Географическое расстояние

Расстояние, измеренное вдоль поверхности Земли

Вид из Швабской Юры на Альпы

Географическое расстояние или геодезическое расстояние — это расстояние, измеренное вдоль поверхности Земли , или длина кратчайшей дуги.

Формулы в этой статье вычисляют расстояния между точками, которые определяются географическими координатами в терминах широты и долготы . Это расстояние является элементом решения второй (обратной) геодезической задачи .

Введение

Расчет расстояния между географическими координатами основан на некотором уровне абстракции; он не дает точного расстояния, которое недостижимо, если попытаться учесть каждую неровность на поверхности Земли. ^[1] Распространенными абстракциями для поверхности между двумя географическими точками являются:

• Плоская поверхность;
• Сферическая поверхность;
• Эллипсоидальная поверхность.

Все абстракции выше игнорируют изменения высоты. Расчет расстояний, которые учитывают изменения высоты относительно идеализированной поверхности, в этой статье не обсуждается.

Классификация формул на основе аппроксимации

• Приближения на основе туннельного расстояния: плоская поверхность, Гаусс-средняя широта; ${\displaystyle |\Delta D_{\text{error}}|\propto D^{3}}$
• Приближение 0-го порядка: сферическая поверхность; ${\displaystyle |\Delta D_{\text{error}}|\propto D}$
• Приближения более высокого порядка на основе эллипсоида: : Andoyer(1932); Andoyer-Lambert(1942), : Andoyer-Lambert-Thomas(1970), : Vincenty(1975), : Kaney(2011); на полушарии ${\displaystyle f^{1}}$ ${\displaystyle f^{2}}$ ${\displaystyle f^{3}}$ ${\displaystyle f^{6}}$ ${\displaystyle \Delta |D_{\text{error}}|\propto D}$

Теоретические оценки погрешности добавлены выше и представляют собой сплющивание Земли. ${\displaystyle f}$

Номенклатура

Расстояние дуги, это минимальное расстояние вдоль поверхности сферы/эллипсоида, вычисленное между двумя точками, и . В то время как расстояние туннеля, или длина хорды, , измеряется вдоль декартовой прямой. Географические координаты двух точек, как пары (широта, долгота), являются и соответственно. Какая из двух точек обозначена как , не имеет значения для расчета расстояния. ${\displaystyle D,\,\!}$ ${\displaystyle P_{1}\,\!}$ ${\displaystyle P_{2}\,\!}$ ${\displaystyle D_{\textrm {t}}}$ ${\displaystyle (\phi _{1},\lambda _{1})\,\!}$ ${\displaystyle (\phi _{2},\lambda _{2}),\,\!}$ ${\displaystyle P_{1}\,\!}$

Координаты широты и долготы на картах обычно выражаются в градусах . В приведенных ниже формах формул одно или несколько значений должны быть выражены в указанных единицах для получения правильного результата. Если в качестве аргумента тригонометрической функции используются географические координаты, значения могут быть выражены в любых угловых единицах, совместимых с методом, используемым для определения значения тригонометрической функции. Многие электронные калькуляторы позволяют вычислять тригонометрические функции как в градусах, так и в радианах . Режим калькулятора должен быть совместим с единицами, используемыми для геометрических координат. ${\displaystyle \phi \,\!}$ ${\displaystyle \lambda \,\!}$

Различия в широте и долготе обозначаются и рассчитываются следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \phi &=\phi _{2}-\phi _{1};\\\Delta \lambda &=\lambda _{2}-\lambda _{1}.\end{aligned}}\,\!}$

При использовании в приведенных ниже формулах неважно, является ли результат положительным или отрицательным.

«Средняя широта» обозначается и рассчитывается следующим образом:

${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }={\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}.\,\!}$

Если не указано иное, радиус Земли для расчетов ниже составляет:

${\displaystyle R\,\!}$= 6 371,009 километров = 3 958,761 статутных миль = 3 440,069 морских миль .

${\displaystyle D_{\,}\!}$= Расстояние между двумя точками, измеренное вдоль поверхности Земли и в тех же единицах, что и значение, используемое для радиуса, если не указано иное.

Особенности и разрывы широты/долготы

Аппроксимация синусоидальных функций , появляющаяся в некоторых формулах для плоской поверхности ниже, может вызывать сингулярность и разрыв. Это также может ухудшить точность в случае более высоких широт. ${\displaystyle \Delta \lambda }$

Долгота имеет сингулярности на полюсах (долгота не определена) и разрыв на меридиане ± 180° . Кроме того, плоские проекции окружностей постоянной широты сильно искривлены вблизи полюсов. Следовательно, приведенные выше уравнения для дельта -широты/долготы ( , ) и средней широты ( ) могут не дать ожидаемого ответа для положений вблизи полюсов или меридиана ±180°. Рассмотрим, например, значение («восточное смещение»), когда и находятся по обе стороны от меридиана ±180°, или значение («средняя широта») для двух положений ( =89°, =45°) и ( =89°, =−135°). ${\displaystyle \Delta \phi \!}$ ${\displaystyle \Delta \lambda \!}$ ${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\!}$ ${\displaystyle \Delta \lambda \!}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\!}$ ${\displaystyle \lambda _{2}\!}$ ${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\!}$ ${\displaystyle \phi _{1}\!}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\!}$ ${\displaystyle \phi _{2}\!}$ ${\displaystyle \lambda _{2}\!}$

Если расчет на основе широты/долготы должен быть действителен для всех положений Земли, следует проверить, что разрыв и полюса обрабатываются правильно. Другое решение — использовать n -вектор вместо широты/долготы, поскольку это представление не имеет разрывов или сингулярностей.

Формулы приближения плоской поверхности для очень коротких расстояний

Плоское приближение для поверхности Земли может быть полезным на очень малых расстояниях. Оно аппроксимирует длину дуги, , к расстоянию туннеля, , или опускает преобразование между длинами дуги и хорды, показанное ниже. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D_{\textrm {t}}}$

Кратчайшее расстояние между двумя точками на плоскости — декартова прямая. Теорема Пифагора используется для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Даже на коротких расстояниях точность расчетов географических расстояний, которые предполагают плоскую Землю, зависит от метода, с помощью которого координаты широты и долготы были спроецированы на плоскость. Проекция координат широты и долготы на плоскость является областью картографии .

Формулы, представленные в этом разделе, обеспечивают различную степень точности.

Формулы приближения сферической Земли

Эта формула учитывает изменение расстояния между меридианами в зависимости от широты:

${\displaystyle {\begin{aligned}D&=R{\sqrt {\left(2\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(2\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}}\\&\approx R{\sqrt {\left(\Delta \phi \,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(2\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}}\ .\end{aligned}}}$

Квадратный корень, представленный выше, можно исключить для таких приложений, как упорядочивание местоположений по расстоянию в запросе к базе данных.

В случае средних или низких широт

Вышеизложенное далее упрощается путем аппроксимации синусоидальных функций , оправданных за исключением высоких широт: ${\displaystyle {\frac {\Delta \lambda }{2}}}$

${\displaystyle D=R{\sqrt {(\Delta \phi )^{2}+(\cos(\phi _{\mathrm {m} })\Delta \lambda )^{2}}}}$.

Формулы приближения эллипсоидальной Земли

Приведенная выше формула распространяется на эллипсоидальную Землю:

${\displaystyle D={\sqrt {\left(M\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\Delta \phi \,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(2N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}}}$,

где и - меридиональный и перпендикулярный ему , или " нормальный " , радиусы кривизны Земли (см. также " Преобразование географических координат " для их формул). ${\displaystyle M\,\!}$ ${\displaystyle N\,\!}$

Он выводится путем приближения квадратного корня. ${\displaystyle \left(\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\Delta \phi \right)^{2}\approx 0}$

В случае средних или низких широт

Вышеуказанное далее упрощается путем аппроксимации синусоидальных функций , оправданных за исключением высоких широт, как указано выше: ^{[2] [3]} ${\displaystyle {\frac {\Delta \lambda }{2}}}$

${\displaystyle D={\sqrt {(M(\phi _{\mathrm {m} })\Delta \phi )^{2}+(N(\phi _{\mathrm {m} })\cos \phi _{\mathrm {m} }\Delta \lambda )^{2}}}.}$

Формула FCC

FCC предписывает следующие формулы для расстояний, не превышающих 475 километров (295 миль): [ ^4]

${\displaystyle D={\sqrt {(K_{1}\Delta \phi )^{2}+(K_{2}\Delta \lambda )^{2}}},}$

где

${\displaystyle D\,\!}$= Расстояние в километрах;

${\displaystyle \Delta \phi \,\!}$и находятся в градусах; ${\displaystyle \Delta \lambda \,\!}$

${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\,\!}$должны быть в единицах, совместимых с методом, используемым для определения ${\displaystyle \cos \phi _{\mathrm {m} };\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{1}&=111.13209-0.56605\cos(2\phi _{\mathrm {m} })+0.00120\cos(4\phi _{\mathrm {m} });\\K_{2}&=111.41513\cos(\phi _{\mathrm {m} })-0.09455\cos(3\phi _{\mathrm {m} })+0.00012\cos(5\phi _{\mathrm {m} }).\end{aligned}}\,\!}$

Где и выражены в километрах на градус дуги. Они выводятся из радиусов кривизны Земли следующим образом: ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{2}}$

${\displaystyle K_{1}=M(\phi _{\mathrm {m} }){\frac {\pi }{180}}\,\!}$= километров на дуговой градус разницы широты;

${\displaystyle K_{2}=\cos(\phi _{\mathrm {m} })N(\phi _{\mathrm {m} }){\frac {\pi }{180}}\,\!}$= километров на дуговой градус разницы долготы;

Обратите внимание, что выражения в формуле FCC получены из усечения формы разложения биномиального ряда и , заданной для референц-эллипсоида Кларка 1866 года . Для более эффективной с вычислительной точки зрения реализации приведенной выше формулы несколько применений косинуса можно заменить одним применением и использованием рекуррентного соотношения для полиномов Чебышева . ${\displaystyle M\,\!}$ ${\displaystyle N\,\!}$

Формула плоской Земли в полярных координатах

${\displaystyle D=R{\sqrt {\theta _{1}^{2}\;{\boldsymbol {+}}\;\theta _{2}^{2}\;\mathbf {-} \;2\theta _{1}\theta _{2}\cos(\Delta \lambda )}},}$

где значения кошироты указаны в радианах: ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}-\phi .}$

Для широты, измеренной в градусах, коширота в радианах может быть рассчитана следующим образом: ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{180}}(90^{\circ }-\phi ).\,\!}$

Формулы сферической поверхности

Если кто-то готов принять возможную погрешность в 0,5%, он может использовать формулы сферической тригонометрии на сфере, которая наилучшим образом аппроксимирует поверхность Земли.

Кратчайшее расстояние по поверхности сферы между двумя точками на поверхности — это большая окружность, которая содержит эти две точки.

Статья о расстоянии большого круга дает формулу для расчета кратчайшей длины дуги на сфере размером с Землю. В этой статье приведен пример расчета. Например, из расстояния туннеля , ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D_{\textrm {t}}}$

${\displaystyle D=2R\arcsin {\frac {D_{\textrm {t}}}{2R}}.}$

Для коротких расстояний ( ), ${\displaystyle D\ll R}$

${\displaystyle D=D_{\textrm {t}}\left(1+{\frac {1}{24}}\left({\frac {D_{\textrm {t}}}{R}}\right)^{2}+\cdots \right).}$

Расстояние туннеля

Туннель между точками на Земле определяется декартовой линией, проходящей через трехмерное пространство между точками интереса. Расстояние туннеля — это длина хорды большого круга, и его можно рассчитать следующим образом для соответствующей единичной сферы: ${\displaystyle D_{\textrm {t}}=2R\sin {\frac {D}{2R}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {X}&=\cos(\phi _{2})\cos(\lambda _{2})-\cos(\phi _{1})\cos(\lambda _{1});\\\Delta {Y}&=\cos(\phi _{2})\sin(\lambda _{2})-\cos(\phi _{1})\sin(\lambda _{1});\\\Delta {Z}&=\sin(\phi _{2})-\sin(\phi _{1});\\D_{\textrm {t}}&=R{\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}\\&=2R{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\Delta \phi }{2}}+\left(\cos ^{2}{\frac {\Delta \phi }{2}}-\sin ^{2}\phi _{\textrm {m}}\right)\sin ^{2}{\frac {\Delta \lambda }{2}}}}\\&=2R{\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Формулы эллипсоидальной поверхности

Геодезическая на сплюснутом эллипсоиде

Эллипсоид аппроксимирует поверхность Земли гораздо лучше, чем сфера или плоская поверхность. Кратчайшее расстояние вдоль поверхности эллипсоида между двумя точками на поверхности — геодезическая . Геодезические следуют по более сложным траекториям, чем большие окружности, и, в частности, они обычно не возвращаются в исходное положение после одного оборота вокруг Земли. Это показано на рисунке справа, где f принято равным 1/50, чтобы подчеркнуть эффект. Нахождение геодезической между двумя точками на Земле, так называемая обратная геодезическая задача , было в центре внимания многих математиков и геодезистов в течение 18-го и 19-го веков, при этом основные вклады внесли Клеро , ^[5] Лежандр , ^[6] Бессель , ^[7] и Гельмерт Английский перевод Astron. Nachr. 4, 241–254 (1825). Опечатки. ^[8] Рапп ^[9] дает хорошее резюме этой работы.

Методы вычисления геодезического расстояния широко доступны в географических информационных системах , библиотеках программного обеспечения, автономных утилитах и ​​онлайн-инструментах. Наиболее широко используемый алгоритм принадлежит Винсенти ^[10], который использует ряд, который имеет точность до третьего порядка в сглаживании эллипсоида, т. е. около 0,5 мм; однако алгоритм не сходится для точек, которые почти антиподальны . (Подробнее см. формулы Винсенти .) Этот недостаток исправлен в алгоритме, приведенном Карни ^[11], который использует ряды, которые имеют точность до шестого порядка в сглаживании. Это приводит к алгоритму, который имеет точность до полной двойной точности и который сходится для произвольных пар точек на Земле. Этот алгоритм реализован в GeographicLib. ^[12]

Точные методы, описанные выше, осуществимы при выполнении вычислений на компьютере. Они предназначены для обеспечения точности до миллиметра на линиях любой длины; можно использовать более простые формулы, если точность до миллиметра не нужна или если точность до миллиметра нужна, но линия короткая.

Методы коротких линий изучались несколькими исследователями. Рапп ^[13], глава 6, описывает метод Пюиссана , метод Гаусса для средних широт и метод Боуринга ^[14] . Карл Хубени ^[15] получил расширенный ряд метода Гаусса для средних широт, представленный как поправка к методу для плоской поверхности.

Формула Ламберта для длинных линий

Исторически, формулы длинной линии были выведены в виде рядов расширения с учетом выравнивания . ^{[16] [17]} ${\displaystyle f}$

Формулы Ламберта ^[18] используют поправку первого порядка и уменьшенную широту , , для лучшей точности. Они дают точность порядка 10 метров на тысячи километров. ${\displaystyle \beta =\arctan \left((1-f)\tan \phi \right)}$

Сначала преобразуем широты , двух точек в приведенные широты , . Затем вычисляем центральный угол в радианах между двумя точками и на сфере, используя метод расстояний большого круга ( формула гаверсинуса ), при этом долготы и на сфере такие же, как и на сфероиде. ${\displaystyle \scriptstyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \beta _{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\beta _{1},\;\lambda _{1})}$ ${\displaystyle (\beta _{2},\;\lambda _{2})}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\;}$ ${\displaystyle \lambda _{2}\;}$

${\displaystyle P={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{2}}\qquad Q={\frac {\beta _{2}-\beta _{1}}{2}}}$

${\displaystyle X=(\sigma -\sin \sigma ){\frac {\sin ^{2}P\cos ^{2}Q}{\cos ^{2}{\frac {\sigma }{2}}}}\qquad \qquad Y=(\sigma +\sin \sigma ){\frac {\cos ^{2}P\sin ^{2}Q}{\sin ^{2}{\frac {\sigma }{2}}}}}$

${\textstyle D=a{\bigl (}\sigma -{\tfrac {f}{2}}(X+Y){\bigr )}}$,

где - экваториальный радиус выбранного сфероида. ${\displaystyle a}$

На сфероиде GRS 80 формула Ламберта неверна

0 Север 0 Запад до 40 Север 120 Запад, 12,6 метра

0N 0W до 40N 60W, 6,6 метра

40N 0W до 40N 60W, 0,85 метра

Метод Гаусса для средних широт для коротких линий

Она имеет похожую форму длины дуги, преобразованной из расстояния туннеля. Подробные формулы приведены Раппом, ^[13] §6.4. Она, по-видимому, согласуется с вышеупомянутыми формулами для плоской поверхности.

${\displaystyle D=2N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\arcsin {\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin \left({\frac {\Delta \phi }{2}}{\frac {M\left(\phi _{\textrm {m}}\right)}{N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)}}\right)\right)^{2}}}.}$

Метод Боуринга для коротких линий

Боуринг отображает точки в сферу радиусом R′ , где широта и долгота представлены как φ′ и λ′. Определить

${\displaystyle A={\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{4}\phi _{1}}},\quad B={\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\phi _{1}}},}$

где второй эксцентриситет в квадрате равен

${\displaystyle e'^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}={\frac {f(2-f)}{(1-f)^{2}}}.}$

Радиус сферы равен

${\displaystyle R'={\frac {\sqrt {1+e'^{2}}}{B^{2}}}a.}$

( Гауссова кривизна эллипсоида при φ ₁ равна 1/ R′ ² .) Сферические координаты задаются как

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \phi _{1}'&={\frac {\tan \phi _{1}}{B}},\\\Delta \phi '&={\frac {\Delta \phi }{B}}{\biggl [}1+{\frac {3e'^{2}}{4B^{2}}}(\Delta \phi )\sin(2\phi _{1}+{\tfrac {2}{3}}\Delta \phi ){\biggr ]},\\\Delta \lambda '&=A\Delta \lambda ,\end{aligned}}}$

где , , , . Полученная задача на сфере может быть решена с использованием методов навигации по большому кругу, чтобы дать приближения для сфероидального расстояния и пеленга. Подробные формулы приведены Раппом ^[13] §6.5, Боурингом ^[14] и Карни. ^[19] ${\displaystyle \Delta \phi =\phi _{2}-\phi _{1}}$ ${\displaystyle \Delta \phi '=\phi _{2}'-\phi _{1}'}$ ${\displaystyle \Delta \lambda =\lambda _{2}-\lambda _{1}}$ ${\displaystyle \Delta \lambda '=\lambda _{2}'-\lambda _{1}'}$

Коррекция высоты

Изменение высоты от топографического или земного уровня до поверхности сферы или эллипсоида также изменяет масштаб измерения расстояний. ^[20] Наклонное расстояние s ( длина хорды ) между двумя точками может быть уменьшено до длины дуги на поверхности эллипсоида S следующим образом: ^[21]

${\displaystyle S-s=-0.5(h_{1}+h_{2})s/R-0.5(h_{1}-h_{2})^{2}/s}$

где R оценивается по азимутальному радиусу кривизны Земли , а h — эллипсоидальные высоты каждой точки. Первый член в правой части уравнения учитывает среднюю высоту, а второй член — наклон. Дальнейшее уменьшение длины сечения над нормалью Земли до эллипсоидальной геодезической длины часто оказывается незначительным. ^[21]

Смотрите также

• Измерение дуги
• Радиус Земли
• Сферическая Земля
• Расстояние по дуге большого круга
• Навигация по дуге большого круга
• Расстояние между образцами грунта
• Формулы Винсента
• Дуга меридиана
• Масштаб (карта)

Ссылки

1. "Британское картографическое общество > Какова длина береговой линии Великобритании?". Архивировано из оригинала 2012-05-22 . Получено 2008-12-06 .
2. Уильямс, Э. (2013). "Aviation Formulary" . Получено 2024-06-23 .
3. Уильямс, Э. (2002). "Навигация на сфероидальной Земле" . Получено 28.11.2023 .
4. "Опорные точки и расчеты расстояний" (PDF) . Свод федеральных правил (ежегодное издание). Название 47: Телекоммуникации . 73 (208). 1 октября 2016 г. . Получено 8 ноября 2017 г. .
5. Клеро, AC (1735). «Détermination géometrique de la perpendiculaire à la méridienne tracée par M. Cassini» [Геометрическое определение перпендикуляра к меридиану, проведенного Жаком Кассини]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris 1733 (на французском языке): 406–416.
6. Лежандр, AM (1806). «Анализ треугольных трассировок на поверхности сфероида» [Анализ сфероидальных треугольников]. Mémoires de l'Institut National de France (на французском языке) (1-й семестр): 130–161.
7. Бессель, Ф. В. (2010) [1825]. «Вычисление долготы и широты по геодезическим измерениям». Astronomische Nachrichten . 331 (8). . Перевод CFF Karney & RE Deakin: 852–861. arXiv : 0908.1824 . Bibcode :2010AN....331..852K. doi :10.1002/asna.201011352. S2CID  118760590.{{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link)
8. Гельмерт, Ф. Р. (1964) [1880]. Математические и физические теории высшей геодезии. Т. 1. Сент-Луис: Аэронавигационный картографический и информационный центр.{{cite book}}: CS1 maint: postscript (link)Английский перевод книги Die Mathematischen und Physikalischen Theorieen der Höheren Geodäsie, Vol. 1 (Тойбнер, Лейпциг, 1880 г.).
9. Рапп, Р. Х. (март 1993 г.). Геометрическая геодезия, часть II (технический отчет). Университет штата Огайо . Получено 01.08.2011 г.
10. Винсенти, Т. (апрель 1975 г.). «Прямые и обратные решения геодезических на эллипсоиде с применением вложенных уравнений» (PDF) . Обзор обзора . 23 (176): 88–93. doi :10.1179/sre.1975.23.176.88 . Получено 11 июля 2009 г. . Приложение: Обзор обзора 23 (180): 294 (1976).{{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link)
11. Karney, CFF (2013). «Алгоритмы для геодезии». Журнал геодезии . 87 (1): 43–55. arXiv : 1109.4448 . Bibcode : 2013JGeod..87...43K. doi : 10.1007/s00190-012-0578-z. S2CID  119310141.– (открытый доступ). Дополнения.
12. Карни, CFF (2013). «Географическая библиотека». 1.32.
13. Rapp, R, H (1991). Геометрическая геодезия, часть I (отчет). Ohio Start Univ. hdl :1811/24333.{{cite report}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
14. Bowring, BR (1981). «Прямые и обратные задачи для коротких геодезических линий на эллипсоиде». Геодезия и картография . 41 (2): 135–141.
15. Хубени, К. (1954). Entwicklung der Gauss'schen Mittelbreitenformeln, Österreichische Zeitschrift für Vermessungswesen.
16. Форсайт, AR (1927). Вариационное исчисление . Cambridge Univ. Press. ISBN 978-1-107-64083-2. OCLC  250050479..
17. Анри Андуайе : Формула donnant la longueur de la geodésique joignant 2 point de l'ellipsoïde donnés par leurs coordonnées géographiques, Bulletin Géodésique, Volume 34, Number 1, апрель 1932 г., страницы 77–81, https://doi.org/10.1007 %2FBF03030136
18. Ламберт, У. Д. (1942). «Расстояние между двумя далеко отстоящими точками на поверхности Земли». Дж. Вашингтонская академия наук . 32 (5): 125–130.
19. "GeographicLib: Геодезические на эллипсоиде вращения". geographiclib.sourceforge.io . Получено 2024-08-04 .
20. "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2014-08-27 . Получено 2014-08-26 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
21. Torge & Müller (2012) Geodesy, De Gruyter, стр.249

Внешние ссылки

• Онлайн-геодезический калькулятор (на основе GeographicLib).
• Онлайн-библиография по геодезическим работам.