Скорость убегания

Понятие небесной механики

В небесной механике космическая скорость или космическая скорость — это минимальная скорость, необходимая объекту для того, чтобы избежать контакта с первичным телом или его орбиты , предполагая:

• Баллистическая траектория - на объект не действуют никакие другие силы, включая движение и трение.
• Других объектов, создающих гравитацию, не существует.

Хотя термин «скорость убегания» является общепринятым, его точнее описать как скорость , чем скорость , поскольку он не зависит от направления. Поскольку сила гравитации между двумя объектами зависит от их общей массы, скорость убегания также зависит от массы. Для искусственных спутников и небольших природных объектов масса объекта вносит незначительный вклад в общую массу и поэтому часто просто игнорируется (в том числе и в формулах этой статьи).

В этом идеализированном сценарии объект, движущийся со скоростью ниже скорости убегания, будет следовать по кривой эллипса (или прямой линии, если идти прямо вверх), что приведет к его вращению вокруг первичной звезды или столкновению с ее поверхностью. Объект, направляющийся наружу со скоростью, превышающей скорость убегания, будет продолжать удаляться вечно по гиперболической траектории , продолжая замедляться под действием все более и более слабой гравитации, но асимптотически приближаясь к положительной скорости. Объект, движущийся точно со скоростью убегания, будет иметь параболическую траекторию . Он имеет точно сбалансированную положительную кинетическую энергию и отрицательную гравитационную потенциальную энергию ; ^[а] он всегда будет замедляться, асимптотически приближаясь к нулевой скорости, но никогда полностью не остановится. ^[1] Таким образом, скорость убегания зависит от расстояния от центра основного тела.

На практике во Вселенной существует много массивных тел, поэтому расчеты скорости убегания обычно используются для определения того, останется ли объект в гравитационной сфере влияния данного тела. Например, при исследовании Солнечной системы полезно знать, на какой скорости зонд будет продолжать вращаться вокруг Земли, а на какой скорости он убежит, чтобы стать спутником Солнца. Также полезно знать, насколько зонду придется замедлиться, чтобы его гравитационно захватил тело назначения. Ракетам не обязательно достигать начальной скорости за один маневр, а объекты также могут использовать гравитационную помощь для отвода кинетической энергии от крупных тел. Точные расчеты траектории требуют учета небольших сил, таких как атмосферное сопротивление , радиационное давление и солнечный ветер . Ракета с непрерывной или прерывистой тягой (или объект, поднимающийся на космическом лифте ) может достичь выхода на любой ненулевой скорости, но минимальное количество энергии, необходимое для этого, всегда одинаково.

Расчет

Скорость убегания на расстоянии d от центра сферически-симметричного первичного тела (например, звезды или планеты) массы М определяется по формуле ^{[2] [3]}

${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}={\sqrt {2gd}}}$

где:

• G — универсальная гравитационная постоянная ( G ≈ 6,67×10 ⁻¹¹ м ³ ·кг ⁻¹ ·с ⁻² )
• g = GM/d ² — местное гравитационное ускорение (или поверхностное гравитационное ускорение , когда d = r ).

Значение GM называется стандартным гравитационным параметром , или μ , и часто известно точнее, чем G или M по отдельности.

При заданной начальной скорости, превышающей скорость убегания, объект будет асимптотически приближаться к гиперболической избыточной скорости, удовлетворяющей уравнению: ^[4] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v_{e},}$ ${\displaystyle v_{\infty },}$

${\displaystyle {v_{\infty }}^{2}=V^{2}-{v_{e}}^{2}.}$

Земля

Например, у поверхности Земли поверхностная сила тяжести составляет около 9,8 м/с ² (9,8 Н/кг, 32 фута/с ² ), а скорость убегания небольшого объекта составляет около 11,186 км/с (40 270 км/ч). ; 25 020 миль в час; 36 700 футов/с). ^[5] Это примерно в 33 раза превышает скорость звука (33 Маха) и в несколько раз превышает начальную скорость винтовочной пули (до 1,7 км/с). На высоте 9000 км скорость убегания составляет чуть менее 7,1 км/с. Эти скорости относятся к невращающейся системе отсчета; запуск вблизи экватора, а не полюсов, действительно может обеспечить толчок.

Требуемая энергия

Для объекта массы энергия, необходимая для выхода из гравитационного поля Земли, равна GMm/r , функция массы объекта (где r — радиус Земли , номинально 6371 километр (3959 миль), G — гравитационная постоянная , а M — масса Земли , М = 5,9736×10 ²⁴ кг ). Связанной величиной является удельная орбитальная энергия , которая по сути представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергии, разделенную на массу. Объект достиг скорости убегания, когда удельная орбитальная энергия больше или равна нулю. ${\displaystyle m}$

Сохранение энергии

«Луна-1» , запущенная в 1959 году, была первым искусственным объектом, достигшим скорости отрыва от Земли. ^[6] ( Подробнее см. в «Списке зондов Солнечной системы ».)

Существование убегающей скорости можно рассматривать как следствие сохранения энергии и энергетического поля конечной глубины. Для объекта с заданной полной энергией, который движется под действием консервативных сил (таких как статическое гравитационное поле), объект может достигать только комбинаций мест и скоростей, которые имеют эту полную энергию; места, которые имеют более высокую потенциальную энергию, вообще не могут быть достигнуты. Добавление скорости (кинетической энергии) к объекту расширяет область мест, которых он может достичь, пока, при достаточном количестве энергии, все до бесконечности не станет доступным.

Формулу скорости убегания можно вывести из принципа сохранения энергии. Для простоты, если не указано иное, мы предполагаем, что объект выйдет из гравитационного поля однородной сферической планеты, удаляясь от нее, и что единственной значительной силой, действующей на движущийся объект, является гравитация планеты. Представьте себе, что космический корабль массы m первоначально находится на расстоянии r от центра масс планеты, масса которой равна M , а его начальная скорость равна скорости убегания . В конечном состоянии он будет находиться на бесконечном расстоянии от планеты, а его скорость будет пренебрежимо малой. Кинетическая энергия K и гравитационная потенциальная энергия U _g — единственные виды энергии, с которыми мы будем иметь дело (мы будем игнорировать сопротивление атмосферы), поэтому в силу сохранения энергии ${\displaystyle v_{e}}$

${\displaystyle (K+U_{g})_{\text{initial}}=(K+U_{g})_{\text{final}}}$

Мы можем установить K _Final = 0, потому что конечная скорость сколь угодно мала, и U _{g  Final} = 0, потому что конечная гравитационная потенциальная энергия определяется как ноль на большом расстоянии от планеты, поэтому

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\[3pt]\Rightarrow {}&v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}\end{aligned}}}$

релятивистский

Тот же результат получается с помощью релятивистского расчета, и в этом случае переменная r представляет собой радиальную координату или приведенную длину окружности метрики Шварцшильда . ^{[7] [8]}

Сценарии

С поверхности тела

Альтернативное выражение для скорости убегания, особенно полезное на поверхности тела: ${\displaystyle v_{e}}$

${\displaystyle v_{e}={\sqrt {2gr\,}}}$

где r — расстояние между центром тела и точкой, в которой рассчитывается скорость убегания, а g — ускорение свободного падения на этом расстоянии (т. е. поверхностная гравитация ). ^[9]

Для тела со сферически-симметричным распределением массы скорость отрыва от поверхности пропорциональна радиусу в предположении постоянной плотности и квадратному корню из средней плотности ρ. ${\displaystyle v_{e}}$

${\displaystyle v_{e}=Kr{\sqrt {\rho }}}$

где ${\textstyle K={\sqrt {{\frac {8}{3}}\pi G}}\approx 2.364\times 10^{-5}{\text{ m}}^{1.5}{\text{ kg}}^{-0.5}{\text{ s}}^{-1}}$

Эта скорость убегания определяется относительно невращающейся системы отсчета, а не относительно движущейся поверхности планеты или Луны, как объясняется ниже.

Из вращающегося тела

Скорость убегания относительно поверхности вращающегося тела зависит от направления движения убегающего тела. Например, поскольку скорость вращения Земли на экваторе составляет 465 м/с , ракете, запущенной по касательной от экватора Земли на восток, для отрыва требуется начальная скорость около 10,735 км/с относительно движущейся поверхности в точке запуска. тогда как ракета, запущенная по касательной от экватора Земли на запад, требует начальной скорости около 11,665 км/с относительно этой движущейся поверхности . Скорость поверхности уменьшается по косинусу географической широты, поэтому космические стартовые комплексы часто располагаются как можно ближе к экватору, например, американский мыс Канаверал (28°28′ северной широты) и Космический центр Французской Гвианы (5° широты). 14' с.ш.).

Практические соображения

В большинстве ситуаций непрактично достичь почти мгновенной скорости убегания из-за подразумеваемого ускорения, а также потому, что при наличии атмосферы задействованные гиперзвуковые скорости (на Земле скорость 11,2 км/с, или 40 320 км/ч) были бы невозможны. вызывают сгорание большинства объектов из-за аэродинамического нагрева или разрывание их на части под действием атмосферного сопротивления . На реальной уходной орбите космический корабль будет постепенно ускоряться из атмосферы до тех пор, пока не достигнет скорости отрыва, соответствующей его высоте (которая будет меньше, чем на поверхности). Во многих случаях космический корабль может быть сначала выведен на стояночную орбиту (например, низкую околоземную орбиту высотой 160–2000 км), а затем на этой высоте разогнаться до скорости убегания, которая будет несколько ниже (около 11,0 км/с на низкая околоземная орбита 200 км). Однако необходимое дополнительное изменение скорости гораздо меньше, поскольку космический корабль уже имеет значительную орбитальную скорость (на низкой околоземной орбите скорость составляет примерно 7,8 км/с, или 28 080 км/ч).

С орбитального тела

Скорость убегания на данной высоте в раз превышает скорость на круговой орбите на той же высоте (сравните это с уравнением скорости на круговой орбите ). Это соответствует тому факту, что потенциальная энергия относительно бесконечности объекта на такой орбите в два раза меньше его кинетической энергии, а для выхода сумма потенциальной и кинетической энергии должна быть не меньше нуля. Скорость, соответствующую круговой орбите, иногда называют первой космической скоростью , тогда как в этом контексте скорость убегания называют второй космической скоростью . ^[10] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Для тела, находящегося на эллиптической орбите и желающего ускориться до орбиты убегания, требуемая скорость будет различной и будет максимальной в перицентре , когда тело находится ближе всего к центральному телу. Однако в этой точке орбитальная скорость тела также будет максимальной, а требуемое изменение скорости будет минимальным, что объясняется эффектом Оберта .

Барицентрическая скорость убегания

Скорость убегания можно измерить либо относительно другого, центрального тела, либо относительно центра масс или барицентра системы тел. Таким образом, для систем двух тел термин « скорость убегания» может быть неоднозначным, но обычно он означает барицентрическую скорость убегания менее массивного тела. Скорость убегания обычно относится к скорости убегания пробных частиц с нулевой массой . Для пробных частиц с нулевой массой мы имеем, что «относительная» и «барицентрическая» скорости убегания одинаковы, а именно . Но когда мы не можем пренебречь меньшей массой (скажем ), мы приходим к несколько другим формулам. Поскольку система должна подчиняться закону сохранения импульса, мы видим, что как большая, так и меньшая масса должны ускоряться в гравитационном поле. Относительно центра масс скорость большей массы ( , для планеты) может быть выражена через скорость меньшей массы ( , для ракеты). Мы получаем . «Барицентрическая» скорость убегания теперь становится :, тогда как скорость убегания «относительно другого» становится : . ${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}$
${\displaystyle m}$
${\displaystyle v_{p}}$ ${\displaystyle v_{r}}$ ${\displaystyle v_{p}=-{\frac {m}{M}}v_{r}}$
${\displaystyle v_{r}={\sqrt {\frac {2GM^{2}}{d(M+m)}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}$ ${\displaystyle v_{r}-v_{p}={\sqrt {\frac {2G(m+M)}{d}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}$

Высота траекторий с меньшей скоростью

Игнорируя все факторы, кроме гравитационной силы между телом и объектом, объект, спроецированный вертикально со скоростью с поверхности сферического тела со скоростью и радиусом убегания , достигнет максимальной высоты, удовлетворяющей уравнению ^[11] ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{e}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle v=v_{e}{\sqrt {\frac {h}{R+h}}}\ ,}$

что, решение для h приводит к

${\displaystyle h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ R\ ,}$

где - отношение первоначальной скорости к скорости убегания ${\textstyle x=v/v_{e}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{e}.}$

В отличие от скорости отрыва, направление (вертикально вверх) важно для достижения максимальной высоты.

Траектория

Если объект достигает точно убегающей скорости, но не направлен прямо от планеты, то он будет следовать по изогнутому пути или траектории. Хотя эта траектория не образует замкнутой формы, ее можно назвать орбитой. Если предположить, что гравитация является единственной значимой силой в системе, то скорость этого объекта в любой точке траектории будет равна скорости убегания в этой точке из-за сохранения энергии, его полная энергия всегда должна быть равна 0, что означает, что он всегда имеет космическую скорость; см. вывод выше. Форма траектории будет представлять собой параболу , фокус которой расположен в центре масс планеты. Для реального побега требуется курс с траекторией, которая не пересекает планету или ее атмосферу, поскольку это приведет к падению объекта. При удалении от источника этот путь называется орбитой ухода . Орбиты убегания известны как орбиты C3 = 0. C3 — характеристическая энергия , = − GM /2 a , где a — большая полуось , бесконечная для параболических траекторий.

Если скорость тела превышает скорость убегания, то его путь будет формировать гиперболическую траекторию , и оно будет иметь избыточную гиперболическую скорость, эквивалентную дополнительной энергии, которой обладает тело. Относительно небольшая дополнительная разница v выше той, которая необходима для ускорения до скорости убегания, может привести к относительно большой скорости на бесконечности. Этот факт используется в некоторых орбитальных маневрах . Например, в месте, где скорость убегания равна 11,2 км/с, добавление 0,4 км/с дает гиперболическую избыточную скорость 3,02 км/с:

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {V^{2}-{v_{e}}^{2}}}={\sqrt {(11.6{\text{ km/s}})^{2}-(11.2{\text{ km/s}})^{2}}}\approx 3.02{\text{ km/s}}.}$

Если тело на круговой орбите (или в перицентре эллиптической орбиты) ускоряется вдоль направления движения до скорости убегания, точка ускорения образует перицентр траектории убегания. Конечное направление движения будет составлять 90 градусов к направлению точки ускорения. Если тело ускоряется до скорости, превышающей скорость убегания, возможное направление движения будет под меньшим углом и будет указано одной из асимптот гиперболической траектории, по которой оно сейчас движется. Это означает, что время ускорения имеет решающее значение, если намерение состоит в том, чтобы уйти в определенном направлении.

Если скорость в перицентре равна v , то эксцентриситет траектории определяется выражением:

${\displaystyle e=2(v/v_{e})^{2}-1}$

Это справедливо для эллиптических, параболических и гиперболических траекторий. Если траектория гиперболическая или параболическая, она будет асимптотически приближаться к углу от направления перицентра, причем ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \sin \theta =1/e.}$

Скорость будет асимптотически приближаться

${\displaystyle {\sqrt {v^{2}-v_{e}^{2}}}.}$

Список скоростей убегания

В этой таблице в левой половине указана скорость отрыва от видимой поверхности (которая может быть газообразной, как, например, Юпитер) относительно центра планеты или луны (то есть не относительно ее движущейся поверхности). В правой половине V _e относится к скорости относительно центрального тела (например, Солнца), тогда как V _te — это скорость (на видимой поверхности меньшего тела) относительно меньшего тела (планеты или луны). ).

Последние два столбца будут точно зависеть от того, где на орбите достигается скорость убегания, поскольку орбиты не совсем круговые (особенно Меркурия и Плутона).

Получение скорости убегания с помощью исчисления

Пусть G — гравитационная постоянная , M — масса Земли (или другого гравитирующего тела), а m — масса убегающего тела или снаряда. На расстоянии r от центра тяжести тело ощущает силу притяжения.

${\displaystyle F=G{\frac {Mm}{r^{2}}}.}$

Поэтому работа, необходимая для перемещения тела на небольшое расстояние dr против этой силы, определяется выражением

${\displaystyle dW=F\,dr=G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr.}$

Тогда полная работа, необходимая для перемещения тела от поверхности гравитирующего тела r _{0 на бесконечность, равна} ^[16]

${\displaystyle W=\int _{r_{0}}^{\infty }G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr=G{\frac {Mm}{r_{0}}}=mgr_{0}.}$

Чтобы совершить эту работу по достижению бесконечности, минимальная кинетическая энергия тела при вылете должна соответствовать этой работе, поэтому скорость убегания v ₀ удовлетворяет условию

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}=G{\frac {Mm}{r_{0}}},}$

что приводит к

${\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r_{0}}}}={\sqrt {2gr_{0}}}.}$

Смотрите также

• Черная дыра - объект, скорость убегания которого превышает скорость света.
• Характеристическая энергия (C ₃ )
• Бюджет Дельта-v – скорость, необходимая для выполнения маневров.
• Гравитационная рогатка – техника изменения траектории.
• Гравитационный колодец
• Список искусственных объектов на гелиоцентрической орбите
• Список искусственных объектов, покидающих Солнечную систему
• Пушечное ядро ​​Ньютона
• Эффект Оберта - горение топлива глубоко в гравитационном поле дает большее изменение кинетической энергии.
• Задача двух тел

Примечания

1. Для пояснения гравитационная потенциальная энергия определяется как равная нулю на бесконечном расстоянии.

Рекомендации

1. Джанколи, Дуглас К. (2008). Физика для ученых и инженеров с современной физикой. Аддисон-Уэсли . п. 199. ИСБН 978-0-13-149508-1.
2. Джим Брейтаупт (2000). Новое понимание физики для продвинутого уровня (иллюстрированное издание). Нельсон Торнс. п. 231. ИСБН 978-0-7487-4314-8.Выдержка со страницы 231
3. Хатри, Пудель, Гаутам, МК, ПР, АК (2010). Принципы физики . Катманду: Публикация Аям. стр. 170, 171. ISBN. 9789937903844.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Бейт, Роджер Р.; Мюллер, Дональд Д.; Уайт, Джерри Э. (1971). Основы астродинамики (иллюстрированное изд.). Курьерская компания . п. 39. ИСБН 978-0-486-60061-1.
5. Лай, Шу Т. (2011). Основы зарядки космических аппаратов: взаимодействие космических аппаратов с космической плазмой. Издательство Принстонского университета . п. 240. ИСБН 978-1-4008-3909-4.
6. "НАСА - NSSDC - Космический корабль - Подробности" . Архивировано из оригинала 2 июня 2019 года . Проверено 21 августа 2019 г.
7. Тейлор, Эдвин Ф.; Уилер, Джон Арчибальд; Бертшингер, Эдмунд (2010). Исследование черных дыр: Введение в общую теорию относительности (2-е исправленное изд.). Аддисон-Уэсли. стр. 2–22. ISBN 978-0-321-51286-4.Пример главы, стр. 2–22. Архивировано 21 июля 2017 г. на Wayback Machine.
8. Шоке-Брюа, Ивонн (2015). Введение в общую теорию относительности, черные дыры и космологию (иллюстрированное издание). Издательство Оксфордского университета . стр. 116–117. ISBN 978-0-19-966646-1.
9. Бейт, Мюллер и Уайт, с. 35
10. Теодореску, ПП (2007). Механические системы, классические модели. Спрингер, Япония. п. 580. ИСБН 978-1-4020-5441-9., раздел 2.2.2, с. 580
11. Баджадж, Северная Каролина (2015). Полная физика: JEE Main. Макгроу-Хилл Образование . п. 6.12. ISBN 978-93-392-2032-7.Пример 21, стр. 6.12
12. Для планет: «Планеты и Плутон: физические характеристики». НАСА . Проверено 18 января 2017 г.
13. «К путешественникам и побегу от Солнца». Инициатива межзвездных исследований. 25 февраля 2015 года . Проверено 3 февраля 2023 г.
14. Смит, Мартин С.; Ручти, Греция; Хельми, А.; Вайз, РФГ (2007). «Обзор RAVE: ограничение скорости побега из локальной галактики». Труды Международного астрономического союза . 2 (С235): 755–772. arXiv : astro-ph/0611671 . Бибкод : 2007IAUS..235..137S. дои : 10.1017/S1743921306005692. S2CID  125255461.
15. Кафеле, PR; Шарма, С.; Льюис, ГФ; Бланд-Хоторн, Дж. (2014). «На плечах гигантов: свойства звездного гало и распределение массы Млечного Пути». Астрофизический журнал . 794 (1): 17. arXiv : 1408.1787 . Бибкод : 2014ApJ...794...59K. дои : 10.1088/0004-637X/794/1/59. S2CID  119040135.
16. Манкастер, Роджер (1993). Физика A-level (иллюстрированное изд.). Нельсон Торнс. п. 103. ИСБН 978-0-7487-1584-8.Выдержка со страницы 103

Внешние ссылки

• Калькулятор скорости убегания
• Числовой калькулятор скорости отрыва через Интернет