Счетные стержни ( традиционный китайский :籌; упрощенный китайский :筹; пиньинь : chóu ; японский :算木; ромадзи : санги ; корейский : сангадзи ) представляют собой небольшие палочки, обычно длиной 3–14 см (от 1 до 6 дюймов), которые использовался математиками для вычислений в древней Восточной Азии . Они располагаются горизонтально или вертикально для обозначения любого целого или рационального числа .
Письменные формы, основанные на них, называются стержневыми числительными . Это настоящая позиционная система счисления с цифрами 1–9 и пробелом 0, начиная с периода Воюющих государств (около 475 г. до н.э.) до 16 века.
Китайские арифметики использовали счетные палочки более двух тысяч лет назад.
В 1954 году в могиле № 15 Цзуцзягуншань (左家公山) Чу в Чанше , провинция Хунань , были найдены сорок с лишним счетных стержней периода Воюющих царств (с 5-го века до н. э. по 221 г. до н. э.) . [1] [ не удалось проверить ] [2] [ для проверки требуется цитата ]
В 1973 году археологи обнаружили несколько деревянных надписей в гробнице в Хубэе, датируемых периодом династии Хань (206 г. до н.э. — 220 г. н.э.). На одной из деревянных рукописей было написано: «当利二月定算𝍥». [ нужна цитация ] Это один из самых ранних примеров использования счетных стержней в письменной форме.
Квадратная лаковая шкатулка, датируемая ок. 168 г. до н. э., содержащая квадратную шахматную доску с узорами TLV, шахматные фигуры, счетные стержни и другие предметы, была раскопана в 1972 году в Мавандуи M3, Чанша, провинция Хунань. [3] [4]
В 1976 году в округе Цяньян в провинции Шэньси была обнаружена связка счетных стержней из костей эпохи Западной Хань (202 г. до н.э. — 9 г. н.э.) . [5] [6] Использование счетных стержней должно было предшествовать этому; Сунци ( ок . 544–496 гг . До н.э.), военный стратег конца весеннего и осеннего периода 771 г. до н.э. – 5 в. до н.э., упоминает их использование для расчетов для победы в войнах перед вступлением в битву; [7] Лао-цзы (умер в 531 г. до н.э.), писавший в период Воюющих царств, сказал, что «хороший калькулятор не использует счетные стержни». [8] В «Книге Хань» (завершенной в 111 г. н.э.) записано: «Они рассчитывают бамбук диаметром один фен и длиной шесть цуней, сложенный в шестиугольный пучок из двухсот семидесяти одной части». [9]
Сначала счетные стержни имели круглое поперечное сечение, но ко времени династии Суй (581–618 гг. н. э.) математики использовали треугольные стержни для обозначения положительных чисел и прямоугольные стержни для отрицательных чисел . [ нужна цитата ]
После того, как счеты процветали [ когда? ] , счетные палочки были заброшены, за исключением Японии, где цифры на стержнях превратились в символическое обозначение алгебры .
Счетные палочки обозначают цифры по количеству палочек, а перпендикулярная палочка — пять. Чтобы избежать путаницы, попеременно используются вертикальные и горизонтальные формы. Обычно вертикальные стержневые числа используются для обозначения позиций единиц, сотен, десятков тысяч и т. д., тогда как горизонтальные стержневые числа используются для десятков, тысяч, сотен тысяч и т. д. В Суньцзы Суаньцзин написано, что «один вертикальен, десять — горизонтально». [10]
Красные стержни представляют положительные числа , а черные стержни представляют отрицательные числа . [11] Древние китайцы ясно понимали отрицательные числа и ноль (оставляя для него пустое место), хотя у них не было символа для последнего. В «Девяти главах математического искусства» , написанных в основном в первом веке н.э., говорится: «(при использовании вычитания) вычитайте числа с одинаковым знаком, складывайте числа с разными знаками, вычитайте положительное число из нуля, чтобы получить отрицательное число, и вычитайте число отрицательное число от нуля до положительного числа». [12] [13] Позже камень го иногда использовался для обозначения нуля.
Такое чередование формы вертикальных и горизонтальных стержневых цифр очень важно для правильного понимания письменной транскрипции стержневых цифр в рукописях. Например, в личэн суаньцзинь 81 транскрибировалось как , а 108 — как ; ясно, что последний явно имел на «счетной доске» (т. е. полу или коврике) пустой ноль, хотя в письменной транскрипции пробела не было. В той же рукописи число 405 было записано как , с пробелом между ними по очевидным причинам, и никоим образом не могло быть интерпретировано как «45» . Другими словами, записанные стержневые цифры могут быть не позиционными, но на счетной доске они позиционные. представляет собой точное изображение счетной палочки номер 405 на столешнице или полу.
Значение числа зависит от его физического положения на счетной доске. Цифра 9 в крайнем правом положении на доске означает 9. Перемещение набора палочек, обозначающих 9, на одну позицию влево (т. е. на позицию десятков) дает 9[] или 90. Снова сдвиг влево на третью позицию (к разряду десятков). разряд сотен) дает 9[][] или 900. Каждый раз, когда кто-то сдвигает позицию номер один влево, он умножается на 10. Каждый раз, когда кто-то сдвигает позицию номер один вправо, он делится на 10. Это применимо к однозначным или многозначным числам.
Математик династии Сун Цзя Сянь использовал рукописные китайские десятичные порядки 步十百千萬 в качестве разрядного значения стержневого числа, о чем свидетельствует факсимиле со страницы энциклопедии Юнлэ . Он аранжировал 七萬一千八百二十四 как
Он рассматривал китайские порядковые номера как маркеры разрядного значения, а 七一八二四 стал десятичным числом разрядного значения. Затем он написал стержневые цифры в соответствии с их порядковым значением:
В Японии математики клали счетные стержни на счетную доску — лист ткани с сетками и использовали только вертикальные формы, опираясь на сетки. В японском учебнике математики XVIII века есть диаграмма шахматной счетной доски с символами порядка величин «千百十一分厘毛» (тысяча, сто, десять, единица, десятая, сотая, тысячная). [14]
Примеры:
Стержневые цифры представляют собой позиционную систему счисления, состоящую из форм счетных стержней. Положительные числа записываются такими, какие они есть, а отрицательные — с наклонной чертой у последней цифры. Вертикальная полоса в горизонтальных формах 6–9 делается короче, чтобы иметь ту же высоту символов.
Круг (〇) используется для обозначения 0. Многие историки считают, что он был импортирован из индийских цифр Гаутамой Сиддхой в 718 году, [12] но некоторые полагают, что он был создан из китайского заполнителя текстового пространства «□», а другие думают, что индийцы приобрел его из Китая, поскольку он напоминает конфуцианский философский символ «ничто». [15]
В 13 веке математики Южной Сун заменили цифры на 4, 5 и 9, чтобы уменьшить количество штрихов. [15] Новые горизонтальные формы в конечном итоге превратились в цифры Сучжоу . Японцы продолжали использовать традиционные формы.
Примеры:
В Японии Сэки Такакадзу разработал стержневые цифры в символические обозначения алгебры и радикально улучшил японскую математику . [12] После его периода была разработана позиционная система счисления с использованием китайских числовых символов , а стержневые цифры использовались только для знаков плюс и минус .
Дробь выражалась стержневыми цифрами в виде двух стержневых цифр, расположенных одна над другой (без какого-либо другого символа, как современная горизонтальная черта).
Метод использования счетных стержней для математических расчетов назывался стержневым счетом или стержневым исчислением (筹算). Стержневое исчисление можно использовать для широкого спектра вычислений, включая нахождение значения π , нахождение квадратных корней , кубических корней или корней более высокого порядка , а также решение системы линейных уравнений .
До введения письменного нуля не было возможности отличить 10007 от 107 в письменной форме, кроме как путем вставки большего пробела между 1 и 7, поэтому стержневые цифры использовались только для вычислений с помощью счетных палочек. Как только в игру вступил написанный ноль, стержневые цифры стали независимыми, и их использование действительно пережило счетные стержни после их замены счетами . Один из вариантов горизонтальных стержневых цифр, цифры Сучжоу до сих пор используются для ведения бухгалтерского учета и в рецептах фитотерапии в китайских кварталах в некоторых частях мира.
Unicode 5.0 включает цифры счетных стержней в отдельный блок в дополнительной многоязычной плоскости (SMP) от U+1D360 до U+1D37F. Кодовые точки для горизонтальных цифр 1–9 — от U+1D360 до U+1D368, а кодовые точки для вертикальных цифр 1–9 — от U+1D369 до U+1D371. Первые называются единицами , а вторые - десятками , [16] [17] , что противоречит описанному выше соглашению. Стандарт Unicode гласит, что ориентация символов Unicode соответствует соглашению династии Сун, которое отличается от практики династии Хань, которая представляла цифры в виде вертикальных линий, а десятки - в виде горизонтальных линий. [18] Ноль должен быть представлен U+3007 (〇, идеографическое число ноль), а отрицательный знак должен быть представлен U+20E5 (сочетание наложения обратной косой черты). [19] Поскольку они были недавно добавлены в набор символов и включены в SMP, поддержка шрифтов все еще может быть ограничена.
Чтобы увидеть древние счетные стержни и получить дополнительные объяснения, вы можете посетить сайты