Геометрическая оптика

Модель оптики, описывающая свет как геометрические лучи.

Геометрическая оптика , или лучевая оптика , — это модель оптики , описывающая распространение света в терминах лучей . Луч в геометрической оптике — это абстракция , полезная для аппроксимации путей, по которым распространяется свет при определенных обстоятельствах.

Упрощающие предположения геометрической оптики включают в себя то, что световые лучи:

• распространяются по прямолинейным траекториям при движении в однородной среде
• изгибаться, а при определенных обстоятельствах может разделиться на две части на границе двух разнородных сред
• следовать изогнутым траекториям в среде, в которой изменяется показатель преломления
• может поглощаться или отражаться.

Геометрическая оптика не учитывает некоторые оптические эффекты, такие как дифракция и интерференция . Это упрощение полезно на практике; это отличное приближение, когда длина волны мала по сравнению с размером структур, с которыми взаимодействует свет. Эти методы особенно полезны при описании геометрических аспектов изображений , включая оптические аберрации .

Объяснение

Когда свет проходит через пространство, его амплитуда колеблется . На этом изображении каждый гребень максимальной амплитуды отмечен плоскостью, иллюстрирующей волновой фронт . Луч — это стрелка, перпендикулярная этим параллельным поверхностям .

Луч света — это линия или кривая , перпендикулярная волновым фронтам света (и, следовательно, коллинеарная волновому вектору ). Несколько более строгое определение светового луча следует из принципа Ферма , который гласит, что путь, пройденный лучом света между двумя точками, — это путь, который можно пройти за наименьшее время. ^[1]

Геометрическую оптику часто упрощают, используя параксиальное приближение или «аппроксимацию малого угла». Тогда математическое поведение становится линейным , что позволяет описывать оптические компоненты и системы простыми матрицами. Это приводит к появлению методов гауссовой оптики и трассировки параксиальных лучей , которые используются для определения основных свойств оптических систем, таких как приблизительное положение изображения и объекта и увеличение . ^[2]

Отражение

Схема зеркального отражения

Глянцевые поверхности, такие как зеркала, отражают свет простым и предсказуемым образом. Это позволяет создавать отраженные изображения, которые можно связать с реальным ( реальным ) или экстраполированным ( виртуальным ) местоположением в пространстве.

На таких поверхностях направление отраженного луча определяется углом, который падающий луч образует с нормалью поверхности , линией, перпендикулярной поверхности в точке попадания луча. Падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости, а угол между отраженным лучом и нормалью к поверхности такой же, как угол между падающим лучом и нормалью. ^[3] Это известно как Закон Отражения .

Для плоских зеркал закон отражения подразумевает, что изображения объектов расположены вертикально и находятся на том же расстоянии за зеркалом, что и объекты перед зеркалом. Размер изображения такой же, как размер объекта. ( Увеличение плоского зеркала равно единице.) Закон также подразумевает, что зеркальные изображения перевернуты по четности , что воспринимается как инверсия лево-право.

Зеркала с изогнутыми поверхностями можно моделировать с помощью трассировки лучей и использования закона отражения в каждой точке поверхности. В зеркалах с параболическими поверхностями параллельные лучи, падающие на зеркало, образуют отраженные лучи, сходящиеся в общем фокусе . Другие изогнутые поверхности также могут фокусировать свет, но с аберрациями из-за расходящейся формы, из-за которой фокус размывается в пространстве. В частности, сферические зеркала демонстрируют сферическую аберрацию . Изогнутые зеркала могут формировать изображения с увеличением больше или меньше единицы, причем изображение может быть вертикальным или перевернутым. Вертикальное изображение, образованное отражением в зеркале, всегда виртуально, а перевернутое изображение реально и может быть спроецировано на экран. ^[3]

Преломление

Иллюстрация закона Снелла

Преломление происходит, когда свет проходит через область пространства с изменяющимся показателем преломления. Простейший случай преломления возникает, когда существует граница раздела между однородной средой с показателем преломления и другой средой с показателем преломления . В таких ситуациях закон Снелла описывает результирующее отклонение светового луча: ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}}$

$${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}$$

${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$

$${\displaystyle v_{1}\sin \theta _{2}\ =v_{2}\sin \theta _{1}}$$

^[3] ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$

Различные последствия закона Снелла включают тот факт, что для лучей света, идущих от материала с высоким показателем преломления к материалу с низким показателем преломления, взаимодействие с границей раздела может привести к нулевому пропусканию. Это явление называется полным внутренним отражением и позволяет использовать технологию оптоволокна . Когда световые сигналы проходят по оптоволоконному кабелю, они подвергаются полному внутреннему отражению, что позволяет практически не терять свет по длине кабеля. Также возможно создавать поляризованные световые лучи , используя комбинацию отражения и преломления: когда преломленный луч и отраженный луч образуют прямой угол , отраженный луч обладает свойством «плоской поляризации». Угол падения, необходимый для такого сценария, известен как угол Брюстера . ^[3]

Закон Снелла можно использовать для прогнозирования отклонения световых лучей при их прохождении через «линейную среду», если известны показатели преломления и геометрия среды. Например, распространение света через призму приводит к отклонению светового луча в зависимости от формы и ориентации призмы. Кроме того, поскольку в большинстве материалов разные частоты света имеют немного разные показатели преломления, преломление можно использовать для создания дисперсионных спектров , которые выглядят как радуга. Открытие этого явления при прохождении света через призму приписывается Исааку Ньютону . ^[3]

Некоторые среды имеют показатель преломления, который постепенно меняется в зависимости от положения, и, таким образом, лучи света проходят через среду, а не движутся по прямым линиям. Этот эффект является причиной миражей , наблюдаемых в жаркие дни, когда изменяющийся показатель преломления воздуха заставляет лучи света изгибаться, создавая видимость зеркальных отражений на расстоянии (как будто на поверхности бассейна с водой). Материал с переменным показателем преломления называется материалом с градиентным показателем (GRIN) и обладает многими полезными свойствами, используемыми в современных технологиях оптического сканирования, включая копировальные аппараты и сканеры . Явление изучается в области градиентно-индексной оптики . ^[4]

Схема трассировки лучей для простой собирающей линзы.

Устройство, которое создает сходящиеся или расходящиеся световые лучи за счет преломления, известно как линза . Тонкие линзы создают фокусные точки с обеих сторон, которые можно смоделировать с помощью уравнения производителя линз . ^[5] В общем, существует два типа линз: выпуклые линзы , которые заставляют параллельные лучи света сходиться, и вогнутые линзы , которые заставляют параллельные лучи света расходиться. Подробное предсказание того, как изображения создаются этими линзами, можно сделать с помощью трассировки лучей, аналогичной изогнутым зеркалам. Подобно изогнутым зеркалам, тонкие линзы подчиняются простому уравнению, которое определяет расположение изображений при заданном фокусном расстоянии ( ) и расстоянии до объекта ( ): ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{1}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{S_{1}}}+{\frac {1}{S_{2}}}={\frac {1}{f}}}$$

^[5] ${\displaystyle S_{2}}$

Входящие параллельные лучи фокусируются выпуклой линзой в перевернутое реальное изображение на расстоянии одного фокусного расстояния от линзы, на дальней стороне линзы.

Входящие параллельные лучи фокусируются выпуклой линзой в перевернутое реальное изображение на расстоянии одного фокусного расстояния от линзы, на дальней стороне линзы.

Лучи объекта, находящегося на конечном расстоянии, фокусируются дальше от линзы, чем фокусное расстояние; чем ближе объект к линзе, тем дальше изображение от линзы. В вогнутых линзах входящие параллельные лучи расходятся после прохождения через линзу таким образом, что кажется, что они возникли в вертикальном виртуальном изображении на расстоянии одного фокусного расстояния от линзы, на той стороне линзы, к которой приближаются параллельные лучи. .

В вогнутых линзах входящие параллельные лучи расходятся после прохождения через линзу таким образом, что кажется, что они возникли в вертикальном виртуальном изображении на расстоянии одного фокусного расстояния от линзы, на той стороне линзы, к которой приближаются параллельные лучи. .

Лучи объекта на конечном расстоянии связаны с виртуальным изображением, которое находится ближе к линзе, чем фокусное расстояние, и находится на той же стороне линзы, что и объект. Чем ближе объект к линзе, тем ближе к линзе виртуальное изображение.

Лучи объекта на конечном расстоянии связаны с виртуальным изображением, которое находится ближе к линзе, чем фокусное расстояние, и находится на той же стороне линзы, что и объект.

Аналогично, увеличение линзы определяется выражением

$${\displaystyle M=-{\frac {S_{2}}{S_{1}}}={\frac {f}{f-S_{1}}}}$$

^[3]

Объективы страдают от аберраций , которые искажают изображения и фокусные точки. Это связано как с геометрическими несовершенствами, так и с изменением показателя преломления для разных длин волн света ( хроматическая аберрация ). ^[3]

Основная математика

Как математическое исследование, геометрическая оптика возникает как коротковолновый предел для решений гиперболических уравнений в частных производных (метод Зоммерфельда-Рунге) или как свойство распространения разрывов поля согласно уравнениям Максвелла (метод Люнебурга). В этом коротковолновом пределе можно локально аппроксимировать решение формулой

$${\displaystyle u(t,x)\approx a(t,x)e^{i(k\cdot x-\omega t)}}$$

дисперсионному соотношениюглавного порядка ${\displaystyle k,\omega }$ ${\displaystyle a(t,x)}$

$${\displaystyle a_{0}(t,x)e^{i\varphi (t,x)/\varepsilon }.}$$

уравнению переносапреломлениямикролокального анализа ${\displaystyle \varphi (t,x)/\varepsilon }$ ${\displaystyle k:=\nabla _{x}\varphi }$ ${\displaystyle \omega :=-\partial _{t}\varphi }$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon \,}$

Метод Зоммерфельда – Рунге

Метод получения уравнений геометрической оптики путем принятия предела нулевой длины волны был впервые описан Арнольдом Зоммерфельдом и Дж. Рунге в 1911 году. ^[6] Их вывод был основан на устном замечании Питера Дебая . ^{[7] [8]} Рассмотрим монохроматическое скалярное поле , где может быть любая из компонент электрического или магнитного поля и, следовательно, функция удовлетворяет волновому уравнению ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=\phi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi +k_{o}^{2}n(\mathbf {r} )^{2}\phi =0}$$

скорость светапоказатель преломления ${\displaystyle k_{o}=\omega /c=2\pi /\lambda _{o}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \phi =A(k_{o},\mathbf {r} )e^{ik_{o}S(\mathbf {r} )}}$

$${\displaystyle -k_{o}^{2}A[(\nabla S)^{2}-n^{2}]+2ik_{o}(\nabla S\cdot \nabla A)+ik_{o}A\nabla ^{2}S+\nabla ^{2}A=0.}$$

Поскольку основной принцип геометрической оптики лежит в пределе , предполагается следующая асимптотическая серия: ${\displaystyle \lambda _{o}\sim k_{o}^{-1}\rightarrow 0}$

$${\displaystyle A(k_{o},\mathbf {r} )=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {A_{m}(\mathbf {r} )}{(ik_{o})^{m}}}}$$

При больших, но конечных значениях ряд расходится, и необходимо соблюдать осторожность, сохраняя только соответствующие первые несколько членов. Для каждого значения можно найти оптимальное количество сохраняемых термов, а добавление большего количества термов, чем оптимальное, может привести к ухудшению аппроксимации. ^[9] Подставляя ряд в уравнение и собирая члены разных порядков, находим ${\displaystyle k_{o}}$ ${\displaystyle k_{o}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}O(k_{o}^{2}):&\quad (\nabla S)^{2}=n^{2},\\[1ex]O(k_{o}):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{0}+A_{0}\nabla ^{2}S=0,\\[1ex]O(1):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{1}+A_{1}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{0},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle O(k_{o}^{1-m}):\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{m}+A_{m}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{m-1}.}$$

Первое уравнение известно как уравнение эйконала , которое определяет, что эйконал представляет собой уравнение Гамильтона – Якоби , записанное, например, в декартовых координатах, становится ${\displaystyle S(\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}=n^{2}.}$$

Остальные уравнения определяют функции . ${\displaystyle A_{m}(\mathbf {r} )}$

Люнебургский метод

Метод получения уравнений геометрической оптики путем анализа поверхностей разрывов решений уравнений Максвелла был впервые описан Рудольфом Карлом Люнебургом в 1944 году. ^[10] Он не ограничивает электромагнитное поле специальной формой, требуемой методом Зоммерфельда-Рунге. который предполагает, что амплитуда и фаза удовлетворяют уравнению . Этому условию удовлетворяют, например, плоские волны, но оно не является аддитивным. ${\displaystyle A(k_{o},\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle S(\mathbf {r} )}$ ${\textstyle \lim _{k_{0}\to \infty }{\frac {1}{k_{0}}}\left({\frac {1}{A}}\,\nabla S\cdot \nabla A+{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}S\right)=0}$

Основной вывод подхода Люнебурга заключается в следующем:

Теорема. Предположим, что поля и (в линейной изотропной среде, описываемой диэлектрическими проницаемостями и ) имеют конечные разрывы вдоль (движущейся) поверхности в, описываемой уравнением . Тогда из уравнений Максвелла в интегральной форме следует, что удовлетворяет уравнению эйконала : ${\displaystyle \mathbf {E} (x,y,z,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z,t)}$ ${\displaystyle \varepsilon (x,y,z)}$ ${\displaystyle \mu (x,y,z)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \psi (x,y,z)-ct=0}$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \psi _{x}^{2}+\psi _{y}^{2}+\psi _{z}^{2}=\varepsilon \mu =n^{2},}$$

${\displaystyle n}$

Примером такой поверхности разрыва является начальный волновой фронт, исходящий от источника, который начинает излучать в определенный момент времени.

Таким образом, поверхности разрыва поля становятся волновыми фронтами геометрической оптики с соответствующими полями геометрической оптики, определяемыми как:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{*}(x,y,z)&=\mathbf {E} (x,y,z,\psi (x,y,z)/c)\\[1ex]\mathbf {H} ^{*}(x,y,z)&=\mathbf {H} (x,y,z,\psi (x,y,z)/c)\end{aligned}}}$$

Эти поля подчиняются уравнениям переноса, согласующимся с уравнениями переноса подхода Зоммерфельда-Рунге. Световые лучи в теории Люнебурга определяются как траектории, ортогональные поверхностям разрыва, и можно показать, что они подчиняются принципу наименьшего времени Ферма , тем самым устанавливая идентичность этих лучей со световыми лучами стандартной оптики.

Изложенные выше разработки можно обобщить на анизотропные среды. ^[11]

Доказательство теоремы Люнебурга основано на исследовании того, как уравнения Максвелла управляют распространением разрывов решений. Основная техническая лемма такова:

Техническая лемма. Позвольте быть гиперповерхностью (3-мерным многообразием) в пространстве-времени , на которой одно или несколько из: , , , имеют конечный разрыв. Тогда в каждой точке гиперповерхности справедливы следующие формулы: ${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)=0}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} (x,y,z,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z,t)}$ ${\displaystyle \varepsilon (x,y,z)}$ ${\displaystyle \mu (x,y,z)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi \cdot [\varepsilon \mathbf {E} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \cdot [\mu \mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{\frac {1}{c}}\,\varphi _{t}\,[\mu \mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{\frac {1}{c}}\,\varphi _{t}\,[\varepsilon \mathbf {E} ]&=0\end{aligned}}}$$

из ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle xyz}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \nabla \varphi }$

Эскиз доказательства. Начните с уравнений Максвелла вдали от источников (гауссовых единиц):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \varepsilon \mathbf {E} =0\\[1ex]\nabla \cdot \mu \mathbf {H} =0\\[1ex]\nabla \times \mathbf {E} +{\tfrac {\mu }{c}}\,\mathbf {H} _{t}=0\\[1ex]\nabla \times \mathbf {H} -{\tfrac {\varepsilon }{c}}\,\mathbf {E} _{t}=0\end{aligned}}}$$

Используя теорему Стокса в, из первого из приведенных выше уравнений можно заключить, что для любой области в с кусочно гладкой (3-мерной) границей верно следующее: ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

$${\displaystyle \oint _{\Gamma }(\mathbf {M} \cdot \varepsilon \mathbf {E} )\,dS=0}$$

${\displaystyle \mathbf {M} =(x_{N},y_{N},z_{N})}$ ${\displaystyle (x_{N},y_{N},z_{N},t_{N})}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle t={\rm {const}}}$ ${\displaystyle dS}$ ${\displaystyle \Gamma }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \cdot \mu \mathbf {H} \right)dS&=0\\[1.55ex]\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \times \mathbf {E} +{\frac {\mu }{c}}\,t_{N}\,\mathbf {H} \right)dS&=0\\[1.55ex]\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \times \mathbf {H} -{\frac {\varepsilon }{c}}\,t_{N}\,\mathbf {E} \right)dS&=0\end{aligned}}}$$

Теперь, рассматривая произвольные небольшие подповерхности и устанавливая небольшие окрестности, окружающие , и соответствующим образом вычитая вышеуказанные интегралы, можно получить: ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Gamma _{0}}(\nabla \varphi \cdot [\varepsilon \mathbf {E} ])\,{dS \over \|\nabla ^{4D}\varphi \|}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}(\nabla \varphi \cdot [\mu \mathbf {H} ])\,{dS \over \|\nabla ^{4D}\varphi \|}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}\left(\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{1 \over c}\,\varphi _{t}\,[\mu \mathbf {H} ]\right)\,{\frac {dS}{\|\nabla ^{4D}\varphi \|}}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}\left(\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{1 \over c}\,\varphi _{t}\,[\varepsilon \mathbf {E} ]\right)\,{\frac {dS}{\|\nabla ^{4D}\varphi \|}}&=0\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \nabla ^{4D}}$ ${\displaystyle xyzt}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}}$

Теперь легко показать, что при распространении через сплошную среду поверхности разрыва подчиняются уравнению эйконала. В частности, если и непрерывны, то разрывы и удовлетворяют: и . В этом случае два последних уравнения леммы можно записать в виде: ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle [\varepsilon \mathbf {E} ]=\varepsilon [\mathbf {E} ]}$ ${\displaystyle [\mu \mathbf {H} ]=\mu [\mathbf {H} ]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{\mu \over c}\,\varphi _{t}\,[\mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{\varepsilon \over c}\,\varphi _{t}\,[\mathbf {E} ]&=0\end{aligned}}}$$

Взяв векторное произведение второго уравнения и заменив первое, получим: ${\displaystyle \nabla \varphi }$

$${\displaystyle \nabla \varphi \times (\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ])-{\varepsilon \over c}\,\varphi _{t}\,(\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ])=(\nabla \varphi \cdot [\mathbf {H} ])\,\nabla \varphi -\|\nabla \varphi \|^{2}\,[\mathbf {H} ]+{\varepsilon \mu \over c^{2}}\varphi _{t}^{2}\,[\mathbf {H} ]=0}$$

Из непрерывности и второго уравнения леммы следует: , следовательно, только для точек, лежащих на поверхности : ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nabla \varphi \cdot [\mathbf {H} ]=0}$ ${\displaystyle \varphi =0}$

$${\displaystyle \|\nabla \varphi \|^{2}={\varepsilon \mu \over c^{2}}\varphi _{t}^{2}}$$

(Обратите внимание, что на этом этапе важно наличие разрыва, так как в противном случае нам пришлось бы делить на ноль.)

Из физических соображений можно без ограничения общности предположить, что она имеет следующую форму: , т.е. двумерная поверхность, движущаяся в пространстве, смоделированная как поверхности уровня . (Математически существует, если по теореме о неявной функции .) Приведенное выше уравнение, записанное в терминах, становится: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)-ct}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \varphi _{t}\neq 0}$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \|\nabla \psi \|^{2}={\varepsilon \mu \over c^{2}}\,(-c)^{2}=\varepsilon \mu =n^{2}}$$

$${\displaystyle \psi _{x}^{2}+\psi _{y}^{2}+\psi _{z}^{2}=n^{2}}$$

закон Снеллиусаформулы Френеля, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mu }$

Общее уравнение с использованием четырехвекторной записи

В четырехвекторной записи, используемой в специальной теории относительности , волновое уравнение можно записать как

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0}$$

и замена приводит к ^[12] ${\displaystyle \psi =Ae^{iS/\varepsilon }}$

$${\displaystyle -{\frac {A}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {2i}{\varepsilon }}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {iA}{\varepsilon }}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}+{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0.}$$

Следовательно, уравнение эйконала имеет вид

$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}=0.}$$

Как только эйконал найден путем решения приведенного выше уравнения, волновой четырехвектор можно найти из

$${\displaystyle k_{i}=-{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}.}$$

Смотрите также

• Гамильтонова оптика
• Геометрическая акустика

Рекомендации

1. Артур Шустер , Введение в теорию оптики , Лондон: Эдвард Арнольд, 1904 г., онлайн.
2. Грейвенкамп, Джон Э. (2004). Полевое руководство по геометрической оптике . Полевые руководства SPIE. Том. 1. ШПИОН . стр. 19–20. ISBN 0-8194-5294-7.
3. Хью Д. Янг (1992). Университетская физика 8е . Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-52981-5.Глава 35.
4. Э. В. Маршан, Градиентная индексная оптика, Нью-Йорк, Нью-Йорк, Academic Press, 1978.
5. Хехт, Юджин (1987). Оптика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. ISBN 0-201-11609-Х.Главы 5 и 6.
6. Зоммерфельд А. и Рунге Дж. (1911). Anwendung der Vektorrechnung auf die Grundlagen der geometrischen Optik. Аннален дер Физик, 340(7), 277-298.
7. Борн М. и Вольф Э. (2013). Основы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света . Эльзевир.
8. Соммерфилд, А.; Дж., Рунге. «Применение векторного исчисления к основам геометрической оптики» (PDF) . Неоклассическая физика . Перевод Д. Х. Дельфениха . Проверено 3 ноября 2023 г.
9. Боровиц, С. (1967). Основы квантовой механики, частиц, волн и волновой механики.
10. Люнебург, Р.К., Математическая теория оптики , издательство Брауновского университета, 1944 г. [мимеографированные заметки], издательство Калифорнийского университета, 1964 г.
11. Клайн, М., Кей, И.В., Электромагнитная теория и геометрическая оптика , Interscience Publishers, 1965.
12. Ландау, Л.Д., и Лифшиц, Э.М. (1975). Классическая теория полей.

дальнейшее чтение

• Роберт Альфред Герман (1900) Трактат по геометрической оптике с сайта Archive.org .
• «Свет очей и просвещенный пейзаж видения» — рукопись на арабском языке о геометрической оптике, датируемая 16 веком.
• Теория систем лучей - В. Р. Гамильтон в трудах Королевской ирландской академии , Vol. XV, 1828 г.

Английские переводы некоторых ранних книг и статей

• Х. Брунс, «Эйконал»
• М. Малюс, «Оптика»
• Дж. Плукер, «Обсуждение общей формы световых волн»
• Э. Куммер, "Общая теория прямолинейных лучевых систем"
• Э. Куммер, доклад об оптически реализуемых прямолинейных лучевых системах
• Р. Мейбауэр, "Теория прямолинейных систем световых лучей"
• М. Паш, «О фокальных поверхностях лучевых систем и поверхностях особенностей комплексов»
• А. Левисталь, «Исследования по геометрической оптике»
• Ф. Кляйн, «Об эйконале Брунса»
• Р. Донто, "Об интегральных инвариантах и ​​некоторых моментах геометрической оптики"
• Т. де Дондер, «Об интегральных инвариантах оптики»

Внешние ссылки

• Лекция Фейнмана по геометрической оптике.