Точная последовательность

Последовательность гомоморфизмов таких, что каждое ядро ​​равно предыдущему образу

Иллюстрация точной последовательности групп с помощью диаграмм Эйлера . ${\displaystyle G_{i}}$

Точная последовательность — это последовательность морфизмов между объектами (например, группами , кольцами , модулями и, в более общем плане, объектами абелевой категории ) такая, что образ одного морфизма равен ядру следующего.

Определение

В контексте теории групп последовательность

${\displaystyle G_{0}\;{\xrightarrow {\ f_{1}\ }}\;G_{1}\;{\xrightarrow {\ f_{2}\ }}\;G_{2}\;{\xrightarrow {\ f_{3}\ }}\;\cdots \;{\xrightarrow {\ f_{n}\ }}\;G_{n}}$

групп и гомоморфизмов групп называется точным в точке, если . Последовательность называется точной, если она точна в каждом для всех , т. е. если образ каждого гомоморфизма равен ядру следующего. ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f_{i})=\ker(f_{i+1})}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i<n}$

Последовательность групп и гомоморфизмов может быть как конечной, так и бесконечной.

Аналогичное определение можно дать и для других алгебраических структур . Например, можно иметь точную последовательность векторных пространств и линейных отображений или модулей и гомоморфизмов модулей . В более общем плане понятие точной последовательности имеет смысл в любой категории с ядрами и коядрами , и особенно в абелевых категориях , где оно широко используется.

Простые случаи

Чтобы понять определение, полезно рассмотреть относительно простые случаи, когда последовательность состоит из групповых гомоморфизмов, конечна и начинается или заканчивается тривиальной группой . Традиционно это, наряду с единственным единичным элементом, обозначается 0 (аддитивная запись, обычно когда группы абелевы) или 1 (мультипликативная запись).

• Рассмотрим последовательность 0 → A → B. Образ самой левой карты равен 0. Следовательно, последовательность точна тогда и только тогда, когда самая правая карта (от A до B ) имеет ядро ​​{0}; то есть тогда и только тогда, когда это отображение является мономорфизмом ( инъективным или взаимно однозначным).
• Рассмотрим двойственную последовательность B → C → 0. Ядро самого правого отображения — это C . Следовательно, последовательность точна тогда и только тогда, когда образ самого левого отображения (от B до C ) полностью принадлежит C ; то есть тогда и только тогда, когда это отображение является эпиморфизмом ( сюръективным или онто).
• Следовательно, последовательность 0 → X → Y → 0 точна тогда и только тогда, когда отображение X в Y является одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом (то есть биморфизмом ) , и поэтому обычно изоморфизмом из X в Y (это всегда справедливо в точных категориях, таких как Set ).

Короткая точная последовательность

Короткие точные последовательности — это точные последовательности вида

${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0.}$

Как установлено выше, для любой такой короткой точной последовательности f — мономорфизм, а g — эпиморфизм. Более того, образ f равен ядру g . Полезно думать об A как о подобъекте B с f , встраивающим A в B , и о C как о соответствующем фактор-объекте (или факторе ), B / A , с g, индуцирующим изоморфизм .

${\displaystyle C\cong B/\operatorname {im} (f)=B/\operatorname {ker} (g)}$

Короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0\,}$

называется расщеплением, если существует гомоморфизм h  : C → B такой, что композиция g ∘ h является тождественным отображением на C . Отсюда следует, что если это абелевы группы , то B изоморфна прямой сумме A и C :

${\displaystyle B\cong A\oplus C.}$

Длинная точная последовательность

Общую точную последовательность иногда называют длинной точной последовательностью , чтобы отличить ее от частного случая короткой точной последовательности. ^[1]

Длинная точная последовательность эквивалентна семейству коротких точных последовательностей в следующем смысле: если задана длинная последовательность

${\displaystyle A_{0}\;\xrightarrow {\ f_{1}\ } \;A_{1}\;\xrightarrow {\ f_{2}\ } \;A_{2}\;\xrightarrow {\ f_{3}\ } \;\cdots \;\xrightarrow {\ f_{n}\ } \;A_{n},}$(1)

при n ≥ 2 мы можем разбить его на короткие последовательности

${\displaystyle {\begin{aligned}0\rightarrow K_{1}\rightarrow {}&A_{1}\rightarrow K_{2}\rightarrow 0,\\0\rightarrow K_{2}\rightarrow {}&A_{2}\rightarrow K_{3}\rightarrow 0,\\&\ \,\vdots \\0\rightarrow K_{n-1}\rightarrow {}&A_{n-1}\rightarrow K_{n}\rightarrow 0,\\\end{aligned}}}$(2)

где для каждого . По построению последовательности (2) точны в точках (независимо от точности (1) ). Более того, (1) является длинной точной последовательностью тогда и только тогда, когда (2) являются короткими точными последовательностями. ${\displaystyle K_{i}=\operatorname {im} (f_{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle K_{i}}$

Примеры

Целые числа по модулю два

Рассмотрим следующую последовательность абелевых групп:

${\displaystyle \mathbf {Z} \mathrel {\overset {2\times }{\,\hookrightarrow }} \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

Первый гомоморфизм отображает каждый элемент i в множестве целых чисел Z в элемент 2 i в Z . Второй гомоморфизм отображает каждый элемент i в Z в элемент j в факторгруппе; то есть j = i mod 2 . Здесь стрелка-крючок указывает на то, что отображение 2× от Z до Z является мономорфизмом, а двусторонняя стрелка указывает на эпиморфизм (отображение mod 2). Это точная последовательность, поскольку образ 2 Z мономорфизма является ядром эпиморфизма. По существу «та же самая» последовательность может быть записана как ${\displaystyle \hookrightarrow }$ ${\displaystyle \twoheadrightarrow }$

${\displaystyle 2\mathbf {Z} \mathrel {\,\hookrightarrow } \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

В этом случае мономорфизм равен 2 n ↦ 2 n , и хотя он выглядит как тождественная функция, он не является онтоном (то есть не эпиморфизмом), поскольку нечетные числа не принадлежат 2 Z . Однако образ 2 Z посредством этого мономорфизма является точно тем же подмножеством Z , что и образ Z через n ↦ 2 n , использованный в предыдущей последовательности. Эта последняя последовательность действительно отличается конкретной природой своего первого объекта от предыдущей, поскольку 2 Z не является тем же множеством, что и Z , даже несмотря на то, что они изоморфны как группы.

Первую последовательность можно записать и без использования специальных символов мономорфизма и эпиморфизма:

${\displaystyle 0\to \mathbf {Z} \mathrel {\overset {2\times }{\longrightarrow }} \mathbf {Z} \longrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \to 0}$

Здесь 0 обозначает тривиальную группу, отображение Z в Z представляет собой умножение на 2, а отображение Z в фактор-группу Z /2 Z задается сокращением целых чисел по модулю 2. Это действительно точная последовательность:

• образ отображения 0 → Z равен {0}, а ядро ​​умножения на 2 также равно {0}, поэтому последовательность точна в первом Z .
• образ умножения на 2 равен 2 Z , а ядро ​​приведения по модулю 2 также равно 2 Z , поэтому последовательность точна во втором Z.
• образ сокращения по модулю 2 равен Z /2 Z , а ядро ​​нулевого отображения также равно Z /2 Z , поэтому последовательность точна в позиции Z /2 Z.

Первая и третья последовательности представляют собой своего рода особый случай из-за бесконечной природы Z. Конечную группу невозможно отобразить путем включения (то есть мономорфизма) в собственную подгруппу самой себя. Вместо этого последовательность, вытекающая из первой теоремы об изоморфизме, имеет вид

${\displaystyle 1\to N\to G\to G/N\to 1}$

(здесь обозначена тривиальная группа, так как эти группы не должны быть абелевыми ). ${\displaystyle 1,}$

В качестве более конкретного примера точной последовательности на конечных группах:

${\displaystyle 1\to C_{n}\to D_{2n}\to C_{2}\to 1}$

где – циклическая группа порядка n , а – группа диэдра порядка 2 n , которая является неабелевой группой. ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle D_{2n}}$

Пересечение и сумма модулей

Пусть I и J — два идеала кольца R . Затем

${\displaystyle 0\to I\cap J\to I\oplus J\to I+J\to 0}$

является точной последовательностью R -модулей, где гомоморфизм модулей отображает каждый элемент x в элемент прямой суммы , а гомоморфизм отображает каждый элемент из в . ${\displaystyle I\cap J\to I\oplus J}$ ${\displaystyle I\cap J}$ ${\displaystyle (x,x)}$ ${\displaystyle I\oplus J}$ ${\displaystyle I\oplus J\to I+J}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle I\oplus J}$ ${\displaystyle x-y}$

Эти гомоморфизмы являются ограничениями аналогично определенных гомоморфизмов, образующих короткую точную последовательность

${\displaystyle 0\to R\to R\oplus R\to R\to 0}$

Переход к фактормодулям дает другую точную последовательность

${\displaystyle 0\to R/(I\cap J)\to R/I\oplus R/J\to R/(I+J)\to 0}$

Grad, ротор и деление в дифференциальной геометрии

Другой пример может быть получен из дифференциальной геометрии , особенно актуальной для работы над уравнениями Максвелла .

Рассмотрим гильбертово пространство скалярнозначных функций, интегрируемых с квадратом в трех измерениях . Взятие градиента функции перемещает нас в подмножество , пространство векторнозначных, все еще интегрируемых с квадратом функций в той же области - в частности, набор таких функций, которые представляют консервативные векторные поля. (Обобщенная теорема Стокса сохранила интегрируемость.) ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \left\lbrace f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \right\rbrace }$ ${\displaystyle f\in \mathbb {H} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{3}}$ ${\displaystyle \left\lbrace f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}\right\rbrace }$

Во-первых, обратите внимание, что ротор всех таких полей равен нулю, поскольку

${\displaystyle \operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)\equiv \nabla \times (\nabla f)=0}$

для всех таких ф . Однако это лишь доказывает, что образ градиента является подмножеством ядра ротора. Чтобы доказать, что на самом деле это один и тот же набор, докажите обратное: если ротор векторного поля равен 0, то это градиент некоторой скалярной функции. Это почти сразу же следует из теоремы Стокса (см. доказательство при консервативной силе ). Тогда образ градиента является в точности ядром ротора, и поэтому мы можем затем принять ротор в качестве нашего следующего морфизма, снова приводя нас к (различное) подмножество . ${\displaystyle {\vec {F}}}$ ${\displaystyle {\vec {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{3}}$

Аналогично заметим, что

${\displaystyle \operatorname {div} \left(\operatorname {curl} {\vec {v}}\right)\equiv \nabla \cdot \nabla \times {\vec {v}}=0,}$

поэтому образ локона является подмножеством ядра дивергенции . Обратное утверждение несколько сложнее (для общего случая см. лемму Пуанкаре ):

Доказав таким образом, что образ ротора и есть ядро ​​дивергенции, этот морфизм, в свою очередь, возвращает нас к пространству, из которого мы начали . Поскольку по определению мы попали в пространство интегрируемых функций, любую такую ​​функцию можно (по крайней мере формально) интегрировать, чтобы создать векторное поле, дивергенция которого является этой функцией - поэтому образ дивергенции представляет собой всю совокупность , и мы можем завершите нашу последовательность: ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle 0\to L^{2}\mathrel {\xrightarrow {\operatorname {grad} } } \mathbb {H} _{3}\mathrel {\xrightarrow {\operatorname {curl} } } \mathbb {H} _{3}\mathrel {\xrightarrow {\operatorname {div} } } L^{2}\to 0}$

Эквивалентно, мы могли бы рассуждать наоборот: в односвязном пространстве векторное поле без ротора (поле в ядре ротора) всегда может быть записано как градиент скалярной функции (и, таким образом, находится в образе градиент). Точно так же соленоидальное векторное поле можно записать как ротор другого поля. ^[2] (Таким образом, при рассуждениях в этом направлении используется тот факт, что трехмерное пространство топологически тривиально.)

Эта короткая точная последовательность также позволяет гораздо короче доказать справедливость разложения Гельмгольца , не опираясь на векторное исчисление методом грубой силы. Рассмотрим подпоследовательность

${\displaystyle 0\to L^{2}\mathrel {\xrightarrow {\operatorname {grad} } } \mathbb {H} _{3}\mathrel {\xrightarrow {\operatorname {curl} } } \operatorname {im} (\operatorname {curl} )\to 0.}$

Поскольку дивергенция градиента является лапласианом и поскольку гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом, можно натянуть на собственные функции лапласиана, мы уже видим, что должно существовать некоторое обратное отображение. Чтобы явно построить такое обратное, мы можем начать с определения векторного лапласиана ${\displaystyle \nabla ^{-1}:\mathbb {H} _{3}\to L^{2}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {A}}=\nabla \left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)+\nabla \times \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)}$

Поскольку мы пытаемся построить тождественное отображение, составив некоторую функцию с градиентом, мы знаем, что в нашем случае . Тогда если мы возьмем расхождение обеих сторон ${\displaystyle \nabla \times {\vec {A}}=\operatorname {curl} \left({\vec {A}}\right)=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \nabla ^{2}{\vec {A}}&=\nabla \cdot \nabla \left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)\\&=\nabla ^{2}\left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)\\\end{aligned}}}$

мы видим, что если функция является собственной функцией векторного лапласиана, ее дивергенция должна быть собственной функцией скалярного лапласиана с тем же собственным значением. Тогда мы можем построить нашу обратную функцию, просто разбив любую функцию на собственный вектор-лапласов базис, масштабируя каждую на величину, обратную их собственному значению, и взяв дивергенцию; Таким образом , действие явно является тождеством. Таким образом , по лемме о расщеплении ${\displaystyle \nabla ^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{3}}$ ${\displaystyle \nabla ^{-1}\circ \nabla }$

${\displaystyle \mathbb {H} _{3}\cong L^{2}\oplus \operatorname {im} (\operatorname {curl} )}$,

или, что то же самое, любое интегрируемое с квадратом векторное поле можно разбить на сумму градиента и ротора — что мы и намеревались доказать. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Характеристики

Лемма о расщеплении утверждает, что для короткой точной последовательности

${\displaystyle 0\to A\;\xrightarrow {\ f\ } \;B\;\xrightarrow {\ g\ } \;C\to 0,}$следующие условия эквивалентны.

• Существует морфизм t  : B → A такой, что t ∘ f тождественно на A .
• Существует морфизм u : C → B такой, что g ∘ u тождественно на C .
• Существует морфизм u : C → B такой, что B является прямой суммой f ( A ) и u ( C ) .

Для некоммутативных групп лемма о расщеплении не применима, и имеется только эквивалентность между двумя последними условиями, с заменой «прямой суммы» на « полупрямое произведение ».

В обоих случаях говорят, что такая короткая точная последовательность расщепляется .

Лемма о змее показывает, как коммутативная диаграмма с двумя точными строками порождает более длинную точную последовательность. Девятая лемма представляет собой частный случай.

Пятая лемма дает условия, при которых среднее отображение в коммутативной диаграмме с точными строками длины 5 является изоморфизмом; Лемма о коротких пяти является ее частным случаем, применимым к коротким точным последовательностям.

Важность коротких точных последовательностей подчеркивается тем фактом, что каждая точная последовательность получается в результате «сплетения» нескольких перекрывающихся коротких точных последовательностей. Рассмотрим, например, точную последовательность

${\displaystyle A_{1}\to A_{2}\to A_{3}\to A_{4}\to A_{5}\to A_{6}}$

откуда следует, что в категории существуют объекты C _{k такие, что}

${\displaystyle C_{k}\cong \ker(A_{k}\to A_{k+1})\cong \operatorname {im} (A_{k-1}\to A_{k})}$.

Предположим, кроме того, что коядро каждого морфизма существует и изоморфно образу следующего морфизма в последовательности:

${\displaystyle C_{k}\cong \operatorname {coker} (A_{k-2}\to A_{k-1})}$

(Это верно для ряда интересных категорий, включая любую абелеву категорию, такую ​​как абелевы группы; но это не верно для всех категорий, допускающих точные последовательности, и, в частности, неверно для категории групп , в которых coker( f ) : G → H — это не H /im( f ) , а фактор H по сопряженному замыканию im( f ).) Тогда мы получаем коммутативную диаграмму, в которой все диагонали являются короткими точными последовательностями: ${\displaystyle H/{\left\langle \operatorname {im} f\right\rangle }^{H}}$

Единственная часть этой диаграммы, которая зависит от условия коядра, — это объект и конечная пара морфизмов . Если существует какой-либо точный объект и морфизм , то точность обеспечивается. Опять же, если взять пример категории групп, то из того факта, что im( f ) является ядром некоторого гомоморфизма на H , следует, что это нормальная подгруппа , совпадающая с ее сопряженным замыканием; таким образом, coker( f ) изоморфен образу H /im( f ) следующего морфизма. ${\textstyle C_{7}}$ ${\textstyle A_{6}\to C_{7}\to 0}$ ${\displaystyle A_{k+1}}$ ${\displaystyle A_{k}\to A_{k+1}}$ ${\displaystyle A_{k-1}\to A_{k}\to A_{k+1}}$ ${\displaystyle 0\to C_{k}\to A_{k}\to C_{k+1}\to 0}$

И наоборот, для любого списка перекрывающихся коротких точных последовательностей их средние члены таким же образом образуют точную последовательность.

Применение точных последовательностей

В теории абелевых категорий короткие точные последовательности часто используются как удобный язык для разговоров о подобъектах и ​​факторных объектах.

Проблема расширения, по существу, представляет собой вопрос: «Какие возможности существуют для среднего термина B при наличии конечных членов A и C короткой точной последовательности ?» В категории групп это эквивалентно вопросу: какие группы B имеют A как нормальную подгруппу и C как соответствующую факторгруппу? Эта проблема важна при классификации групп . См. также Внешнюю группу автоморфизмов .

Обратите внимание, что в точной последовательности композиция _fi +1 _{∘ fi} отображает A i _в 0 в A _{i +2} , поэтому каждая точная последовательность является цепным комплексом . Более того, только f _i -образы элементов A _i отображаются в 0 с помощью fi ₊₁ , поэтому гомологии этого цепного _{комплекса} тривиальны. Более кратко:

Точные последовательности — это именно те цепные комплексы, которые являются ациклическими .

Таким образом, для любого цепного комплекса его гомологию можно рассматривать как меру степени его неточности.

Если взять ряд коротких точных последовательностей, связанных цепными комплексами (т. е. короткую точную последовательность цепных комплексов или, с другой точки зрения, цепной комплекс коротких точных последовательностей), то из этого можно вывести длинный точный последовательность (то есть точная последовательность, индексированная натуральными числами) по гомологии с помощью применения леммы о зигзаге . Он возникает в алгебраической топологии при изучении относительной гомологии ; последовательность Майера -Виеториса является еще одним примером. Для производных функторов характерны также длинные точные последовательности, индуцированные короткими точными последовательностями .

Точные функторы — это функторы , преобразующие точные последовательности в точные последовательности.

Рекомендации

Цитаты

1. «Точная последовательность в nLab, замечание 2.3». ncatlab.org . Проверено 05 сентября 2021 г.
2. «Бездивергентное поле». 6 декабря 2009 г.

Источники

• Спэньер, Эдвин Генри (1995). Алгебраическая топология . Берлин: Шпрингер. п. 179. ИСБН 0-387-94426-5.
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра: взгляд на алгебраическую геометрию . Спрингер-Верлаг Нью-Йорк. п. 785. ИСБН 0-387-94269-6.