Метод конечных элементов в строительной механике

Метод конечных элементов (МКЭ) — это мощный метод, изначально разработанный для численного решения сложных задач в строительной механике , и он остается методом выбора для сложных систем. В МКЭ структурная система моделируется набором соответствующих конечных элементов, соединенных между собой в дискретных точках, называемых узлами. Элементы могут иметь физические свойства, такие как толщина, коэффициент теплового расширения , плотность , модуль Юнга , модуль сдвига и коэффициент Пуассона .

История

Происхождение конечного метода можно проследить до матричному анализу конструкций ^{[1] [2]} , где была введена концепция подхода матрицы смещения или жесткости. Концепции конечных элементов были разработаны на основе инженерных методов в 1950-х годах. Метод конечных элементов получил свой настоящий импульс в 1960-х и 1970-х годах Джоном Аргирисом и его коллегами; в Университете Штутгарта - Рэем У. Клафом ; в Калифорнийском университете в Беркли - Ольгердом Зенкевичем и его коллегами Эрнестом Хинтоном , Брюсом Айронсом ; ^[3] в Университете Суонси - Филиппом Г. Сиарле ; в Парижском университете ; в Корнеллском университете - Ричардом Галлахером и его коллегами. Оригинальные работы, такие как работы Аргириса ^[4] и Клафа ^[5], стали основой для современных методов структурного анализа конечных элементов.

Прямые или изогнутые одномерные элементы с физическими свойствами, такими как осевая, изгибная и крутильная жесткость. Этот тип элемента подходит для моделирования тросов, распорок, ферм, балок, ребер жесткости, сеток и рам. Прямые элементы обычно имеют два узла, по одному на каждом конце, в то время как изогнутым элементам потребуется не менее трех узлов, включая конечные узлы. Элементы располагаются на центроидальной оси фактических элементов.

• Двумерные элементы, которые сопротивляются только силам в плоскости мембранным действием (плоское напряжение , плоская деформация ), и пластины, которые сопротивляются поперечным нагрузкам поперечным сдвигом и изгибающим действием (пластины и оболочки ). Они могут иметь различные формы, такие как плоские или изогнутые треугольники и четырехугольники . Узлы обычно размещаются в углах элемента, и если необходимо для более высокой точности, дополнительные узлы могут быть размещены вдоль краев элемента или даже внутри элемента. Элементы располагаются на средней поверхности фактической толщины слоя.
• Элементы в форме тора для осесимметричных задач, таких как мембраны, толстые пластины, оболочки и твердые тела. Поперечное сечение элементов аналогично ранее описанным типам: одномерное для тонких пластин и оболочек и двумерное для твердых тел, толстых пластин и оболочек.
• Трехмерные элементы для моделирования трехмерных твердых тел, таких как компоненты машин , плотины , насыпи или грунтовые массы. Распространенные формы элементов включают тетраэдры и гексаэдры . Узлы размещаются в вершинах и, возможно, на гранях элемента или внутри элемента.

Взаимосвязь и смещение элементов

Элементы связаны между собой только во внешних узлах, и в целом они должны покрывать всю область как можно точнее. Узлы будут иметь узловые (векторные) смещения или степени свободы , которые могут включать перемещения, вращения и для специальных приложений производные смещений более высокого порядка. Когда узлы смещаются, они будут тянуть элементы за собой определенным образом, продиктованным формулировкой элемента. Другими словами, смещения любых точек в элементе будут интерполироваться из узловых смещений, и это является основной причиной приближенного характера решения.

Практические соображения

С точки зрения применения важно смоделировать систему таким образом, чтобы:

• Условия симметрии или антисимметрии используются для уменьшения размера модели.
• Совместимость смещения, включая любую требуемую прерывность, обеспечивается в узлах, а также, предпочтительно, вдоль краев элемента, особенно когда смежные элементы имеют разные типы, материал или толщину. Совместимость смещения многих узлов обычно может быть наложена через соотношения ограничений.
• Поведение элементов должно отражать доминирующие действия реальной системы как на локальном, так и на глобальном уровне.
• Сетка элементов должна быть достаточно мелкой, чтобы обеспечить приемлемую точность. Для оценки точности сетка измельчается до тех пор, пока важные результаты не покажут мало изменений. Для более высокой точности соотношение сторон элементов должно быть как можно ближе к единице, а более мелкие элементы используются над частями с более высоким градиентом напряжения .
• Накладываются соответствующие ограничения поддержки, при этом особое внимание уделяется узлам на осях симметрии.

Крупномасштабные коммерческие программные пакеты часто предоставляют возможности для создания сетки и графического отображения входных и выходных данных, что значительно облегчает как проверку входных данных, так и интерпретацию результатов.

Теоретический обзор формулировки смещения FEM: от элементов к системе и решению

В то время как теория МКЭ может быть представлена ​​в различных перспективах или акцентах, ее развитие для структурного анализа следует более традиционному подходу через принцип виртуальной работы или принцип минимальной полной потенциальной энергии . Подход принципа виртуальной работы является более общим, поскольку он применим как к линейному, так и к нелинейному поведению материалов. Метод виртуальной работы является выражением сохранения энергии : для консервативных систем работа, добавленная к системе набором приложенных сил, равна энергии, запасенной в системе в форме энергии деформации компонентов структуры.

Принцип виртуальных перемещений для структурной системы выражает математическое тождество внешней и внутренней виртуальной работы:

Другими словами, сумма работы, выполненной над системой совокупностью внешних сил, равна работе, запасенной в виде энергии деформации в элементах, составляющих систему.

Виртуальная внутренняя работа в правой части приведенного выше уравнения может быть найдена путем суммирования виртуальной работы, выполненной на отдельных элементах. Последнее требует, чтобы использовались функции сила-смещение, которые описывают реакцию для каждого отдельного элемента. Следовательно, смещение конструкции описывается реакцией отдельных (дискретных) элементов в совокупности. Уравнения записаны только для небольшой области отдельных элементов конструкции, а не для одного уравнения, которое описывает реакцию системы в целом (континуума). Последнее привело бы к неразрешимой проблеме, отсюда и полезность метода конечных элементов. Как показано в последующих разделах, уравнение ( 1 ) приводит к следующему определяющему уравнению равновесия для системы:

где

${\displaystyle \mathbf {R} }$= вектор узловых сил, представляющий внешние силы, приложенные к узлам системы.

${\displaystyle \mathbf {K} }$= матрица жесткости системы, которая представляет собой коллективный эффект матриц жесткости отдельных элементов  : . ${\displaystyle \mathbf {k} ^{e}}$

${\displaystyle \mathbf {r} }$= вектор узловых смещений системы.

${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$= вектор эквивалентных узловых сил, представляющий все внешние эффекты, отличные от узловых сил, которые уже включены в предыдущий вектор узловой силы R. Эти внешние эффекты могут включать распределенные или концентрированные поверхностные силы, объемные силы, тепловые эффекты, начальные напряжения и деформации.

После учета ограничений опор узловые смещения находятся путем решения системы линейных уравнений ( 2 ), в символическом виде:

В дальнейшем деформации и напряжения в отдельных элементах могут быть найдены следующим образом:

где

${\displaystyle \mathbf {q} }$= вектор узловых перемещений — подмножество вектора перемещений системы r, относящееся к рассматриваемым элементам.

${\displaystyle \mathbf {B} }$= матрица деформаций-смещений, преобразующая узловые смещения q в деформации в любой точке элемента.

${\displaystyle \mathbf {E} }$= матрица упругости, преобразующая эффективные деформации в напряжения в любой точке элемента.

${\displaystyle \mathbf {\epsilon } ^{o}}$= вектор начальных деформаций в элементах.

${\displaystyle \mathbf {\sigma } ^{o}}$= вектор начальных напряжений в элементах.

Применяя к системе уравнение виртуальной работы ( 1 ), мы можем установить матрицы элементов , а также метод сборки системных матриц и . Другие матрицы, такие как , , и являются известными значениями и могут быть установлены непосредственно из входных данных. ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} ^{e}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {\epsilon } ^{o}}$ ${\displaystyle \mathbf {\sigma } ^{o}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

Интерполяция или функции формы

Пусть будет вектором узловых перемещений типичного элемента. Перемещения в любой другой точке элемента могут быть найдены с помощью интерполяционных функций, как, символически: ${\displaystyle \mathbf {q} }$

где

${\displaystyle \mathbf {u} }$= вектор перемещений в любой точке {x,y,z} элемента.

${\displaystyle \mathbf {N} }$= матрица функций формы, служащих функциями интерполяции .

Уравнение ( 6 ) приводит к другим величинам, представляющим большой интерес:

• Виртуальные смещения, являющиеся функцией виртуальных узловых смещений:
• Деформации в элементах, возникающие в результате перемещений узлов элемента:

  где = матрица дифференциальных операторов, преобразующих смещения в деформации с использованием линейной теории упругости. Уравнение ( 7 ) показывает, что матрица B в ( 4 ) равна ${\displaystyle \mathbf {D} }$

• Виртуальные деформации, соответствующие виртуальным узловым смещениям элемента:

Внутренняя виртуальная работа в типичном элементе

Для типичного элемента объема внутренняя виртуальная работа, обусловленная виртуальными перемещениями, получается путем подстановки ( 5 ) и ( 9 ) в ( 1 ): ${\displaystyle V^{e}}$

Матрицы элементов

В первую очередь для удобства ссылки теперь могут быть определены следующие матрицы, относящиеся к типичным элементам:

Матрица жесткости элемента

Вектор нагрузки эквивалентного элемента

Эти матрицы обычно оцениваются численно с использованием квадратуры Гаусса для численного интегрирования . Их использование упрощает ( 10 ) до следующего:

Виртуальная работа элемента в терминах узловых перемещений системы

Поскольку вектор узловых смещений q является подмножеством узловых смещений системы r (для совместимости с соседними элементами), мы можем заменить q на r , расширив размер матриц элементов новыми столбцами и строками нулей:

где для простоты мы используем те же символы для матриц элементов, которые теперь имеют увеличенный размер, а также соответствующим образом переставленные строки и столбцы.

Системная виртуальная работа

Суммирование внутренней виртуальной работы ( 14 ) для всех элементов дает правую часть ( 1 ):

Рассматривая теперь левую часть ( 1 ), внешняя виртуальная работа системы состоит из:

• Работа, совершаемая узловыми силами R :
• Работа, совершаемая внешними силами со стороны краев или поверхностей элементов, а также силами тела ${\displaystyle \mathbf {T} ^{e}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} ^{e}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} ^{e}}$

  ${\displaystyle \sum _{e}\int _{S^{e}}\delta \ \mathbf {u} ^{T}\mathbf {T} ^{e}\,dS^{e}+\sum _{e}\int _{V^{e}}\delta \ \mathbf {u} ^{T}\mathbf {f} ^{e}\,dV^{e}}$

  Замена ( 6b ) дает:

  ${\displaystyle \delta \ \mathbf {q} ^{T}\sum _{e}\int _{S^{e}}\mathbf {N} ^{T}\mathbf {T} ^{e}\,dS^{e}+\delta \ \mathbf {q} ^{T}\sum _{e}\int _{V^{e}}\mathbf {N} ^{T}\mathbf {f} ^{e}\,dV^{e}}$

  или

  где мы ввели дополнительные матрицы элементов, определенные ниже:

  Опять же, численное интегрирование удобно для их оценки. Аналогичная замена q в ( 17a ) на r дает после перестановки и расширения векторов : ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{te},\mathbf {Q} ^{fe}}$

Сборка системных матриц

Сложение ( 16 ), ( 17b ) и приравнивание суммы к ( 15 ) дает: ${\displaystyle \delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R} -\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}}$

Поскольку виртуальные перемещения произвольны, предыдущее равенство сводится к: ${\displaystyle \delta \ \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{oe}+\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)}$

Сравнение с ( 2 ) показывает, что:

• Матрица жесткости системы получается путем суммирования матриц жесткости элементов:

  ${\displaystyle \mathbf {K} =\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}}$

• Вектор эквивалентных узловых сил получается путем суммирования векторов нагрузок элементов:

  ${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}=\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{oe}+\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)}$

На практике матрицы элементов не расширяются и не перестраиваются. Вместо этого матрица жесткости системы собирается путем добавления отдельных коэффициентов к , где индексы ij, kl означают, что узловые смещения элемента соответствуют узловым смещениям системы . Аналогично, собирается путем добавления отдельных коэффициентов к , где соответствует . Это прямое добавление в дает процедуре название Метод прямой жесткости . ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle {k}_{ij}^{e}}$ ${\displaystyle {K}_{kl}}$ ${\displaystyle {q}_{i}^{e},{q}_{j}^{e}}$ ${\displaystyle {r}_{k},{r}_{l}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$ ${\displaystyle {Q}_{i}^{e}}$ ${\displaystyle {R}_{k}^{o}}$ ${\displaystyle {q}_{i}^{e}}$ ${\displaystyle {r}_{k}}$ ${\displaystyle {k}_{ij}^{e}}$ ${\displaystyle {K}_{kl}}$

Смотрите также

• Метод конечных элементов
• Метод гибкости
• Метод жесткости матрицы
• Модальный анализ с использованием МКЭ
• Список пакетов программного обеспечения для конечно-элементного анализа
• Структурный анализ
• Виртуальная работа
• Интервальный конечный элемент

Ссылки

1. Матричный анализ каркасных конструкций, 3-е издание, авторы: Уильям Уивер-младший, Джеймс М. Гир, Springer-Verlag New York, LLC, ISBN  978-0-412-07861-3 , 1966
2. Теория структурного анализа матриц, JS Przemieniecki, McGraw-Hill Book Company, Нью-Йорк, 1968
3. Хинтон, Эрнест; Айронс, Брюс (июль 1968). «Сглаживание экспериментальных данных методом наименьших квадратов с использованием конечных элементов». Штамм . 4 (3): 24–27. doi :10.1111/j.1475-1305.1968.tb01368.x.
4. Аргирис, Дж. Х. и Келси, С. Энергетические теоремы и структурный анализ. Butterworth Scientific publications, Лондон, 1954 г.
5. Клаф, Р. В., «Конечный элемент в анализе плоских напряжений». Труды 2-й конференции ASCE по электронным вычислениям, Питтсбург, сентябрь 1960 г.