Середина отрезка в n -мерном пространстве, конечные точки которого и задаются формулой
То есть i- я координата средней точки ( i = 1, 2, ..., n ) равна
Строительство
При наличии двух точек интереса, нахождение средней точки отрезка прямой, который они определяют, может быть выполнено с помощью построения циркуля и линейки . Средняя точка отрезка прямой, вложенного в плоскость , может быть найдена путем построения линзы с использованием дуг окружности одинакового (и достаточно большого) радиуса с центрами в двух конечных точках, а затем соединения выступов линзы (две точки пересечения дуг). Точка, в которой линия, соединяющая выступы, пересекает отрезок, является средней точкой отрезка. Сложнее найти среднюю точку, используя только циркуль, но это все еще возможно согласно теореме Мора-Маскерони . [1]
Геометрические свойства, включающие средние точки
Круг
Середина любого диаметра окружности является центром окружности.
Любая прямая , перпендикулярная любой хорде окружности и проходящая через ее середину, также проходит через центр окружности.
Теорема о бабочке утверждает, что если M — середина хорды PQ окружности , через которую проведены две другие хорды AB и CD; AD и BC пересекают хорду PQ в точках X и Y соответственно , то M — середина XY .
Центр эллипса также является серединой отрезка, соединяющего два фокуса эллипса.
Гипербола
Середина отрезка, соединяющего вершины гиперболы, является центром гиперболы.
Треугольник
Перпендикуляр к стороне треугольника — это линия, перпендикулярная этой стороне и проходящая через ее середину. Три перпендикулярных серединных линии трех сторон треугольника пересекаются в центре описанной окружности (центре окружности, проходящей через три вершины).
Медиана стороны треугольника проходит как через середину стороны, так и через противоположную вершину треугольника . Три медианы треугольника пересекаются в центре тяжести треугольника (точке, в которой бы балансировал треугольник, если бы он был сделан из тонкого листа металла однородной плотности) .
Средняя линия ( или средняя линия ) треугольника — это отрезок прямой, соединяющий середины двух сторон треугольника. Он параллелен третьей стороне и имеет длину, равную половине этой третьей стороны.
Срединный треугольник данного треугольника имеет вершины в серединах сторон данного треугольника, поэтому его стороны являются тремя средними линиями данного треугольника. Он имеет тот же центроид и медианы, что и данный треугольник. Периметр срединного треугольника равен полупериметру (половине периметра) исходного треугольника, а его площадь составляет одну четверть площади исходного треугольника. Ортоцентр ( точка пересечения высот ) срединного треугольника совпадает с центром описанной окружности (центром окружности, проходящей через вершины) исходного треугольника.
Каждый треугольник имеет вписанный эллипс , называемый его вэллипс Штейнера , который касается треугольника изнутри в серединах всех его сторон. Этот эллипс центрирован в центроиде треугольника, и он имеет наибольшую площадь среди всех эллипсов, вписанных в треугольник.
Две бимедианы выпуклого четырехугольника — это отрезки прямых, соединяющие середины противоположных сторон, следовательно, каждая из них делит пополам две стороны. Две бимедианы и отрезок прямой, соединяющий середины диагоналей, совпадают ( пересекаются) в точке, называемой «вершиной центроида», которая является серединой всех трех этих отрезков. [2] : стр.125
Четыре "малютиды" выпуклого четырехугольника являются перпендикулярами к стороне, проходящей через середину противоположной стороны, таким образом, делящей последнюю пополам. Если четырехугольник является вписанным в окружность, все эти "малютиды" пересекаются в общей точке, называемой "антицентром".
Теорема Брахмагупты утверждает, что если вписанный четырехугольник является ортодиагональным (то есть имеет перпендикулярные диагонали ), то перпендикуляр к стороне из точки пересечения диагоналей всегда проходит через середину противоположной стороны.
Теорема Вариньона утверждает, что середины сторон произвольного четырехугольника образуют вершины параллелограмма , и если четырехугольник не является самопересекающимся, то площадь параллелограмма равна половине площади четырехугольника.
Линия Ньютона — это линия, соединяющая середины двух диагоналей в выпуклом четырехугольнике, который не является параллелограммом. Отрезки прямых, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, пересекаются в точке, которая лежит на линии Ньютона.
В правильном многоугольнике с четным числом сторон середина диагонали между противоположными вершинами является центром многоугольника.
Многоугольник , растягивающий среднюю точку циклического многоугольника P ( многоугольник , все вершины которого лежат на одной окружности), — это другой циклический многоугольник, вписанный в ту же окружность, многоугольник, вершины которого являются серединами дуг окружностей между вершинами P. [ 3] Итерация операции растягивания средней точки на произвольном исходном многоугольнике приводит к последовательности многоугольников, формы которых сходятся к форме правильного многоугольника . [3] [4]
Обобщения
Вышеупомянутые формулы для средней точки сегмента неявно используют длины сегментов. Однако в обобщении на аффинную геометрию , где длины сегментов не определены, [5] средняя точка все еще может быть определена, поскольку она является аффинным инвариантом . Синтетическое аффинное определение средней точки M сегмента AB является проективным гармоническим сопряжением точки на бесконечности , P , прямой AB . То есть, точка M такая, что H[ A , B ; P , M ] . [6] Когда координаты могут быть введены в аффинную геометрию, два определения средней точки будут совпадать. [7]
Средняя точка не определяется естественным образом в проективной геометрии, поскольку нет выделенной точки, которая могла бы играть роль точки на бесконечности (любая точка в проективной области может быть проективно отображена в любую другую точку в (той же или какой-либо другой) проективной области). Однако фиксация точки на бесконечности определяет аффинную структуру на рассматриваемой проективной прямой , и приведенное выше определение может быть применено.
Определение средней точки сегмента может быть расширено до сегментов кривых , таких как геодезические дуги на римановом многообразии . Обратите внимание, что, в отличие от аффинного случая, средняя точка между двумя точками может быть определена не однозначно.
^ Альтшиллер-Корт, Натан, College Geometry , Dover Publ., 2007.
^ ab Ding, Jiu; Hitt, L. Richard; Zhang, Xin-Min (1 июля 2003 г.), «Цепи Маркова и динамическая геометрия многоугольников» (PDF) , Linear Algebra and Its Applications , 367 : 255–270, doi :10.1016/S0024-3795(02)00634-1 , получено 19 октября 2011 г..
