Куб (алгебра)

$y = x 3$ для значений $1 \leq x \leq 25$ .

В арифметике и алгебре куб числа $n$ — это его третья степень , то есть результат умножения трех экземпляров $n .$ Куб числа или любого другого математического выражения обозначается верхним индексом 3, например, 2 ³ = 8 или $($ $x$ $+ 1)$ $3$ .

Куб также представляет собой число, умноженное на его квадрат :

п 3 = п \times п 2 = п \times п \times п

Функция куба — это функция $x \mapsto x 3$ (часто обозначаемая как $y = x 3$ ), которая отображает число в его куб. Это нечетная функция , так как

(- n) 3 = -(n 3)

Объем геометрического куба равен кубу длины его стороны, что и дало название. Обратная операция, которая состоит в нахождении числа, куб которого равен n $,$ называется извлечением кубического корня из $n$ . Она определяет сторону куба заданного объема. Она также равна $n,$ возведенному в третью степень.

График кубической функции известен как кубическая парабола . Поскольку кубическая функция является нечетной функцией, эта кривая имеет центр симметрии в начале координат, но не имеет оси симметрии .

В целых числах

Кубическое число , или совершенный куб , или иногда просто куб , — это число, которое является кубом целого числа . Неотрицательные совершенные кубы до 60 ³ (последовательность A000578 в OEIS ):

Геометрически говоря, положительное целое число $m$ является идеальным кубом тогда и только тогда, когда можно расположить $m$ цельных единичных кубов в более крупный цельный куб. Например, 27 маленьких кубиков можно расположить в один большой с видом кубика Рубика , так как 3 × 3 × 3 = 27 .

Разницу между кубами последовательных целых чисел можно выразить следующим образом:

п 3 - (п - 1) 3 = 3(п - 1) п + 1

или

(n + 1) 3 - n 3 = 3(n + 1) n + 1

Минимального совершенного куба не существует, поскольку куб отрицательного целого числа отрицателен. Например, (−4) × (−4) × (−4) = −64 .

Основание десять

В отличие от полных квадратов , полные кубы не имеют малого количества возможностей для последних двух цифр. За исключением кубов, делящихся на 5, где только 25 , 75 и 00 могут быть последними двумя цифрами, любая пара цифр с нечетной последней цифрой может встречаться как последние цифры совершенного куба. С четными кубами существует значительное ограничение, так как только 00 , $o2$ , $e4$ , o6 и e8 могут быть последними двумя цифрами совершенного куба (где $o$ обозначает любую нечетную цифру, а $e —$ $любую$ четную цифру). Некоторые кубические числа также являются квадратными числами; например, 64 является квадратным числом ( 8 × 8) $и$ кубическим числом (4 × 4 × 4) . Это происходит тогда и только тогда, когда число является полной шестой степенью (в данном случае 2 ⁶ ).

Последние цифры каждой третьей степени:

Однако легко показать, что большинство чисел не являются идеальными кубами, поскольку все идеальные кубы должны иметь цифровой корень 1 , 8 или 9. То есть их значения по модулю 9 могут быть только 0, 1 и 8. Более того, цифровой корень куба любого числа можно определить по остатку, который дает это число при делении на 3:

Если число x делится на 3, то его куб имеет цифровой корень 9; то есть,
${\text{если}}\quad x\equiv 0{\pmod {3}}\quad {\text{тогда}}\quad x^{3}\equiv 0{\pmod {9}}{\text{ (на самом деле}}\quad 0{\pmod {27}}{\text{)}};$
Если при делении на 3 остаток равен 1, то его куб имеет цифровой корень 1; то есть,
${\text{если}}\quad x\equiv 1{\pmod {3}}\quad {\text{тогда}}\quad x^{3}\equiv 1{\pmod {9}};$
Если при делении на 3 остаток равен 2, то его куб имеет цифровой корень 8; то есть,
${\text{если}}\quad x\equiv 2{\pmod {3}}\quad {\text{тогда}}\quad x^{3}\equiv 8{\pmod {9}}.$

Суммы двух кубов

Суммы трех кубов

Предполагается, что каждое целое число (положительное или отрицательное), не сравнимое с $\pm4$ по модулю $9,$ можно записать в виде суммы трех (положительных или отрицательных) кубов бесконечным числом способов. ^[1] Например, . Целые числа, сравнимые с $\pm4$ по модулю $9,$ исключаются, поскольку их нельзя записать в виде суммы трех кубов. $6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}$

Наименьшее такое целое число, для которого такая сумма неизвестна, — 114. В сентябре 2019 года было обнаружено, что предыдущее наименьшее такое целое число с неизвестной суммой в 3 кубах, 42, удовлетворяет этому уравнению: ^[2]

42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}.

Одно решение приведено в таблице ниже для $n$ $\leq 78$ , и $n$ не сравнимо с $4$ или $5$ по модулю $9.$ Выбранное решение — это то, которое является примитивным ( $gcd($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) = 1$ ), не имеет вида или (так как они являются бесконечными семействами решений), удовлетворяет $0 \leq |$ $x$ $| \leq |$ $y$ $| \leq |$ $z$ $|$ и имеет минимальные значения для $|$ $z$ $|$ и $|$ $y$ $|$ (проверяются в этом порядке). ^[3]^[4]^[5] $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ $c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}$ $(n+6nc^{3})^{3}+(n-6nc^{3})^{3}+(-6nc^{2})^{3}=2n^{3}$

Выбираются только примитивные решения, поскольку непримитивные решения могут быть тривиально выведены из решений для меньшего значения $n$ . Например, для $n = 24$ решение получается из решения путем умножения всего на Поэтому это еще одно решение, которое выбирается. Аналогично, для $n$ $= 48$ решение $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) = (-2, -2, 4)$ исключается, и это решение $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) = (-23, -26, 31)$ , которое выбирается. $2^{3}+2^{3}+2^{3}=24$ $1^{3}+1^{3}+1^{3}=3$ $8=2^{3}.$

Великая теорема Ферма для кубов

Уравнение $x 3 + y 3 = z 3$ не имеет нетривиальных (т.е. $xyz \neq 0$ ) решений в целых числах. Фактически, оно не имеет ни одного в целых числах Эйзенштейна . ^[6]

Оба эти утверждения верны также для уравнения ^[7] $x 3 + y 3 = 3 z 3$ .

Сумма первогонкубики

Сумма первых $n$ кубов равна $n-$ му треугольному числу в квадрате:

1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.

Доказательства. Чарльз Уитстон (1854) дает особенно простой вывод, расширяя каждый куб в сумме в набор последовательных нечетных чисел. Он начинает с того, что дает тождество

n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ последовательные нечетные числа}}}.

Это тождество связано с треугольными числами следующим образом: $T_{n}$

n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),

и, таким образом, слагаемые, формирующие , начинаются сразу после тех, которые формируют все предыдущие значения до . Применяем это свойство вместе с другим хорошо известным тождеством: $n^{3}$ $1^{3}$ $(n-1)^{3}$

n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),

получаем следующий вывод:

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}

В более поздней математической литературе Штейн (1971) использует интерпретацию этих чисел с помощью подсчета прямоугольников, чтобы сформировать геометрическое доказательство тождества (см. также Benjamin, Quinn & Wurtz 2006); он замечает, что это также может быть легко доказано (но неинформативно) по индукции, и утверждает, что Теплиц (1963) дает «интересное старое арабское доказательство». Каним (2004) дает чисто визуальное доказательство, Бенджамин и Оррисон (2002) дают два дополнительных доказательства, а Нельсен (1993) дает семь геометрических доказательств.

Например, сумма первых 5 кубов равна квадрату 5-го треугольного числа,

1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}

Аналогичный результат можно получить для суммы первых $y$ нечетных кубов:

1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}

но $x$ , $y$ должны удовлетворять отрицательному уравнению Пелля $x 2 - 2 y 2 = -1$ . Например, для $y = 5$ и $29$ , тогда,

1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}

1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}

и т. д. Кроме того, каждое четное совершенное число , кроме наименьшего, является суммой первых $2 '"`UNIQ--templatestyles-00000076-QINU`"' ⁠ п -1 / 2 ⁠$ нечетные кубы ( p = 3, 5, 7, ...):

28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3}

496=2^{4}(2^{5}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}

8128=2^{6}(2^{7}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}

Сумма кубов чисел в арифметической прогрессии

Существуют примеры кубов чисел в арифметической прогрессии , сумма которых является кубом:

3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}

11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3}

31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}

с первым иногда идентифицируемым как таинственное число Платона . Формула $F$ для нахождения суммы $n$ кубов чисел в арифметической прогрессии с разностью $d$ и начальным кубом $a 3$ ,

F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+\cdots +(a+dn-d)^{3}

дается

F(d,a,n)=(n/4)(2a-d+dn)(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2}n^{2})

Параметрическое решение

F(d,a,n)=y^{3}

известен для частного случая $d = 1$ , или последовательных кубов, как было обнаружено Пальяни в 1829 году. ^[8]

Кубы как суммы последовательных нечетных целых чисел

В последовательности нечетных целых чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ... первое число является кубом ( 1 = 1 ³ ); сумма следующих двух чисел является следующим кубом ( 3 + 5 = 2 ³ ); сумма следующих трех чисел является следующим кубом ( 7 + 9 + 11 = 3 ³ ); и так далее.

Задача Варинга для кубов

Каждое положительное целое число можно записать как сумму девяти (или меньшего количества) положительных кубов. Этот верхний предел в девять кубов не может быть уменьшен, поскольку, например, 23 не может быть записано как сумма менее девяти положительных кубов:

23 = 2 ³ + 2 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ^{3 + 1}³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ .

В рациональных числах

Каждое положительное рациональное число является суммой трех положительных рациональных кубов, ^[9] и существуют рациональные числа, которые не являются суммой двух рациональных кубов. ^[10]

В действительных числах, других полях и кольцах

В действительных числах функция куба сохраняет порядок: большие числа имеют большие кубы. Другими словами, кубы (строго) монотонно возрастают . Кроме того, ее областью значений является вся вещественная прямая : функция $x \mapsto x 3 : R \to R$ является сюръекцией (принимает все возможные значения). Только три числа равны своим собственным кубам: −1 , и 1 . Если $-1 < x < 0$ или $1 < x$ , то $x 3 > x$ . Если $x < -1$ или $0 < x < 1$ , то $x 3 < x$ . Все вышеупомянутые свойства относятся также к любой более высокой нечетной степени ( $x 5$ , $x 7$ , ...) действительных чисел. Равенства и неравенства также верны в любом упорядоченном кольце .

Объемы подобных евклидовых тел относятся как кубы их линейных размеров.

В комплексных числах куб чисто мнимого числа также является чисто мнимым. Например, $i 3 = - i$ .

Производная $x$ $3$ равна $3$ $x$ $2$ .

Кубы иногда обладают сюръективным свойством в других полях , например, в $F p$ для таких простых $p$ , что $p \neq 1 (mod 3)$ , ^[11] , но не обязательно: см. контрпример с рациональными числами выше. Также в $F 7$ только три элемента 0, ±1 являются совершенными кубами из семи в общей сложности. −1, 0 и 1 являются совершенными кубами в любом месте и единственными элементами поля, равными своим собственным кубам: $x 3 - x = x (x - 1)(x + 1)$ .

История

Определение кубов больших чисел было очень распространено во многих древних цивилизациях . Месопотамские математики создали клинописные таблички с таблицами для вычисления кубов и кубических корней к старовавилонскому периоду (20-16 вв. до н. э.). ^[12]^[13] Кубические уравнения были известны древнегреческому математику Диофанту . [ ^14] Герон Александрийский разработал метод вычисления кубических корней в I в. н. э. ^[15] Методы решения кубических уравнений и извлечения кубических корней появляются в «Девяти главах о математическом искусстве» , китайском математическом тексте, составленном около II в. до н. э. и прокомментированном Лю Хуэем в III в. н. э. ^[16]

Смотрите также

Ссылки

^ Хейсман, Сандер Г. (27 апреля 2016 г.). «Новые суммы трех кубов». arXiv : 1604.07746 [math.NT].
^ Букер, Эндрю Р.; Сазерленд, Эндрю В. (2021). «К вопросу о Морделле». Труды Национальной академии наук . 118 (11). arXiv : 2007.01209 . Bibcode :2021PNAS..11822377B. doi : 10.1073/pnas.2022377118 . PMC 7980389 . PMID 33692126.
^ Последовательности A060465, A060466 и A060467 в OEIS
^ Трикуба
^ п=х^3+у^3+z^3
^ Харди и Райт, Теория 227
^ Харди и Райт, Теория 232
^ Беннетт, Майкл А.; Патель, Вандита; Сиксек, Самир (2017), «Совершенные степени, являющиеся суммами последовательных кубов», Mathematika , 63 (1): 230–249, arXiv : 1603.08901 , doi : 10.1112/S0025579316000231, MR 3610012
^ Харди и Райт, Теория 234
^ Харди и Райт, Теория 233
^ Мультипликативная группа F $p$ является циклической порядка $p$ $- 1$ , и если она не делится на 3, то кубы определяют $групповой$ автоморфизм .
↑ Кук, Роджер (8 ноября 2012 г.). История математики. John Wiley & Sons. стр. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.
^ Немет-Неджат, Карен Ри (1998). Повседневная жизнь в Древней Месопотамии . Greenwood Publishing Group. стр. 306. ISBN 978-0-313-29497-6.
^ Ван дер Варден, Геометрия и алгебра древних цивилизаций, глава 4, Цюрих, 1983, ISBN 0-387-12159-5
^ Smyly, J. Gilbart (1920). «Формула Герона для кубического корня». Hermathena . 19 (42). Тринити-колледж Дублин: 64–67. JSTOR 23037103.
^ Кроссли, Джон; В.-К. Лун, Энтони (1999). Девять глав о математическом искусстве: Компаньон и комментарий. Oxford University Press. С. 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0.

Источники

Benjamin, Arthur T.; Orrison, Michael E. (ноябрь 2002 г.). "Два быстрых комбинаторных доказательства Σ k = 1 nk 3 = ( \smallmatrix n+1 2 \endsmallmatrix ) 2" (PDF) . The College Mathematics Journal . 33 (5): 406. doi :10.2307/1559017. JSTOR 1559017.
Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J.; Wurtz, Calyssa (1 ноября 2006 г.). «Суммирование кубов путем подсчета прямоугольников». The College Mathematics Journal . 37 (5): 387–389. doi :10.2307/27646391. JSTOR 27646391.
Харди, ГХ ; Райт, ЭМ (1980). Введение в теорию чисел (Пятое изд.). Оксфорд: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-853171-5.
Каним, Кэтрин (1 октября 2004 г.). «Доказательство без слов: сумма кубов: расширение суммы квадратов Архимеда». Mathematics Magazine . 77 (4): 298–299. doi :10.2307/3219288. JSTOR 3219288.
Нельсен, Роджер Б. (1993). Доказательства без слов: упражнения по визуальному мышлению . Cambridge University Press. ISBN 978-0-88385-700-7.
Стайн, Роберт Г. (1 мая 1971 г.). «Комбинаторное доказательство того, что Σ k3 = (Σ k)2». Mathematics Magazine . 44 (3): 161–162. doi :10.2307/2688231. JSTOR 2688231.
Теплиц, Отто (1963). Исчисление: генетический подход . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-80667-9.
Уитстон, К. (1854). «О формировании степеней из арифметических прогрессий». Труды Лондонского королевского общества . 7 : 145–151. Bibcode :1854RSPS....7..145W. doi :10.1098/rspl.1854.0036. S2CID 121885197.