Ранг (линейная алгебра)

Размерность столбцового пространства матрицы

В линейной алгебре ранг матрицы A — это размерность векторного пространства, порожденного (или охваченного ) ее столбцами. ^{[1] [2] [3]} Это соответствует максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы A. Это , в свою очередь, идентично размерности векторного пространства, охваченного ее строками. ^[4] Таким образом, ранг является мерой « невырожденности » системы линейных уравнений и линейного преобразования, закодированных A. Существует несколько эквивалентных определений ранга. Ранг матрицы — одна из ее наиболее фундаментальных характеристик.

Ранг обычно обозначается как rank( A ) или rk( A ) ; ^[2] иногда скобки не пишутся, как в rank A . ^[i]

Основные определения

В этом разделе мы даем некоторые определения ранга матрицы. Возможны многие определения; см. Альтернативные определения для некоторых из них.

Ранг столбца матрицы A — это размерность пространства столбцов матрицы A , тогда как ранг строки матрицы A — это размерность пространства строк матрицы A.

Фундаментальный результат линейной алгебры заключается в том, что ранг столбца и ранг строки всегда равны. (Три доказательства этого результата приведены в § Доказательства того, что ранг столбца = рангу строки, ниже.) Это число (т. е. число линейно независимых строк или столбцов) называется просто рангом матрицы A.

Говорят, что матрица имеет полный ранг , если ее ранг равен наибольшему возможному рангу для матрицы тех же размеров, который является меньшим из числа строк и столбцов. Говорят, что матрица имеет дефицит ранга , если она не имеет полного ранга. Дефицит ранга матрицы — это разность между меньшим из числа строк и столбцов и рангом.

Ранг линейной карты или оператора определяется как размерность ее изображения : ^{[5] [6] [7] [8]} где — размерность векторного пространства, а — изображение карты. ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle \operatorname {rank} (\Phi ):=\dim(\operatorname {img} (\Phi ))}$$ ${\displaystyle \dim }$ ${\displaystyle \operatorname {img} }$

Примеры

Матрица имеет ранг 2: первые два столбца линейно независимы , поэтому ранг не менее 2, но поскольку третий столбец является линейной комбинацией первых двух (первый столбец плюс второй), все три столбца линейно зависимы, поэтому ранг должен быть меньше 3. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&1&1\end{bmatrix}}}$$

Матрица имеет ранг 1: есть ненулевые столбцы, поэтому ранг положительный, но любая пара столбцов линейно зависима. Аналогично, транспонированная матрица A имеет ранг 1. Действительно, поскольку векторы-столбцы матрицы A являются векторами-строками транспонированной матрицы A , утверждение о том, что ранг столбца матрицы равен ее рангу строки, эквивалентно утверждению о том, что ранг матрицы равен рангу ее транспонированной матрицы, т. е. rank( A ) = rank( A ^T ) . $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{bmatrix}}}$$

Вычисление ранга матрицы

Ранг из ряда эшелонных форм

Обычный подход к нахождению ранга матрицы заключается в приведении ее к более простой форме, обычно к форме ступенчатой ​​строки , с помощью элементарных операций над строками . Операции над строками не изменяют пространство строк (следовательно, не изменяют ранг строки) и, будучи обратимыми, отображают пространство столбцов в изоморфное пространство (следовательно, не изменяют ранг столбца). После того, как матрица находится в форме ступенчатой ​​строки, ее ранг, очевидно, одинаков как для ранга строки, так и для ранга столбца и равен числу опорных элементов (или базовых столбцов), а также числу ненулевых строк.

Например, матрицу A, заданную как, можно привести к сокращенной ступенчатой ​​форме, используя следующие элементарные операции над строками: Конечная матрица (в сокращенной ступенчатой ​​форме) имеет две ненулевые строки, и, таким образом, ранг матрицы A равен 2. $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}&\xrightarrow {2R_{1}+R_{2}\to R_{2}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\3&5&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-3R_{1}+R_{3}\to R_{3}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&-1&-3\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {R_{2}+R_{3}\to R_{3}} \,\,{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-2R_{2}+R_{1}\to R_{1}} {\begin{bmatrix}1&0&-5\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}}$$

Вычисление

При применении к вычислениям с плавающей точкой на компьютерах базовое исключение Гаусса ( LU-разложение ) может быть ненадежным, и вместо него следует использовать ранг-раскрывающее разложение. Эффективной альтернативой является разложение сингулярных значений (SVD), но есть и другие менее вычислительно затратные варианты, такие как QR-разложение с поворотом (так называемая ранг-раскрывающая QR-факторизация ), которые все еще более численно надежны, чем исключение Гаусса. Численное определение ранга требует критерия для принятия решения о том, когда значение, такое как сингулярное значение из SVD, следует рассматривать как ноль, практический выбор, который зависит как от матрицы, так и от приложения.

Доказательства того, что ранг столбца = рангу строки

Доказательство с использованием сокращения строк

Тот факт, что ранги столбцов и строк любой матрицы являются равными формами, является фундаментальным в линейной алгебре. Было дано много доказательств. Одно из самых элементарных было набросано в § Ранг из ступенчатых форм строк. Вот вариант этого доказательства:

Легко показать, что ни ранг строки, ни ранг столбца не изменяются элементарной операцией строки . Поскольку исключение Гаусса осуществляется элементарными операциями строки, сокращенная форма строки-эталона матрицы имеет тот же ранг строки и тот же ранг столбца, что и исходная матрица. Дальнейшие элементарные операции столбца позволяют преобразовать матрицу в форму единичной матрицы , возможно, ограниченной строками и столбцами нулей. Опять же, это не изменяет ни ранг строки, ни ранг столбца. Сразу видно, что и ранг строки, и ранг столбца этой результирующей матрицы являются числом ее ненулевых элементов.

Мы представляем два других доказательства этого результата. Первое использует только основные свойства линейных комбинаций векторов и справедливо для любого поля . Доказательство основано на Wardlaw (2005). ^[9] Второе использует ортогональность и справедливо для матриц над действительными числами ; оно основано на Mackiw (1995). ^[4] Оба доказательства можно найти в книге Banerjee и Roy (2014). ^[10]

Доказательство с использованием линейных комбинаций

Пусть A — матрица размером m × n . Пусть ранг столбца матрицы A равен r , и пусть c ₁ , ..., c _r — любой базис для пространства столбцов матрицы A. Разместим их как столбцы матрицы C размером m × r . Каждый столбец матрицы A можно выразить как линейную комбинацию r столбцов матрицы C. Это означает, что существует матрица R размером r × n, такая что A = CR . R — это матрица, i- й столбец которой образован из коэффициентов, дающих i-й столбец матрицы A как линейную комбинацию r столбцов матрицы C. Другими словами, R — это матрица, которая содержит кратные для баз пространства столбцов матрицы A (которое равно C ), которые затем используются для формирования матрицы A в целом. Теперь каждая строка матрицы A задается линейной комбинацией r строк матрицы R. Следовательно, строки матрицы R образуют охватывающее множество пространства строк матрицы A , и по лемме Штейница об обмене ранг строки матрицы A не может превышать r . Это доказывает, что ранг строки A меньше или равен рангу столбца A. Этот результат можно применить к любой матрице, поэтому применим результат к транспонированной матрице A. Поскольку ранг строки транспонированной матрицы A является рангом столбца A , а ранг столбца транспонированной матрицы A является рангом строки A , это устанавливает обратное неравенство, и мы получаем равенство ранга строки и ранга столбца A. (См. также Факторизация ранга .)

Доказательство с использованием ортогональности

Пусть A — матрица m  ×  n с элементами в действительных числах , ранг строки которых равен r . Следовательно, размерность пространства строк матрицы A равна r . Пусть x ₁ , x ₂ , …, x _r — базис пространства строк матрицы A. Мы утверждаем, что векторы A x ₁ , A x ₂ , …, A x _r линейно независимы . Чтобы понять, почему, рассмотрим линейное однородное отношение, включающее эти векторы со скалярными коэффициентами c ₁ , c ₂ , …, c _r : где v = c ₁ x ₁ + c ₂ x ₂ + ⋯ + c _r x _r . Сделаем два замечания: (a) v — линейная комбинация векторов в пространстве строк матрицы A , что подразумевает, что v принадлежит пространству строк матрицы A , и (b) поскольку A v = 0 , вектор v ортогонален каждому вектору строки матрицы A и, следовательно, ортогонален каждому вектору в пространстве строк матрицы A . Факты (a) и (b) вместе подразумевают, что v ортогонален самому себе, что доказывает, что v = 0 или, по определению v , Но напомним, что x _i были выбраны в качестве базиса пространства строк A и поэтому линейно независимы. Это подразумевает, что c ₁ = c ₂ = ⋯ = c _r = 0 . Из этого следует, что A x ₁ , A x ₂ , …, A x _r линейно независимы. $${\displaystyle 0=c_{1}A\mathbf {x} _{1}+c_{2}A\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}A\mathbf {x} _{r}=A(c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r})=A\mathbf {v} ,}$$ $${\displaystyle c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r}=0.}$$

Теперь, каждый A x _i, очевидно, является вектором в пространстве столбцов матрицы A . Таким образом, A x ₁ , A x ₂ , …, A x _r представляет собой набор из r линейно независимых векторов в пространстве столбцов матрицы A и, следовательно, размерность пространства столбцов матрицы A (т. е. ранг столбцов матрицы A ) должна быть по крайней мере такой же большой, как r . Это доказывает, что ранг строк матрицы A не больше ранга столбцов матрицы A . Теперь применим этот результат к транспонированию матрицы A , чтобы получить обратное неравенство и сделать вывод, как в предыдущем доказательстве.

Альтернативные определения

Во всех определениях в этом разделе матрица A подразумевается как матрица размера m × n над произвольным полем F.

Размер изображения

При наличии матрицы существует связанное линейное отображение, определяемое как Ранг — это размерность изображения . Это определение имеет то преимущество, что его можно применять к любой линейной карте без необходимости в конкретной матрице. ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle f:F^{n}\to F^{m}}$$ $${\displaystyle f(x)=Ax.}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$

Ранг по степени недействительности

При том же линейном отображении f, что и выше, ранг равен n минус размерность ядра f . Теорема о ранге–нуле утверждает, что это определение эквивалентно предыдущему.

Ранг столбца – размерность пространства столбца

Ранг матрицы A — это максимальное число линейно независимых столбцов матрицы A ; это размерность пространства столбцов матрицы A (пространство столбцов является подпространством F ^{m ,} порожденным столбцами матрицы A , которое на самом деле является просто образом линейного отображения f , связанного с A ). ${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2},\dots ,\mathbf {c} _{k}}$

Ранг строки – размерность пространства строки

Ранг матрицы A — это максимальное число линейно независимых строк матрицы A ; это размерность пространства строк матрицы A.

Ранг разложения

Ранг A — это наименьшее целое число k, такое, что A можно разложить на множители , где C — матрица m × k , а R — матрица k × n . Фактически, для всех целых чисел k следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle A=CR}$

1. ранг столбца A меньше или равен k ,
2. существует k столбцов размера m, таких, что каждый столбец матрицы A является линейной комбинацией , ${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}}$
3. существуют матрица C и матрица R такие, что (когда k — ранг, это ранговая факторизация A ) , ${\displaystyle m\times k}$ ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle A=CR}$
4. существует k строк размера n, таких, что каждая строка A является линейной комбинацией , ${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}}$
5. ранг строки A меньше или равен k .

Действительно, следующие эквивалентности очевидны: . Например, чтобы доказать (3) из (2), возьмите C в качестве матрицы, столбцы которой из (2). Чтобы доказать (2) из ​​(3), возьмите C в качестве столбцов C . ${\displaystyle (1)\Leftrightarrow (2)\Leftrightarrow (3)\Leftrightarrow (4)\Leftrightarrow (5)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}}$

Из эквивалентности следует , что ранг строки равен рангу столбца. ${\displaystyle (1)\Leftrightarrow (5)}$

Как и в случае характеристики «размерности образа», это можно обобщить до определения ранга любого линейного отображения: ранг линейного отображения f  : V → W — это минимальная размерность k промежуточного пространства X, такая, что f может быть записана как композиция отображения V → X и отображения X → W . К сожалению, это определение не предлагает эффективного способа вычисления ранга (для чего лучше использовать одно из альтернативных определений). Подробности см. в разделе факторизация ранга .

Ранжировать по единичным значениям

Ранг матрицы A равен числу ненулевых сингулярных значений , что совпадает с числом ненулевых диагональных элементов в Σ в разложении по сингулярным значениям . ${\displaystyle A=U\Sigma V^{*}}$

Детерминантный ранг – размер наибольшего неисчезающего минора

Ранг матрицы A — это наибольший порядок любого ненулевого минора в A. (Порядок минора — это длина стороны квадратной подматрицы, определителем которой он является.) Как и характеристика ранга разложения, это не дает эффективного способа вычисления ранга, но теоретически полезно: один ненулевой минор свидетельствует о нижней границе (а именно, о его порядке) для ранга матрицы, что может быть полезно (например) для доказательства того, что определенные операции не понижают ранг матрицы.

Неисчезающий p -минор ( подматрица p × p с ненулевым определителем) показывает, что строки и столбцы этой подматрицы линейно независимы, и, таким образом, эти строки и столбцы полной матрицы линейно независимы (в полной матрице), поэтому ранг строки и столбца по крайней мере такой же большой, как и детерминантный ранг; однако обратное утверждение менее прямолинейно. Эквивалентность детерминантного ранга и ранга столбца является усилением утверждения о том, что если диапазон n векторов имеет размерность p , то p этих векторов охватывают пространство (эквивалентно, что можно выбрать охватывающее множество, которое является подмножеством векторов): эквивалентность подразумевает, что подмножество строк и подмножество столбцов одновременно определяют обратимую подматрицу (эквивалентно, если диапазон n векторов имеет размерность p , то p этих векторов охватывают пространство и существует набор p координат, на которых они линейно независимы).

Ранг тензора – минимальное число простых тензоров

Ранг матрицы A — это наименьшее число k, такое, что A можно записать в виде суммы k матриц ранга 1, где матрица определяется как имеющая ранг 1 тогда и только тогда, когда ее можно записать в виде ненулевого произведения вектора-столбца c и вектора-строки r . Это понятие ранга называется тензорным рангом ; его можно обобщить в интерпретации сингулярного разложения с помощью разделимых моделей . ${\displaystyle c\cdot r}$

Характеристики

Предположим, что A — матрица размера m × n , и мы определяем линейное отображение f как f ( x ) = A x , как указано выше.

• Ранг матрицы m × n является неотрицательным целым числом и не может быть больше m или n . То есть, матрица, имеющая ранг min( m , n ), называется матрицей полного ранга ; в противном случае матрица имеет дефицит ранга . $${\displaystyle \operatorname {rank} (A)\leq \min(m,n).}$$
• Только нулевая матрица имеет нулевой ранг.
• f является инъективным (или «один к одному») тогда и только тогда, когда A имеет ранг n (в этом случае мы говорим, что A имеет полный ранг столбца ).
• f является сюръективным (или «на») тогда и только тогда, когда A имеет ранг m (в этом случае мы говорим, что A имеет полный строковый ранг ).
• Если A — квадратная матрица (т. е. m = n ), то A обратима тогда и только тогда, когда A имеет ранг n (т. е. A имеет полный ранг).
• Если B — любая матрица размера n × k , то $${\displaystyle \operatorname {rank} (AB)\leq \min(\operatorname {rank} (A),\operatorname {rank} (B)).}$$
• Если B — матрица размера n × k ранга n , то $${\displaystyle \operatorname {rank} (AB)=\operatorname {rank} (A).}$$
• Если C — матрица размера l × m ранга m , то $${\displaystyle \operatorname {rank} (CA)=\operatorname {rank} (A).}$$
• Ранг матрицы A равен r тогда и только тогда, когда существует обратимая матрица X размером m × m и обратимая матрица Y размером n × n, такие, что где I _r обозначает единичную матрицу размером r × r . $${\displaystyle XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\\\end{bmatrix}},}$$
• Неравенство ранга Сильвестра : если A — матрица размера m × n , а B — n × k , то ^[ii] Это частный случай следующего неравенства. $${\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)-n\leq \operatorname {rank} (AB).}$$
• Неравенство Фробениуса : если AB , ABC и BC определены, то ^[iii] $${\displaystyle \operatorname {rank} (AB)+\operatorname {rank} (BC)\leq \operatorname {rank} (B)+\operatorname {rank} (ABC).}$$
• Субаддитивность: когда A и B имеют одинаковую размерность. Как следствие, матрица ранга k может быть записана как сумма k матриц ранга 1, но не меньше. $${\displaystyle \operatorname {rank} (A+B)\leq \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)}$$
• Ранг матрицы плюс недействительность матрицы равны числу столбцов матрицы. (Это теорема о ранге–недействительности .)
• Если A — матрица над действительными числами , то ранг A и ранг соответствующей ей матрицы Грама равны. Таким образом, для действительных матриц Это можно показать, доказав равенство их нулевых пространств . Нулевое пространство матрицы Грама задается векторами x , для которых Если это условие выполняется, то мы также имеем ^[11] $${\displaystyle \operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} }A)=\operatorname {rank} (AA^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} }).}$$ ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} =0.}$ ${\displaystyle 0=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} =\left|A\mathbf {x} \right|^{2}.}$
• Если A — матрица над комплексными числами и обозначает комплексно сопряженную матрицу A , а A ^{∗ —} сопряженную транспонированную матрицу A (т.е. присоединенную к A ), то ${\displaystyle {\overline {A}}}$ $${\displaystyle \operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} ({\overline {A}})=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A^{*})=\operatorname {rank} (A^{*}A)=\operatorname {rank} (AA^{*}).}$$

Приложения

Одним из полезных применений вычисления ранга матрицы является вычисление числа решений системы линейных уравнений . Согласно теореме Руше–Капелли , система несовместна, если ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы коэффициентов . Если же, с другой стороны, ранги этих двух матриц равны, то система должна иметь по крайней мере одно решение. Решение уникально тогда и только тогда, когда ранг равен числу переменных. В противном случае общее решение имеет k свободных параметров, где k — разность между числом переменных и рангом. В этом случае (и предполагая, что система уравнений находится в действительных или комплексных числах) система уравнений имеет бесконечно много решений.

В теории управления ранг матрицы может использоваться для определения того, является ли линейная система управляемой или наблюдаемой .

В области сложности связи ранг матрицы связи функции задает пределы объема связи, необходимого двум сторонам для вычисления функции.

Обобщение

Существуют различные обобщения концепции ранга на матрицы над произвольными кольцами , где ранг столбца, ранг строки, размерность пространства столбца и размерность пространства строки матрицы могут отличаться от других или могут отсутствовать.

Если рассматривать матрицы как тензоры , то ранг тензора обобщается на произвольные тензоры; для тензоров порядка больше 2 (матрицы являются тензорами порядка 2) ранг очень сложно вычислить, в отличие от матриц.

Для гладких отображений между гладкими многообразиями существует понятие ранга , который равен линейному рангу производной .

Матрицы как тензоры

Ранг матрицы не следует путать с порядком тензора , который называется рангом тензора. Порядок тензора — это количество индексов, необходимых для записи тензора , и, таким образом, все матрицы имеют порядок тензора 2. Точнее, матрицы — это тензоры типа (1,1), имеющие один индекс строки и один индекс столбца, также называемые ковариантным порядком 1 и контравариантным порядком 1; подробности см. в разделе Тензор (внутреннее определение) .

Тензорный ранг матрицы может также означать минимальное число простых тензоров, необходимых для выражения матрицы в виде линейной комбинации, и это определение согласуется с рангом матрицы, как здесь обсуждается.

Смотрите также

• Ранг матроида
• Неотрицательный ранг (линейная алгебра)
• Ранг (дифференциальная топология)
• Мультиколлинеарность
• Линейная зависимость

Примечания

1. Альтернативные обозначения включают в себя Katznelson & Katznelson (2008, стр. 52, §2.5.1) и Halmos (1974, стр. 90, § 50). ${\displaystyle \rho (\Phi )}$
2. Доказательство: Применим теорему о ранге–нуле к неравенству $${\displaystyle \dim \ker(AB)\leq \dim \ker(A)+\dim \ker(B).}$$
3. Доказательство. Отображение хорошо определено и инъективно. Таким образом, мы получаем неравенство в терминах размерностей ядра, которое затем может быть преобразовано в неравенство в терминах рангов с помощью теоремы о ранге–нуле . В качестве альтернативы, если — линейное подпространство, то ; применим это неравенство к подпространству, определяемому ортогональным дополнением образа в образе , размерность которого равна ; его образ под имеет размерность . $${\displaystyle C:\ker(ABC)/\ker(BC)\to \ker(AB)/\ker(B)}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \dim(AM)\leq \dim(M)}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)}$

Ссылки

1. Акслер (2015) стр. 111-112, §§ 3.115, 3.119
2. Roman (2005) стр. 48, § 1.16
3. Бурбаки, Алгебра , гл. II, §10.12, с. 359
4. Mackiw, G. (1995), «Заметка о равенстве ранга столбца и строки матрицы», Mathematics Magazine , 68 (4): 285–286, doi :10.1080/0025570X.1995.11996337
5. Хефферон (2020) стр. 200, гл. 3, Определение 2.1
6. Кацнельсон и Кацнельсон (2008), с. 52, § 2.5.1
7. Валенца (1993) с. 71, § 4.3
8. Халмош (1974) стр. 90, § 50
9. Уордлоу, Уильям П. (2005), «Ранг строки равен рангу столбца», Mathematics Magazine , 78 (4): 316–318, doi :10.1080/0025570X.2005.11953349, S2CID  218542661
10. Баннерджи, Судипто; Рой, Аниндья (2014), Линейная алгебра и матричный анализ для статистики , Тексты по статистической науке (1-е изд.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
11. Мирский, Леонид (1955). Введение в линейную алгебру . Dover Publications. ISBN 978-0-486-66434-7.

Источники

• Axler, Sheldon (2015). Линейная алгебра, сделанная правильно . Бакалаврские тексты по математике (3-е изд.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Халмош, Пол Ричард (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства . Бакалаврские тексты по математике (2-е изд.). Springer . ISBN 0-387-90093-4.
• Хефферон, Джим (2020). Линейная алгебра (4-е изд.). Orthogonal Publishing L3C. ISBN 978-1-944325-11-4.
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Роман, Стивен (2005). Продвинутая линейная алгебра . Бакалаврские тексты по математике (2-е изд.). Springer . ISBN 0-387-24766-1.
• Валенца, Роберт Дж. (1993) [1951]. Линейная алгебра: введение в абстрактную математику . Бакалаврские тексты по математике (3-е изд.). Springer . ISBN 3-540-94099-5.

Дальнейшее чтение

• Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (1985). Матричный анализ . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6.
• Кау, Аутар К. Две главы из книги Введение в матричную алгебру: 1. Векторы [1] и система уравнений [2]
• Майк Брукс: Справочное руководство по матрице. [3]