Семейство наборов

Любая коллекция наборов или подмножеств набора.

В теории множеств и смежных разделах математики семейство ( или совокупность ) может означать любое из

• набор
• индексированный набор
• мультимножество
• сорт

в зависимости от контекста. Совокупность подмножеств данного набора называется семейством подмножеств или семейством множеств . В более общем смысле совокупность любых множеств называется семейством множеств , семейством множеств или системой множеств . Кроме того, семейство наборов может быть определено как функция от набора , известного как набор индексов, до , и в этом случае наборы семейства индексируются членами . ^[1] В некоторых контекстах семейству множеств может быть разрешено содержать повторяющиеся копии любого данного члена, ^{[2] [3] [4]} , а в других контекстах оно может образовывать собственный класс . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle I}$

Конечное семейство подмножеств конечного множества также называется гиперграфом . Предмет экстремальной теории множеств касается наибольших и наименьших примеров семейств множеств, удовлетворяющих определенным ограничениям. ${\displaystyle S}$

Примеры

Совокупность всех подмножеств данного множества называется степенным множеством и обозначается Степенным множеством данного множества называется семейство множеств над ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (S).}$ ${\displaystyle \wp (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Подмножество элементов называется -подмножеством. -Подмножества множества образуют семейство множеств . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S^{(k)}}$ ${\displaystyle S}$

Пусть Пример семейства множеств над (в смысле мультимножества ) дан где и ${\displaystyle S=\{a,b,c,1,2\}.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F=\left\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\right\},}$ ${\displaystyle A_{1}=\{a,b,c\},A_{2}=\{1,2\},A_{3}=\{1,2\},}$ ${\displaystyle A_{4}=\{a,b,1\}.}$

Класс всех порядковых чисел представляет собой большое семейство множеств. То есть это сам по себе не набор, а полноценный класс . ${\displaystyle \operatorname {Ord} }$

Характеристики

Любое семейство подмножеств набора само по себе является подмножеством степенного множества, если оно не имеет повторяющихся членов. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (S)}$

Любое семейство множеств без повторений является подклассом надлежащего класса всех множеств ( вселенной ).

Теорема Холла о браке , принадлежащая Филипу Холлу , дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы конечное семейство непустых множеств (допускаются повторения) имело систему различных представителей .

Если - какое-либо семейство множеств, то обозначает объединение всех множеств, где, в частности, любое семейство множеств является семейством над любым надмножеством, а также семейством над любым надмножеством. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}:={\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}}F}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \cup \varnothing =\varnothing .}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}.}$

Связанные понятия

Определенные типы объектов из других областей математики эквивалентны семействам множеств, поскольку их можно описать просто как совокупность множеств объектов некоторого типа:

• Гиперграф , также называемый системой множеств, формируется набором вершин вместе с другим набором гиперребер , каждое из которых может быть произвольным набором. Гиперребра гиперграфа образуют семейство множеств, и любое семейство множеств можно интерпретировать как гиперграф, вершинами которого является объединение множеств.
• Абстрактный симплициальный комплекс — это комбинаторная абстракция понятия симплициального комплекса , формы, образованной объединением отрезков прямой, треугольников, тетраэдров и симплексов более высокой размерности , соединенных лицом к лицу. В абстрактном симплициальном комплексе каждый симплекс представляется просто как набор его вершин. Любое семейство конечных множеств без повторений, в котором подмножества любого множества семейства также принадлежат этому семейству, образует абстрактный симплициальный комплекс.
• Структура инцидентности состоит из набора точек , набора линий и (произвольного) бинарного отношения , называемого отношением инцидентности , определяющего, какие точки каким линиям принадлежат. Структура инцидентности может быть задана семейством множеств (даже если две разные линии содержат один и тот же набор точек), наборы точек, принадлежащие каждой линии, и любое семейство множеств можно таким образом интерпретировать как структуру инцидентности.
• Двоичный блочный код состоит из набора кодовых слов, каждое из которых представляет собой строку из нулей и единиц одинаковой длины. Когда каждая пара кодовых слов имеет большое расстояние Хэмминга , ее можно использовать в качестве кода, исправляющего ошибки . Блочный код также можно описать как семейство наборов, описывая каждое кодовое слово как набор позиций, в которых оно содержит 1.
• Топологическое пространство состоит из пары , где — множество (элементы которого называются точками ) и топология , в которой находится семейство множеств (элементы которого называются открытыми множествами ) , содержащее как пустое множество , так и само себя, и является замкнутым. при произвольных объединениях множеств и пересечениях конечных множеств. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X}$

Покрытия и топологии

Говорят, что семейство множеств покрывает множество , если каждая точка принадлежит какому-либо члену семейства. Подсемейство покрытия , которое также является покрытием, называется подпокрытием . Семейство называется точечно-конечной совокупностью, если каждая точка принадлежит лишь конечному числу членов семейства. Если каждая точка покрытия лежит ровно в одном члене, то покрытие является разбиением ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

В топологическом пространстве покрытие, все члены которого являются открытыми множествами , называется открытым покрытием . Семейство называется локально конечным, если каждая точка пространства имеет окрестность , пересекающую лишь конечное число членов семейства. σ -локально конечный или счетный локально конечный набор — это семейство, являющееся объединением счетного числа локально конечных семейств. ${\displaystyle X}$

Говорят, что покрытие уточняет другое (более грубое) покрытие, если каждый член содержится в каком-то члене. Звездчатое уточнение - это особый тип уточнения. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

Особые типы наборных семейств

Семейство Спернера — это семейство множеств, в котором ни одно из множеств не содержит других. Теорема Спернера ограничивает максимальный размер семейства Спернера.

Семейство Хелли — это такое семейство множеств, что любое минимальное подсемейство с пустым пересечением имеет ограниченный размер. Теорема Хелли утверждает, что выпуклые множества в евклидовых пространствах ограниченной размерности образуют семейства Хелли.

Абстрактным симплициальным комплексом называется семейство множеств (состоящее из конечных множеств), замкнутое вниз ; то есть каждое подмножество множества in также находится в Матроид — это абстрактный симплициальный комплекс с дополнительным свойством, называемым свойством увеличения . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$

Каждый фильтр представляет собой семейство наборов.

Пространство выпуклости — это семейство множеств, замкнутое относительно произвольных пересечений и объединений цепей (относительно отношения включения ).

Другими примерами семейств множеств являются системы независимости , гридоиды , антиматроиды и борнологические пространства .

Смотрите также

• Алгебра множеств  - Тождества и отношения с участием множеств.
• Класс (теория множеств)  - совокупность математических множеств, которые можно определить на основе свойств их членов.
• Комбинаторный дизайн  - симметричное расположение конечных множеств.
• δ-кольцо  - кольцо, замкнутое относительно счетных пересечений.
• Поле множеств  - алгебраическое понятие в теории меры, также называемое алгеброй множеств.
• Обобщенный квантор  - вид выражения в лингвистической семантике.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Индексированное семейство  — коллекция объектов, каждый из которых связан с элементом из некоторого набора индексов.
• λ-система (система Дынкина)  - семейство, замкнутое относительно дополнений и счетных непересекающихся объединений.
• π-система  - семейство множеств, замкнутых относительно пересечения.
• Кольцо множеств  - Семья, замкнутая союзами и относительными дополнениями.
• Парадокс Рассела  - Парадокс в теории множеств (или набор множеств, которые не содержат самих себя )
• σ-алгебра  - алгебраическая структура алгебры множеств.
• σ-кольцо  - Кольцо, замкнутое относительно счетных объединений.

Примечания

1. П. Халмош, Наивная теория множеств , стр.34. Университетская серия по математике для студентов, 1960. Litton Educational Publishing, Inc.
2. Бруальди 2010, стр. 322
3. Робертс и Тесман 2009, стр. 692
4. Биггс 1985, стр. 89

Рекомендации

• Биггс, Норман Л. (1985), Дискретная математика , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 0-19-853252-0
• Бруальди, Ричард А. (2010), Вводная комбинаторика (5-е изд.), Аппер-Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Прентис-Холл, ISBN 0-13-602040-2
• Робертс, Фред С.; Тесман, Барри (2009), Прикладная комбинаторика (2-е изд.), Бока-Ратон: CRC Press, ISBN 978-1-4200-9982-9

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с семьями Сетов, на Викискладе?