В логике и математике противопоставление относится к выводу о переходе от условного утверждения к его логически эквивалентному контрапозитиву и связанному с ним методу доказательства, известному как доказательство путем противопоставления . У контрапозитивного высказывания антецедент и консеквент перевернуты и перевернуты .
Условное заявление . В формулах : противоположностьis. [1]
Если Р , то Q. — Если не Q , то не P. « Если идет дождь, то я ношу пальто» — «Если я не ношу пальто, то дождя не идет».
Закон противопоставления гласит, что условное высказывание истинно тогда и только тогда, когда истинно его противоположное утверждение. [2]
Противоположение ( ) можно сравнить с тремя другими утверждениями:
Обратите внимание: если истинно и дано одно ложное (т. е. ), то логически можно заключить, что оно также должно быть ложным (т. е. ). Это часто называют законом противопоставления или правилом вывода modus tollens . [3]
На показанной диаграмме Эйлера , если что-то находится в A, оно должно быть и в B. Таким образом, мы можем интерпретировать фразу «все А находится в Б» как:
Также ясно, что все, что не находится внутри B (синяя область) , не может быть и внутри A. Это утверждение, которое можно выразить так:
является противоположностью приведенному выше утверждению. Поэтому можно сказать, что
На практике эту эквивалентность можно использовать для облегчения доказательства утверждения. Например, если кто-то хочет доказать, что каждая девушка в Соединенных Штатах (А) имеет каштановые волосы (Б), можно либо попытаться доказать это напрямую, проверив, что все девушки в Соединенных Штатах действительно имеют каштановые волосы, либо попытаться доказать, что все девушки в Соединенных Штатах действительно имеют каштановые волосы (Б ). докажите , проверив, что все девушки без каштановых волос действительно находятся за пределами США. В частности, если бы кто-то нашел в США хотя бы одну девушку без каштановых волос, то это было бы опровергнуто , и то же самое .
В общем, для любого утверждения, где A подразумевает B , not B всегда подразумевает not A. В результате доказательство или опровержение одного из этих утверждений автоматически доказывает или опровергает другое, поскольку они логически эквивалентны друг другу.
Предложение Q подразумевается предложением P , когда имеет место следующее соотношение:
Здесь говорится, что «если , то » или «если Сократ — человек , то Сократ — человек ». В таком условном предложении есть антецедент и следствие . Одно утверждение является противоположным другому только тогда, когда его антецедент является отрицательным консеквентом другого, и наоборот. Таким образом, контрапозитив обычно принимает форму:
То есть «Если не- , то не- », или, более ясно, «Если это не так, то Р не так». На нашем примере это переводится как «Если Сократ не человек , то Сократ не человек ». Говорят, что это утверждение противопоставлено оригиналу и логически эквивалентно ему. Из-за их логической эквивалентности утверждение одного фактически утверждает другое; когда одно истинно , другое также истинно, а когда одно ложно, другое тоже ложно.
Строго говоря, противопоставление может существовать только в двух простых кондиционалах. Однако противопоставление может существовать и в двух сложных, универсальных кондиционалах, если они схожи. Таким образом , или «Все s есть s» противопоставляется , или «Все не- s есть не- s». [4]
В логике первого порядка условное выражение определяется как:
которое можно сделать эквивалентным своему контрапозитиву следующим образом:
Позволять:
Дано, что если А истинно, то Б истинно, а также дано, что Б неверно. Затем мы можем показать, что A не должно быть истинным, от противного. Ведь если бы А было истиной, то и Б тоже должно было бы быть истинным (согласно Modus Ponens ). Однако учитывая, что B неверно, мы получаем противоречие. Следовательно, A не истинно (при условии, что мы имеем дело с бивалентными утверждениями , которые либо истинны, либо ложны):
Мы можем применить тот же процесс наоборот, начиная с предположений, что:
Здесь мы также знаем, что утверждение B либо истинно, либо неверно. Если Б неверно, то А также неверно. Однако дано, что A истинно, поэтому предположение о том, что B неверно, приводит к противоречию, а это означает, что это не тот случай, когда B неверно. Следовательно, B должно быть истинным:
Объединив два доказанных утверждения вместе, мы получаем искомую логическую эквивалентность между кондиционалом и его контрапозитивом:
Логическая эквивалентность между двумя предложениями означает, что они вместе истинны или вместе ложны. Чтобы доказать, что контрапозитивы логически эквивалентны , нам нужно понять, когда материальная импликация истинна или ложна.
Это ложно только тогда, когда истинно и ложно. Следовательно, мы можем свести это предложение к утверждению «Ложно, когда и не- » (т.е. «Истинно, когда не так и не- »):
Элементы союза можно поменять местами без всякого эффекта (благодаря коммутативности ):
Мы определяем как равные " " и как равные (отсюда равно , что равно просто ):
Это гласит: «Это не тот случай, когда ( R истинно, а S ложно)», что является определением материального условного выражения. Затем мы можем сделать такую замену:
Возвращая R и S обратно в и , мы получаем желаемый контрапозитив:
Возьмем утверждение « Все красные объекты имеют цвет ». Это эквивалентно можно выразить так: « Если объект красный, то он имеет цвет » .
Другими словами, контрапозитив логически эквивалентен данному условному утверждению, хотя и недостаточен для двуусловного утверждения .
Аналогично возьмем утверждение « Все четырехугольники имеют четыре стороны » или эквивалентное ему выражение « Если многоугольник является четырехугольником, то у него четыре стороны » .
Поскольку и утверждение, и обратное оба верны, оно называется двуусловным и может быть выражено как « Многоугольник является четырехугольником тогда и только тогда, когда он имеет четыре стороны». (Фраза « если и только если» иногда сокращается как если только .) То есть наличие четырех сторон одновременно необходимо для того, чтобы быть четырехугольником, и само по себе достаточно, чтобы считать его четырехугольником.
Поскольку контрапозитив утверждения всегда имеет то же истинностное значение (истинность или ложность), что и само утверждение, оно может быть мощным инструментом для доказательства математических теорем (особенно если истинность контрапозитивного утверждения легче установить, чем истинность утверждения). сам). Доказательство методом противопоставления (контрапозитивности) — это прямое доказательство контрапозитивности высказывания. [5] Однако с противопоставлением можно использовать и косвенные методы, такие как доказательство от противного, как, например, при доказательстве иррациональности квадратного корня из 2 . По определению рационального числа можно сделать утверждение: « Если оно рационально, то его можно выразить в виде несократимой дроби ». Это утверждение верно , поскольку оно является повторением определения. Противоположность этого утверждения такова: « Если дробь не может быть выражена в виде неприводимой дроби, то она нерациональна ». Это противоречие, как и исходное утверждение, также верно. Следовательно, если можно доказать, что число не может быть выражено в виде неприводимой дроби, то это должно быть так, что это нерациональное число. Последнее можно доказать от противного.
В предыдущем примере для доказательства теоремы использовалась противоположность определения. Можно также доказать теорему, доказав обратное утверждение теоремы. Чтобы доказать, что если положительное целое число N является неквадратным числом , его квадратный корень иррационален , мы можем эквивалентно доказать его контрпозитивность: если положительное целое число N имеет рациональный квадратный корень, то N является квадратным числом. Это можно продемонстрировать, установив √ N равным рациональному выражению a/b , где a и b — положительные целые числа без общего простого делителя, и возведя в квадрат, чтобы получить N = a 2 / b 2 , и отметив, что, поскольку N — положительное целое число b =1, так что N = a 2 , квадратное число.
В интуиционистской логике нельзя доказать , что это утверждение эквивалентно . Мы можем доказать, что это подразумевает , но обратная импликация от до требует закона исключенного третьего или эквивалентной аксиомы.
Противопоставление представляет собой пример теоремы Байеса , который в определенной форме может быть выражен как:
В приведенном выше уравнении условная вероятность обобщает логическое утверждение , т.е. в дополнение к присвоению ИСТИНА или ЛОЖЬ мы также можем присвоить этому утверждению любую вероятность. Этот термин обозначает базовую ставку (также известную как априорная вероятность ) . Предположим, что это эквивалентно значению ИСТИНА, а это эквивалентно значению ЛОЖЬ. Тогда легко увидеть, когда , т.е. когда это ИСТИНА. Это потому , что дробь в правой части приведенного выше уравнения равна 1 и, следовательно, эквивалентна ИСТИНЕ. Следовательно, теорема Байеса представляет собой обобщение противопоставления . [6]
Противопоставление представляет собой пример субъективной теоремы Байеса в субъективной логике , выраженной как: