Искривленное пространство

Искривленное пространство часто относится к пространственной геометрии , которая не является «плоской», где плоское пространство имеет нулевую кривизну , как описано в евклидовой геометрии . ^[1] Искривленные пространства обычно можно описать с помощью римановой геометрии , хотя некоторые простые случаи можно описать и другими способами. Искривленные пространства играют важную роль в общей теории относительности , где гравитацию часто представляют как искривленное пространство. ^[2] Метрика Фридмана -Леметра-Робертсона-Уокера представляет собой изогнутую метрику, которая в настоящее время формирует основу для описания расширения пространства и формы Вселенной . ^{[ нужна цитата ]}

Простой двумерный пример

Очень знакомый пример искривленного пространства — поверхность сферы. Хотя с нашей привычной точки зрения сфера выглядит трехмерной, если объект вынужден лежать на поверхности, он имеет только два измерения , в которых он может двигаться. Поверхность сферы можно полностью описать двумя измерениями, поскольку независимо от того, какой бы грубой ни казалась поверхность, это все равно всего лишь поверхность, которая является двумерной внешней границей объема. Даже поверхность Земли, которая по своей сложности является фрактальной, по-прежнему представляет собой всего лишь двумерную границу снаружи объема. ^[3]

Встраивание

В плоском пространстве сумма квадратов сторон прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Это соотношение не справедливо для искривленных пространств.

Одной из определяющих характеристик искривленного пространства является его отклонение от теоремы Пифагора . ^{[ нужна ссылка ]} В искривленном пространстве

${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}\neq dl^{2}}$.

Пифагорейские отношения часто можно восстановить, описав пространство дополнительным измерением. Предположим, у нас есть трехмерное неевклидово пространство с координатами . Потому что он не плоский ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)}$

${\displaystyle dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}\neq dl'^{2}\,}$.

Но если мы теперь опишем трехмерное пространство с четырьмя измерениями ( ), мы сможем выбрать координаты такие, что ${\displaystyle x,y,z,w}$

${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dw^{2}=dl^{2}\,}$.

Обратите внимание, что координата не совпадает с координатой . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$

Чтобы выбор 4D-координат был действительным дескриптором исходного 3D-пространства, оно должно иметь одинаковое количество степеней свободы . Поскольку четыре координаты имеют четыре степени свободы, на них должно быть наложено ограничение. Мы можем выбрать такое ограничение, чтобы теорема Пифагора выполнялась в новом четырехмерном пространстве. То есть

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}={\textrm {constant}}\,}$.

Константа может быть положительной или отрицательной. Для удобства мы можем выбрать константу

${\displaystyle \kappa ^{-1}R^{2}}$где сейчас положительно и . ${\displaystyle R^{2}\,}$ ${\displaystyle \kappa \equiv \pm 1}$

Теперь мы можем использовать это ограничение, чтобы исключить искусственную четвертую координату . Дифференциал ограничивающего уравнения равен ${\displaystyle w}$

${\displaystyle xdx+ydy+zdz+wdw=0\,}$ведущие к . ${\displaystyle dw=-w^{-1}(xdx+ydy+zdz)\,}$

Подстановка в исходное уравнение дает ${\displaystyle dw}$

${\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+{\frac {(xdx+ydy+zdz)^{2}}{\kappa ^{-1}R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}}$.

Эта форма обычно не особенно привлекательна, поэтому часто применяется преобразование координат: , , . При таком преобразовании координат ${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi }$ ${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \phi }$ ${\displaystyle z=r\cos \theta }$

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

Без встраивания

Геометрию n-мерного пространства также можно описать с помощью римановой геометрии . Изотропное и однородное пространство можно описать метрикой:

${\displaystyle dl^{2}=e^{-\lambda (r)}{dr^{2}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}$.

Это сводится к евклидову пространству , когда . Но можно сказать, что пространство « плоское », если тензор Вейля имеет все нулевые компоненты. В трех измерениях это условие выполняется, когда тензор Риччи ( ) равен произведению метрики на скаляр Риччи ( , не путать с R из предыдущего раздела). То есть . Расчет этих составляющих по метрике дает следующее: ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle R_{ab}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{ab}=g_{ab}R}$

${\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-kr^{2}\right)}$где . ${\displaystyle k\equiv {\frac {R}{2}}}$

Это дает метрику:

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-k{r^{2}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

где может быть нулевым, положительным или отрицательным и не ограничен ±1. ${\displaystyle k}$

Открытый, плоский, закрытый

Изотропное и однородное пространство можно описать метрикой: ^{[ нужна ссылка ]}

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

В пределе, когда константа кривизны ( ) становится бесконечно большой, возвращается плоское евклидово пространство . По сути, это то же самое, что установка нуля. Если не ноль, пространство не евклидово. Когда пространство называют замкнутым или эллиптическим . Когда пространство называют открытым или гиперболическим . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa =+1}$ ${\displaystyle \kappa =-1}$

Треугольники, лежащие на поверхности открытого пространства, будут иметь сумму углов меньше 180°. Треугольники, лежащие на поверхности замкнутого пространства, будут иметь сумму углов больше 180°. Однако объем не тот . ${\displaystyle (4/3)\pi r^{3}}$

Смотрите также

• CAT( k ) пространство
• Неположительная кривизна

Рекомендации

1. "Лекции Фейнмана по физике, том II, глава 42: Искривленное пространство" . www.feynmanlectures.caltech.edu . Проверено 18 января 2024 г.
2. «Искривленное пространство». www.math.brown.edu . Проверено 18 января 2024 г.
3. «Искривленное пространство - Специальная и общая теория относительности - Физика Вселенной» . www.physicalsoftheuniverse.com . Проверено 18 января 2024 г.

дальнейшее чтение

• Фейнмановские лекции по физике Vol. II гл. 42: Искривленное пространство
• Папаставридис, Джон Г. (1999). «Общие n-мерные (римановы) поверхности». Тензорное исчисление и аналитическая динамика . Бока-Ратон: CRC Press. стр. 211–218. ISBN 0-8493-8514-8.

Внешние ссылки

• Curved Spaces — симулятор многосвязных вселенных, разработанный Джеффри Уиксом.