Классическая группа

В математике классические группы определяются как специальные линейные группы над действительными числами , комплексными числами и кватернионами вместе со специальными ^[1] группами автоморфизмов симметричных или кососимметричных билинейных форм и эрмитовых или косоэрмитовых полуторалинейных форм, определенных на действительных, комплексных и кватернионных конечномерных векторных пространствах. ^[2] Из них комплексные классические группы Ли представляют собой четыре бесконечных семейства групп Ли , которые вместе с исключительными группами исчерпывают классификацию простых групп Ли . Компактные классические группы являются компактными действительными формами комплексных классических групп. Конечными аналогами классических групп являются классические группы типа Ли . Термин «классическая группа» был придуман Германом Вейлем , и он был названием его монографии 1939 года «Классические группы» . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Классические группы образуют самую глубокую и полезную часть предмета линейных групп Ли. ^[4] Большинство типов классических групп находят применение в классической и современной физике. Вот несколько примеров. Группа вращения SO(3) является симметрией евклидова пространства и всех фундаментальных законов физики, группа Лоренца O(3,1) является группой симметрии пространства-времени специальной теории относительности . Специальная унитарная группа SU(3) является группой симметрии квантовой хромодинамики , а симплектическая группа Sp( m ) находит применение в гамильтоновой механике и ее квантово-механических версиях.

Классические группы

Классические группы — это в точности общие линейные группы над , и вместе с группами автоморфизмов невырожденных форм, обсуждаемыми ниже. ^[5] Эти группы обычно дополнительно ограничиваются подгруппами, элементы которых имеют определитель 1, так что их центры дискретны. Классические группы с условием определителя 1 перечислены в таблице ниже. В дальнейшем условие определителя 1 не используется последовательно в интересах большей общности. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Комплексные классические группы — это SL( n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , SO( n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ и Sp( n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Группа является комплексной в зависимости от того, является ли ее алгебра Ли комплексной. Действительные классические группы относятся ко всем классическим группам, поскольку любая алгебра Ли является действительной алгеброй. Компактные классические группы являются компактными действительными формами комплексных классических групп. Это, в свою очередь, SU( n ) , SO( n ) и Sp( n ) . Одна из характеристик компактной действительной формы дается в терминах алгебры Ли g . Если g = u + i u , комплексификация u , и если связная группа K , порожденная {exp( X ): X ∈ u } , компактна, то K является компактной действительной формой. ^[6]

Классические группы можно единообразно охарактеризовать другим способом, используя действительные формы . Классические группы (здесь с условием определителя 1, но это не обязательно) следующие:

Комплексные линейные алгебраические группы SL( n , ), SO( n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ и Sp( n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ вместе с их действительными формами . ^[7]

Например, SO ^∗ (2 n ) является вещественной формой SO(2 n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , SU( p , q ) является вещественной формой SL( n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , а SL( n , ) ${\displaystyle \mathbb {H} }$ является вещественной формой SL(2 n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Без условия определителя 1 замените специальные линейные группы соответствующими общими линейными группами в характеристике. Рассматриваемые алгебраические группы являются группами Ли, но для получения правильного понятия «вещественная форма» необходим определитель «алгебраический».

Билинейные и полуторалинейные формы

Классические группы определяются в терминах форм, определенных на R ⁿ , C ⁿ и H ⁿ , где R и C являются полями действительных и комплексных чисел . Кватернионы , H , не образуют поле , поскольку умножение не коммутирует; они образуют тело или тело или некоммутативное поле . Однако все еще возможно определить матричные кватернионные группы. По этой причине векторное пространство V разрешено определять над R , C , а также над H ниже. В случае H , V является правым векторным пространством , что делает возможным представление действия группы как матричное умножение слева , так же как для R и C . ^[8]

Форма φ : V × V → F на некотором конечномерном правом векторном пространстве над F = R , C или H является билинейной , если

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.}$и если

${\displaystyle \varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.}$

Он называется полуторалинейным, если

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )={\bar {\alpha }}\varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.}$и если

${\displaystyle \varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.}$

Эти соглашения выбраны потому, что они работают во всех рассматриваемых случаях. Автоморфизм φ — это отображение Α в множестве линейных операторов на V такое, что

Множество всех автоморфизмов φ образует группу, она называется группой автоморфизмов φ и обозначается Aut( φ ) . Это приводит к предварительному определению классической группы:

Классическая группа — это группа , которая сохраняет билинейную или полуторалинейную форму на конечномерных векторных пространствах над R , C или H.

Это определение имеет некоторую избыточность. В случае F = R билинейный эквивалентен полуторалинейному. В случае F = H не существует ненулевых билинейных форм. ^[9]

Симметричные, кососимметричные, эрмитовы и косоэрмитовы формы

Форма симметрична , если

${\displaystyle \varphi (x,y)=\varphi (y,x).}$

Он кососимметричен, если

${\displaystyle \varphi (x,y)=-\varphi (y,x).}$

Это эрмитово, если

${\displaystyle \varphi (x,y)={\overline {\varphi (y,x)}}}$

Наконец, он является косоэрмитовым, если

${\displaystyle \varphi (x,y)=-{\overline {\varphi (y,x)}}.}$

Билинейная форма φ однозначно является суммой симметричной формы и кососимметричной формы. Преобразование, сохраняющее φ , сохраняет обе части по отдельности. Группы, сохраняющие симметричные и кососимметричные формы, таким образом, можно изучать отдельно. То же самое относится, mutatis mutandis, к эрмитовым и косоэрмитовым формам. По этой причине для целей классификации рассматриваются только чисто симметричные, кососимметричные, эрмитовы или косоэрмитовы формы. Нормальные формы форм соответствуют определенным подходящим выборам базисов. Это базисы, дающие следующие нормальные формы в координатах:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Bilinear symmetric form in (pseudo-)orthonormal basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\pm }\xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{2}\eta _{2}\pm \cdots \pm \xi _{n}\eta _{n},&&(\mathbf {R} )\\{\text{Bilinear symmetric form in orthonormal basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{2}\eta _{2}+\cdots +\xi _{n}\eta _{n},&&(\mathbf {C} )\\{\text{Bilinear skew-symmetric in symplectic basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}+\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}\\&-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}-\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},&&(\mathbf {R} ,\mathbf {C} )\\{\text{Sesquilinear Hermitian:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\pm }{\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\pm \cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n},&&(\mathbf {C} ,\mathbf {H} )\\{\text{Sesquilinear skew-Hermitian:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}+\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},&&(\mathbf {H} )\end{aligned}}}$

j в косоэрмитовой форме является третьим базисным элементом в базисе ( 1 , i , j , k ) для H. Доказательство существования этих базисов и закона инерции Сильвестра , независимости числа знаков плюс и минус, p и q , в симметричной и эрмитовой формах, а также наличия или отсутствия полей в каждом выражении можно найти в Rossmann (2002) или Goodman & Wallach (2009). Пара ( p , q ) , а иногда и p − q , называется сигнатурой формы.

Объяснение появления полей R , C , H : Нетривиальных билинейных форм над H не существует . В симметричном билинейном случае сигнатуру имеют только формы над R . Другими словами, комплексная билинейная форма с «сигнатурой» ( p , q ) может быть с помощью замены базиса сведена к форме, где все знаки равны « + » в приведенном выше выражении, тогда как в действительном случае это невозможно, в котором p − q не зависит от базиса при подстановке в эту форму. Однако эрмитовы формы имеют независимую от базиса сигнатуру как в комплексном, так и в кватернионном случае. (Действительный случай сводится к симметричному случаю.) Косоэрмитова форма на комплексном векторном пространстве становится эрмитовой путем умножения на i , поэтому в этом случае интересен только H.

Группы автоморфизмов

Герман Вейль , автор «Классических групп» . Вейль внес существенный вклад в теорию представлений классических групп.

В первом разделе представлена ​​общая структура. В других разделах рассматриваются качественно различные случаи , возникающие как группы автоморфизмов билинейных и полуторалинейных форм на конечномерных векторных пространствах над R , C и H.

Авт(φ) – группа автоморфизмов

Предположим, что φ — невырожденная форма на конечномерном векторном пространстве V над R , C или H. Группа автоморфизмов определяется на основе условия ( 1 ) как

${\displaystyle \mathrm {Aut} (\varphi )=\{A\in \mathrm {GL} (V):\varphi (Ax,Ay)=\varphi (x,y),\quad \forall x,y\in V\}.}$

Каждый A ∈ M _n ( V ) имеет сопряженный A ^φ относительно φ, определяемый формулой

Используя это определение в условии ( 1 ), можно увидеть, что группа автоморфизмов задается формулой

Зафиксируем базис для V. В терминах этого базиса положим

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sum \xi _{i}\varphi _{ij}\eta _{j}}$

где ξ _i , η _j — компоненты x , y . Это подходит для билинейных форм. Полуторалинейные формы имеют похожие выражения и рассматриваются отдельно позже. В матричной записи можно найти

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }\Phi y}$

и

из ( 2 ) где Φ — матрица ( φ _ij ) . Условие невырожденности означает именно то, что Φ обратима, поэтому сопряженный всегда существует. Aut( φ ) выраженный с этим становится

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\left\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{\mathrm {T} }\Phi A=1\right\}.}$

Алгебра Ли aut ( φ ) групп автоморфизмов может быть записана немедленно. Абстрактно, X ∈ aut ( φ ) тогда и только тогда, когда

${\displaystyle (e^{tX})^{\varphi }e^{tX}=1}$

для всех t , соответствующих условию в ( 3 ) при экспоненциальном отображении алгебр Ли, так что

${\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\left\{X\in M_{n}(V):X^{\varphi }=-X\right\},}$

или в основе

как видно с использованием разложения в степенной ряд экспоненциального отображения и линейности задействованных операций. Наоборот, предположим, что X ∈ aut ( φ ) . Тогда, используя приведенный выше результат, φ ( Xx , y ) = φ( x , X ^φ y ) = −φ( x , Xy ) . Таким образом, алгебру Ли можно охарактеризовать без ссылки на базис или сопряженный элемент как

${\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\varphi (Xx,y)=-\varphi (x,Xy),\quad \forall x,y\in V\}.}$

Нормальная форма для φ будет дана для каждой классической группы ниже. Из этой нормальной формы матрица Φ может быть считана напрямую. Следовательно, выражения для присоединенной и алгебр Ли могут быть получены с использованием формул ( 4 ) и ( 5 ). Это продемонстрировано ниже в большинстве нетривиальных случаев.

Билинейный случай

Когда форма симметрична, Aut( φ ) называется O( φ ) . Когда она кососимметрична, то Aut( φ ) называется Sp( φ ) . Это применимо к действительным и комплексным случаям. Кватернионный случай пуст, поскольку на кватернионных векторных пространствах не существует ненулевых билинейных форм. ^[12]

Реальный случай

Реальный случай распадается на два случая: симметричную и антисимметричную формы, которые следует рассматривать отдельно.

О(п,д) и О(н) – ортогональные группы

Если φ симметрично и векторное пространство действительно, базис можно выбрать так, что

${\displaystyle \varphi (x,y)=\pm \xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{2}\eta _{2}\cdots \pm \xi _{n}\eta _{n}.}$

Число знаков плюс и минус не зависит от конкретного базиса. ^[13] В случае V = R ⁿ записывается O( φ ) = O( p , q ), где p — число знаков плюс, а q — число знаков минус, p + q = n . Если q = 0, то запись будет O( n ) . Матрица Φ в этом случае имеет вид

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\equiv I_{p,q}}$

после переупорядочения базиса, если необходимо. Присоединенная операция ( 4 ) тогда становится

${\displaystyle A^{\varphi }=\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A_{11}&\cdots \\\cdots &A_{nn}\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right),}$

что сводится к обычному транспонированию, когда p или q равно 0. Алгебра Ли находится с использованием уравнения ( 5 ) и подходящего анзаца (это подробно описано для случая Sp( m , R ) ниже),

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Y_{p\times q}\\Y^{\mathrm {T} }&W_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad W^{\mathrm {T} }=-W\right\},}$

и группа согласно ( 3 ) задается как

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )|I_{p,q}^{-1}g^{\mathrm {T} }I_{p,q}g=I\}.}$

Группы O( p , q ) и O( q , p ) изоморфны относительно отображения

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)\rightarrow \mathrm {O} (q,p),\quad g\rightarrow \sigma g\sigma ^{-1},\quad \sigma =\left[{\begin{smallmatrix}0&0&\cdots &1\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&1&\cdots &0\\1&0&\cdots &0\end{smallmatrix}}\right].}$

Например, алгебра Ли группы Лоренца может быть записана как

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)=\mathrm {span} \left\{\left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&1&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{smallmatrix}}\right)\right\}.}$

Естественно, можно перестроить так, чтобы q -блок был левым верхним (или любым другим блоком). Здесь «компонент времени» оказывается четвертой координатой в физической интерпретации, а не первой, как может быть более распространено.

Сп(м, R) – действительная симплектическая группа

Если φ кососимметрично и векторное пространство действительно, то существует базис, дающий

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},}$

где n = 2 m . Для Aut( φ ) записывается Sp( φ ) = Sp( V ) В случае V = R ⁿ = R ^{2 m} записывается Sp( m , R ) или Sp(2 m , R ) . Из нормальной формы считывается

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=J_{m}.}$

Сделав анзац

${\displaystyle V=\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right),}$

где X , Y , Z , W — m -мерные матрицы и учитывая ( 5 ),

${\displaystyle \left({\begin{matrix}0_{m}&-I_{m}\\I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=-\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)}$

находим алгебру Ли Sp( m , R ) ,

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {R} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},}$

и группа задается как

${\displaystyle \mathrm {Sp} (m,\mathbb {R} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {R} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.}$

Сложный случай

Как и в вещественном случае, существуют два случая: симметричный и антисимметричный, каждый из которых дает семейство классических групп.

О(н, C) – комплексная ортогональная группа

Если случай φ симметричен и векторное пространство комплексное, то базис

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{1}\eta _{1}\cdots +\xi _{n}\eta _{n}}$

только с плюсами можно использовать. Группа автоморфизмов в случае V = C ⁿ называется O(n, C ) . Алгебра Ли — это просто частный случай для o ( p , q ) ,

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,\mathbb {C} )={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )=\{X|X^{\mathrm {T} }=-X\},}$

и группа задается как

${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )=\{g|g^{\mathrm {T} }g=I_{n}\}.}$

_С точки зрения классификации простых алгебр Ли , so ( n ) делятся на два класса: с _{нечетным} n и корневой системой Bn и с четным n и корневой системой Dn .

Сп(м, C) – комплексная симплектическая группа

Для кососимметричного φ и векторного пространства комплекса та же формула,

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},}$

применяется как в вещественном случае. Для Aut( φ ) записывается Sp( φ ) = Sp( V ) . В этом случае записывается Sp( m , ) или Sp(2 m , ) . Алгебра Ли параллельна алгебре sp ( m , ) , ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} ^{2m}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {C} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},}$

и группа задается как

${\displaystyle \mathrm {Sp} (m,\mathbb {C} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {C} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.}$

Полуторалинейный случай

В полуторалинейном случае применяется несколько иной подход к форме с точки зрения базиса,

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sum {\bar {\xi }}_{i}\varphi _{ij}\eta _{j}.}$

Другие выражения, которые изменяются:

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{*}\Phi y,\qquad A^{\varphi }=\Phi ^{-1}A^{*}\Phi ,}$^[14]

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{*}\Phi A=1\},}$

Реальный случай, конечно, ничего нового не дает. Комплексный и кватернионный случай будут рассмотрены ниже.

Сложный случай

С качественной точки зрения рассмотрение косоэрмитовых форм (с точностью до изоморфизма) не дает новых групп; умножение на i делает косоэрмитову форму эрмитовой, и наоборот. Таким образом, необходимо рассматривать только эрмитов случай.

У(п,д) и U(н) – унитарные группы

Невырожденная эрмитова форма имеет нормальный вид

${\displaystyle \varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}.}$

^{Как и} в билинейном случае, сигнатура ( p , q ) не зависит от базиса. Группа автоморфизмов обозначается U( V ) или, в случае V = Cn , U( p , q ) . Если q = 0, то обозначение будет U( n ) . В этом случае Φ принимает вид

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}1_{p}&0\\0&-1_{q}\end{matrix}}\right)=I_{p,q},}$

и алгебра Ли задается как

${\displaystyle {\mathfrak {u}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Z_{p\times q}\\{\overline {Z_{p\times q}}}^{\mathrm {T} }&Y_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|{\overline {X}}^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=-Y\right\}.}$

Группа дается

${\displaystyle \mathrm {U} (p,q)=\{g|I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I\}.}$

где g — это общая комплексная матрица размера nxn, определяемая как сопряженная транспонированная матрица g, которую физики называют . ${\displaystyle g^{*}}$ ${\displaystyle g^{\dagger }}$

Для сравнения, унитарная матрица U(n) определяется как

${\displaystyle \mathrm {U} (n)=\{g|g^{*}g=I\}.}$

Отметим, что это то же самое, что ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n,0)}$

Кватернионный случай

Пространство H ⁿ рассматривается как правое векторное пространство над H . Таким образом, A ( vh ) = ( Av ) h для кватерниона h , вектора-столбца кватерниона v и матрицы кватерниона A . Если бы H ⁿ было левым векторным пространством над H , то для сохранения линейности потребовалось бы умножение матриц справа на векторы-строки. Это не соответствует обычной линейной операции группы на векторном пространстве, когда задан базис, который является умножением матриц слева на векторы-столбцы. Таким образом, V отныне является правым векторным пространством над H . Тем не менее, необходимо соблюдать осторожность из-за некоммутативной природы H . (В основном очевидные) детали пропускаются, поскольку будут использоваться комплексные представления.

При работе с кватернионными группами удобно представлять кватернионы с помощью комплексных матриц размера 2×2 ,

При таком представлении кватернионное умножение становится матричным умножением, а кватернионное сопряжение становится взятием эрмитова сопряженного. Более того, если кватернион в соответствии с комплексным кодированием q = x + j y задан как вектор-столбец ( x , y ) ^T , то умножение слева на матричное представление кватерниона дает новый вектор-столбец, представляющий правильный кватернион. Это представление немного отличается от более распространенного представления, найденного в статье о кватернионах . Более распространенное соглашение заставило бы умножать справа на матрицу-строку, чтобы достичь того же самого.

Кстати, из представленного выше представления ясно, что группа единичных кватернионов ( α α + β β = 1 = det Q ) изоморфна SU(2) .

Кватернионные n × n -матрицы могут, путем очевидного расширения, быть представлены 2 n ×2 n блочными матрицами комплексных чисел. ^[16] Если согласиться представить кватернионный n ×1 вектор-столбец вектором-столбцом 2 n ×1 с комплексными числами в соответствии с кодировкой выше, где верхние n чисел являются α _i , а нижние n - β i _, то кватернионная n × n -матрица становится комплексной 2 n ×2 n -матрицей точно такой же формы, как указано выше, но теперь с α и β n × n -матрицами. Более формально

Матрица T ∈ GL(2 n , C ) имеет форму, показанную в ( 8 ), тогда и только тогда, когда J _n T = TJ _n . С этими идентификациями,

${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}\approx \mathbb {C} ^{2n},M_{n}(\mathbb {H} )\approx \left\{\left.T\in M_{2n}(\mathbb {C} )\right|J_{n}T={\overline {T}}J_{n},\quad J_{n}=\left({\begin{matrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{matrix}}\right)\right\}.}$

Пространство M _n ( H ) ⊂ M _{2 n} ( C ) является действительной алгеброй, но не является комплексным подпространством M _{2 n} ( C ) . Умножение (слева) на i в M _n ( H ) с использованием кватернионного умножения по элементам и последующего отображения на изображение в M _{2 n} ( C ) дает другой результат, чем умножение по элементам на i напрямую в M _{2 n} ( C ) . Правила кватернионного умножения дают i ( X + j Y ) = ( i X ) + j (− i Y ) , где новые X и Y находятся внутри скобок.

Действие кватернионных матриц на кватернионные векторы теперь представлено комплексными величинами, но в остальном оно такое же, как для «обычных» матриц и векторов. Таким образом, кватернионные группы вложены в M _{2 n} ( C ) , где n — размерность кватернионных матриц.

Определитель кватернионной матрицы определяется в этом представлении как обычный комплексный определитель ее представительной матрицы. Некоммутативная природа кватернионного умножения была бы в кватернионном представлении матриц неоднозначной. Способ вложения M _n ( H ) в M _{2 n} ( C ) не является уникальным, но все такие вложения связаны посредством g ↦ AgA ⁻¹ , g ∈ GL(2 n , C ) для A ∈ O(2 n , C ) , оставляя определитель неизменным. ^[17] Имя SL( n , H ) в этом комплексном облике — SU ^∗ (2 n ) .

В отличие от случая C , как эрмитов, так и косоэрмитов случай вносят что-то новое при рассмотрении H , поэтому эти случаи рассматриваются отдельно.

ГЛ(н, Н) и SL(н, Н)

Согласно идентификации выше,

${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )|Jg={\overline {g}}J,\mathrm {det} \quad g\neq 0\}\equiv \mathrm {U} ^{*}(2n).}$

Его алгебра Ли gl ( n , H ) представляет собой множество всех матриц в образе отображения M _n ( H ) ↔ M _{2 n} ( C ) выше,

${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X,Y\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\right\}\equiv {\mathfrak {u}}^{*}(2n).}$

Кватернионная специальная линейная группа задается формулой

${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )|\mathrm {det} \ g=1\}\equiv \mathrm {SU} ^{*}(2n),}$

где определитель берется на матрицах в C ^{2 n} . Альтернативно, можно определить это как ядро ​​определителя Дьедонне . Алгебра Ли есть ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\rightarrow \mathbb {H} ^{*}/[\mathbb {H} ^{*},\mathbb {H} ^{*}]\simeq \mathbb {R} _{>0}^{*}}$

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|Re(\operatorname {Tr} X)=0\right\}\equiv {\mathfrak {su}}^{*}(2n).}$

Сп(п,д) – кватернионная унитарная группа

Как и выше в комплексном случае, нормальная форма имеет вид

${\displaystyle \varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}}$

и количество знаков плюс не зависит от базиса. Когда V = H ⁿ с этой формой, Sp( φ ) = Sp( p , q ) . Причина обозначения в том, что группа может быть представлена, используя приведенное выше предписание, как подгруппа Sp( n , C ), сохраняющая комплексно-эрмитову форму сигнатуры (2 p , 2 q ) ^[18] Если p или q = 0, группа обозначается U( n , H ) . Иногда ее называют гиперунитарной группой .

В кватернионной нотации,

${\displaystyle \Phi ={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}=I_{p,q}}$

это означает, что кватернионные матрицы вида

удовлетворит

${\displaystyle \Phi ^{-1}{\mathcal {Q}}^{*}\Phi =-{\mathcal {Q}},}$

см. раздел об u ( p , q ) . Необходимо проявлять осторожность при работе с умножением кватернионных матриц, но здесь задействованы только I и - I , и они коммутируют с каждой кватернионной матрицей. Теперь применим предписание ( 8 ) к каждому блоку,

${\displaystyle {\mathcal {X}}={\begin{pmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {Y}}={\begin{pmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {Z}}={\begin{pmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{pmatrix}},}$

и соотношения в ( 9 ) будут выполнены, если

${\displaystyle X_{1}^{*}=-X_{1},\quad Y_{1}^{*}=-Y_{1}.}$

Алгебра Ли становится

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,q)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}^{*}&{\begin{bmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{bmatrix}}\end{pmatrix}}\right|X_{1}^{*}=-X_{1},\quad Y_{1}^{*}=-Y_{1}\right\}.}$

Группа дается

${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\left\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\mid I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I_{p+q}\right\}=\left\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid K_{p,q}^{-1}g^{*}K_{p,q}g=I_{2(p+q)},\quad K=\operatorname {diag} \left(I_{p,q},I_{p,q}\right)\right\}.}$

Возвращаясь к нормальной форме φ ( w , z ) для Sp( p , q ) , сделаем замены w → u + jv и z → x + jy с u, v, x, y ∈ C ⁿ . Тогда

${\displaystyle \varphi (w,z)={\begin{bmatrix}u^{*}&v^{*}\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+j{\begin{bmatrix}u&-v\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}y\\x\end{bmatrix}}=\varphi _{1}(w,z)+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z),\quad K_{p,q}=\mathrm {diag} \left(I_{p,q},I_{p,q}\right)}$

рассматриваемая как H -значная форма на C ^{2 n} . ^[19] Таким образом, элементы Sp( p , q ) , рассматриваемые как линейные преобразования C ^{2 n} , сохраняют как эрмитову форму сигнатуры (2 p , 2 q ) , так и невырожденную кососимметричную форму. Обе формы принимают чисто комплексные значения и из-за префактора j второй формы они по отдельности сохраняются. Это означает, что

${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\mathrm {U} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1}\right)\cap \mathrm {Sp} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{2}\right)}$

и это объясняет как название группы, так и ее обозначение.

О^∗(2н) = О(н, H)- кватернионная ортогональная группа

Нормальная форма для косоэрмитовой формы задается выражением

${\displaystyle \varphi (x,y)={\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},}$

где j — третий базисный кватернион в упорядоченном списке ( 1 , i , j , k ) . В этом случае Aut( φ ) = O ^∗ (2n ) может быть реализовано с использованием комплексного матричного кодирования выше как подгруппа O(2n , C ) , которая сохраняет невырожденную комплексную косоэрмитову форму сигнатуры ( n , n ) . ^[20] Из нормальной формы видно, что в кватернионной нотации

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{smallmatrix}\mathbf {j} &0&\cdots &0\\0&\mathbf {j} &\cdots &\vdots \\\vdots &&\ddots &&\\0&\cdots &0&\mathbf {j} \end{smallmatrix}}\right)\equiv \mathrm {j} _{n}}$

и из ( 6 ) следует, что

для V ∈ o (2 n ) . Теперь положим

${\displaystyle V=X+\mathbf {j} Y\leftrightarrow \left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)}$

Согласно рецепту ( 8 ). Тот же рецепт дает для Φ ,

${\displaystyle \Phi \leftrightarrow \left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\equiv J_{n}.}$

Теперь последнее условие в ( 9 ) в комплексной записи имеет вид

${\displaystyle \left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)^{*}=\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\Leftrightarrow X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y.}$

Алгебра Ли становится

${\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(2n)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y\right\},}$

и группа задается как

${\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\left\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\mid \mathrm {j} _{n}^{-1}g^{*}\mathrm {j} _{n}g=I_{n}\right\}=\left\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid J_{n}^{-1}g^{*}J_{n}g=I_{2n}\right\}.}$

Группу SO ^∗ (2 n ) можно охарактеризовать как

${\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\left\{g\in \mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )\mid \theta \left({\overline {g}}\right)=g\right\},}$^[21]

где отображение θ : GL(2 n , C ) → GL(2 n , C ) определяется как g ↦ − J _{2 n} gJ _{2 n} .

Также форму, определяющую группу, можно рассматривать как H -значную форму на C ^{2 n} . ^[22] Сделаем замены x → w ₁ + iw ₂ и y → z ₁ + iz ₂ в выражении для формы. Тогда

${\displaystyle \varphi (x,y)={\overline {w}}_{2}I_{n}z_{1}-{\overline {w}}_{1}I_{n}z_{2}+\mathbf {j} (w_{1}I_{n}z_{1}+w_{2}I_{n}z_{2})={\overline {\varphi _{1}(w,z)}}+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z).}$

Форма φ ₁ является эрмитовой (тогда как первая форма слева является косоэрмитовой) сигнатуры ( n , n ) . Сигнатура становится очевидной при изменении базиса с ( e , f ) на (( e + i f )/ √ 2 , ( e − i f )/ √ 2 ) , где e , f являются первым и последним n базисными векторами соответственно. Вторая форма φ ₂ является симметричной положительно определенной. Таким образом, из-за множителя j , O ^∗ (2 n ) сохраняет оба по отдельности, и можно сделать вывод, что

${\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )\cap \mathrm {U} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1}\right),}$

и поясняется обозначение «О».

Классические группы над общими полями или алгебрами

Классические группы, более широко рассматриваемые в алгебре, предоставляют особенно интересные матричные группы . Когда поле  F коэффициентов матричной группы является либо действительным числом, либо комплексными числами, эти группы являются просто классическими группами Ли. Когда основное поле является конечным полем , то классические группы являются группами типа Ли . Эти группы играют важную роль в классификации конечных простых групп . Также можно рассмотреть классические группы над унитальной ассоциативной алгеброй  R над F ; где R  =  H (алгебра над действительными числами) представляет собой важный случай. Ради общности в статье будут упоминаться группы над R , где R может быть самим основным полем  F.

Рассматривая их абстрактную теорию групп, многие линейные группы имеют " специальную " подгруппу, обычно состоящую из элементов определителя 1 над основным полем, и большинство из них имеют ассоциированные " проективные " факторы, которые являются факторами по центру группы. Для ортогональных групп в характеристике 2 "S" имеет другое значение.

Слово " general " перед именем группы обычно означает, что группе разрешено умножать некоторую форму на константу, а не оставлять ее фиксированной. Нижний индекс n обычно указывает размерность модуля , на который действует группа; это векторное пространство , если R  =  F. Предостережение: эта нотация несколько конфликтует с n диаграмм Дынкина, что является рангом.

Общие и специальные линейные группы

Общая линейная группа GL _n ( R ) — это группа всех R -линейных автоморфизмов R ⁿ . Имеется подгруппа: специальная линейная группа SL _n ( R ), и их факторы: проективная общая линейная группа PGL _n ( R ) = GL _n ( R )/Z(GL _n ( R )) и проективная специальная линейная группа PSL _n ( R ) = SL _n ( R )/Z(SL _n ( R )). Проективная специальная линейная группа PSL _n ( F ) над полем F проста для n  ≥ 2, за исключением двух случаев, когда n  = 2 и поле имеет порядок ^{[ требуется пояснение ]} 2 или 3.

Унитарные группы

Унитарная группа U _n ( R ) — это группа, сохраняющая полуторалинейную форму на модуле. Существует подгруппа, специальная унитарная группа SU _n ( R ) и их факторы проективная унитарная группа PU _n ( R ) = U _n ( R )/Z(U _n ( R )) и проективная специальная унитарная группа PSU _n ( R ) = SU _n ( R )/Z(SU _n ( R ))

Симплектические группы

Симплектическая группа Sp _{2 n} ( R ) сохраняет кососимметричную форму на модуле. Она имеет фактор — проективную симплектическую группу PSp _{2 n} ( R ). Общая симплектическая группа GSp _{2 n} ( R ) состоит из автоморфизмов модуля, умножающих кососимметричную форму на некоторый обратимый скаляр. Проективная симплектическая группа PSp _{2 n} ( F _q ) над конечным полем проста для n  ≥ 1, за исключением случаев PSp ₂ над полями из двух и трех элементов.

Ортогональные группы

Ортогональная группа O _n ( R ) сохраняет невырожденную квадратичную форму на модуле. Имеется подгруппа, специальная ортогональная группа SO _n ( R ) и факторы, проективная ортогональная группа PO _n ( R ), и проективная специальная ортогональная группа PSO _n ( R ). В характеристике 2 определитель всегда равен 1, поэтому специальная ортогональная группа часто определяется как подгруппа элементов инварианта Диксона 1.

Существует безымянная группа, часто обозначаемая как Ω _n ( R ), состоящая из элементов ортогональной группы элементов спинорной нормы 1, с соответствующей подгруппой и факторгруппами SΩ _n ( R ), PΩ _n ( R ), PSΩ _n ( R ). (Для положительно определенных квадратичных форм над вещественными числами группа Ω оказывается такой же, как ортогональная группа, но в общем случае она меньше.) Существует также двойное покрытие Ω _n ( R ), называемое пин-группой Pin _n ( R ), и оно имеет подгруппу, называемую спин-группой Spin _n ( R ). Общая ортогональная группа GO _n ( R ) состоит из автоморфизмов модуля, умножающего квадратичную форму на некоторый обратимый скаляр.

Условные обозначения

Контраст с исключительными группами Ли

Контрастом с классическими группами Ли являются исключительные группы Ли G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ , E ₈ , которые разделяют их абстрактные свойства, но не их привычность. ^[23] Они были обнаружены только около 1890 года в классификации простых алгебр Ли над комплексными числами Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном .

Примечания

1. Здесь под специальной понимается подгруппа полной группы автоморфизмов, элементы которой имеют определитель 1.
2. Россманн 2002 стр. 94.
3. Вейль 1939
4. Россманн 2002 стр. 91.
5. Россманн 2002 стр. 94
6. Россманн 2002 стр. 103
7. Goodman & Wallach 2009 См. конец главы 1.
8. Россманн 2002 стр. 93.
9. Россманн 2002 стр. 105
10. Россманн 2002 стр. 91
11. Россманн 2002 стр. 92
12. Россманн 2002 стр. 105
13. Россманн 2002 стр. 107.
14. Россманн 2002 стр. 93
15. Россманн 2002 стр. 95.
16. Россманн 2002 стр. 94.
17. Гудман и Уоллах 2009 Упражнение 14, Раздел 1.1.
18. Россманн 2002 стр. 94.
19. Гудман и Уоллах 2009 Упражнение 11, Глава 1.
20. Россманн 2002 стр. 94.
21. Гудман и Уоллах 2009 стр.11.
22. Гудман и Уоллах 2009 Упражнение 12 Глава 1.
23. Уайборн, Б. Г. (1974). Классические группы для физиков , Wiley-Interscience. ISBN  0471965057 .

Ссылки

• Э. Артин (1957) Геометрическая алгебра, главы III, IV и V из Интернет-архива.
• Дьедонне, Жан (1955), Геометрия классических групп , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (NF), Heft 5, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-05391-2, МР  0072144
• Гудман, Роу; Уоллах, Нолан Р. (2009), Симметрия, представления и инварианты , Выпускные тексты по математике, т. 255, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-79851-6
• Кнапп, AW (2002). Группы Ли после введения . Прогресс в математике. Т. 120 (2-е изд.). Бостон·Базель·Берлин: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5.
• В. Л. Попов (2001) [1994], "Классическая группа", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли. Введение через линейные группы , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• Вейль, Герман (1939), Классические группы. Их инварианты и представления, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, МР  0000255