C-симметрия

Симметрия физических законов относительно преобразования зарядового сопряжения

В физике сопряжение зарядов — это преобразование , которое меняет местами все частицы с соответствующими им античастицами , тем самым изменяя знак всех зарядов : не только электрического заряда , но и зарядов, относящихся к другим силам. Термин C-симметрия является сокращением от фразы «симметрия сопряжения зарядов» и используется при обсуждении симметрии физических законов при сопряжении зарядов. Другими важными дискретными симметриями являются P-симметрия (четность) и T-симметрия (обращение времени).

Эти дискретные симметрии, C, P и T, являются симметриями уравнений, описывающих известные фундаментальные силы природы: электромагнетизм , гравитацию , сильные и слабые взаимодействия . Проверка того, правильно ли заданное математическое уравнение моделирует природу, требует физической интерпретации не только непрерывных симметрий , таких как движение во времени, но и его дискретных симметрий , а затем определения того, придерживается ли природа этих симметрий. В отличие от непрерывных симметрий, интерпретация дискретных симметрий немного более интеллектуально требовательна и запутанна. Ранний сюрприз появился в 1950-х годах, когда Цзянь Сюн У продемонстрировал, что слабое взаимодействие нарушает P-симметрию. В течение нескольких десятилетий казалось, что комбинированная симметрия CP сохраняется, пока не были обнаружены взаимодействия , нарушающие CP . Оба открытия привели к Нобелевским премиям .

C-симметрия особенно хлопотна, физически, поскольку Вселенная в основном заполнена материей , а не антиматерией , тогда как наивная C-симметрия физических законов предполагает, что должно быть равное количество и того, и другого. В настоящее время считается, что нарушение CP-симметрии в ранней Вселенной может объяснить «избыток» материи, хотя спор не урегулирован. Более ранние учебники по космологии , до 1970-х годов, ^{[ which? ]} регулярно предполагали, что, возможно, далекие галактики были полностью сделаны из антиматерии, таким образом поддерживая чистый баланс нуля во Вселенной.

В этой статье основное внимание уделяется раскрытию и формулированию C-симметрии различных важных уравнений и теоретических систем, включая уравнение Дирака и структуру квантовой теории поля . Различные фундаментальные частицы можно классифицировать в соответствии с поведением при сопряжении зарядов; это описано в статье о C-четности .

Неофициальный обзор

Сопряжение зарядов происходит как симметрия в трех различных, но тесно связанных условиях: симметрия (классических, неквантованных) решений нескольких известных дифференциальных уравнений, включая уравнение Клейна–Гордона и уравнение Дирака , симметрия соответствующих квантовых полей и, в общем случае, симметрия в (псевдо-) римановой геометрии . Во всех трех случаях симметрия в конечном итоге оказывается симметрией относительно комплексного сопряжения , хотя то, что именно сопрягается, может быть иногда запутанным в зависимости от обозначений, выбора координат и других факторов.

В классических областях

Симметрия сопряжения зарядов интерпретируется как симметрия электрического заряда , потому что во всех трех случаях (классическом, квантовом и геометрическом) можно построить токи Нётер , которые напоминают токи классической электродинамики . Это возникает из-за того, что сама электродинамика, через уравнения Максвелла , может быть интерпретирована как структура на расслоении волокон U(1) , так называемом расслоении окружностей . Это дает геометрическую интерпретацию электромагнетизма: электромагнитный потенциал интерпретируется как калибровочная связь ( связь Эресмана ) на расслоении окружностей. Эта геометрическая интерпретация затем позволяет (буквально почти) всему, что обладает структурой с комплексными числовыми значениями, быть связанным с электромагнитным полем, при условии, что эта связь осуществляется калибровочно -инвариантным способом. Калибровочная симметрия в этой геометрической постановке является утверждением, что при движении по окружности связанный объект также должен трансформироваться «круговым образом», отслеживая соответствующим образом. Более формально, говорят, что уравнения должны быть калибровочно-инвариантными относительно изменения локальных систем координат на окружности. Для U(1) это просто утверждение о том, что система инвариантна относительно умножения на фазовый множитель , который зависит от координаты (пространства-времени). В этой геометрической постановке сопряжение зарядов можно понимать как дискретную симметрию , которая выполняет комплексное сопряжение, то есть меняет направление по окружности. ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle e^{i\phi (x)}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle z=(x+iy)\mapsto {\overline {z}}=(x-iy)}$

В квантовой теории

В квантовой теории поля зарядовое сопряжение можно понимать как обмен частицами с античастицами . Чтобы понять это утверждение, нужно иметь минимальное представление о том, что такое квантовая теория поля. В (значительно) упрощенных терминах, это метод выполнения вычислений для получения решений для системы связанных дифференциальных уравнений с помощью теории возмущений . Ключевым ингредиентом этого процесса является квантовое поле , по одному для каждого из (свободных, несвязанных) дифференциальных уравнений в системе. Квантовое поле обычно записывается как

${\displaystyle \psi (x)=\int d^{3}p\sum _{\sigma ,n}e^{-ip\cdot x}a\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)+e^{ip\cdot x}a^{\dagger }\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$

где — импульс, — спиновая метка, — вспомогательная метка для других состояний в системе. И — операторы создания и уничтожения ( операторы лестницы ) и — решения рассматриваемого (свободного, невзаимодействующего, несвязанного) дифференциального уравнения. Квантовое поле играет центральную роль, поскольку, в общем случае, неизвестно, как получить точные решения для системы связанных дифференциальных вопросов. Однако с помощью теории возмущений приближенные решения могут быть построены как комбинации решений свободного поля. Чтобы выполнить это построение, нужно уметь извлекать и работать с любым заданным решением свободного поля по требованию, когда это требуется. Квантовое поле обеспечивает именно это: оно перечисляет все возможные решения свободного поля в векторном пространстве таким образом, что любое из них может быть выделено в любой момент времени с помощью операторов создания и уничтожения. ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{\dagger }}$ ${\displaystyle u,v}$

Операторы создания и уничтожения подчиняются каноническим коммутационным соотношениям , в которых один оператор «отменяет» то, что другой «создает». Это подразумевает, что любое данное решение должно быть сопряжено со своим «антирешением», так чтобы одно отменяло или отменяло другое. Спаривание должно быть выполнено так, чтобы все симметрии были сохранены. Поскольку обычно интересуются лоренц-инвариантностью , квантовое поле содержит интеграл по всем возможным системам координат Лоренца, записанный выше как интеграл по всем возможным импульсам (это интеграл по волокну расслоения системы ) . Спаривание требует, чтобы данное было связано с противоположным импульсом и энергией. Квантовое поле также является суммой по всем возможным спиновым состояниям; дуальное спаривание снова соответствует противоположным спинам. Аналогично для любых других квантовых чисел они также сопряжены как противоположности. При выполнении этого дуального спаривания возникает техническая трудность: необходимо описать, что означает для некоторого данного решения быть «дуальным» некоторому другому решению , и описать его таким образом, чтобы оно оставалось последовательно дуальным при интегрировании по волокну расслоения фрейма, при интегрировании (суммировании) по волокну, описывающему спин, и при интегрировании (суммировании) по любым другим волокнам, которые встречаются в теории. ${\displaystyle u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$ ${\displaystyle v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$ ${\displaystyle u\left({\vec {p}}\right)}$ ${\displaystyle v\left({\vec {p}}\right)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v,}$

Когда волокно, по которому нужно проинтегрировать, является волокном U(1) электромагнетизма, дуальное спаривание таково, что направление (ориентация) на волокне меняется на противоположное. Когда волокно, по которому нужно проинтегрировать, является волокном SU(3) цветного заряда , дуальное спаривание снова меняет ориентацию на противоположную. Это «просто работает» для SU(3), потому что оно имеет два дуальных фундаментальных представления и которые могут быть естественным образом спарены. Это предписание для квантового поля естественным образом обобщается на любую ситуацию, в которой можно перечислить непрерывные симметрии системы и определить дуалы согласованным, последовательным образом. Спаривание связывает противоположные заряды в полностью абстрактном смысле. В физике заряд связан с генератором непрерывной симметрии. Различные заряды связаны с различными собственными пространствами инвариантов Казимира универсальной обертывающей алгебры для этих симметрий. Это касается как симметрии Лоренца базового пространственно-временного многообразия , так и симметрий любых волокон в расслоении волокон, расположенном над пространственно-временным многообразием. Дуальность заменяет генератор симметрии на минус генератор. Таким образом, сопряжение зарядов связано с отражением вдоль линейного расслоения или детерминантного расслоения пространства симметрий. ${\displaystyle \mathbf {3} }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {3} }}}$

Вышеизложенное является наброском общей идеи квантового поля в квантовой теории поля. Физическая интерпретация заключается в том, что решения соответствуют частицам, а решения соответствуют античастицам, и поэтому сопряжение зарядов является их спариванием. Этот набросок также дает достаточно намеков, чтобы указать, как может выглядеть сопряжение зарядов в общей геометрической обстановке. Нет никакого особого принудительного требования использовать теорию возмущений для построения квантовых полей, которые будут действовать как посредники в пертурбативном расширении. Сопряжению зарядов можно задать общую обстановку. ${\displaystyle u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$ ${\displaystyle v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$

В геометрии

Для общих римановых и псевдоримановых многообразий есть касательное расслоение , кокасательное расслоение и метрика , которая связывает их вместе. Есть несколько интересных вещей, которые можно сделать, столкнувшись с этой ситуацией. Одна из них заключается в том, что гладкая структура позволяет задавать дифференциальные уравнения на многообразии; касательные и кокасательные пространства предоставляют достаточную структуру для выполнения исчисления на многообразиях . Ключевой интерес представляет лапласиан и, с постоянным членом, то, что равнозначно оператору Клейна–Гордона. Кокасательные расслоения по своей базовой конструкции всегда являются симплектическими многообразиями . Симплектические многообразия имеют канонические координаты, интерпретируемые как положение и импульс, подчиняющиеся каноническим коммутационным соотношениям . Это обеспечивает основную инфраструктуру для расширения дуальности и, таким образом, сопряжения зарядов на эту общую настройку. ${\displaystyle x,p}$

Вторая интересная вещь, которую можно сделать, — это построить спиновую структуру . Возможно, самое замечательное в этом то, что это очень узнаваемое обобщение на -мерное псевдориманово многообразие традиционной физической концепции спиноров, живущих в (1,3)-мерном пространстве-времени Минковского . Конструкция проходит через комплексифицированную алгебру Клиффорда , чтобы построить расслоение Клиффорда и спиновое многообразие . В конце этой конструкции получается система, которая удивительно знакома, если вы уже знакомы со спинорами Дирака и уравнением Дирака. Несколько аналогий проходят через этот общий случай. Во-первых, спиноры — это спиноры Вейля , и они входят в комплексно-сопряженные пары. Они естественным образом антикоммутируют (это следует из алгебры Клиффорда), что как раз и нужно для связи с принципом исключения Паули . Другим является существование хирального элемента , аналогичного гамма-матрице , которая сортирует эти спиноры в левые и правые подпространства. Комплексификация является ключевым ингредиентом, и она обеспечивает "электромагнетизм" в этой обобщенной установке. Спинорный пучок не "просто" преобразуется под псевдоортогональной группой , обобщением группы Лоренца , но под большей группой, комплексифицированной спиновой группой. Он больше в том, что имеет двойное покрытие ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \gamma _{5}}$ ${\displaystyle SO(p,q)}$ ${\displaystyle SO(1,3)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).}$ ${\displaystyle SO(p,q)\times U(1).}$

Часть может быть отождествлена ​​с электромагнетизмом несколькими различными способами. Один из способов заключается в том, что операторы Дирака на спиновом многообразии, будучи возведенными в квадрат, содержат часть с , возникающую из той части связи, которая связана с частью. Это полностью аналогично тому, что происходит при возведении в квадрат обычного уравнения Дирака в обычном пространстве-времени Минковского. Второй намек заключается в том, что эта часть связана с детерминантным пучком спиновой структуры, эффективно связывая вместе левые и правые спиноры посредством комплексного сопряжения. ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle F=dA}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$

Остается проработать дискретные симметрии вышеприведенной конструкции. Есть несколько, которые, по-видимому, обобщают P-симметрию и T-симметрию . Отождествляя измерения со временем, а измерения с пространством, можно обратить касательные векторы в размерном подпространстве, чтобы получить обращение времени, а изменение направления измерений соответствует четности. C-симметрию можно отождествить с отражением на линейном расслоении. Чтобы связать все это вместе в узел, наконец, есть концепция транспозиции , в которой элементы алгебры Клиффорда можно записать в обратном (транспонированном) порядке. Конечный результат заключается в том, что не только традиционные физические идеи полей переходят в общую риманову установку, но и идеи дискретных симметрий. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Есть два способа отреагировать на это. Один из них — относиться к этому как к интересному любопытству. Другой — осознать, что в низких размерностях (в низкоразмерном пространстве-времени) существует множество «случайных» изоморфизмов между различными группами Ли и другими разнообразными структурами. Возможность исследовать их в общей обстановке распутывает эти отношения, более ясно показывая, «откуда берутся вещи».

Зарядовое сопряжение для полей Дирака

Законы электромагнетизма (как классические , так и квантовые ) инвариантны относительно обмена электрических зарядов их отрицательными знаками. Для случая электронов и кварков , которые оба являются фундаментальными частицами фермионных полей, возбуждения одночастичных полей описываются уравнением Дирака

${\displaystyle (i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi =0}$

Хочется найти зарядово-сопряженное решение

${\displaystyle (i{\partial \!\!\!{\big /}}+q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi ^{c}=0}$

Нескольких алгебраических манипуляций достаточно, чтобы получить второе из первого. ^{[1] [2] [3]} Стандартные изложения уравнения Дирака демонстрируют сопряженное поле, интерпретируемое как поле античастицы, удовлетворяющее комплексно-транспонированному уравнению Дирака. ${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0},}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}(-i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)=0}$

Обратите внимание, что некоторые, но не все знаки поменялись местами. Транспонирование этого обратно снова дает почти желаемую форму, при условии, что можно найти матрицу 4×4 , которая транспонирует гамма-матрицы , чтобы вставить требуемую смену знака: ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C^{-1}\gamma _{\mu }C=-\gamma _{\mu }^{\textsf {T}}}$

Тогда зарядово-сопряженное решение дается инволюцией

${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}=\eta _{c}\,C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}$

Матрица 4×4 , называемая матрицей сопряжения зарядов, имеет явную форму, приведенную в статье о гамма-матрицах . Любопытно, что эта форма не является независимой от представления, а зависит от конкретного матричного представления, выбранного для гамма-группы (подгруппы алгебры Клиффорда, охватывающей алгебраические свойства гамма -матриц ). Эта матрица зависит от представления из-за тонкого взаимодействия, включающего комплексификацию спиновой группы, описывающей лоренц-ковариацию заряженных частиц. Комплексное число является произвольным фазовым множителем, обычно принимаемым за ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle \eta _{c}}$ ${\displaystyle |\eta _{c}|=1,}$ ${\displaystyle \eta _{c}=1.}$

Зарядовое сопряжение, хиральность, спиральность

Взаимодействие между хиральностью и сопряжением зарядов немного тонкое и требует артикуляции. Часто говорят, что сопряжение зарядов не изменяет хиральность частиц . Это не относится к полям , разница возникает в интерпретации частиц «теорией дырок», где античастица интерпретируется как отсутствие частицы. Это артикуляция ниже.

Традиционно используется как оператор хиральности. При зарядовом сопряжении преобразуется как ${\displaystyle \gamma _{5}}$

${\displaystyle C\gamma _{5}C^{-1}=\gamma _{5}^{\textsf {T}}}$

и то, равно или нет , зависит от выбранного представления для гамма-матриц. В базисе Дирака и хиральном базисе это действительно так , тогда как получается в базисе Майораны. Ниже приведен рабочий пример. ${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \gamma _{5}}$ ${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}=\gamma _{5}}$ ${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}=-\gamma _{5}}$

спиноры Вейля

Для случая безмассовых спинорных полей Дирака хиральность равна спиральности для решений с положительной энергией (и минус спиральность для решений с отрицательной энергией). ^{[2] : § 2-4-3, стр. 87 и далее.} Это можно получить, записав безмассовое уравнение Дирака как

${\displaystyle i\partial \!\!\!{\big /}\psi =0}$

Умножая на единицу получаем ${\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{0}=-i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}$

${\displaystyle {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij}\partial _{m}\psi =\gamma _{5}\partial _{t}\psi }$

где — оператор углового момента , а — полностью антисимметричный тензор . Это можно привести к немного более узнаваемой форме, определив оператор трехмерного спина, принимающий состояние плоской волны , применив ограничение на оболочке и нормализовав импульс, чтобы он был трехмерным единичным вектором: записать ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=i\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]/2}$ ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle \Sigma ^{m}\equiv {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij},}$ ${\displaystyle \psi (x)=e^{-ik\cdot x}\psi (k)}$ ${\displaystyle k\cdot k=0}$ ${\displaystyle {\hat {k}}_{i}=k_{i}/k_{0}}$

${\displaystyle \left(\Sigma \cdot {\hat {k}}\right)\psi =\gamma _{5}\psi ~.}$

Рассматривая вышеизложенное, можно сделать вывод, что собственные состояния углового момента ( собственные состояния спиральности ) соответствуют собственным состояниям кирального оператора . Это позволяет безмассовому полю Дирака быть чисто разделенным на пару спиноров Вейля , каждый из которых по отдельности удовлетворяет уравнению Вейля , но с противоположной энергией: ${\displaystyle \psi _{\text{L}}}$ ${\displaystyle \psi _{\text{R}},}$

${\displaystyle \left(-p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{R}}=0}$

и

${\displaystyle \left(p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{L}}=0}$

Обратите внимание на свободу, которую можно получить, приравнивая отрицательную спиральность к отрицательной энергии, и, таким образом, античастицу к частице с противоположной спиральностью. Для ясности, здесь — матрицы Паули , а — оператор импульса. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle p_{\mu }=i\partial _{\mu }}$

Зарядовое сопряжение в хиральном базисе

Используя представление Вейля гамма-матриц, можно записать (теперь считающийся массивным) спинор Дирака как

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}}$

Соответствующее дуальное (античастичное) поле равно

${\displaystyle {\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\left(\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\right)^{\textsf {T}}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{*}\\\psi _{\text{R}}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

Зарядово-сопряженные спиноры — это

${\displaystyle \psi ^{c}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{c}\\\psi _{\text{R}}^{c}\end{pmatrix}}=\eta _{c}C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

где, как и прежде, — это фазовый фактор, который можно принять равным Обратите внимание, что левое и правое состояния меняются местами. Это можно восстановить с помощью преобразования четности. При четности спинор Дирака преобразуется как ${\displaystyle \eta _{c}}$ ${\displaystyle \eta _{c}=1.}$

${\displaystyle \psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{p}\left(t,{\vec {x}}\right)=\gamma ^{0}\psi \left(t,-{\vec {x}}\right)}$

При объединении заряда и четности тогда имеем

${\displaystyle \psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\\\psi _{\text{R}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}}$

Традиционно, берется глобально. Однако см. примечание ниже. ${\displaystyle \eta _{c}=1}$

состояние Майораны

Условие Майораны накладывает ограничение между полем и его зарядовым сопряжением, а именно, что они должны быть равны: Это, пожалуй, лучше всего сформулировать как требование, чтобы спинор Майораны был собственным состоянием инволюции зарядового сопряжения. ${\displaystyle \psi =\psi ^{c}.}$

Это требует некоторой осторожности в обозначениях. Во многих текстах, обсуждающих сопряжение зарядов, инволюции не дается явного символического имени, когда она применяется к одночастичным решениям уравнения Дирака. Это контрастирует со случаем, когда обсуждается квантованное поле , где определяется унитарный оператор (как это сделано в более позднем разделе ниже). Для настоящего раздела пусть инволюция будет названа так , что Принимая это за линейный оператор, можно рассмотреть его собственные состояния. Условие Майораны выделяет одно из таких: Однако существуют два таких собственных состояния: Продолжая в базисе Вейля, как и выше, эти собственные состояния ${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{c}}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}.}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi .}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}.}$

${\displaystyle \psi ^{(+)}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle \psi ^{(-)}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}}$

Спинор Майораны традиционно принимается просто как положительное собственное состояние, а именно, хиральный оператор меняет местами эти два, т.е. ${\displaystyle \psi ^{(+)}.}$ ${\displaystyle \gamma _{5}}$

${\displaystyle \gamma _{5}{\mathsf {C}}=-{\mathsf {C}}\gamma _{5}}$

Это легко проверяется прямой подстановкой. Имейте в виду, что не имеет представления матрицы 4×4! Точнее, не существует комплексной матрицы 4×4, которая может преобразовать комплексное число в его комплексно сопряженное; для этого обращения потребуется вещественная матрица 8×8. Физическая интерпретация комплексного сопряжения как зарядового сопряжения становится ясной при рассмотрении комплексного сопряжения скалярных полей, описанного в следующем разделе ниже. ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

Проекторы на хиральные собственные состояния можно записать как и , поэтому вышесказанное переводится как ${\displaystyle P_{\text{L}}=\left(1-\gamma _{5}\right)/2}$ ${\displaystyle P_{\text{R}}=\left(1+\gamma _{5}\right)/2,}$

${\displaystyle P_{\text{L}}{\mathsf {C}}={\mathsf {C}}P_{\text{R}}~.}$

Это напрямую демонстрирует, что сопряжение зарядов, примененное к одночастичным комплексно-значным решениям уравнения Дирака, меняет хиральность решения. Проекторы на собственные пространства сопряжения зарядов являются и ${\displaystyle P^{(+)}=(1+{\mathsf {C}})P_{\text{L}}}$ ${\displaystyle P^{(-)}=(1-{\mathsf {C}})P_{\text{R}}.}$

Геометрическая интерпретация

Фазовый фактор может быть геометрически интерпретирован. Было отмечено, что для массивных спиноров Дирака «произвольный» фазовый фактор может зависеть как от импульса, так и от спиральности (но не от хиральности). ^[4] Это можно интерпретировать как то, что эта фаза может изменяться вдоль волокна спинорного пучка в зависимости от локального выбора системы координат. Иными словами, спинорное поле является локальным сечением спинорного пучка, а лоренцевские усиления и вращения соответствуют движениям вдоль волокон соответствующего пучка системы координат (опять же, просто выбор локальной системы координат). Рассматриваемая таким образом, эта дополнительная фазовая свобода может быть интерпретирована как фаза, возникающая из электромагнитного поля. Для майорановских спиноров фаза будет ограничена, чтобы не изменяться при усилениях и вращениях. ${\displaystyle \ \eta _{c}\ }$ ${\displaystyle \ \eta _{c}\ }$

Зарядовое сопряжение для квантованных полей

Вышеизложенное описывает зарядовое сопряжение только для одночастичных решений. Когда поле Дирака вторично квантуется , как в квантовой теории поля , спинорные и электромагнитные поля описываются операторами. Инволюция зарядового сопряжения тогда проявляется как унитарный оператор (каллиграфическим шрифтом), действующий на поля частиц, выражается как ^{[5] [6]} ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. ${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}={\mathcal {C}}\ \psi \ {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}\ C\ {\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}$
2. ${\displaystyle {\overline {\psi }}\mapsto {\overline {\psi }}^{c}={\mathcal {C}}\ {\overline {\psi }}\ {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}^{*}\ \psi ^{\textsf {T}}\ C^{-1}}$
3. ${\displaystyle A_{\mu }\mapsto A_{\mu }^{c}={\mathcal {C}}\ A_{\mu }\ {\mathcal {C}}^{\dagger }=-A_{\mu }\ }$

где некаллиграфическая матрица — это та же матрица 4×4, что и ранее. ${\displaystyle \ C\ }$

Изменение заряда в электрослабой теории

Сопряжение зарядов не изменяет хиральность частиц. Левополяризованное нейтрино будет преобразовано посредством сопряжения зарядов в левополяризованное антинейтрино , которое не взаимодействует в Стандартной модели. Это свойство подразумевается под «максимальным нарушением» C-симметрии в слабом взаимодействии.

Некоторые постулируемые расширения Стандартной модели , такие как лево-правые модели , восстанавливают эту С-симметрию.

Скалярные поля

Поле Дирака имеет «скрытую» калибровочную свободу, что позволяет ему напрямую связываться с электромагнитным полем без каких-либо дальнейших модификаций уравнения Дирака или самого поля. ^[a] Это не относится к скалярным полям , которые должны быть явно «комплексифицированы» для связывания с электромагнетизмом. Это делается путем «тензоризации» дополнительного фактора комплексной плоскости в поле или построения декартова произведения с . ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U(1)}$

Один из самых обычных методов — просто начать с двух реальных скалярных полей и создать линейную комбинацию ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \psi \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} {\phi +i\chi \over {\sqrt {2}}}}$

Тогда инволюция сопряжения заряда является отображением, поскольку этого достаточно, чтобы изменить знак электромагнитного потенциала (поскольку это комплексное число используется для связи с ним). Для реальных скалярных полей сопряжение заряда — это просто тождественное отображение: и и поэтому для комплексифицированного поля сопряжение заряда — это просто Стрелка «mapsto» удобна для отслеживания «что куда идет»; эквивалентная старая запись — просто писать и и ${\displaystyle {\mathsf {C}}:i\mapsto -i}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\chi \mapsto \chi }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{*}.}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\phi =\phi }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\chi =\chi }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{*}.}$

Вышеописанное описывает традиционную конструкцию заряженного скалярного поля. Также возможно ввести дополнительную алгебраическую структуру в поля другими способами. В частности, можно определить «реальное» поле, ведущее себя как . Поскольку оно реально, оно не может само по себе взаимодействовать с электромагнетизмом, но при комплексировании приведет к заряженному полю, которое преобразуется как Поскольку C-симметрия является дискретной симметрией , у нас есть некоторая свобода играть в подобные алгебраические игры в поисках теории, которая правильно моделирует некоторую заданную физическую реальность. ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto -\phi }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto -\psi ^{*}.}$

В физической литературе такое преобразование может быть записано без дополнительных пояснений. Формальное математическое толкование этого заключается в том, что поле является элементом , где Таким образом, собственно говоря, поле должно быть записано как , которое ведет себя при сопряжении зарядов как Очень заманчиво, но не совсем формально правильно просто перемножить их, чтобы переместить расположение этого знака минус; это в основном «просто работает», но неспособность отследить это должным образом приведет к путанице. ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi ^{c}=-\phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{+1,-1\}.}$ ${\displaystyle \phi =(r,c)}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:(r,c)\mapsto (r,-c).}$

Комбинация инверсии заряда и четности

Некоторое время считалось, что C-симметрию можно объединить с преобразованием инверсии четности (см. P-симметрия ) для сохранения объединенной CP-симметрии . Однако нарушения этой симметрии были выявлены в слабых взаимодействиях (особенно в каонах и B - мезонах ). В Стандартной модели это нарушение CP обусловлено единственной фазой в матрице CKM . Если CP объединить с обращением времени ( T-симметрия ), то можно показать, что результирующая CPT-симметрия выполняется универсально, используя только аксиомы Вайтмана .

В общих настройках

Аналог сопряжения зарядов может быть определен для многомерных гамма-матриц , с явной конструкцией для спиноров Вейля, приведенной в статье о матрицах Вейля–Брауэра . Обратите внимание, однако, что спиноры, как они определены абстрактно в теории представлений алгебр Клиффорда , не являются полями; скорее, их следует рассматривать как существующие в нульмерном пространстве-времени.

Аналог T-симметрии следует из оператора T-сопряжения для спиноров Дирака. Спиноры также обладают присущей P-симметрией , получаемой путем изменения направления всех базисных векторов алгебры Клиффорда , из которой построены спиноры. Связь с симметриями P и T для фермионного поля на пространственно-временном многообразии немного тонкая, но ее можно грубо охарактеризовать следующим образом. Когда спинор строится с помощью алгебры Клиффорда, для построения требуется векторное пространство. По соглашению, это векторное пространство является касательным пространством пространственно-временного многообразия в заданной фиксированной точке пространства-времени (одно волокно в касательном многообразии ). Операции P и T, применяемые к пространственно-временному многообразию, можно тогда понимать как также переворачивание координат касательного пространства; таким образом, они склеиваются. Переворачивание четности или направления времени в одном также переворачивает его в другом. Это соглашение. Если не развивать эту связь, можно ее расклеить. ${\displaystyle \gamma ^{1}\gamma ^{3}}$

Это делается путем взятия касательного пространства как векторного пространства , расширения его до тензорной алгебры , а затем использования скалярного произведения на векторном пространстве для определения алгебры Клиффорда . Рассматривая каждую такую ​​алгебру как волокно, получаем расслоение волокон , называемое расслоением Клиффорда . При изменении базиса касательного пространства элементы алгебры Клиффорда преобразуются в соответствии со спиновой группой . Построение главного расслоения волокон со спиновой группой в качестве волокна приводит к спиновой структуре .

Все, чего не хватает в приведенных выше параграфах, — это сами спиноры . Они требуют «комплексификации» касательного многообразия: тензоризации его с комплексной плоскостью. Как только это сделано, можно построить спиноры Вейля . Они имеют вид

${\displaystyle w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)}$

где — базисные векторы для векторного пространства , касательного пространства в точке пространственно-временного многообразия. Спиноры Вейля вместе со своими комплексно сопряженными элементами охватывают касательное пространство в том смысле, что ${\displaystyle e_{j}}$ ${\displaystyle V=T_{p}M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle M.}$

${\displaystyle V\otimes \mathbb {C} =W\oplus {\overline {W}}}$

Знакопеременная алгебра называется спинорным пространством, в ней обитают спиноры, а также произведения спиноров (то есть объекты с более высокими значениями спина, включая векторы и тензоры). ${\displaystyle \wedge W}$

Смотрите также

• C-четность
• G-паритет
• Античастица
• Антиматерия
• Истинно нейтральная частица

Примечания

1. Эта свобода явно устранена, ограничена в спинорах Майораны .

Ссылки

1. Бьёркен, Джеймс Д. и Дрелл, Сидней Д. (1964). Релятивистская квантовая механика . Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill. глава 5.2, страницы 66-70.
2. Itzykson, Claude & Zuber, Jean-Bernard (1980). Квантовая теория поля . Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill. главы 2-4, страницы 85 и далее.
3. Пескин, М. Э. и Шредер, Д. В. (1997). Введение в квантовую теорию поля . Эддисон Уэсли. ISBN 0-201-50397-2.
4. Itzykson & Zuber (1980), § 2-4-2 Сопряжение зарядов , стр. 86, уравнение 2-100
5. Бьёркен и Дрелл (1964), глава 15
6. Ицыксон и Зубер (1980), § 3-4

• Sozzi, MS (2008). Дискретные симметрии и нарушение CP . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-929666-8.