Потенциальный поток

Поле скорости как градиент скалярной функции

Потенциальные линии потока вокруг профиля NACA 0012 под углом атаки 11° , с идентифицированными верхними и нижними трубками потока . Поток двумерный, а профиль имеет бесконечный размах.

В гидродинамике потенциальный поток или безвихревой поток относится к описанию потока жидкости без завихренности . Такое описание обычно возникает в пределе исчезающей вязкости , т. е. для невязкой жидкости и без завихренности , присутствующей в потоке.

Потенциальный поток описывает поле скорости как градиент скалярной функции: потенциал скорости . В результате потенциальный поток характеризуется безвихревым полем скорости , что является допустимым приближением для нескольких приложений. Безвихревость потенциального потока обусловлена ​​тем, что ротор градиента скаляра всегда равен нулю.

В случае несжимаемого потока потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа , и применима потенциальная теория . Однако потенциальные потоки также использовались для описания сжимаемых потоков и потоков Хеле-Шоу . Подход потенциального потока применяется при моделировании как стационарных, так и нестационарных потоков.

Приложения потенциального потока включают: внешнее поле потока для аэродинамических профилей , водяные волны , электроосмотический поток и поток грунтовых вод . Для потоков (или их частей) с сильными эффектами завихренности приближение потенциального потока неприменимо. В областях потока, где завихренность, как известно, важна, таких как следы и пограничные слои , теория потенциального потока не может обеспечить разумные предсказания потока. ^[1] К счастью, часто существуют большие области потока, где предположение о безвихревости справедливо, поэтому потенциальный поток используется для различных приложений. Например, в: обтекании самолета , потоке грунтовых вод , акустике , водяных волнах и электроосмотическом потоке . ^[2]

Описание и характеристики

Потенциальный поток строится путем сложения простых элементарных потоков и наблюдения за результатом.

Линии тока для потенциального течения несжимаемой жидкости вокруг кругового цилиндра при равномерном набегающем потоке.

В потенциальном или безвихревом потоке векторное поле вихря равно нулю, т.е.

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\equiv \nabla \times \mathbf {v} =0}$,

где — поле скорости, а — поле завихренности . Как и любое векторное поле, имеющее нулевой ротор, поле скорости может быть выражено как градиент определенного скаляра, скажем, который называется потенциалом скорости , поскольку ротор градиента всегда равен нулю. Поэтому мы имеем ^[3] ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi .}$

Потенциал скорости не определен однозначно, поскольку к нему можно добавить произвольную функцию времени, скажем , не влияя на соответствующую физическую величину, которая равна . Неединственность обычно устраняется путем соответствующего выбора соответствующих начальных или граничных условий, которым удовлетворяет , и, таким образом, процедура может различаться от одной задачи к другой. ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \varphi }$

В потенциальном течении циркуляция вокруг любого односвязного контура равна нулю. Это можно показать с помощью теоремы Стокса , ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \Gamma \equiv \oint _{C}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {l} =\int {\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {f} =0}$

где — линейный элемент на контуре, а — элемент площади любой поверхности, ограниченной контуром. В многосвязном пространстве (скажем, вокруг контура, охватывающего твердое тело в двух измерениях, или вокруг контура, охватывающего тор в трех измерениях) или при наличии концентрированных вихрей (скажем, в так называемых безвихревых вихрях или точечных вихрях, или в дымовых кольцах) циркуляция не обязательно должна быть равна нулю. В первом случае теорема Стокса не может быть применена, а во втором случае не равна нулю внутри области, ограниченной контуром. Вокруг контура, охватывающего бесконечно длинный твердый цилиндр, с которым контур огибает раз, мы имеем ${\displaystyle d\mathbf {l} }$ ${\displaystyle d\mathbf {f} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Gamma =N\kappa }$

где - циклическая константа. Этот пример относится к двусвязному пространству. В двусвязном пространстве существуют такие циклические константы, а именно, ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2},\dots ,\kappa _{n-1}.}$

Несжимаемый поток

В случае несжимаемого потока — например, жидкости или газа при малых числах Маха ; но не для звуковых волн — скорость v имеет нулевую дивергенцию : ^[3]

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0\,,}$

Подстановка здесь показывает, что удовлетворяет уравнению Лапласа ^[3] ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0\,,}$

где ∇ ² = ∇ ⋅ ∇ — оператор Лапласа (иногда также обозначается как Δ ). Поскольку решения уравнения Лапласа являются гармоническими функциями , каждая гармоническая функция представляет собой решение потенциального потока. Как очевидно, в несжимаемом случае поле скорости полностью определяется его кинематикой : предположениями о безвихревости и нулевой дивергенции потока. Динамика в связи с уравнениями импульса должна применяться только впоследствии, если кто-то заинтересован в вычислении поля давления: например, для обтекания аэродинамических профилей с использованием принципа Бернулли .

В несжимаемых потоках, вопреки распространенному заблуждению, потенциальный поток действительно удовлетворяет полным уравнениям Навье-Стокса , а не только уравнениям Эйлера , поскольку вязкий член

${\displaystyle \mu \nabla ^{2}\mathbf {v} =\mu \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mu \nabla \times {\boldsymbol {\omega }}=0}$

тождественно равен нулю. Именно неспособность потенциального потока удовлетворять требуемым граничным условиям, особенно вблизи твердых границ, делает его недействительным для представления требуемого поля потока. Если потенциальный поток удовлетворяет необходимым условиям, то он является требуемым решением несжимаемых уравнений Навье–Стокса.

В двух измерениях с помощью гармонической функции и сопряженной ей гармонической функции (функции тока) несжимаемый потенциальный поток сводится к очень простой системе, которая анализируется с помощью комплексного анализа (см. ниже). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

Сжимаемый поток

Постоянный поток

Теория потенциального потока также может быть использована для моделирования безвихревого сжимаемого потока. Вывод основного уравнения для из уравнения Эйлера довольно прост. Уравнения непрерывности и импульса (потенциального потока) для стационарных потоков задаются как ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho }$

где последнее уравнение следует из того факта, что энтропия постоянна для жидкой частицы и что квадрат скорости звука равен . Исключение из двух основных уравнений приводит к ${\displaystyle c^{2}=(\partial p/\partial \rho )_{s}}$ ${\displaystyle \nabla \rho }$

${\displaystyle c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =0.}$

Несжимаемая версия возникает в пределе . Подстановка здесь приводит к ^{[4] [5]} ${\displaystyle c\to \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$

${\displaystyle (c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx})=0}$

где выражается как функция величины скорости . Для политропного газа , , где - удельное отношение теплоемкости и - энтальпия торможения . В двух измерениях уравнение упрощается до ${\displaystyle c=c(v)}$ ${\displaystyle v^{2}=(\nabla \phi )^{2}}$ ${\displaystyle c^{2}=(\gamma -1)(h_{0}-v^{2}/2)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle h_{0}}$

${\displaystyle (c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}-2\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}=0.}$

Действительность: В его нынешнем виде уравнение действительно для любых невязких потенциальных течений, независимо от того, является ли течение дозвуковым или сверхзвуковым (например, течение Прандтля–Майера ). Однако в сверхзвуковых, а также в трансзвуковых течениях могут возникать ударные волны, которые могут вносить энтропию и завихренность в течение, делая течение вращательным. Тем не менее, есть два случая, для которых потенциальный поток преобладает даже при наличии ударных волн, что объясняется с помощью (не обязательно потенциального) уравнения импульса, записанного в следующей форме

${\displaystyle \nabla (h+v^{2}/2)-\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=T\nabla s}$

где — удельная энтальпия , — поле завихренности , — температура, — удельная энтропия. Поскольку перед ведущей ударной волной мы имеем потенциальный поток, уравнение Бернулли показывает, что — константа, которая также постоянна поперек ударной волны ( условия Ренкина–Гюгонио ), и поэтому мы можем записать ^[4] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle h+v^{2}/2}$

${\displaystyle \mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=-T\nabla s}$

1) Когда ударная волна имеет постоянную интенсивность, скачок энтропии поперек ударной волны также постоянен, т.е., и, следовательно, производство вихря равно нулю. Ударные волны на заостренной передней кромке двумерного клина или трехмерного конуса ( течение Тейлора–Макколла ) имеют постоянную интенсивность. 2) Для слабых ударных волн скачок энтропии поперек ударной волны является величиной третьего порядка по силе ударной волны и, следовательно, им можно пренебречь. Ударные волны в тонких телах лежат почти параллельно телу, и они слабы. ${\displaystyle \nabla s=0}$ ${\displaystyle \nabla s}$

Почти параллельные потоки: Когда поток преимущественно однонаправленный с небольшими отклонениями, как при обтекании тонких тел, полное уравнение можно еще больше упростить. Пусть будет основным потоком и рассмотрим небольшие отклонения от этого поля скорости. Соответствующий потенциал скорости можно записать как где характеризует небольшое отклонение от равномерного потока и удовлетворяет линеаризованной версии полного уравнения. Это задается как ${\displaystyle U\mathbf {e} _{x}}$ ${\displaystyle \varphi =xU+\phi }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle (1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0}$

где — постоянное число Маха, соответствующее равномерному потоку. Это уравнение справедливо при условии, что не близко к единице. Когда мало (трансзвуковой поток), имеем следующее нелинейное уравнение ^[4] ${\displaystyle M=U/c_{\infty }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |M-1|}$

${\displaystyle 2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}$

где – критическое значение производной Ландау ^{[6] [7]} и – удельный объем. Трансзвуковой поток полностью характеризуется единственным параметром , который для политропного газа принимает значение . При преобразовании годографа трансзвуковое уравнение в двумерном случае становится уравнением Эйлера–Трикоми . ${\displaystyle \alpha _{*}}$ ${\displaystyle \alpha =(c^{4}/2\upsilon ^{3})(\partial ^{2}\upsilon /\partial p^{2})_{s}}$ ${\displaystyle \upsilon =1/\rho }$ ${\displaystyle \alpha _{*}}$ ${\displaystyle \alpha _{*}=\alpha =(\gamma +1)/2}$

Неустойчивый поток

Уравнения непрерывности и импульса (потенциального потока) для нестационарных потоков задаются формулой

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho =-\nabla h.}$

Первый интеграл уравнения импульса (потенциального потока) определяется выражением

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {v^{2}}{2}}+h=f(t),\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}+{\frac {df}{dt}}}$

где — произвольная функция. Без потери общности можно положить, поскольку не определено однозначно. Объединяя эти уравнения, получаем ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle f(t)=0}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}=c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} .}$

Подстановка здесь приводит к ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{tt}+{\frac {1}{2}}(\varphi _{x}^{2}+\varphi _{y}^{2}+\varphi _{z}^{2})_{t}=(c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx}).}$

Почти параллельные потоки: Как и прежде, для почти параллельных потоков мы можем записать (после введения пересчитанного времени ) ${\displaystyle \tau =c_{\infty }t}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+M{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=(1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}$

при условии, что постоянное число Маха не близко к единице. Когда мало (трансзвуковой поток), имеем следующее нелинейное уравнение ^[4] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |M-1|}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=-2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}.}$

Звуковые волны: В звуковых волнах величина скорости (или число Маха) очень мала, хотя нестационарный член теперь сопоставим с другими ведущими членами в уравнении. Таким образом, пренебрегая всеми квадратичными и более высокими членами и отмечая, что в том же приближении является константой (например, в политропном газе ), мы имеем ^{[8] [4]} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c^{2}=(\gamma -1)h_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\varphi ,}$

что является линейным волновым уравнением для потенциала скорости φ . Снова колебательная часть вектора скорости v связана с потенциалом скорости соотношением v = ∇ φ , в то время как, как и прежде , Δ является оператором Лапласа , а c является средней скоростью звука в однородной среде . Обратите внимание, что колебательные части давления p и плотности ρ также по отдельности удовлетворяют волновому уравнению в этом приближении.

Применимость и ограничения

Потенциальный поток не включает в себя все характеристики потоков, которые встречаются в реальном мире. Теория потенциального потока не может быть применена для вязких внутренних потоков , ^[1] за исключением потоков между близко расположенными пластинами . Ричард Фейнман считал потенциальный поток настолько нефизичным, что единственной жидкостью, которая подчиняется предположениям, была «сухая вода» (цитируя Джона фон Неймана). ^[9] Несжимаемый потенциальный поток также делает ряд недействительных предсказаний, таких как парадокс Даламбера , который гласит, что сопротивление любого объекта, движущегося через бесконечную жидкость, в противном случае находящуюся в покое, равно нулю. ^[10] Точнее, потенциальный поток не может объяснить поведение потоков, которые включают пограничный слой . ^[1] Тем не менее, понимание потенциального потока важно во многих разделах механики жидкости. В частности, простые потенциальные потоки (называемые элементарными потоками ), такие как свободный вихрь и точечный источник, обладают готовыми аналитическими решениями. Эти решения могут быть наложены для создания более сложных потоков, удовлетворяющих различным граничным условиям. Эти потоки близко соответствуют реальным потокам во всей механике жидкости; Кроме того, много ценных идей возникает при рассмотрении отклонения (часто небольшого) между наблюдаемым потоком и соответствующим потенциальным потоком. Потенциальный поток находит множество применений в таких областях, как проектирование самолетов. Например, в вычислительной гидродинамике один из методов заключается в соединении решения потенциального потока вне пограничного слоя с решением уравнений пограничного слоя внутри пограничного слоя. Отсутствие эффектов пограничного слоя означает, что любую линию тока можно заменить твердой границей без изменения поля потока, метод, используемый во многих подходах к аэродинамическому проектированию. Другой метод — использование твердых тел Рябушинского . ^{[ сомнительно – обсудить ]}

Анализ двумерного несжимаемого течения

Потенциальный поток в двух измерениях легко анализировать с помощью конформного отображения , с помощью преобразований комплексной плоскости . Однако использование комплексных чисел не требуется, как, например, в классическом анализе потока жидкости мимо цилиндра. Невозможно решить потенциальный поток с помощью комплексных чисел в трех измерениях. ^[11]

Основная идея заключается в использовании голоморфной (также называемой аналитической ) или мероморфной функции f , которая отображает физическую область ( x , y ) в преобразованную область ( φ , ψ ) . Хотя x , y , φ и ψ являются действительными , удобно определить комплексные величины

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\,,{\text{ and }}&w&=\varphi +i\psi \,.\end{aligned}}}$

Теперь, если мы запишем отображение f как ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x+iy)&=\varphi +i\psi \,,{\text{ or }}&f(z)&=w\,.\end{aligned}}}$

Тогда, поскольку f является голоморфной или мероморфной функцией, она должна удовлетворять уравнениям Коши–Римана ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}&={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,,&{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}&=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.\end{aligned}}}$

Компоненты скорости ( u , v ) в направлениях ( x , y ) соответственно могут быть получены непосредственно из f путем дифференцирования по z . То есть ^[11]

${\displaystyle {\frac {df}{dz}}=u-iv}$

Таким образом, поле скорости v = ( u , v ) определяется формулой ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},&v&={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.\end{aligned}}}$

Тогда φ и ψ удовлетворяют уравнению Лапласа : ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}=0\,,{\text{ and }}&\Delta \psi &={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=0\,.\end{aligned}}}$

Таким образом, φ можно определить как потенциал скорости, а ψ называется функцией тока . ^[11] Линии постоянного ψ известны как линии тока , а линии постоянного φ известны как эквипотенциальные линии (см. эквипотенциальная поверхность ).

Линии тока и эквипотенциальные линии ортогональны друг другу, поскольку ^[11]

${\displaystyle \nabla \varphi \cdot \nabla \psi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}=0\,.}$

Таким образом, течение происходит вдоль линий постоянной ψ и под прямым углом к ​​линиям постоянной φ . ^[11]

Δ ψ = 0 также выполняется, это соотношение эквивалентно ∇ × v = 0. Таким образом, поток является безвихревым. Автоматическое условие ⁠∂ ² Ψ/∂ х ∂ у⁠ = ⁠∂ ² Ψ/∂ у ∂ х⁠ тогда дает ограничение несжимаемости ∇ · v = 0 .

Примеры двумерных несжимаемых течений

Любая дифференцируемая функция может быть использована для f . В примерах, которые следуют ниже, используются различные элементарные функции ; также могут использоваться специальные функции . Обратите внимание, что могут использоваться многозначные функции, такие как натуральный логарифм , но внимание должно быть ограничено одной римановой поверхностью .

Законы силы

Примеры конформных отображений для степенного закона w = Az ⁿ

Примеры конформных отображений для степенного закона w = Az ⁿ для различных значений мощности n . Показана плоскость z , показывающая линии постоянного потенциала φ и функции тока ψ , при этом w = φ + iψ .

В случае применения следующего степенного конформного отображения от z = x + iy до w = φ + iψ : ^[12]

${\displaystyle w=Az^{n}\,,}$

тогда, записывая z в полярных координатах как z = x + iy = re ^iθ , имеем ^[12]

${\displaystyle \varphi =Ar^{n}\cos n\theta \qquad {\text{and}}\qquad \psi =Ar^{n}\sin n\theta \,.}$

На рисунках справа даны примеры для нескольких значений n . Черная линия — граница потока, более темные синие линии — линии тока, а более светлые синие линии — эквипотенциальные линии. Вот некоторые интересные значения мощности n : ^[12]

• н = ⁠1/2⁠ : это соответствует потоку вокруг полубесконечной пластины,
• н = ⁠2/3⁠ : обтекание правого угла,
• n = 1 : тривиальный случай равномерного потока,
• n = 2 : поток через угол или вблизи точки застоя, и
• n = −1 : поток, обусловленный дублетом источника

Константа A является параметром масштабирования: ее абсолютное значение | A | определяет масштаб, а ее аргумент arg( A ) вводит поворот (если он не равен нулю).

Законы мощности сп = 1: равномерный поток

Если w = Az ¹ , то есть степенной закон с n = 1 , то линии тока (т.е. линии постоянной ψ ) представляют собой систему прямых линий, параллельных оси x . Это проще всего увидеть, записав в терминах действительных и мнимых компонентов:

${\displaystyle f(x+iy)=A\,(x+iy)=Ax+iAy}$

таким образом, φ = Ax и ψ = Ay . Этот поток можно интерпретировать как равномерный поток, параллельный оси x .

Законы мощности сп = 2

Если n = 2 , то w = Az ² и линия тока, соответствующая определенному значению ψ, — это те точки, которые удовлетворяют

${\displaystyle \psi =Ar^{2}\sin 2\theta \,,}$

которая является системой прямоугольных гипербол . Это можно увидеть, снова переписав в терминах действительных и мнимых компонентов. Заметив, что sin 2 θ = 2 sin θ cos θ и переписав sin θ = ⁠у/г⁠ и cos θ = ⁠х/г⁠ видно (при упрощении), что линии тока задаются формулой

${\displaystyle \psi =2Axy\,.}$

Поле скорости задается как ∇ φ , или

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\[2px]{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\partial \psi \over \partial y}\\[2px]-{\partial \psi \over \partial x}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+2Ax\\[2px]-2Ay\end{pmatrix}}\,.}$

В динамике жидкости поле потока вблизи начала координат соответствует точке торможения . Обратите внимание, что жидкость в начале координат находится в состоянии покоя (это следует из дифференциации f (z) = z ² при z = 0 ). Линия тока ψ = 0 особенно интересна: она имеет две (или четыре) ветви, следующие по осям координат, т. е. x = 0 и y = 0. Поскольку жидкость не течет через ось x , ее ( ось x ) можно рассматривать как твердую границу. Таким образом, можно игнорировать поток в нижней полуплоскости, где y < 0 , и сосредоточиться на потоке в верхней полуплоскости. При такой интерпретации поток представляет собой поток вертикально направленной струи, падающей на горизонтальную плоскую пластину. Поток также можно интерпретировать как поток в угол 90 градусов, если игнорировать области, заданные (скажем) x , y < 0 .

Законы мощности сп = 3

Если n = 3 , то результирующий поток представляет собой своего рода гексагональную версию рассмотренного выше случая n = 2. Линии тока задаются как ψ = 3 x ² y − y ³ , и поток в этом случае можно интерпретировать как поток в угол 60°.

Законы мощности сн = −1: дублет

Если n = −1 , то линии тока задаются выражением

${\displaystyle \psi =-{\frac {A}{r}}\sin \theta .}$

Это легче интерпретировать в терминах действительных и мнимых компонентов:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi ={\frac {-Ay}{r^{2}}}&={\frac {-Ay}{x^{2}+y^{2}}}\,,\\x^{2}+y^{2}+{\frac {Ay}{\psi }}&=0\,,\\x^{2}+\left(y+{\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}&=\left({\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}\,.\end{aligned}}}$

Таким образом, линии тока представляют собой окружности , которые касаются оси x в начале координат. Таким образом, окружности в верхней полуплоскости текут по часовой стрелке, окружности в нижней полуплоскости текут против часовой стрелки. Обратите внимание, что компоненты скорости пропорциональны r ⁻² ; и их значения в начале координат бесконечны. Такая картина потока обычно называется дублетом или диполем и может быть интерпретирована как комбинация пары источник-сток бесконечной силы, удерживаемой на бесконечно малом расстоянии друг от друга. Поле скорости задается выражением

${\displaystyle (u,v)=\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)=\left(A{\frac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}},-A{\frac {2xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\right)\,.}$

или в полярных координатах:

${\displaystyle (u_{r},u_{\theta })=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)=\left(-{\frac {A}{r^{2}}}\cos \theta ,-{\frac {A}{r^{2}}}\sin \theta \right)\,.}$

Законы мощности сн = −2: квадруполь

Если n = −2 , линии тока задаются выражением

${\displaystyle \psi =-{\frac {A}{r^{2}}}\sin 2\theta \,.}$

Это поле потока, связанное с квадруполем . ^[13]

Линейный источник и приемник

Линейный источник или сток силы ( для источника и для стока) задается потенциалом ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q>0}$ ${\displaystyle Q<0}$

${\displaystyle w={\frac {Q}{2\pi }}\ln z}$

где на самом деле есть объемный поток на единицу длины через поверхность, охватывающую источник или сток. Поле скорости в полярных координатах ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle u_{r}={\frac {Q}{2\pi r}},\quad u_{\theta }=0}$

т.е. чисто радиальный поток.

Линейный вихрь

Линейный вихрь силы определяется выражением ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle w={\frac {\Gamma }{2\pi i}}\ln z}$

где - циркуляция вокруг любого простого замкнутого контура, охватывающего вихрь. Поле скорости в полярных координатах равно ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle u_{r}=0,\quad u_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}}$

т.е. чисто азимутальный поток.

Анализ трехмерных несжимаемых течений

Для трехмерных течений комплексный потенциал получить невозможно.

Точечный источник и приемник

Потенциал скорости точечного источника или стока силы ( для источника и для стока) в сферических полярных координатах определяется выражением ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q>0}$ ${\displaystyle Q<0}$

${\displaystyle \phi =-{\frac {Q}{4\pi r}}}$

где на самом деле есть объемный поток через замкнутую поверхность, охватывающую источник или сток. Поле скорости в сферических полярных координатах есть ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle u_{r}={\frac {Q}{4\pi r^{2}}},\quad u_{\theta }=0,\quad u_{\phi }=0.}$

Смотрите также

• Потенциальный поток вокруг круглого цилиндра
• Аэродинамический код потенциального потока
• Конформное отображение
• Дарвиновский дрейф
• Флоунет
• Поле Лапласа
• Уравнение Лапласа для безвихревого течения
• Теория потенциала
• Функция потока
• Потенциал скорости
• Разложение Гельмгольца

Примечания

1. Batchelor (1973) стр. 378–380.
2. Кирби, Б.Дж. (2010), Микро- и наномасштабная механика жидкости: транспорт в микрожидкостных устройствах., Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-11903-0
3. Batchelor (1973) стр. 99–101.
4. Ландау, Л. Д. и Лифшиц, Э. М. (2013). Механика жидкости: Ландау и Лифшиц: курс теоретической физики, том 6 (т. 6). Elsevier. Раздел 114, стр. 436.
5. Андерсон, Дж. Д. (2002). Современный сжимаемый поток . McGraw-Hill. С. 358–359. ISBN 0-07-242443-5.
6. 1942, Ландау, Л.Д. "Об ударных волнах" ЖФ СССР 6 229-230
7. Томпсон, П. А. (1971). Фундаментальная производная в газовой динамике. Физика жидкостей, 14(9), 1843-1849.
8. Лэмб (1994) §287, стр. 492–495.
9. Фейнман, RP ; Лейтон, RB ; Сэндс, M. (1964), Лекции Фейнмана по физике , т. 2, Эддисон-Уэсли, стр. 40-3. Глава 40 имеет название: Течение сухой воды .
10. Бэтчелор (1973) стр. 404–405.
11. Бэтчелор (1973) стр. 106–108.
12. Batchelor (1973) стр. 409–413.
13. Kyrala, A. (1972). Прикладные функции комплексной переменной . Wiley-Interscience. С. 116–117. ISBN 9780471511298.

Ссылки

• Бэтчелор, Г.К. (1973), Введение в динамику жидкости , Cambridge University Press, ISBN 0-521-09817-3
• Шансон, Х. (2009), Прикладная гидродинамика: Введение в идеальные и реальные потоки жидкости, CRC Press, Taylor & Francis Group, Лейден, Нидерланды, 478 страниц, ISBN 978-0-415-49271-3
• Лэмб, Х. (1994) [1932], Гидродинамика (6-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9
• Милн-Томсон, Л. М. (1996) [1968], Теоретическая гидродинамика (5-е изд.), Довер, ISBN 0-486-68970-0

Дальнейшее чтение

• Шансон, Х. (2007), «Le potentiel de vitesse pour les écoulements de Fluides Réels: вклад Жозефа-Луи Лагранжа [Потенциал скорости в реальных потоках жидкости: вклад Жозефа-Луи Лагранжа]», La Houille Blanche (на французском языке) , 93 (5): 127–131, doi : 10.1051/lhb:2007072
• Wehausen, JV ; Laitone, EV (1960), "Поверхностные волны", в Flügge, S. ; Truesdell, C. (ред.), Encyclopedia of Physics, т. IX, Springer Verlag, стр. 446–778, архивировано из оригинала 2009-01-05 , извлечено 2009-03-29

Внешние ссылки

• «Безвихревой поток невязкой жидкости». Университет Генуи , Факультет инженерии . Получено 29.03.2009 .
• "Галерея конформных карт". 3D-XplorMath . Получено 29.03.2009 .— Java-апплеты для исследования конформных карт
• Визуализации потенциального потока - интерактивные веб-приложения