В математике и математической физике теория потенциала изучает гармонические функции .
Термин «теория потенциала» появился в физике XIX века , когда стало ясно, что две фундаментальные силы природы, известные в то время, а именно гравитация и электростатическая сила, можно моделировать с помощью функций, называемых гравитационным потенциалом и электростатическим потенциалом , обе из которых удовлетворяют уравнению Пуассона или, в вакууме, уравнению Лапласа .
Между теорией потенциала и теорией уравнения Пуассона существует значительное совпадение, настолько, что невозможно провести различие между этими двумя областями. Разница заключается скорее в акценте, чем в предмете, и основывается на следующем различии: теория потенциала фокусируется на свойствах функций, а не на свойствах уравнения. Например, результат о сингулярностях гармонических функций можно отнести к теории потенциала, в то время как результат о том, как решение зависит от граничных данных, можно отнести к теории уравнения Пуассона. Это не жесткое и быстрое различие, и на практике существует значительное совпадение между двумя областями, при этом методы и результаты из одной области используются в другой.
Современная теория потенциала также тесно связана с вероятностью и теорией цепей Маркова . В непрерывном случае это тесно связано с аналитической теорией. В случае конечного пространства состояний эта связь может быть введена путем введения электрической сети в пространство состояний с сопротивлением между точками, обратно пропорциональным вероятностям перехода, и плотностями, пропорциональными потенциалам. Даже в конечном случае аналог IK лапласиана в теории потенциала имеет свой собственный принцип максимума, принцип единственности, принцип баланса и другие.
Полезной отправной точкой и организующим принципом в изучении гармонических функций является рассмотрение симметрий уравнения Лапласа. Хотя это не симметрия в обычном смысле этого слова, мы можем начать с наблюдения, что уравнение Лапласа линейно . Это означает, что фундаментальным объектом изучения в теории потенциала является линейное пространство функций. Это наблюдение окажется особенно важным, когда мы рассмотрим подходы к предмету в функциональном пространстве в следующем разделе.
Что касается симметрии в обычном смысле этого термина, мы можем начать с теоремы о том, что симметрии -мерного уравнения Лапласа являются в точности конформными симметриями -мерного евклидова пространства . Этот факт имеет несколько следствий. Прежде всего, можно рассмотреть гармонические функции, которые преобразуются по неприводимым представлениям конформной группы или ее подгрупп (таких как группа вращений или трансляций). Действуя таким образом, можно систематически получать решения уравнения Лапласа, которые возникают из разделения переменных, такие как сферические гармонические решения и ряды Фурье . Взяв линейные суперпозиции этих решений, можно получить большие классы гармонических функций, которые, как можно показать, плотны в пространстве всех гармонических функций при подходящих топологиях.
Во-вторых, можно использовать конформную симметрию для понимания таких классических приемов и методов генерации гармонических функций, как преобразование Кельвина и метод изображений .
В-третьих, можно использовать конформные преобразования для отображения гармонических функций в одной области в гармонические функции в другой области. Наиболее распространенным примером такой конструкции является соотнесение гармонических функций на диске с гармоническими функциями на полуплоскости.
В-четвертых, можно использовать конформную симметрию для расширения гармонических функций до гармонических функций на конформно плоских римановых многообразиях . Возможно, простейшим таким расширением является рассмотрение гармонической функции, определенной на всем R n (за возможным исключением дискретного набора особых точек), как гармонической функции на -мерной сфере . Могут возникнуть и более сложные ситуации. Например, можно получить более многомерный аналог теории римановой поверхности , выразив многозначную гармоническую функцию как однозначную функцию на разветвленном покрытии R n или можно рассматривать гармонические функции, которые инвариантны относительно дискретной подгруппы конформной группы, как функции на многосвязном многообразии или орбифолде .
Из того факта, что группа конформных преобразований бесконечномерна в двух измерениях и конечномерна для более чем двух измерений, можно предположить, что теория потенциала в двух измерениях отличается от теории потенциала в других измерениях. Это верно, и, по сути, когда понимаешь, что любая двумерная гармоническая функция является действительной частью комплексной аналитической функции , то видишь, что предмет двумерной теории потенциала по существу тот же, что и предмет комплексного анализа. По этой причине, говоря о теории потенциала, сосредоточивают внимание на теоремах, которые справедливы в трех или более измерениях. В этой связи удивительным фактом является то, что многие результаты и концепции, первоначально обнаруженные в комплексном анализе (такие как теорема Шварца , теорема Мореры , теорема Вейерштрасса-Казорати , ряды Лорана и классификация особенностей как устранимых , полюсов и существенных особенностей ) обобщаются на результаты о гармонических функциях в любом измерении. Рассматривая, какие теоремы комплексного анализа являются частными случаями теорем теории потенциала в любом измерении, можно получить представление о том, что именно является особенным в комплексном анализе в двух измерениях, а что является просто двумерным примером более общих результатов.
Важной темой в теории потенциала является изучение локального поведения гармонических функций. Возможно, наиболее фундаментальной теоремой о локальном поведении является теорема о регулярности для уравнения Лапласа, которая утверждает, что гармонические функции являются аналитическими. Существуют результаты, описывающие локальную структуру множеств уровня гармонических функций. Существует теорема Бохера , которая характеризует поведение изолированных особенностей положительных гармонических функций. Как упоминалось в последнем разделе, можно классифицировать изолированные особенности гармонических функций как устранимые особенности, полюса и существенные особенности.
Плодотворным подходом к изучению гармонических функций является рассмотрение неравенств, которым они удовлетворяют. Возможно, самым основным таким неравенством, из которого можно вывести большинство других неравенств, является принцип максимума . Другим важным результатом является теорема Лиувилля , которая утверждает, что единственные ограниченные гармонические функции, определенные на всем R n, на самом деле являются постоянными функциями. В дополнение к этим основным неравенствам, имеется неравенство Гарнака , которое утверждает, что положительные гармонические функции на ограниченных областях приблизительно постоянны.
Одним из важных применений этих неравенств является доказательство сходимости семейств гармонических функций или субгармонических функций, см. теорему Гарнака . Эти теоремы сходимости используются для доказательства существования гармонических функций с определенными свойствами. [1]
Поскольку уравнение Лапласа линейно, множество гармонических функций, определенных на данной области, на самом деле является векторным пространством . Определяя подходящие нормы и/или внутренние произведения , можно вывести множества гармонических функций, которые образуют пространства Гильберта или Банаха . Таким образом, получаются такие пространства, как пространство Харди , пространство Блоха , пространство Бергмана и пространство Соболева .
