Эллиптическое уравнение в частных производных

Класс уравнений с частными производными

В математике эллиптическое уравнение в частных производных является типом уравнения в частных производных (PDE). В математическом моделировании эллиптические PDE часто используются для моделирования стационарных состояний , в отличие от параболических PDE и гиперболических PDE , которые обычно моделируют явления, изменяющиеся во времени. Они также важны в чистой математике , где они являются основополагающими для различных областей исследований, таких как дифференциальная геометрия и оптимальный транспорт .

Определение

Эллиптические дифференциальные уравнения встречаются во многих различных контекстах и ​​на разных уровнях общности.

Сначала рассмотрим линейное уравнение в частных производных второго порядка с двумя переменными, записанное в виде где A , B , C , D , E , F , и G являются функциями x и y , используя индексные обозначения для частных производных. Уравнение в частных производных называется эллиптическим, если это соглашение об именовании вдохновлено уравнением для плоского эллипса . Уравнения с называются параболическими , а с — гиперболическими . $${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,}$$ $${\displaystyle B^{2}-AC<0,}$$ ${\displaystyle B^{2}-AC=0}$ ${\displaystyle B^{2}-AC>0}$

Для общего линейного уравнения в частных производных второго порядка «неизвестная» функция u может быть функцией любого числа x ₁ , ..., x _n независимых переменных; уравнение имеет вид где a _{i , j} , b _i , c и f являются функциями, определенными на области с учетом симметрии a _{i , j} = a _{j , i} . Это уравнение называется эллиптическим , если, когда a рассматривается как функция на области, оцененная в пространстве симметричных матриц n × n , все собственные значения больше некоторого заданного положительного числа. Эквивалентно, это означает, что существует положительное число θ такое, что для любой точки x ₁ , ..., x _n в области и любых действительных чисел ξ ₁ , ..., ξ _n . ^{[1] [2]} $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}(x_{1},\ldots ,x_{n})u_{x_{i}x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})u_{x_{i}}+c(x_{1},\ldots ,x_{n})u=f(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x_{1},\ldots ,x_{n})\xi _{i}\xi _{j}\geq \theta (\xi _{1}^{2}+\cdots +\xi _{n}^{2}),}$$

Простейшим примером линейного эллиптического уравнения в частных производных второго порядка является уравнение Лапласа , в котором a _{i , j} равно нулю, если i ≠ j , и равно единице в противном случае, и где b _i = c = f = 0 . Уравнение Пуассона является немного более общим линейным эллиптическим уравнением в частных производных второго порядка, в котором f не обязательно должна обращаться в нуль. Для обоих этих уравнений константа эллиптичности θ может быть принята равной 1 .

Терминология эллиптическое уравнение в частных производных не используется последовательно в литературе. То, что некоторые авторы называют «эллиптическим», другие называют строго эллиптическим или равномерно эллиптическим . ^[3]

Нелинейные уравнения и уравнения высшего порядка

Эллиптичность также может быть сформулирована для гораздо более общих классов уравнений. Для наиболее общего уравнения в частных производных второго порядка, которое имеет вид

${\displaystyle F(D^{2}u,Du,u,x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

для некоторой заданной функции F эллиптичность определяется линеаризацией уравнения и применением приведенного выше линейного определения. Поскольку линеаризация выполняется при определенной функции u , это означает, что эллиптичность нелинейного уравнения в частных производных второго порядка зависит не только от самого уравнения, но и от рассматриваемых решений. Например, в простейшем виде уравнения Монжа–Ампера определитель матрицы Гессе функции предписывается:

${\displaystyle \det D^{2}u=f.}$

Как следует из формулы Якоби для производной определителя, это уравнение является эллиптическим, если f — положительная функция и решения удовлетворяют ограничению равномерной выпуклости . ^[4]

Существуют также эллиптические уравнения в частных производных более высокого порядка, простейшим примером которых является бигармоническое уравнение четвертого порядка . ^[5] Еще более обще, существует важный класс эллиптических систем , которые состоят из связанных дифференциальных уравнений в частных производных для нескольких «неизвестных» функций. ^[6] Например, уравнения Коши–Римана из комплексного анализа можно рассматривать как эллиптическую систему первого порядка для пары функций с двумя переменными. ^[7]

Более того, класс эллиптических уравнений в частных производных (любого порядка, включая системы) подвержен различным понятиям слабых решений , т. е. переформулировке приведенных выше уравнений таким образом, что допускает наличие у решений различных нерегулярностей (например, недифференцируемость , сингулярности или разрывы ), при этом все еще придерживаясь законов физики . ^[8] Кроме того, эти типы решений также важны в вариационном исчислении , где прямой метод часто дает слабые решения эллиптических систем уравнений Эйлера . ^[9]

Каноническая форма

Рассмотрим эллиптическое уравнение в частных производных второго порядка

${\displaystyle A(x,y)u_{xx}+2B(x,y)u_{xy}+C(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$

для функции двух переменных u = u ( x , y ) . Это уравнение линейно в «членах ведущего порядка», но допускает нелинейные выражения, включающие значения функции и их первые производные; это иногда называют квазилинейным уравнением .

Каноническая форма требует преобразования w = w ( x , y ) и z = z ( x , y ) области определения таким образом, чтобы, когда u рассматривается как функция w и z , приведенное выше уравнение принимало вид

${\displaystyle u_{ww}+u_{zz}+F(u_{w},u_{z},u,w,z)=0}$

для некоторой новой функции F . Существование такого преобразования может быть установлено локально, если A , B , и C являются вещественно-аналитическими функциями и, при более сложной работе, даже если они только непрерывно дифференцируемы . Локальность означает, что необходимые преобразования координат могут не быть определены во всей области определения u , хотя они могут быть установлены в некоторой небольшой области, окружающей любую конкретную точку области. ^[10]

Формальное установление существования таких преобразований использует существование решений уравнения Бельтрами . С точки зрения дифференциальной геометрии существование канонической формы эквивалентно существованию изотермических координат для соответствующей римановой метрики

${\displaystyle A(x,y)dx^{2}+2B(x,y)\,dx\,dy+C(x,y)dy^{2}}$

на области определения. (Условие эллиптичности для PDE, а именно положительность функции AC – B ² , является тем, что гарантирует, что либо этот тензор, либо его отрицание действительно являются римановой метрикой.) Как правило, для квазилинейных эллиптических уравнений в частных производных второго порядка для функций более чем двух переменных каноническая форма не существует. Это соответствует тому факту, что, хотя изотермические координаты обычно существуют для римановых метрик в двух измерениях, они существуют только для очень частных римановых метрик в более высоких измерениях. ^[11]

Характеристики и закономерности

Для общего линейного уравнения в частных производных второго порядка характеристики определяются как нулевые направления для соответствующего тензора ^[12]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx^{i}\,dx^{j},}$

называемый главным символом . Используя технологию набора волнового фронта , характеристики важны для понимания того, как нерегулярные точки f распространяются на решение u уравнения в частных производных. Неформально, набор волнового фронта функции состоит из точек негладкости, в дополнение к направлениям в частотном пространстве, вызывающим отсутствие гладкости. Фундаментальным фактом является то, что применение линейного дифференциального оператора с гладкими коэффициентами может иметь только эффект удаления точек из набора волнового фронта. ^[13] Однако все точки исходного набора волнового фронта (и, возможно, больше) восстанавливаются путем добавления обратно в (реальных) характеристических направлениях оператора. ^[14]

В случае линейного эллиптического оператора P с гладкими коэффициентами главный символ — риманова метрика , и нет никаких реальных характеристических направлений. Согласно предыдущему абзацу, следует, что множество волнового фронта решения u в точности совпадает с множеством Pu = f . Это устанавливает основную теорему регулярности , которая гласит, что если f является гладким (так что его множество волнового фронта пусто), то решение u также является гладким. В более общем смысле, точки, где u не является гладким, совпадают с точками, где f не является гладким. ^[15] Это явление регулярности резко контрастирует, например, с гиперболическим уравнением в частных производных , в котором разрывы могут образовываться даже тогда, когда все коэффициенты уравнения гладкие.

Решения эллиптических уравнений в частных производных естественным образом связаны с независимыми от времени решениями параболических уравнений в частных производных или гиперболических уравнений в частных производных . Например, независимое от времени решение уравнения теплопроводности решает уравнение Лапласа . То есть, если параболические и гиперболические уравнения в частных производных связаны с моделированием динамических систем , то решения эллиптических уравнений в частных производных связаны с устойчивыми состояниями . Неформально это отражает приведенную выше теорему о регулярности, поскольку устойчивые состояния обычно являются сглаженными версиями истинно динамических решений. Однако уравнения в частных производных, используемые в моделировании, часто являются нелинейными, а приведенная выше теорема о регулярности применима только к линейным эллиптическим уравнениям; более того, теория регулярности для нелинейных эллиптических уравнений гораздо более тонкая, и решения не всегда являются гладкими.

Смотрите также

• Эллиптическая краевая задача
• Эллиптический оператор
• Гиперболическое уравнение в частных производных
• Параболическое уравнение в частных производных
• Принцип максимума (свойство решений)
• пространство Соболева

Примечания

1. Эванс 2010, Глава 6.
2. Заудерер 2006, гл. 3.3 Классификация уравнений в целом.
3. Сравните Эванса (2010, стр. 311) и Гилбарга и Трудингера (2001, стр. 31, 441).
4. Гилбарг и Трудингер 2001, Глава 17.
5. Джон 1982, Глава 6; Ладыженская 1985, Раздел V.1; Ренарди и Роджерс 2004, Раздел 9.1.
6. Агмон 2010; Моррей 1966.
7. Курант и Гильберт 1962, стр. 176.
8. Crandall, Ishii & Lions 1992; Evans 2010, Глава 6; Gilbarg & Trudinger 2001, Главы 8 и 9; Ladyzhenskaya 1985, Разделы II.2 и V.1; Renardy & Rogers 2004, Глава 9.
9. Джаквинта 1983; Морри 1966, стр. 8, 480.
10. Курант и Гильберт 1962.
11. Спивак 1979.
12. Хёрмандер 1990, стр. 152.
13. Хёрмандер 1990, стр. 256.
14. Хёрмандер 1990, Теорема 8.3.1.
15. Хёрмандер 1990, следствие 8.3.2.

Ссылки

• Курант, Р.; Гильберт , Д. (1962). Методы математической физики. Том II: Уравнения с частными производными . Нью-Йорк–Лондон: Interscience Publishers . MR  0140802.
• Crandall, Michael G. ; Ishii, Hitoshi ; Lions, Pierre-Louis (1992). "Руководство пользователя по решениям вязкости уравнений с частными производными второго порядка". Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 27 (1): 1–67. doi : 10.1090/S0273-0979-1992-00266-5 . MR  1118699.
• Эванс, Лоуренс К. (2010). Уравнения с частными производными (PDF) . Graduate Studies in Mathematics . Vol. 19 (Второе издание оригинального издания 1998 г.). Providence, RI: American Mathematical Society . doi :10.1090/gsm/019. ISBN 978-0-8218-4974-3. МР  2597943.
• Джаквинта, Мариано (1983). Кратные интегралы в вариационном исчислении и нелинейных эллиптических системах . Annals of Mathematics Studies. Том 105. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . ISBN 0-691-08330-4. МР  0717034.
• Gilbarg, David ; Trudinger, Neil S. (2001). Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка . Classics in Mathematics (пересмотренное второе издание оригинального издания 1977 года). Berlin: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-61798-0. ISBN 3-540-41160-7. MR  1814364. Zbl  1042.35002.
• Хёрмандер, Ларс (1990). Анализ линейных операторов в частных производных. I. Теория распределения и анализ Фурье . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 256 (Второе издание оригинальной редакции 1985 г.). Спрингер-Верлаг . дои : 10.1007/978-3-642-61497-2. ISBN 3-540-52345-6. МР  1065993.
• Джон, Фриц (1982). Уравнения с частными производными . Прикладные математические науки. Т. 1 (Четвертое издание оригинального издания 1971 г.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4684-0059-5. ISBN 0-387-90609-6. МР  0831655.
• Ладыженская, О.А. (1985). Краевые задачи математической физики . Прикладные математические науки. Т. 49. Нью-Йорк: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4757-4317-3. ISBN 0-387-90989-3. МР  0793735.
• Морри, Чарльз Б. младший (1966). Кратные интегралы в вариационном исчислении . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 130. Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-69952-1. МР  0202511.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт К. (2004). Введение в уравнения с частными производными . Тексты по прикладной математике. Том 13 (Второе издание оригинального издания 1993 г.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . doi :10.1007/b97427. ISBN 0-387-00444-0. МР  2028503.
• Spivak, Michael (1979). Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию. Том V (Второе издание оригинального издания 1975 года). Wilmington, DE: Publish or Perish, Inc. ISBN 0-914098-83-7. МР  0532834.
• Заудерер, Эрих (2006). Уравнения с частными производными прикладной математики . Хобокен (Нью-Джерси): Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-69073-3.

Дальнейшее чтение

• Агмон, Шмуэль (2010). Лекции по эллиптическим граничным задачам (пересмотренное издание оригинального издания 1965 г.). Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing . doi :10.1090/chel/369. ISBN 978-0-8218-4910-1. МР  2589244.
• Обен, Тьерри (1998). Некоторые нелинейные проблемы римановой геометрии . Springer Monographs in Mathematics. Берлин: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-662-13006-3. ISBN 3-540-60752-8. MR  1636569. Zbl  0896.53003.
• Гарабедян, П. Р. (1964). Уравнения с частными производными . Нью-Йорк–Лондон–Сидней: John Wiley & Sons, Inc. MR  0162045.
• Хёрмандер, Ларс (1994). Анализ линейных операторов в частных производных. III. Псевдодифференциальные операторы . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 274 (Исправленная перепечатка оригинального издания 1985 года). Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-49938-1. ISBN 3-540-13828-5. МР  1313500.
• Ладыженская, Ольга А. ; Уральцева, Нина Н. (1968). Линейные и квазилинейные эллиптические уравнения . Нью-Йорк–Лондон: Academic Press . doi :10.1016/s0076-5392(08)62585-0. MR  0244627.
• Тейлор, Майкл Э. (2011). Уравнения с частными производными I. Основная теория . Прикладные математические науки. Т. 115 (Второе издание оригинального издания 1996 г.). Нью-Йорк: Springer . doi :10.1007/978-1-4419-7055-8. ISBN 978-1-4419-7054-1. MR  2744150. Zbl  1206.35002.
• Тейлор, Майкл Э. (2011). Уравнения с частными производными III. Нелинейные уравнения . Прикладные математические науки. Т. 117 (Второе издание оригинального издания 1996 г.). Нью-Йорк: Springer . doi :10.1007/978-1-4419-7049-7. ISBN 978-1-4419-7048-0. МР  2744149.

Внешние ссылки

• «Эллиптическое уравнение в частных производных», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Эллиптическое уравнение в частных производных, численные методы», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптическое уравнение в частных производных». MathWorld .