Функция пятой степени

Полиномиальная функция степени 5

График многочлена 5-й степени с 3 действительными нулями (корнями) и 4 критическими точками

В математике функция пятой степени — это функция вида

${\displaystyle g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f,\,}$

где a , b , c , d , e и f являются членами поля , обычно рациональными числами , действительными числами или комплексными числами , и a не равно нулю. Другими словами, функция пятой степени определяется полиномом пятой степени .

Поскольку они имеют нечетную степень, нормальные функции пятой степени выглядят как нормальные кубические функции при графическом отображении, за исключением того, что они могут обладать одним дополнительным локальным максимумом и одним дополнительным локальным минимумом. Производная функции пятой степени является функцией квартической степени .

Принимая g ( x ) = 0 и предполагая a ≠ 0, получаем уравнение пятой степени в виде:

${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0.\,}$

Решение уравнений пятой степени в терминах радикалов ( корней n -й степени) было основной проблемой алгебры с XVI века, когда были решены кубические и четвертые уравнения , до первой половины XIX века, когда невозможность такого общего решения была доказана теоремой Абеля–Руффини .

Нахождение корней уравнения пятой степени

Нахождение корней (нулей) заданного многочлена является важной математической задачей.

Решение линейных , квадратных , кубических и четвертых уравнений в терминах радикалов и элементарных арифметических операций над коэффициентами всегда можно выполнить, независимо от того, являются ли корни рациональными или иррациональными, действительными или комплексными; существуют формулы, которые дают требуемые решения. Однако не существует алгебраического выражения (то есть в терминах радикалов) для решений общих пятых уравнений над рациональными числами; это утверждение известно как теорема Абеля–Руффини , впервые высказанная в 1799 году и полностью доказанная в 1824 году. Этот результат также справедлив для уравнений более высокой степени. Примером пятой степени, корни которой не могут быть выражены в терминах радикалов, является x ⁵ − x + 1 = 0 .

Некоторые квинтики могут быть решены в терминах радикалов. Однако решение, как правило, слишком сложно для использования на практике. Вместо этого численные приближения вычисляются с использованием алгоритма поиска корней для полиномов .

Решаемые квинтики

Некоторые уравнения пятой степени можно решить в терминах радикалов. К ним относятся уравнения пятой степени, определяемые многочленом, который является приводимым , например, x ⁵ − x ⁴ − x + 1 = ( x ² + 1)( x + 1)( x − 1) ² . Например, было показано ^[1], что

${\displaystyle x^{5}-x-r=0}$

имеет решения в радикалах тогда и только тогда, когда оно имеет целочисленное решение или r равно одному из значений ±15, ±22440 или ±2759640, в этих случаях многочлен приводим.

Поскольку решение приводимых уравнений пятой степени немедленно сводится к решению многочленов более низкой степени, в оставшейся части этого раздела рассматриваются только неприводимые уравнения пятой степени, и термин «квинтика» будет относиться только к неприводимым квинтикам. Таким образом, разрешимая квинтика — это неприводимый многочлен пятой степени, корни которого можно выразить через радикалы.

Для характеристики разрешимых квинтик и, в более общем смысле, разрешимых многочленов более высокой степени, Эварист Галуа разработал методы, которые дали начало теории групп и теории Галуа . Применяя эти методы, Артур Кэли нашел общий критерий для определения того, разрешима ли любая заданная квинтика. ^[2] Этот критерий следующий. ^[3]

Учитывая уравнение

${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,}$

преобразование Чирнхауза x = y − ⁠б/5 а⁠ , который понижает квинтику (то есть удаляет член четвертой степени), дает уравнение

${\displaystyle y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0}$,

где

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {5ac-2b^{2}}{5a^{2}}}\\q&={\frac {25a^{2}d-15abc+4b^{3}}{25a^{3}}}\\r&={\frac {125a^{3}e-50a^{2}bd+15ab^{2}c-3b^{4}}{125a^{4}}}\\s&={\frac {3125a^{4}f-625a^{3}be+125a^{2}b^{2}d-25ab^{3}c+4b^{5}}{3125a^{5}}}\end{aligned}}}$

Обе квинтики разрешимы в радикалах тогда и только тогда, когда они либо факторизуются в уравнениях низших степеней с рациональными коэффициентами, либо в многочлене P ² − 1024 z Δ , называемомРезольвента Кэли имеет рациональный корень вz, где

${\displaystyle {\begin{aligned}P={}&z^{3}-z^{2}(20r+3p^{2})-z(8p^{2}r-16pq^{2}-240r^{2}+400sq-3p^{4})\\&-p^{6}+28p^{4}r-16p^{3}q^{2}-176p^{2}r^{2}-80p^{2}sq+224prq^{2}-64q^{4}\\&+4000ps^{2}+320r^{3}-1600rsq\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ={}&-128p^{2}r^{4}+3125s^{4}-72p^{4}qrs+560p^{2}qr^{2}s+16p^{4}r^{3}+256r^{5}+108p^{5}s^{2}\\&-1600qr^{3}s+144pq^{2}r^{3}-900p^{3}rs^{2}+2000pr^{2}s^{2}-3750pqs^{3}+825p^{2}q^{2}s^{2}\\&+2250q^{2}rs^{2}+108q^{5}s-27q^{4}r^{2}-630pq^{3}rs+16p^{3}q^{3}s-4p^{3}q^{2}r^{2}.\end{aligned}}}$

Результат Кэли позволяет нам проверить, разрешима ли квинтика. Если это так, то нахождение ее корней является более сложной задачей, которая состоит в выражении корней в терминах радикалов, включающих коэффициенты квинтики и рациональный корень резольвенты Кэли.

В 1888 году Джордж Пакстон Янг описал, как решить разрешимое уравнение пятой степени, не предоставляя явной формулы; ^[4] в 2004 году Дэниел Лазард написал трехстраничную формулу. ^[5]

Квинтика в форме Бринга-Джеррарда

Существует несколько параметрических представлений разрешимых квинтик вида x ⁵ + ax + b = 0 , называемых формой Бринга–Джеррарда .

Во второй половине XIX века Джон Стюарт Глэшан, Джордж Пакстон Янг и Карл Рунге дали такую ​​параметризацию: неприводимая квинтика с рациональными коэффициентами в форме Бринга–Джеррарда разрешима тогда и только тогда, когда либо a = 0 , либо ее можно записать в виде

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x+{\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}=0}$

где μ и ν рациональны.

В 1994 году Блэр Спирман и Кеннет С. Уильямс предложили альтернативу:

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5e^{4}(4c+3)}{c^{2}+1}}x+{\frac {-4e^{5}(2c-11)}{c^{2}+1}}=0.}$

Связь между параметризациями 1885 и 1994 годов можно увидеть, определив выражение

${\displaystyle b={\frac {4}{5}}\left(a+20\pm 2{\sqrt {(20-a)(5+a)}}\right)}$

где а = ⁠5(4ν + 3)/ν2 + ¹⁠ . Использование отрицательного случая квадратного корня дает, после масштабирования переменных, первую параметризацию, тогда как положительный случай дает вторую.

Подстановка c = ⁠− м/л ⁵⁠ , е = ⁠1/л⁠ в параметризации Спирмена-Вильямса позволяет не исключать особый случай a = 0 , что дает следующий результат:

Если a и b — рациональные числа, то уравнение x ⁵ + ax + b = 0 разрешимо в радикалах, если либо его левая часть является произведением многочленов степени меньше 5 с рациональными коэффициентами, либо существуют два рациональных числа l и m такие, что

${\displaystyle a={\frac {5l(3l^{5}-4m)}{m^{2}+l^{10}}}\qquad b={\frac {4(11l^{5}+2m)}{m^{2}+l^{10}}}.}$

Корни разрешимой квинтики

Полиномиальное уравнение разрешимо в радикалах, если его группа Галуа является разрешимой группой . В случае неприводимых квинтик группа Галуа является подгруппой симметрической группы S ₅ всех перестановок пятиэлементного множества, которая разрешима тогда и только тогда, когда она является подгруппой группы F ₅ порядка 20 , порожденной циклическими перестановками (1 2 3 4 5) и (1 2 4 3) .

Если квинтика разрешима, одно из решений может быть представлено алгебраическим выражением , включающим пятый корень и максимум два квадратных корня, обычно вложенных . Другие решения могут быть получены либо путем изменения пятого корня, либо путем умножения всех вхождений пятого корня на ту же степень примитивного пятого корня из единицы , например,

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{4}}.}$

На самом деле, все четыре примитивных корня пятой степени из единицы могут быть получены путем соответствующего изменения знаков квадратных корней; а именно, выражение

${\displaystyle {\frac {\alpha {\sqrt {-10-2\beta {\sqrt {5}}}}+\beta {\sqrt {5}}-1}{4}},}$

где , дает четыре различных примитивных корня пятой степени из единицы. ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \{-1,1\}}$

Из этого следует, что для записи всех корней разрешимой квинтики может потребоваться четыре различных квадратных корня. Даже для первого корня, который включает максимум два квадратных корня, выражение решений в терминах радикалов обычно очень сложно. Однако, когда квадратный корень не нужен, форма первого решения может быть довольно простой, как для уравнения x ⁵ − 5 x ⁴ + 30 x ³ − 50 x ² + 55 x − 21 = 0 , для которого единственным действительным решением является

${\displaystyle x=1+{\sqrt[{5}]{2}}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{2}+\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{3}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{4}.}$

Примером более сложного (хотя и достаточно малого, чтобы записать его здесь) решения является единственный действительный корень x ⁵ − 5 x + 12 = 0. Пусть a = √ 2 φ ⁻¹ , b = √ 2 φ и c = ⁴ √ 5 , где φ = ⁠1+ √ 5/2⁠ — это золотое сечение . Тогда единственное действительное решение x = −1,84208... дается формулой

${\displaystyle -cx={\sqrt[{5}]{(a+c)^{2}(b-c)}}+{\sqrt[{5}]{(-a+c)(b-c)^{2}}}+{\sqrt[{5}]{(a+c)(b+c)^{2}}}-{\sqrt[{5}]{(-a+c)^{2}(b+c)}}\,,}$

или, что то же самое,

${\displaystyle x={\sqrt[{5}]{y_{1}}}+{\sqrt[{5}]{y_{2}}}+{\sqrt[{5}]{y_{3}}}+{\sqrt[{5}]{y_{4}}}\,,}$

где y _i — четыре корня уравнения четвертой степени

${\displaystyle y^{4}+4y^{3}+{\frac {4}{5}}y^{2}-{\frac {8}{5^{3}}}y-{\frac {1}{5^{5}}}=0\,.}$

В более общем смысле, если уравнение P ( x ) = 0 простой степени p с рациональными коэффициентами разрешимо в радикалах, то можно определить вспомогательное уравнение Q ( y ) = 0 степени p – 1 , также с рациональными коэффициентами, так что каждый корень P является суммой корней p -й степени корней Q . Эти корни p -й степени были введены Жозефом-Луи Лагранжем , и их произведения на p обычно называются резольвентами Лагранжа . Вычисление Q и его корней может быть использовано для решения P ( x ) = 0 . Однако эти корни p -й степени не могут быть вычислены независимо (это дало бы p ^{p –1} корней вместо p ). Таким образом, правильное решение должно выражать все эти корни p через один из них. Теория Галуа показывает, что это всегда теоретически возможно, даже если полученная формула может быть слишком большой, чтобы быть полезной.

Возможно, что некоторые из корней Q рациональны (как в первом примере этого раздела) или некоторые равны нулю. В этих случаях формула для корней намного проще, как для разрешимой квинтики Муавра

${\displaystyle x^{5}+5ax^{3}+5a^{2}x+b=0\,,}$

где вспомогательное уравнение имеет два нулевых корня и сводится, путем их разложения, к квадратному уравнению

${\displaystyle y^{2}+by-a^{5}=0\,,}$

таким образом, что пять корней пятой степени де Муавра задаются формулой

${\displaystyle x_{k}=\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}-{\frac {a}{\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}}},}$

где y _i — любой корень вспомогательного квадратного уравнения, а ω — любой из четырех примитивных корней пятой степени из единицы . Это можно легко обобщить для построения разрешимой септической и других нечетных степеней, не обязательно простых.

Другие разрешимые квинтики

Существует бесконечно много разрешимых квинтик в форме Бринга–Джеррарда, которые были параметризованы в предыдущем разделе.

С точностью до масштабирования переменной существует ровно пять разрешимых квинтик формы , которые имеют вид ^[6] (где s — масштабный коэффициент): ${\displaystyle x^{5}+ax^{2}+b}$

${\displaystyle x^{5}-2s^{3}x^{2}-{\frac {s^{5}}{5}}}$

${\displaystyle x^{5}-100s^{3}x^{2}-1000s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}-3s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}+15s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-25s^{3}x^{2}-300s^{5}}$

Пакстон Янг (1888) привел ряд примеров разрешимых квинтик:

Можно построить бесконечную последовательность разрешимых квинтик, корни которой являются суммами n- ных корней из единицы , где n = 10k + 1 — простое число:

Существуют также два параметризованных семейства разрешимых квинтик: квинтика Кондо–Брумера,

${\displaystyle x^{5}+(a-3)\,x^{4}+(-a+b+3)\,x^{3}+(a^{2}-a-1-2b)\,x^{2}+b\,x+a=0}$

и семья в зависимости от параметров ${\displaystyle a,\ell ,m}$

${\displaystyle x^{5}-5\,p\left(2\,x^{3}+a\,x^{2}+b\,x\right)-p\,c=0}$

где

${\displaystyle p={\tfrac {1}{4}}\left[\,\ell ^{2}(4m^{2}+a^{2})-m^{2}\,\right]\;,}$

${\displaystyle b=\ell \,(4m^{2}+a^{2})-5p-2m^{2}\;,}$

${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}\left[\,b(a+4m)-p(a-4m)-a^{2}m\,\right]\;.}$

Casus irreducibilis

Аналогично кубическим уравнениям , существуют разрешимые квинтики, которые имеют пять действительных корней, все решения которых в радикалах содержат корни комплексных чисел. Это casus irreducibilis для квинтики, который обсуждается в Dummit. ^{[7] : стр.17} Действительно, если неприводимая квинтика имеет все действительные корни, никакой корень не может быть выражен исключительно в терминах действительных радикалов (как это верно для всех степеней полиномов, которые не являются степенями 2).

За пределами радикалов

Около 1835 года Джеррард продемонстрировал, что квинтики можно решить с помощью ультрарадикалов (также известных как радикалы Бринга), единственного действительного корня t ⁵ + t − a = 0 для действительных чисел a . В 1858 году Шарль Эрмит показал, что радикал Бринга можно охарактеризовать в терминах тета-функций Якоби и связанных с ними эллиптических модулярных функций , используя подход, аналогичный более знакомому подходу решения кубических уравнений с помощью тригонометрических функций . Примерно в то же время Леопольд Кронекер , используя теорию групп , разработал более простой способ вывода результата Эрмита , как и Франческо Бриоски . Позднее Феликс Клейн предложил метод, связывающий симметрии икосаэдра , теорию Галуа и эллиптические модулярные функции, которые фигурируют в решении Эрмита, давая объяснение тому, почему они вообще должны появляться, и разработал свое собственное решение в терминах обобщенных гипергеометрических функций . ^[8] Аналогичные явления происходят в степенях 7 ( септические уравнения ) и 11 , как изучал Клейн и обсуждалось в Икосаэдрическая симметрия § Связанные геометрии .

Решение с помощью радикалов Bring

Преобразование Чирнхауза , которое можно вычислить путем решения уравнения четвертой степени , приводит общее уравнение пятой степени к виду

${\displaystyle x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,}$

к нормальной форме Бринга–Джеррарда x ⁵ − x + t = 0 .

Корни этого уравнения не могут быть выражены радикалами. Однако в 1858 году Шарль Эрмит опубликовал первое известное решение этого уравнения в терминах эллиптических функций . ^[9] Примерно в то же время Франческо Бриоски ^[10] и Леопольд Кронекер ^[11] пришли к эквивалентным решениям.

Подробную информацию об этих и некоторых связанных с ними решениях см. в разделе «Bring Radical» .

Применение к небесной механике

Решение задачи о расположении точек Лагранжа астрономической орбиты, в которой массы обоих объектов не являются пренебрежимо малыми, требует решения квинтики.

Точнее, местоположения L ₂ и L ₁ являются решениями следующих уравнений, где гравитационные силы двух масс, действующих на третью (например, Солнца и Земли на такие спутники, как Gaia и космический телескоп Джеймса Уэбба в точке L ₂ и SOHO в точке L ₁ ), обеспечивают центростремительную силу спутника, необходимую для нахождения на синхронной с Землей орбите вокруг Солнца:

${\displaystyle {\frac {GmM_{S}}{(R\pm r)^{2}}}\pm {\frac {GmM_{E}}{r^{2}}}=m\omega ^{2}(R\pm r)}$

Знак ± соответствует L ₂ и L ₁ соответственно; G — гравитационная постоянная , ω — угловая скорость , r — расстояние от спутника до Земли, _R — расстояние от Солнца до Земли (то есть большая полуось земной орбиты), а m , ME и MS _— соответствующие массы спутника, Земли и Солнца .

Используя третий закон Кеплера и переставляя все члены, получаем квинтику ${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{P^{2}}}={\frac {G(M_{S}+M_{E})}{R^{3}}}}$

${\displaystyle ar^{5}+br^{4}+cr^{3}+dr^{2}+er+f=0}$

с:

${\displaystyle {\begin{aligned}&a=\pm (M_{S}+M_{E}),\\&b=+(M_{S}+M_{E})3R,\\&c=\pm (M_{S}+M_{E})3R^{2},\\&d=+(M_{E}\mp M_{E})R^{3}\ (thus\ d=0\ for\ L_{2}),\\&e=\pm M_{E}2R^{4},\\&f=\mp M_{E}R^{5}\end{aligned}}}$.

Решение этих двух пятых уравнений дает r = 1,501 x 10 ⁹ м для L ₂ и r = 1,491 x 10 ⁹ м для L _1. Точки Лагранжа Солнце-Земля L 2 _и L 1 _обычно задаются на расстоянии 1,5 млн км от Земли.

Если масса меньшего объекта ( ME ) намного меньше массы большего объекта ( MS ₎ , то уравнение пятой степени можно значительно сократить, и L1 _{и L2} будут _{приблизительно} равны радиусу сферы Хилла , определяемому по формуле:

${\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{E}}{3M_{S}}}}}$

Это также дает r = 1,5 x 10 ⁹ м для спутников на L ₁ и L ₂ в системе Солнце-Земля.

Смотрите также

• Секстическое уравнение
• Септическая функция
• Теория уравнений

Примечания

1. Элиа, М.; Филиппони, П. (1998). «Уравнения формы Бринга–Джеррарда, золотое сечение и квадратные числа Фибоначчи» (PDF) . The Fibonacci Quarterly . 36 (3): 282–286.
2. А. Кэли, «О новом вспомогательном уравнении в теории уравнений пятого порядка», Philosophical Transactions of the Royal Society of London 151 :263-276 (1861) doi :10.1098/rstl.1861.0014
3. Эта формулировка результата Кэли взята из статьи Лазарда (2004).
4. Джордж Пакстон Янг, «Решаемые уравнения пятой степени с соизмеримыми коэффициентами», American Journal of Mathematics 10 :99–130 (1888), JSTOR  2369502
5. Лазар (2004, стр. 207)
6. Элкис, Ноам. «Трехчлены a xn + bx + c с интересными группами Галуа». Гарвардский университет .
7. Дэвид С. Даммит Решение разрешимых квинтиков
8. (Клейн 1888); современное изложение дано в (Тот 2002, Раздел 1.6, Дополнительная тема: Теория икосаэдра Клейна, стр. 66)
9. Эрмит, Чарльз (1858). «Сюр-ла-решение о равенстве пятой степени». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . XLVI (I): 508–515.
10. Бриоски, Франческо (1858). «Метод Кронекера для расчета уравнений Quinto Grado». Атти Делли. Р. Istituto Lombardo di Scienze, Lettere ed Arti . Я : 275–282.
11. Кронекер, Леопольд (1858). «Sur la resolution de l'equation du cinquième degree, extrait d'une Letter adressée à M. Hermite». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . XLVI (I): 1150–1152.

Ссылки

• Шарль Эрмит, «Sur la resolution de l'équation du cinquème degree», Œuvres de Charles Hermite , 2 :5–21, Готье-Виллар, 1908.
• Клейн, Феликс (1888). Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. Перевод Морриса, Джорджа Гэвина. Trübner & Co. ISBN 0-486-49528-0.
• Леопольд Кронекер, «Sur la resolution de l'equation du cinquième degree, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 46 :1:1150–1152 1858.
• Блэр Спирман и Кеннет С. Уильямс, «Характеристика разрешимых квинтик x ⁵ + ax + b» , American Mathematical Monthly , 101 :986–992 (1994).
• Ян Стюарт, Теория Галуа , 2-е издание, Chapman and Hall, 1989. ISBN 0-412-34550-1 . Обсуждает теорию Галуа в целом, включая доказательство неразрешимости общей квинтики. 
• Йорг Беверсдорф , Теория Галуа для начинающих: историческая перспектива , Американское математическое общество, 2006. ISBN 0-8218-3817-2 . Глава 8 (Решение уравнений пятой степени на Wayback Machine (архивировано 31 марта 2010 г.)) дает описание решения разрешимых квинтик x ⁵ + cx + d . 
• Виктор С. Адамчик и Дэвид Дж. Джеффри, «Полиномиальные преобразования Чирнхауза, Бринга и Джеррарда», ACM SIGSAM Bulletin , том 37, № 3, сентябрь 2003 г., стр. 90–94.
• Эренфрид Вальтер фон Чирнхаус, «Метод удаления всех промежуточных членов из данного уравнения», Бюллетень ACM SIGSAM , Vol. 37, № 1, март 2003 г., стр. 1–3.
• Лазард, Дэниел (2004). «Решение квинтик в радикалах». У Олава Арнфинна Лаудаля; Рагни Пиене (ред.). Наследие Нильса Хенрика Абеля. Берлин. стр. 207–225. ISBN 3-540-43826-2. Архивировано из оригинала 6 января 2005 года.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Тот, Габор (2002), Конечные группы Мёбиуса, минимальные погружения сфер и модули

Внешние ссылки

• Mathworld - Уравнение квинтики – более подробная информация о методах решения уравнения квинтики.
• Решение разрешимых квинтиков – метод решения разрешимых квинтиков, предложенный Дэвидом С. Даммитом.
• Метод удаления всех промежуточных членов из заданного уравнения — недавний английский перевод статьи Чирнгауза 1683 года.
• Брюс Бартлетт: Квинтика, икосаэдр и эллиптические кривые, AMS Notices (апрель 2024 г.)