Гипербола

Plane curve: conic section

Гипербола — это открытая кривая с двумя ветвями, пересечение плоскости с обеими половинами двойного конуса . Плоскость не обязательно должна быть параллельна оси конуса; гипербола будет симметрична в любом случае.

Гипербола (красная): особенности

В математике гипербола — это тип гладкой кривой, лежащей в плоскости , определяемой ее геометрическими свойствами или уравнениями , для которых она является множеством решений. Гипербола состоит из двух частей, называемых связными компонентами или ветвями, которые являются зеркальными отображениями друг друга и напоминают две бесконечные дуги . Гипербола — это один из трех видов конического сечения , образованного пересечением плоскости и двойного конуса . (Другие конические сечения — это парабола и эллипс . Окружность — это частный случай эллипса.) Если плоскость пересекает обе половины двойного конуса, но не проходит через вершины конусов, то коническое сечение является гиперболой.

Помимо того, что гипербола является коническим сечением, она может возникать как геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух фиксированных фокусов постоянна, как кривая для каждой точки, лучи которой до двух фиксированных фокусов являются отражениями относительно касательной в этой точке, или как решение некоторых двумерных квадратных уравнений, таких как соотношение обратных величин ^[1]. В практических приложениях гипербола может возникать как путь, по которому падает тень от кончика гномона солнечных часов , форма открытой орбиты , например, орбиты небесного объекта, превышающего скорость убегания ближайшего гравитационного тела, или траектория рассеяния субатомной частицы и т. д. ${\displaystyle xy=1.}$

Каждая ветвь гиперболы имеет два плеча, которые становятся более прямыми (меньшей кривизной) дальше от центра гиперболы. Диагонально противоположные плечи, по одному от каждой ветви, стремятся в пределе к общей линии, называемой асимптотой этих двух плеч. Таким образом, есть две асимптоты, пересечение которых находится в центре симметрии гиперболы , который можно рассматривать как точку зеркала, относительно которой каждая ветвь отражается, образуя другую ветвь. В случае кривой асимптоты являются двумя осями координат . ^[1] ${\displaystyle y(x)=1/x}$

Гиперболы разделяют многие аналитические свойства эллипсов, такие как эксцентриситет , фокус и директриса . Обычно соответствие можно установить всего лишь с помощью изменения знака в некотором термине. Многие другие математические объекты берут свое начало в гиперболе, например, гиперболические параболоиды (седловые поверхности), гиперболоиды («мусорные корзины»), гиперболическая геометрия ( знаменитая неевклидова геометрия Лобачевского ), гиперболические функции (sinh, cosh, tanh и т. д.) и гировекторные пространства (геометрия, предложенная для использования как в теории относительности , так и в квантовой механике , которая не является евклидовой ).

Этимология и история

Слово «гипербола» происходит от греческого ὑπερβολή , что означает «опрокинутый» или «чрезмерный», от которого также происходит английский термин hyperbole . Гиперболы были открыты Менехмом в его исследованиях задачи удвоения куба , но тогда назывались сечениями тупых конусов. ^[2] Термин гипербола, как полагают, был придуман Аполлонием Пергским ( ок.  262  – ок.  190 до н. э. ) в его окончательном труде о конических сечениях , «Коники» . ^[3] Названия двух других общих конических сечений, эллипс и парабола , происходят от соответствующих греческих слов, означающих «недостаточный» и «примененный»; все три названия заимствованы из более ранней пифагорейской терминологии, которая относилась к сравнению стороны прямоугольников фиксированной площади с заданным отрезком прямой. Прямоугольник может быть «применен» к сегменту (то есть иметь равную длину), быть короче сегмента или превышать его. ^[4]

Определения

Как геометрическое место точек

Гипербола: определение по расстояниям точек до двух фиксированных точек (фокусов)

Гипербола: определение с круговой направляющей

Гиперболу можно геометрически определить как множество точек ( геометрическое место точек ) на евклидовой плоскости:

Гипербола — это множество точек, такое, что для любой точки множества абсолютная разность расстояний до двух фиксированных точек ( фокусов ) постоянна и обычно обозначается как : ^[5] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle |PF_{1}|,\,|PF_{2}|}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ${\displaystyle 2a,\,a>0}$ $${\displaystyle H=\left\{P:\left|\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|\right|=2a\right\}.}$$

Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром гиперболы. ^[6] Прямая, проходящая через фокусы, называется большой осью . Она содержит вершины , которые имеют расстояние до центра. Расстояние фокусов до центра называется фокусным расстоянием или линейным эксцентриситетом . Частное — это эксцентриситет . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\tfrac {c}{a}}}$ ${\displaystyle e}$

Уравнение можно рассматривать по-другому (см. схему): Если — окружность с серединой и радиусом , то расстояние от точки правой ветви до окружности равно расстоянию до фокуса : называется круговой директрисой (относительно фокуса ) гиперболы. ^{[7] [8]} Для того чтобы получить левую ветвь гиперболы, нужно использовать круговую директрису, связанную с . Это свойство не следует путать с определением гиперболы с помощью директрисы (линии) ниже. ${\displaystyle \left|\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|\right|=2a}$
${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ $${\displaystyle |PF_{1}|=|Pc_{2}|.}$$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

Гипербола с уравнениему = А / х

Поворот системы координат для описания прямоугольной гиперболы как графика функции

Три прямоугольные гиперболы с осями координат в качестве асимптот : красный: A = 1; пурпурный: A = 4; синий: A = 9 ${\displaystyle y=A/x}$

Если систему координат xy повернуть вокруг начала координат на угол и задать новые координаты , то . Прямоугольная гипербола ( полуоси которой равны) имеет новое уравнение . Решение для дает ${\displaystyle +45^{\circ }}$ ${\displaystyle \xi ,\eta }$ ${\displaystyle x={\tfrac {\xi +\eta }{\sqrt {2}}},\;y={\tfrac {-\xi +\eta }{\sqrt {2}}}}$
${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-y^{2}}{a^{2}}}=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {2\xi \eta }{a^{2}}}=1}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta ={\tfrac {a^{2}/2}{\xi }}\ .}$

Таким образом, в системе координат xy график функции с уравнением представляет собой прямоугольную гиперболу целиком в первом и третьем квадрантах с ${\displaystyle f:x\mapsto {\tfrac {A}{x}},\;A>0\;,}$ $${\displaystyle y={\frac {A}{x}}\;,A>0\;,}$$

• оси координат как асимптоты ,
• линия как большая ось , ${\displaystyle y=x}$
• центр и полуось​ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• вершины​ ${\displaystyle \left({\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left(-{\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;,}$
• полуширокая прямая кишка и радиус кривизны в вершинах ${\displaystyle p=a={\sqrt {2A}}\;,}$
• линейный эксцентриситет и эксцентриситет ${\displaystyle c=2{\sqrt {A}}}$ ${\displaystyle e={\sqrt {2}}\;,}$
• касательная в точке ${\displaystyle y=-{\tfrac {A}{x_{0}^{2}}}x+2{\tfrac {A}{x_{0}}}}$ ${\displaystyle (x_{0},A/x_{0})\;.}$

Вращение исходной гиперболы на приводит к прямоугольной гиперболе, полностью находящейся во втором и четвертом квадрантах, с теми же асимптотами, центром, прямой полушириной, радиусом кривизны в вершинах, линейным эксцентриситетом и эксцентриситетом, что и в случае вращения, с уравнением ${\displaystyle -45^{\circ }}$ ${\displaystyle +45^{\circ }}$ $${\displaystyle y=-{\frac {A}{x}}\;,~~A>0\;,}$$

• полуоси​ ${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• линия как большая ось, ${\displaystyle y=-x}$
• вершины​ ${\displaystyle \left(-{\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left({\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;.}$

Сдвиг гиперболы с уравнением так, чтобы новый центр был , дает новое уравнение и новые асимптоты и . Параметры формы остаются неизменными. ${\displaystyle y={\frac {A}{x}},\ A\neq 0\ ,}$ ${\displaystyle (c_{0},d_{0})}$ $${\displaystyle y={\frac {A}{x-c_{0}}}+d_{0}\;,}$$ ${\displaystyle x=c_{0}}$ ${\displaystyle y=d_{0}}$ ${\displaystyle a,b,p,c,e}$

По свойству директрисы

Гипербола: свойство директрисы

Гипербола: определение со свойством директрисы

Две линии, удаленные от центра и параллельные малой оси, называются директрисами гиперболы (см. рисунок). ${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}}$

Для произвольной точки гиперболы частное от деления расстояния до одного фокуса и до соответствующей ему директрисы (см. рисунок) равно эксцентриситету: Доказательство для пары следует из того, что и удовлетворяют уравнению Второй случай доказывается аналогично. ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle {\frac {|PF_{1}|}{|Pl_{1}|}}={\frac {|PF_{2}|}{|Pl_{2}|}}=e={\frac {c}{a}}\,.}$$ ${\displaystyle F_{1},l_{1}}$ ${\displaystyle |PF_{1}|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ |Pl_{1}|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}$ $${\displaystyle |PF_{1}|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}|Pl_{1}|^{2}=0\ .}$$

Пучок коник с общей вершиной и общей прямой полуширокой линией

Обратное утверждение также верно и может быть использовано для определения гиперболы (аналогично определению параболы):

Для любой точки (фокуса), любой прямой (директрисы), не проходящей через множество точек (геометрическое место точек), для которого частное расстояний до точки и до прямой равно, есть гипербола. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e>1}$ ${\displaystyle e}$ $${\displaystyle H=\left\{P\,{\Biggr |}\,{\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right\}}$$

(Выбор дает параболу , а если — эллипс . ) ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e<1}$

Доказательство

Пусть и предположим, что это точка на кривой. Директриса имеет уравнение . При этом отношение дает уравнения ${\displaystyle F=(f,0),\ e>0}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}}$ ${\displaystyle P=(x,y)}$ ${\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}$

${\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\tfrac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}}$и ${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}$

Подстановка дает Это уравнение эллипса ( ) или параболы ( ) или гиперболы ( ). Все эти невырожденные коники имеют, как общее, начало координат в качестве вершины (см. диаграмму). ${\displaystyle p=f(1+e)}$ $${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2px-y^{2}=0.}$$ ${\displaystyle e<1}$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e>1}$

Если ввести новые параметры так, чтобы , и тогда уравнение выше становится уравнением гиперболы с центром , осью x в качестве большой оси и большой/малой полуосью . ${\displaystyle e>1}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle e^{2}-1={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}$ $${\displaystyle {\frac {(x+a)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,,}$$ ${\displaystyle (-a,0)}$ ${\displaystyle a,b}$

Гипербола: построение директрисы

Построение директрисы

Поскольку точка директрисы (см. схему) и фокус обратны по отношению к инверсии окружности в окружности (на схеме зелёный). Следовательно, точка может быть построена с помощью теоремы Фалеса (на схеме не показана). Директриса — это перпендикуляр к прямой, проходящей через точку . ${\displaystyle c\cdot {\tfrac {a^{2}}{c}}=a^{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle {\overline {F_{1}F_{2}}}}$ ${\displaystyle E_{1}}$

Альтернативное построение ${\displaystyle E_{1}}$ : Расчет показывает, что точка является пересечением асимптоты с ее перпендикуляром (см. диаграмму). ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

Как плоское сечение конуса

Гипербола (красная): два вида конуса и двух сфер Данделена d ₁ , d ₂

Пересечение прямого двойного конуса плоскостью, не проходящей через вершину с наклоном, большим, чем наклон прямых на конусе, является гиперболой (см. диаграмму: красная кривая). Для доказательства определяющего свойства гиперболы (см. выше) используются две сферы Данделена , которые являются сферами, касающимися конуса по окружностям , и пересекающая (гиперболическая) плоскость в точках и . Оказывается: являются фокусами гиперболы. ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$

1. Пусть – произвольная точка кривой пересечения. ${\displaystyle P}$
2. Образующая конуса, содержащего окружность, пересекает окружность в точке и окружность в точке . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle B}$
3. Отрезки и касательны к сфере и, следовательно, имеют одинаковую длину. ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}}}$ ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ ${\displaystyle d_{1}}$
4. Отрезки и касательны к сфере и, следовательно, имеют одинаковую длину. ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {PB}}}$ ${\displaystyle d_{2}}$
5. Результат: не зависит от точки гиперболы , потому что независимо от того, где находится точка, она должна находиться на окружностях , и отрезок должен пересекать вершину. Поэтому, когда точка движется вдоль красной кривой (гиперболы), отрезок просто вращается вокруг вершины, не меняя своей длины. ${\displaystyle |PF_{1}|-|PF_{2}|=|PA|-|PB|=|AB|}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$

Конструкция штифта и струны

Гипербола: конструкция из булавки и струны

Определение гиперболы по ее фокусам и ее окружностям-директрисам (см. выше) можно использовать для построения ее дуги с помощью булавок, нити и линейки: ^[9]

0. Выберите фокусы , вершины и одну из окружностей-директрис , например (окружность с радиусом ) ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle 2a}$
1. Линейка закреплена в точке, вокруг которой она может свободно вращаться . Точка отмечена на расстоянии . ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 2a}$
2. Подготавливается строка длиной . ${\displaystyle |AB|}$
3. Один конец нити прикрепляется булавкой к точке на линейке, другой конец прикрепляется булавкой к точке . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{1}}$
4. Возьмите ручку и прижмите нить к краю линейки.
5. Вращение линейки побуждает ручку рисовать дугу правой ветви гиперболы, поскольку (см. определение гиперболы по круговым директрисам ). ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle |PF_{1}|=|PB|}$

Генерация гиперболы Штейнера

Гипербола: поколение Штейнера

Гипербола y = 1/ x : генерация Штейнера

Следующий метод построения отдельных точек гиперболы основан на построении Штейнера невырожденного конического сечения :

Даны два пучка прямых в двух точках (все прямые содержат и соответственно) и проективное, но не перспективное отображение на , то точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение. ${\displaystyle B(U),B(V)}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B(U)}$ ${\displaystyle B(V)}$

Для генерации точек гиперболы используются пучки в вершинах . Пусть будет точкой гиперболы и . Отрезок прямой делится на n равноотстоящих сегментов, и это деление проецируется параллельно диагонали как направлению на отрезок прямой (см. диаграмму). Параллельная проекция является частью проективного отображения между пучками в и , необходимого для этого. Точки пересечения любых двух связанных прямых и являются точками однозначно определенной гиперболы. ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle A=(a,y_{0}),B=(x_{0},0)}$ ${\displaystyle {\overline {BP}}}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle {\overline {AP}}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}A_{i}}$ ${\displaystyle S_{2}B_{i}}$

Замечания:

• Подразделение можно было бы расширить за пределы точек и для того, чтобы получить больше точек, но определение точек пересечения стало бы более неточным. Лучшей идеей является расширение уже построенных симметрией точек (см. анимацию). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• Поколение Штейнера существует также для эллипсов и парабол.
• Метод Штейнера иногда называют методом параллелограмма, поскольку вместо вершин можно использовать другие точки, что дает параллелограмм вместо прямоугольника.

Вписанные углы гиперболу = а /( х − b ) + си 3-точечная форма

Гипербола: теорема о вписанном угле

Гипербола с уравнением однозначно определяется тремя точками с различными x - и y -координатами. Простой способ определения параметров формы использует теорему о вписанном угле для гипербол: ${\displaystyle y={\tfrac {a}{x-b}}+c,\ a\neq 0}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;(x_{2},y_{2}),\;(x_{3},y_{3})}$ ${\displaystyle a,b,c}$

Для измерения угла между двумя линиями с помощью уравнений в этом контексте используется частное ${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}\ ,m_{1},m_{2}\neq 0}$ $${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}\ .}$$

Аналогично теореме о вписанном угле для окружностей получаем

Теорема о вписанном угле для гипербол ^{[10] [11]}  —  Для четырех точек (см. диаграмму) справедливо следующее утверждение: ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,4,\ x_{i}\neq x_{k},y_{i}\neq y_{k},i\neq k}$

Четыре точки находятся на гиперболе с уравнением тогда и только тогда, когда углы при и равны в смысле измерения выше. Это означает, что если ${\displaystyle y={\tfrac {a}{x-b}}+c}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$ $${\displaystyle {\frac {(y_{4}-y_{1})}{(x_{4}-x_{1})}}{\frac {(x_{4}-x_{2})}{(y_{4}-y_{2})}}={\frac {(y_{3}-y_{1})}{(x_{3}-x_{1})}}{\frac {(x_{3}-x_{2})}{(y_{3}-y_{2})}}}$$

Доказательство можно получить путем прямого вычисления. Если точки находятся на гиперболе, можно предположить, что уравнение гиперболы имеет вид . ${\displaystyle y=a/x}$

Следствием теоремы о вписанном угле для гипербол является

Уравнение гиперболы в трехточечной форме  —  Уравнение гиперболы, определенное тремя точками, является решением уравнения для . ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,\ x_{i}\neq x_{k},y_{i}\neq y_{k},i\neq k}$ $${\displaystyle {\frac {({\color {red}y}-y_{1})}{({\color {green}x}-x_{1})}}{\frac {({\color {green}x}-x_{2})}{({\color {red}y}-y_{2})}}={\frac {(y_{3}-y_{1})}{(x_{3}-x_{1})}}{\frac {(x_{3}-x_{2})}{(y_{3}-y_{2})}}}$$ ${\displaystyle {\color {red}y}}$

Как аффинный образ единичной гиперболых 2 − у 2 = 1

Гипербола как аффинный образ единичной гиперболы

Другое определение гиперболы использует аффинные преобразования :

Любая гипербола является аффинным образом единичной гиперболы с уравнением . ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$

Параметрическое представление

Аффинное преобразование евклидовой плоскости имеет вид , где — регулярная матрица (ее определитель не равен 0), а — произвольный вектор. Если — векторы-столбцы матрицы , то единичная гипербола отображается на гиперболу ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\pm \cosh(t),\sinh(t)),t\in \mathbb {R} ,}$

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t\ .}$$

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$— центр, точка гиперболы и касательный вектор в этой точке. ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$

Вершины

В общем случае векторы не перпендикулярны. Это означает, что в общем случае они не являются вершинами гиперболы. Но указывают на направления асимптот. Касательный вектор в точке равен Поскольку в вершине касательная перпендикулярна большой оси гиперболы, из уравнения получаем параметр вершины и, следовательно, из чего следует ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}\pm {\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$ $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t\ .}$$ ${\displaystyle t_{0}}$ $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t\right)=0}$$ $${\displaystyle \coth(2t_{0})=-{\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}+{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\ ,}$$

$${\displaystyle t_{0}={\tfrac {1}{4}}\ln {\tfrac {\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}\right)^{2}}{\left({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}\right)^{2}}}.}$$

Были использованы формулы , , и . ${\displaystyle \cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=\cosh 2x}$ ${\displaystyle 2\sinh x\cosh x=\sinh 2x}$ ${\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\tfrac {1}{2}}\ln {\tfrac {x+1}{x-1}}}$

Две вершины гиперболы — это ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm \left({\vec {f}}_{1}\cosh t_{0}+{\vec {f}}_{2}\sinh t_{0}\right).}$

Неявное представление

Решая параметрическое представление для по правилу Крамера и используя , получаем неявное представление ${\displaystyle \cosh t,\sinh t}$ ${\displaystyle \;\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t-1=0\;}$ $${\displaystyle \det \left({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}-\det \left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0}\right)^{2}-\det \left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}=0.}$$

Гипербола в космосе

Определение гиперболы в этом разделе дает параметрическое представление произвольной гиперболы, даже в пространстве, если допустить, что являются векторами в пространстве. ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$

Как аффинное изображение гиперболыу = 1/ х

Гипербола как аффинное изображение y = 1/ x

Поскольку единичная гипербола аффинно эквивалентна гиперболе , произвольную гиперболу можно рассматривать как аффинное изображение (см. предыдущий раздел) гиперболы : ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ ${\displaystyle y=1/x}$ ${\displaystyle y=1/x\,}$

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\quad t\neq 0\,.}$$

${\displaystyle M:{\vec {f}}_{0}}$— центр гиперболы, векторы имеют направления асимптот и — точка гиперболы. Касательный вектор равен В вершине касательная перпендикулярна большой оси. Следовательно , а параметр вершины равен ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}}$ $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}.}$$ $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)={\vec {f}}_{1}^{2}t-{\vec {f}}_{2}^{2}{\tfrac {1}{t^{3}}}=0}$$

$${\displaystyle t_{0}=\pm {\sqrt[{4}]{\frac {{\vec {f}}_{2}^{2}}{{\vec {f}}_{1}^{2}}}}.}$$

${\displaystyle \left|{\vec {f}}\!_{1}\right|=\left|{\vec {f}}\!_{2}\right|}$эквивалентны и являются вершинами гиперболы. ${\displaystyle t_{0}=\pm 1}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$

Следующие свойства гиперболы легко доказываются с помощью представления гиперболы, введенного в этом разделе.

Строительство касательной

Построение касательной: асимптоты и P заданы → касательная

Касательный вектор можно переписать с помощью факторизации: Это означает, что $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\tfrac {1}{t}}\left({\vec {f}}_{1}t-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)\ .}$$

диагональ параллелограмма параллельна касательной в точке гиперболы (см. рисунок). ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle M:\ {\vec {f}}_{0},\ A={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t,\ B:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\ P:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$ ${\displaystyle P}$

Это свойство дает возможность построить касательную в точке гиперболы.

Это свойство гиперболы является аффинной версией теоремы Паскаля о трехточечном вырождении . ^[12]

Площадь серого параллелограмма

Площадь серого параллелограмма на приведенной выше диаграмме равна и, следовательно, не зависит от точки . Последнее уравнение следует из расчета для случая, где есть вершина и гипербола в ее канонической форме ${\displaystyle MAPB}$ $${\displaystyle {\text{Area}}=\left|\det \left(t{\vec {f}}_{1},{\tfrac {1}{t}}{\vec {f}}_{2}\right)\right|=\left|\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right)\right|=\cdots ={\frac {a^{2}+b^{2}}{4}}}$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,.}$

Точечная конструкция

Точечная конструкция: даны асимптоты и P _{1 →} P ₂

Для гиперболы с параметрическим представлением (для простоты центром является начало координат) справедливо следующее: ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$

Для любых двух точек точки ${\displaystyle P_{1}:\ {\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}},\ P_{2}:\ {\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}}}$

$${\displaystyle A:\ {\vec {a}}={\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}},\ B:\ {\vec {b}}={\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}}}$$

коллинеарны с центром гиперболы (см. диаграмму).

Простое доказательство является следствием уравнения . ${\displaystyle {\tfrac {1}{t_{1}}}{\vec {a}}={\tfrac {1}{t_{2}}}{\vec {b}}}$

Это свойство дает возможность построить точки гиперболы, если заданы асимптоты и одна точка.

Это свойство гиперболы является аффинной версией теоремы Паскаля о 4-точечном вырождении . ^[13]

Треугольник касательных и асимптот

Гипербола: касательная-асимптота-треугольник

Для простоты центр гиперболы может быть началом координат, а векторы иметь одинаковую длину. Если последнее предположение не выполняется, можно сначала применить преобразование параметров (см. выше), чтобы сделать предположение верным. Следовательно , вершины охватывают малую ось и получается и . ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$ ${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2})}$ ${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}|=a}$ ${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}|=b}$

Для точек пересечения касательной в точке с асимптотами получаем точки Площадь треугольника можно вычислить с помощью определителя 2 × 2: (см. правила для определителей ). — площадь ромба, порожденного . Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Диагонали являются полуосями гиперболы. Следовательно: ${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{1}t_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{0}}}}$ $${\displaystyle C=2t_{0}{\vec {f}}_{1},\ D={\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}.}$$ ${\displaystyle M,C,D}$ $${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\Big |}\det \left(2t_{0}{\vec {f}}_{1},{\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}=2{\Big |}\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}}$$ ${\displaystyle \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle a,b}$

Площадь треугольника не зависит от точки гиперболы: ${\displaystyle MCD}$ ${\displaystyle A=ab.}$

Возвратно-поступательное движение круга

Возвратно -поступательное движение окружности B в окружности C всегда дает коническое сечение , такое как гипербола. Процесс "возвратно-поступательного движения в окружности C " состоит в замене каждой линии и точки в геометрической фигуре на их соответствующие полюс и поляру соответственно. Полюс линии является инверсией ее ближайшей точки к окружности C , тогда как полярой точки является обратное, а именно, линия, ближайшая точка которой к C является инверсией точки.

Эксцентриситет конического сечения, полученного возвратно-поступательным движением, равен отношению расстояний между центрами двух окружностей к радиусу r возвратно-поступательной окружности C. Если B и C представляют собой точки в центрах соответствующих окружностей, то

$${\displaystyle e={\frac {\overline {BC}}{r}}.}$$

Поскольку эксцентриситет гиперболы всегда больше единицы, центр B должен лежать вне обратной окружности C.

Это определение подразумевает, что гипербола является как геометрическим местом полюсов касательных линий к окружности B , так и огибающей полярных линий точек на B. Наоборот, окружность B является огибающей поляр точек на гиперболе и геометрическим местом полюсов касательных линий к гиперболе. Две касательные линии к B не имеют (конечных) полюсов, поскольку они проходят через центр C окружности взаимного перемещения C ; поляры соответствующих точек касания на B являются асимптотами гиперболы. Две ветви гиперболы соответствуют двум частям окружности B , которые разделены этими точками касания.

Квадратное уравнение

Гиперболу можно также определить как уравнение второй степени в декартовых координатах на плоскости , ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0,}$$

при условии, что константы и удовлетворяют условию детерминанта ${\displaystyle A_{xx},}$ ${\displaystyle A_{xy},}$ ${\displaystyle A_{yy},}$ ${\displaystyle B_{x},}$ ${\displaystyle B_{y},}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle D:={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}\\A_{xy}&A_{yy}\end{vmatrix}}<0.}$$

Этот определитель принято называть дискриминантом конического сечения. ^[14]

Особый случай гиперболы — вырожденная гипербола, состоящая из двух пересекающихся прямых, — возникает, когда другой определитель равен нулю:

$${\displaystyle \Delta :={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{vmatrix}}=0.}$$

Этот определитель иногда называют дискриминантом конического сечения. ^[15] ${\displaystyle \Delta }$

Коэффициенты общего уравнения можно получить из известных координат центра большой полуоси , малой полуоси и угла поворота (угол между положительной горизонтальной осью и большой осью гиперболы) с помощью формул: ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle (x_{\circ },y_{\circ })}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{xx}&=-a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta ,&B_{x}&=-A_{xx}x_{\circ }-A_{xy}y_{\circ },\\[1ex]A_{yy}&=-a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta ,&B_{y}&=-A_{xy}x_{\circ }-A_{yy}y_{\circ },\\[1ex]A_{xy}&=\left(a^{2}+b^{2}\right)\sin \theta \cos \theta ,&C&=A_{xx}x_{\circ }^{2}+2A_{xy}x_{\circ }y_{\circ }+A_{yy}y_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$$

Эти выражения можно вывести из канонического уравнения

$${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}-{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$$

путем переноса и поворота координат : ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}X&={\phantom {+}}\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta &&+\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta &&+\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{alignedat}}}$$

Учитывая приведенную выше общую параметризацию гиперболы в декартовых координатах, эксцентриситет можно найти с помощью формулы в Коническом сечении#Эксцентриситет через коэффициенты .

Центр гиперболы можно определить по формулам ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}&=-{\frac {1}{D}}\,{\begin{vmatrix}B_{x}&A_{xy}\\B_{y}&A_{yy}\end{vmatrix}}\,,\\[1ex]y_{c}&=-{\frac {1}{D}}\,{\begin{vmatrix}A_{xx}&B_{x}\\A_{xy}&B_{y}\end{vmatrix}}\,.\end{aligned}}}$$

В новых координатах определяющее уравнение гиперболы можно записать ${\displaystyle \xi =x-x_{c}}$ ${\displaystyle \eta =y-y_{c},}$

$${\displaystyle A_{xx}\xi ^{2}+2A_{xy}\xi \eta +A_{yy}\eta ^{2}+{\frac {\Delta }{D}}=0.}$$

Главные оси гиперболы образуют угол с положительной осью, который определяется выражением ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \tan(2\varphi )={\frac {2A_{xy}}{A_{xx}-A_{yy}}}.}$$

Поворот осей координат таким образом, чтобы ось - совпадала с поперечной осью, приводит уравнение к каноническому виду ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$$

Большая и малая полуоси определяются уравнениями ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}},\\[1ex]b^{2}&=-{\frac {\Delta }{\lambda _{2}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}},\end{aligned}}}$$

где и - корни квадратного уравнения ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

$${\displaystyle \lambda ^{2}-\left(A_{xx}+A_{yy}\right)\lambda +D=0.}$$

Для сравнения, соответствующее уравнение для вырожденной гиперболы (состоящей из двух пересекающихся прямых) имеет вид

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.}$$

Касательная к данной точке гиперболы определяется уравнением ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

$${\displaystyle Ex+Fy+G=0}$$

где и определяются как ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=A_{xx}x_{0}+A_{xy}y_{0}+B_{x},\\[1ex]F&=A_{xy}x_{0}+A_{yy}y_{0}+B_{y},\\[1ex]G&=B_{x}x_{0}+B_{y}y_{0}+C.\end{aligned}}}$$

Нормаль к гиперболе в той же точке задается уравнением

$${\displaystyle F(x-x_{0})-E(y-y_{0})=0.}$$

Нормальная линия перпендикулярна касательной, и обе проходят через одну и ту же точку. ${\displaystyle (x_{0},y_{0}).}$

Из уравнения

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\qquad 0<b\leq a,}$$

левый фокус — это , а правый фокус — это , где — эксцентриситет. Обозначим расстояния от точки до левого и правого фокусов как и Для точки на правой ветви, ${\displaystyle (-ae,0)}$ ${\displaystyle (ae,0),}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}.}$

$${\displaystyle r_{1}-r_{2}=2a,}$$

и для точки на левой ветви,

$${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2a.}$$

Это можно доказать следующим образом:

Если — точка на гиперболе, то расстояние до левого фокуса равно ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle r_{1}^{2}=(x+ae)^{2}+y^{2}=x^{2}+2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex+a)^{2}.}$$

До правой фокальной точки расстояние равно

$${\displaystyle r_{2}^{2}=(x-ae)^{2}+y^{2}=x^{2}-2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex-a)^{2}.}$$

Если точка находится на правой ветви гиперболы, то и ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle ex>a}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=ex+a,\\r_{2}&=ex-a.\end{aligned}}}$$

Вычитая эти уравнения, получаем

$${\displaystyle r_{1}-r_{2}=2a.}$$

Если — точка на левой ветви гиперболы, то и ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle ex<-a}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=-ex-a,\\r_{2}&=-ex+a.\end{aligned}}}$$

Вычитая эти уравнения, получаем

$${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2a.}$$

В декартовых координатах

Уравнение

Если ввести декартовы координаты таким образом, что начало координат является центром гиперболы, а ось x является большой осью, то гипербола называется раскрывающейся в направлении восток-запад и

фокусы — это точки , ^[6] ${\displaystyle F_{1}=(c,0),\ F_{2}=(-c,0)}$

вершины . [ ⁶ ] ${\displaystyle V_{1}=(a,0),\ V_{2}=(-a,0)}$

Для произвольной точки расстояние до фокуса равно , а до второго фокуса . Следовательно, точка находится на гиперболе, если выполняется следующее условие: Извлеките квадратные корни с помощью подходящих возведений в квадрат и используйте соотношение для получения уравнения гиперболы: ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (c,0)}$ ${\textstyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$ ${\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ $${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=\pm 2a\ .}$$ ${\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$$

Это уравнение называется канонической формой гиперболы, поскольку любая гипербола, независимо от ее ориентации относительно декартовых осей и независимо от расположения ее центра, может быть преобразована к этой форме заменой переменных, что даст гиперболу, конгруэнтную исходной (см. ниже).

Оси симметрии или главные оси — это поперечная ось (содержащая отрезок длиной 2a с концами в вершинах) и сопряженная ось (содержащая отрезок длиной 2b , перпендикулярный поперечной оси, со средней точкой в ​​центре гиперболы). ^[6] В отличие от эллипса, гипербола имеет только две вершины: . Две точки на сопряженных осях не находятся на гиперболе. ${\displaystyle (a,0),\;(-a,0)}$ ${\displaystyle (0,b),\;(0,-b)}$

Из уравнения следует, что гипербола симметрична относительно обеих осей координат и, следовательно, симметрична относительно начала координат.

Эксцентриситет

Для гиперболы в приведенной выше канонической форме эксцентриситет определяется выражением

$${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}$$

Две гиперболы геометрически подобны друг другу, то есть имеют одинаковую форму, так что одну из них можно преобразовать в другую с помощью жестких движений влево и вправо , вращения , зеркального отображения и масштабирования (увеличения) — тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый эксцентриситет.

Асимптоты

Гипербола: полуоси a , b , линейный эксцентриситет c , прямая полуширина p

Гипербола: 3 свойства

Решая уравнение (выше) гиперболы для получаем Из этого следует, что гипербола приближается к двум линиям при больших значениях . Эти две линии пересекаются в центре (начале координат) и называются асимптотами гиперболы ^[16] ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}.}$$ $${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x}$$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$

С помощью второго рисунка можно увидеть, что

${\displaystyle {\color {blue}{(1)}}}$Перпендикулярное расстояние от фокуса до любой асимптоты равно (малой полуоси). ${\displaystyle b}$

Из нормальной формы Гессе асимптот и уравнения гиперболы получаем: ^[17] ${\displaystyle {\tfrac {bx\pm ay}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}=0}$

${\displaystyle {\color {magenta}{(2)}}}$Произведение расстояний от точки на гиперболе до обеих асимптот является константой , которую также можно записать через эксцентриситет e как ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {b}{e}}\right)^{2}.}$

Из уравнения гиперболы (выше) можно вывести: ${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$

${\displaystyle {\color {green}{(3)}}}$Произведение наклонов линий, проведенных из точки P к двум вершинам, является константой ${\displaystyle b^{2}/a^{2}\ .}$

Кроме того, из (2) выше можно показать, что ^[17]

${\displaystyle {\color {red}{(4)}}}$ Произведение расстояний от точки на гиперболе до асимптот вдоль прямых, параллельных асимптотам, есть константа ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}+b^{2}}{4}}.}$

Полуширокая прямая кишка

Длина хорды, проходящей через один из фокусов, перпендикулярной большой оси гиперболы, называется latus rectum . Одна ее половина — это semi-latus rectum . Расчет показывает, что semi-latus rectum можно также рассматривать как радиус кривизны в вершинах. ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}.}$$ ${\displaystyle p}$

Тангенс

Самый простой способ определить уравнение касательной в точке — это неявно продифференцировать уравнение гиперболы. Обозначая dy/dx как y′ , это дает Относительно уравнение касательной в точке имеет вид ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ $${\displaystyle {\frac {2x}{a^{2}}}-{\frac {2yy'}{b^{2}}}=0\ \Rightarrow \ y'={\frac {x}{y}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\ \Rightarrow \ y={\frac {x_{0}}{y_{0}}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}(x-x_{0})+y_{0}.}$$ ${\displaystyle {\tfrac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ $${\displaystyle {\frac {x_{0}}{a^{2}}}x-{\frac {y_{0}}{b^{2}}}y=1.}$$

Конкретная касательная линия отличает гиперболу от других конических сечений. ^[18] Пусть f будет расстоянием от вершины V (как на гиперболе, так и на ее оси через два фокуса) до ближайшего фокуса. Тогда расстояние по линии, перпендикулярной этой оси, от этого фокуса до точки P на гиперболе больше 2 f . Касательная к гиперболе в точке P пересекает эту ось в точке Q под углом ∠PQV больше 45°.

Прямоугольная гипербола

В случае гипербола называется прямоугольной (или равносторонней ), так как ее асимптоты пересекаются под прямым углом. Для этого случая линейный эксцентриситет равен , эксцентриситет и полуширота прямая . График уравнения представляет собой прямоугольную гиперболу. ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle c={\sqrt {2}}a}$ ${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p=a}$ ${\displaystyle y=1/x}$

Parametric representation with hyperbolic sine/cosine

Using the hyperbolic sine and cosine functions ${\displaystyle \cosh ,\sinh }$, a parametric representation of the hyperbola ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ can be obtained, which is similar to the parametric representation of an ellipse: $${\displaystyle (\pm a\cosh t,b\sinh t),\,t\in \mathbb {R} \ ,}$$which satisfies the Cartesian equation because ${\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1.}$

Further parametric representations are given in the section Parametric equations below.

Here a = b = 1 giving the unit hyperbola in blue and its conjugate hyperbola in green, sharing the same red asymptotes.

Conjugate hyperbola

Exchange ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}}$ and ${\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$ to obtain the equation of the conjugate hyperbola (see diagram): $${\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1\ ,}$$ also written as $${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1\ .}$$

A hyperbola and its conjugate may have diameters which are conjugate. In the theory of special relativity, such diameters may represent axes of time and space, where one hyperbola represents events at a given spatial distance from the center, and the other represents events at a corresponding temporal distance from the center.

In polar coordinates

Hyperbola: Polar coordinates with pole = focus

Hyperbola: Polar coordinates with pole = center

Animated plot of Hyperbola by using ${\displaystyle r={\frac {p}{1-e\cos \theta }}}$

Origin at the focus

The polar coordinates used most commonly for the hyperbola are defined relative to the Cartesian coordinate system that has its origin in a focus and its x-axis pointing towards the origin of the "canonical coordinate system" as illustrated in the first diagram.

In this case the angle ${\displaystyle \varphi }$ is called true anomaly.

Relative to this coordinate system one has that

$${\displaystyle r={\frac {p}{1\mp e\cos \varphi }},\quad p={\frac {b^{2}}{a}}}$$

and

$${\displaystyle -\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right)<\varphi <\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right).}$$

Origin at the center

With polar coordinates relative to the "canonical coordinate system" (see second diagram) one has that

$${\displaystyle r={\frac {b}{\sqrt {e^{2}\cos ^{2}\varphi -1}}}.\,}$$

For the right branch of the hyperbola the range of ${\displaystyle \varphi }$ is $${\displaystyle -\arccos \left({\frac {1}{e}}\right)<\varphi <\arccos \left({\frac {1}{e}}\right).}$$

Eccentricity

When using polar coordinates, the eccentricity of the hyperbola can be expressed as ${\displaystyle \sec \varphi _{\text{max}}}$ where ${\displaystyle \varphi _{\text{max}}}$ is the limit of the angular coordinate. As ${\displaystyle \varphi }$ approaches this limit, r approaches infinity and the denominator in either of the equations noted above approaches zero, hence:^[19]: 219

$${\displaystyle e^{2}\cos ^{2}\varphi _{\text{max}}-1=0}$$

$${\displaystyle 1\pm e\cos \varphi _{\text{max}}=0}$$

$${\displaystyle \implies e=\sec \varphi _{\text{max}}}$$

Parametric equations

A hyperbola with equation ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ can be described by several parametric equations:

1. Through hyperbolic trigonometric functions $${\displaystyle {\begin{cases}x=\pm a\cosh t,\\y=b\sinh t,\end{cases}}\qquad t\in \mathbb {R} .}$$
2. As a rational representation $${\displaystyle {\begin{cases}x=\pm a{\dfrac {t^{2}+1}{2t}},\\[1ex]y=b{\dfrac {t^{2}-1}{2t}},\end{cases}}\qquad t>0}$$
3. Through circular trigonometric functions $${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {a}{\cos t}}=a\sec t,\\y=\pm b\tan t,\end{cases}}\qquad 0\leq t<2\pi ,\ t\neq {\frac {\pi }{2}},\ t\neq {\frac {3}{2}}\pi .}$$
4. With the tangent slope as parameter:
   A parametric representation, which uses the slope ${\displaystyle m}$ of the tangent at a point of the hyperbola can be obtained analogously to the ellipse case: Replace in the ellipse case ${\displaystyle b^{2}}$ by ${\displaystyle -b^{2}}$ and use formulae for the hyperbolic functions. One gets $${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}}},{\frac {-b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}}}\right),\quad |m|>b/a.}$$ Here, ${\displaystyle {\vec {c}}_{-}}$ is the upper, and ${\displaystyle {\vec {c}}_{+}}$ the lower half of the hyperbola. The points with vertical tangents (vertices ${\displaystyle (\pm a,0)}$) are not covered by the representation.
   The equation of the tangent at point ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$ is $${\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}.}$$ This description of the tangents of a hyperbola is an essential tool for the determination of the orthoptic of a hyperbola.

Hyperbolic functions

A ray through the unit hyperbola ${\displaystyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}$ at the point ${\displaystyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}$, where ${\displaystyle a}$ is twice the area between the ray, the hyperbola, and the ${\displaystyle x}$-axis. For points on the hyperbola below the ${\displaystyle x}$-axis, the area is considered negative.

Just as the trigonometric functions are defined in terms of the unit circle, so also the hyperbolic functions are defined in terms of the unit hyperbola, as shown in this diagram. In a unit circle, the angle (in radians) is equal to twice the area of the circular sector which that angle subtends. The analogous hyperbolic angle is likewise defined as twice the area of a hyperbolic sector.

Let ${\displaystyle a}$ be twice the area between the ${\displaystyle x}$ axis and a ray through the origin intersecting the unit hyperbola, and define ${\textstyle (x,y)=(\cosh a,\sinh a)=(x,{\sqrt {x^{2}-1}})}$ as the coordinates of the intersection point. Then the area of the hyperbolic sector is the area of the triangle minus the curved region past the vertex at ${\displaystyle (1,0)}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{2}}&={\frac {xy}{2}}-\int _{1}^{x}{\sqrt {t^{2}-1}}\,dt\\[1ex]&={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}-1}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}-1}}-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right),\end{aligned}}}$$which simplifies to the area hyperbolic cosine $${\displaystyle a=\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right).}$$Solving for ${\displaystyle x}$ yields the exponential form of the hyperbolic cosine: $${\displaystyle x=\cosh a={\frac {e^{a}+e^{-a}}{2}}.}$$From ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ one gets $${\displaystyle y=\sinh a={\sqrt {\cosh ^{2}a-1}}={\frac {e^{a}-e^{-a}}{2}},}$$and its inverse the area hyperbolic sine: $${\displaystyle a=\operatorname {arsinh} y=\ln \left(y+{\sqrt {y^{2}+1}}\right).}$$Other hyperbolic functions are defined according to the hyperbolic cosine and hyperbolic sine, so for example $${\displaystyle \operatorname {tanh} a={\frac {\sinh a}{\cosh a}}={\frac {e^{2a}-1}{e^{2a}+1}}.}$$

Properties

Reflection property

Hyperbola: the tangent bisects the lines through the foci

The tangent at a point ${\displaystyle P}$ bisects the angle between the lines ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}.}$ This is called the optical property or reflection property of a hyperbola.^[20]

Proof

Let ${\displaystyle L}$ be the point on the line ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$ with the distance ${\displaystyle 2a}$ to the focus ${\displaystyle F_{2}}$ (see diagram, ${\displaystyle a}$ is the semi major axis of the hyperbola). Line ${\displaystyle w}$ is the bisector of the angle between the lines ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}}$. In order to prove that ${\displaystyle w}$ is the tangent line at point ${\displaystyle P}$, one checks that any point ${\displaystyle Q}$ on line ${\displaystyle w}$ which is different from ${\displaystyle P}$ cannot be on the hyperbola. Hence ${\displaystyle w}$ has only point ${\displaystyle P}$ in common with the hyperbola and is, therefore, the tangent at point ${\displaystyle P}$.
From the diagram and the triangle inequality one recognizes that ${\displaystyle |QF_{2}|<|LF_{2}|+|QL|=2a+|QF_{1}|}$ holds, which means: ${\displaystyle |QF_{2}|-|QF_{1}|<2a}$. But if ${\displaystyle Q}$ is a point of the hyperbola, the difference should be ${\displaystyle 2a}$.

Midpoints of parallel chords

Hyperbola: the midpoints of parallel chords lie on a line.

Hyperbola: the midpoint of a chord is the midpoint of the corresponding chord of the asymptotes.

The midpoints of parallel chords of a hyperbola lie on a line through the center (see diagram).

The points of any chord may lie on different branches of the hyperbola.

The proof of the property on midpoints is best done for the hyperbola ${\displaystyle y=1/x}$. Because any hyperbola is an affine image of the hyperbola ${\displaystyle y=1/x}$ (see section below) and an affine transformation preserves parallelism and midpoints of line segments, the property is true for all hyperbolas:
For two points ${\displaystyle P=\left(x_{1},{\tfrac {1}{x_{1}}}\right),\ Q=\left(x_{2},{\tfrac {1}{x_{2}}}\right)}$ of the hyperbola ${\displaystyle y=1/x}$

the midpoint of the chord is ${\displaystyle M=\left({\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}},\cdots \right)=\cdots ={\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}}\;\left(1,{\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\right)\ ;}$

the slope of the chord is ${\displaystyle {\frac {{\tfrac {1}{x_{2}}}-{\tfrac {1}{x_{1}}}}{x_{2}-x_{1}}}=\cdots =-{\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\ .}$

For parallel chords the slope is constant and the midpoints of the parallel chords lie on the line ${\displaystyle y={\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\;x\ .}$

Consequence: for any pair of points ${\displaystyle P,Q}$ of a chord there exists a skew reflection with an axis (set of fixed points) passing through the center of the hyperbola, which exchanges the points ${\displaystyle P,Q}$ and leaves the hyperbola (as a whole) fixed. A skew reflection is a generalization of an ordinary reflection across a line ${\displaystyle m}$, where all point-image pairs are on a line perpendicular to ${\displaystyle m}$.

Because a skew reflection leaves the hyperbola fixed, the pair of asymptotes is fixed, too. Hence the midpoint ${\displaystyle M}$ of a chord ${\displaystyle PQ}$ divides the related line segment ${\displaystyle {\overline {P}}\,{\overline {Q}}}$ between the asymptotes into halves, too. This means that ${\displaystyle |P{\overline {P}}|=|Q{\overline {Q}}|}$. This property can be used for the construction of further points ${\displaystyle Q}$ of the hyperbola if a point ${\displaystyle P}$ and the asymptotes are given.

If the chord degenerates into a tangent, then the touching point divides the line segment between the asymptotes in two halves.

Orthogonal tangents – orthoptic

Hyperbola with its orthoptic (magenta)

For a hyperbola ${\textstyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\,a>b}$ the intersection points of orthogonal tangents lie on the circle ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}}$.
This circle is called the orthoptic of the given hyperbola.

The tangents may belong to points on different branches of the hyperbola.

In case of ${\displaystyle a\leq b}$ there are no pairs of orthogonal tangents.

Pole-polar relation for a hyperbola

Hyperbola: pole-polar relation

Any hyperbola can be described in a suitable coordinate system by an equation ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$. The equation of the tangent at a point ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$ of the hyperbola is ${\displaystyle {\tfrac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{0}y}{b^{2}}}=1.}$ If one allows point ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$ to be an arbitrary point different from the origin, then

point ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})\neq (0,0)}$ is mapped onto the line ${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$, not through the center of the hyperbola.

This relation between points and lines is a bijection.

The inverse function maps

line ${\displaystyle y=mx+d,\ d\neq 0}$ onto the point ${\displaystyle \left(-{\frac {ma^{2}}{d}},-{\frac {b^{2}}{d}}\right)}$ and

line ${\displaystyle x=c,\ c\neq 0}$ onto the point ${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{c}},0\right)\ .}$

Such a relation between points and lines generated by a conic is called pole-polar relation or just polarity. The pole is the point, the polar the line. See Pole and polar.

By calculation one checks the following properties of the pole-polar relation of the hyperbola:

• For a point (pole) on the hyperbola the polar is the tangent at this point (see diagram: ${\displaystyle P_{1},\ p_{1}}$).
• For a pole ${\displaystyle P}$ outside the hyperbola the intersection points of its polar with the hyperbola are the tangency points of the two tangents passing ${\displaystyle P}$ (see diagram: ${\displaystyle P_{2},\ p_{2},\ P_{3},\ p_{3}}$).
• For a point within the hyperbola the polar has no point with the hyperbola in common. (see diagram: ${\displaystyle P_{4},\ p_{4}}$).

Remarks:

1. The intersection point of two polars (for example: ${\displaystyle p_{2},p_{3}}$) is the pole of the line through their poles (here: ${\displaystyle P_{2},P_{3}}$).
2. The foci ${\displaystyle (c,0),}$ and ${\displaystyle (-c,0)}$ respectively and the directrices ${\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{c}}}$ and ${\displaystyle x=-{\tfrac {a^{2}}{c}}}$ respectively belong to pairs of pole and polar.

Pole-polar relations exist for ellipses and parabolas, too.

Other properties

• The following are concurrent: (1) a circle passing through the hyperbola's foci and centered at the hyperbola's center; (2) either of the lines that are tangent to the hyperbola at the vertices; and (3) either of the asymptotes of the hyperbola.^[21][22]
• The following are also concurrent: (1) the circle that is centered at the hyperbola's center and that passes through the hyperbola's vertices; (2) either directrix; and (3) either of the asymptotes.^[22]
• Since both the transverse axis and the conjugate axis are axes of symmetry, the symmetry group of a hyperbola is the Klein four-group.
• The rectangular hyperbolas xy = constant admit group actions by squeeze mappings which have the hyperbolas as invariant sets.

Arc length

The arc length of a hyperbola does not have an elementary expression. The upper half of a hyperbola can be parameterized as

$${\displaystyle y=b{\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}.}$$

Then the integral giving the arc length ${\displaystyle s}$ from ${\displaystyle x_{1}}$ to ${\displaystyle x_{2}}$ can be computed as:

$${\displaystyle s=b\int _{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {1+\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\sinh ^{2}v}}\,\mathrm {d} v.}$$

After using the substitution ${\displaystyle z=iv}$, this can also be represented using the incomplete elliptic integral of the second kind ${\displaystyle E}$ with parameter ${\displaystyle m=k^{2}}$:

$${\displaystyle s=ib{\Biggr [}E\left(iv\,{\Biggr |}\,1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right){\Biggr ]}_{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{2}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}}{a}}}.}$$

Using only real numbers, this becomes^[23]

$${\displaystyle s=b\left[F\left(\operatorname {gd} v\,{\Biggr |}-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)-E\left(\operatorname {gd} v\,{\Biggr |}-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)+{\sqrt {1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\tanh ^{2}v}}\,\sinh v\right]_{\operatorname {arcosh} {\tfrac {x_{1}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\tfrac {x_{2}}{a}}}}$$

where ${\displaystyle F}$ is the incomplete elliptic integral of the first kind with parameter ${\displaystyle m=k^{2}}$ and ${\displaystyle \operatorname {gd} v=\arctan \sinh v}$ is the Gudermannian function.

Derived curves

Sinusoidal spirals (rⁿ = –1ⁿ cos(nθ), θ = π/2) in polar coordinates and their equivalents in rectangular coordinates:

  n = −2: Equilateral hyperbola

  n = −1: Line

  n = −1/2: Parabola

  n = 1/2: Cardioid

  n = 1: Circle

  n = 2: Lemniscate of Bernoulli

Several other curves can be derived from the hyperbola by inversion, the so-called inverse curves of the hyperbola. If the center of inversion is chosen as the hyperbola's own center, the inverse curve is the lemniscate of Bernoulli; the lemniscate is also the envelope of circles centered on a rectangular hyperbola and passing through the origin. If the center of inversion is chosen at a focus or a vertex of the hyperbola, the resulting inverse curves are a limaçon or a strophoid, respectively.

Elliptic coordinates

A family of confocal hyperbolas is the basis of the system of elliptic coordinates in two dimensions. These hyperbolas are described by the equation

$${\displaystyle \left({\frac {x}{c\cos \theta }}\right)^{2}-\left({\frac {y}{c\sin \theta }}\right)^{2}=1}$$

where the foci are located at a distance c from the origin on the x-axis, and where θ is the angle of the asymptotes with the x-axis. Every hyperbola in this family is orthogonal to every ellipse that shares the same foci. This orthogonality may be shown by a conformal map of the Cartesian coordinate system w = z + 1/z, where z= x + iy are the original Cartesian coordinates, and w=u + iv are those after the transformation.

Other orthogonal two-dimensional coordinate systems involving hyperbolas may be obtained by other conformal mappings. For example, the mapping w = z² transforms the Cartesian coordinate system into two families of orthogonal hyperbolas.

Conic section analysis of the hyperbolic appearance of circles

Central projection of circles on a sphere: The center O of projection is inside the sphere, the image plane is red.
As images of the circles one gets a circle (magenta), ellipses, hyperbolas and lines. The special case of a parabola does not appear in this example.
(If center O were on the sphere, all images of the circles would be circles or lines; see stereographic projection).

Besides providing a uniform description of circles, ellipses, parabolas, and hyperbolas, conic sections can also be understood as a natural model of the geometry of perspective in the case where the scene being viewed consists of circles, or more generally an ellipse. The viewer is typically a camera or the human eye and the image of the scene a central projection onto an image plane, that is, all projection rays pass a fixed point O, the center. The lens plane is a plane parallel to the image plane at the lens O.

The image of a circle c is

1. a circle, if circle c is in a special position, for example parallel to the image plane and others (see stereographic projection),
2. an ellipse, if c has no point with the lens plane in common,
3. a parabola, if c has one point with the lens plane in common and
4. a hyperbola, if c has two points with the lens plane in common.

(Special positions where the circle plane contains point O are omitted.)

These results can be understood if one recognizes that the projection process can be seen in two steps: 1) circle c and point O generate a cone which is 2) cut by the image plane, in order to generate the image.

One sees a hyperbola whenever catching sight of a portion of a circle cut by one's lens plane. The inability to see very much of the arms of the visible branch, combined with the complete absence of the second branch, makes it virtually impossible for the human visual system to recognize the connection with hyperbolas.

Applications

Hyperbolas as declination lines on a sundial

The contact zone of a level supersonic aircraft's shockwave on flat ground (yellow) is a part of a hyperbola as the ground intersects the cone parallel to its axis.

Sundials

Hyperbolas may be seen in many sundials. On any given day, the sun revolves in a circle on the celestial sphere, and its rays striking the point on a sundial traces out a cone of light. The intersection of this cone with the horizontal plane of the ground forms a conic section. At most populated latitudes and at most times of the year, this conic section is a hyperbola. In practical terms, the shadow of the tip of a pole traces out a hyperbola on the ground over the course of a day (this path is called the declination line). The shape of this hyperbola varies with the geographical latitude and with the time of the year, since those factors affect the cone of the sun's rays relative to the horizon. The collection of such hyperbolas for a whole year at a given location was called a pelekinon by the Greeks, since it resembles a double-bladed axe.

Multilateration

A hyperbola is the basis for solving multilateration problems, the task of locating a point from the differences in its distances to given points — or, equivalently, the difference in arrival times of synchronized signals between the point and the given points. Such problems are important in navigation, particularly on water; a ship can locate its position from the difference in arrival times of signals from a LORAN or GPS transmitters. Conversely, a homing beacon or any transmitter can be located by comparing the arrival times of its signals at two separate receiving stations; such techniques may be used to track objects and people. In particular, the set of possible positions of a point that has a distance difference of 2a from two given points is a hyperbola of vertex separation 2a whose foci are the two given points.

Path followed by a particle

The path followed by any particle in the classical Kepler problem is a conic section. In particular, if the total energy E of the particle is greater than zero (that is, if the particle is unbound), the path of such a particle is a hyperbola. This property is useful in studying atomic and sub-atomic forces by scattering high-energy particles; for example, the Rutherford experiment demonstrated the existence of an atomic nucleus by examining the scattering of alpha particles from gold atoms. If the short-range nuclear interactions are ignored, the atomic nucleus and the alpha particle interact only by a repulsive Coulomb force, which satisfies the inverse square law requirement for a Kepler problem.^[24]

Korteweg–de Vries equation

The hyperbolic trig function ${\displaystyle \operatorname {sech} \,x}$ appears as one solution to the Korteweg–de Vries equation which describes the motion of a soliton wave in a canal.

Angle trisection

Trisecting an angle (AOB) using a hyperbola of eccentricity 2 (yellow curve)

As shown first by Apollonius of Perga, a hyperbola can be used to trisect any angle, a well studied problem of geometry. Given an angle, first draw a circle centered at its vertex O, which intersects the sides of the angle at points A and B. Next draw the line segment with endpoints A and B and its perpendicular bisector ${\displaystyle \ell }$. Construct a hyperbola of eccentricity e=2 with ${\displaystyle \ell }$ as directrix and B as a focus. Let P be the intersection (upper) of the hyperbola with the circle. Angle POB trisects angle AOB.

To prove this, reflect the line segment OP about the line ${\displaystyle \ell }$ obtaining the point P' as the image of P. Segment AP' has the same length as segment BP due to the reflection, while segment PP' has the same length as segment BP due to the eccentricity of the hyperbola.^[25] As OA, OP', OP and OB are all radii of the same circle (and so, have the same length), the triangles OAP', OPP' and OPB are all congruent. Therefore, the angle has been trisected, since 3×POB = AOB.^[26]

Efficient portfolio frontier

In portfolio theory, the locus of mean-variance efficient portfolios (called the efficient frontier) is the upper half of the east-opening branch of a hyperbola drawn with the portfolio return's standard deviation plotted horizontally and its expected value plotted vertically; according to this theory, all rational investors would choose a portfolio characterized by some point on this locus.

Biochemistry

In biochemistry and pharmacology, the Hill equation and Hill-Langmuir equation respectively describe biological responses and the formation of protein–ligand complexes as functions of ligand concentration. They are both rectangular hyperbolae.

Hyperbolas as plane sections of quadrics

Hyperbolas appear as plane sections of the following quadrics:

• Elliptic cone
• Hyperbolic cylinder
• Hyperbolic paraboloid
• Hyperboloid of one sheet
• Hyperboloid of two sheets

• 
  Elliptic cone
• 
  Hyperbolic cylinder
• 
  Hyperbolic paraboloid
• 
  Hyperboloid of one sheet
• 
  Hyperboloid of two sheets

See also

Other conic sections

• Circle
• Ellipse
• Parabola
• Degenerate conic

Other related topics

• Elliptic coordinates, an orthogonal coordinate system based on families of ellipses and hyperbolas.
• Hyperbolic growth
• Hyperbolic partial differential equation
• Hyperbolic sector
• Hyperboloid structure
• Hyperbolic trajectory
• Hyperboloid
• Multilateration
• Rotation of axes
• Translation of axes
• Unit hyperbola

Notes

1. Oakley 1944, p. 17.
2. Heath, Sir Thomas Little (1896), "Chapter I. The discovery of conic sections. Menaechmus", Apollonius of Perga: Treatise on Conic Sections with Introductions Including an Essay on Earlier History on the Subject, Cambridge University Press, pp. xvii–xxx.
3. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011), A History of Mathematics, Wiley, p. 73, ISBN 9780470630563, It was Apollonius (possibly following up a suggestion of Archimedes) who introduced the names "ellipse" and "hyperbola" in connection with these curves.
4. Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry (Vol. One), Allyn and Bacon, pp. 30–31
5. Protter & Morrey 1970, pp. 308–310.
6. Protter & Morrey 1970, p. 310.
7. Apostol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A. (2012), New Horizons in Geometry, The Dolciani Mathematical Expositions #47, The Mathematical Association of America, p. 251, ISBN 978-0-88385-354-2
8. The German term for this circle is Leitkreis which can be translated as "Director circle", but that term has a different meaning in the English literature (see Director circle).
9. Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, Leyden, 1659, p. 327
10. E. Hartmann: Lecture Note 'Planar Circle Geometries', an Introduction to Möbius-, Laguerre- and Minkowski Planes, p. 93
11. W. Benz: Vorlesungen über Geomerie der Algebren, Springer (1973)
12. Lecture Note Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes, S. 33, (PDF; 757 kB)
13. Lecture Note Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes, S. 32, (PDF; 757 kB)
14. Fanchi, John R. (2006). Math refresher for scientists and engineers. John Wiley and Sons. Section 3.2, pages 44–45. ISBN 0-471-75715-2.
15. Korn, Granino A; Korn, Theresa M. (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review (second ed.). Dover Publ. p. 40.
16. Protter & Morrey 1970, pp. APP-29–APP-30.
17. Mitchell, Douglas W., "A property of hyperbolas and their asymptotes", Mathematical Gazette 96, July 2012, 299–301.
18. J. W. Downs, Practical Conic Sections, Dover Publ., 2003 (orig. 1993): p. 26.
19. Casey, John, (1885) "A treatise on the analytical geometry of the point, line, circle, and conic sections, containing an account of its most recent extensions, with numerous examples"
20. Coffman, R. T.; Ogilvy, C. S. (1963), "The 'Reflection Property' of the Conics", Mathematics Magazine, 36 (1): 11–12, doi:10.2307/2688124
    Flanders, Harley (1968), "The Optical Property of the Conics", American Mathematical Monthly, 75 (4): 399, doi:10.2307/2313439

    Brozinsky, Michael K. (1984), "Reflection Property of the Ellipse and the Hyperbola", College Mathematics Journal, 15 (2): 140–42, doi:10.2307/2686519

21. "Hyperbola". Mathafou.free.fr. Archived from the original on 4 March 2016. Retrieved 26 August 2018.
22. "Properties of a Hyperbola". Archived from the original on 2017-02-02. Retrieved 2011-06-22.
23. Carlson, B. C. (2010), "Elliptic Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.
24. Heilbron, John L. (1968). "The Scattering of α and β Particles and Rutherford's Atom". Archive for History of Exact Sciences. 4 (4): 247–307. doi:10.1007/BF00411591. ISSN 0003-9519. JSTOR 41133273.
25. Since 2 times the distance of P to ${\displaystyle \ell }$ is PP' which is equal to BP by directrix-focus property
26. This construction is due to Pappus of Alexandria (circa 300 A.D.) and the proof comes from Kazarinoff 1970, p. 62.

References

• Kazarinoff, Nicholas D. (1970), Ruler and the Round, Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-113-9
• Oakley, C. O., Ph.D. (1944), An Outline of the Calculus, New York: Barnes & Noble{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042

External links

• «Гипербола», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вывод Аполлония гиперболы при схождении
• Франс ван Скутен: Mathematische Oeffeningen, 1659 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипербола». Математический мир .