено 17.11.2019 .
40. Сервуа, Франсуа-Жозеф (1804). Solutions peu connues de différens problèmes de Géométrie-pratique [ Малоизвестные решения различных практических задач по геометрии ] (на французском языке). Дьявол, Мец и Курсье. п. 15.
    Гаусс, Карл Фридрих (1810). «Зусятце». Геометрия дер Стеллунг . Карно, Лазар (на немецком языке). Перевод Шумахера.переиздано в книге Гаусса, Карла Фридриха (1873 г.). «Зусятце». Верке . Том. 4. Геттингенская академия наук. п. 396.
    См. Mackay, John Sturgeon (1883). «Треугольник и его шесть вписанных окружностей §5. Ортоцентр». Труды Эдинбургского математического общества . 1 : 60–96. doi : 10.1017/S0013091500036762 .

Ссылки

• Альтшиллер-Корт, Натан (2007) [1952], College Geometry , Дувр
• Береле, Аллан; Голдман, Джерри (2001), Геометрия: теоремы и конструкции , Prentice Hall, ISBN 0-13-087121-4
• Богомольный, Александр . "Существование ортоцентра". Cut the Knot . Получено 17.12.2022 .
• Джонсон, Роджер А. (2007) [1960], Advanced Euclidean Geometry , Дувр, ISBN 978-0-486-46237-0
• Смарт, Джеймс Р. (1998), Современные геометрии (5-е изд.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Высота». Математический мир .
• Ортоцентр треугольника С интерактивной анимацией
• Анимированная демонстрация построения ортоцентра. Циркуль и линейка.
• Задача Фаньяно, автор Джей Варендорфф, Wolfram Demonstrations Project .