В математике ортогональная группа в размерности n , обозначаемая O( n ) , представляет собой группу сохраняющих расстояние преобразований евклидова пространства размерности n , которые сохраняют фиксированную точку, где групповая операция задается составными преобразованиями. Ортогональную группу иногда называют общей ортогональной группой по аналогии с общей линейной группой . Эквивалентно, это группа ортогональных матриц размера n × n , где групповая операция задается умножением матриц (ортогональная матрица — это действительная матрица , обратная матрица которой равна ее транспонированию ). Ортогональная группа — это алгебраическая группа и группа Ли . Он компактный .
Ортогональная группа размерности n имеет две связные компоненты . Та, которая содержит единичный элемент, является нормальной подгруппой , называемой специальной ортогональной группой и обозначаемой SO( n ) . Она состоит из всех ортогональных матриц определителя 1. Эту группу также называют группой вращений , обобщая тот факт, что в размерностях 2 и 3 ее элементами являются обычные вращения вокруг точки (в размерности 2) или прямой (в размерности 3). ). В низкой размерности эти группы были широко изучены, см. SO(2) , SO(3) и SO(4) . Другой компонент состоит из всех ортогональных матриц определителя −1 . Этот компонент не образует группу, так как произведение любых двух его элементов имеет определитель 1 и, следовательно, не является элементом компонента.
В более широком смысле, для любого поля F матрица размера n × n с элементами в F , такая, что ее обратная пропорция равна ее транспонированию, называется ортогональной матрицей над F . Ортогональные матрицы размера n × n образуют подгруппу, обозначаемую O( n , F ) общей линейной группы GL( n , F ) ; то есть
В более общем смысле, учитывая невырожденную симметричную билинейную форму или квадратичную форму [1] в векторном пространстве над полем , ортогональная группа формы - это группа обратимых линейных отображений , которые сохраняют форму. Предыдущие ортогональные группы представляют собой особый случай, когда на каком-то основании билинейная форма представляет собой скалярное произведение или, что то же самое, квадратичная форма представляет собой сумму квадратов координат.
Все ортогональные группы являются алгебраическими группами , поскольку условие сохранения формы можно выразить как равенство матриц.
Название «ортогональная группа» происходит от следующей характеристики ее элементов. Учитывая евклидово векторное пространство E размерности n , элементы ортогональной группы O( n ) являются, с точностью до равномерного масштабирования ( гомотетии ), линейными отображениями из E в E , которые отображают ортогональные векторы в ортогональные векторы.
Ортогональ O( n ) — это подгруппа полной линейной группы GL( n , R ) , состоящая из всех эндоморфизмов , сохраняющих евклидову норму ; то есть эндоморфизмы g такие, что
Пусть E( n ) — группа евклидовых изометрий евклидова пространства S размерности n . Эта группа не зависит от выбора того или иного пространства, так как все евклидовы пространства одной размерности изоморфны . Подгруппа стабилизатора точки x ∈ S — это подгруппа элементов g ∈ E( n ) таких, что g ( x ) = x . Этот стабилизатор является (или, точнее, изоморфен) O( n ) , поскольку выбор точки в качестве начала координат вызывает изоморфизм между евклидовым пространством и связанным с ним евклидовым векторным пространством.
Существует естественный групповой гомоморфизм p из E( n ) в O( n ) , который определяется формулой
где, как обычно, вычитание двух точек обозначает вектор перемещения , который отображает вторую точку в первую. Это четко определенный гомоморфизм, поскольку простая проверка показывает, что если две пары точек имеют одинаковую разность, то же самое верно и для их изображений по g (подробнее см. Аффинное пространство § Вычитание и аксиомы Вейля ).
Ядро p — это векторное пространство переводов . Итак, сдвиги образуют нормальную подгруппу в E( n ) , стабилизаторы двух точек сопряжены под действием сдвигов и все стабилизаторы изоморфны O( n ) .
Более того, евклидова группа является полупрямым произведением O ( n ) и группы сдвигов. Отсюда следует, что изучение евклидовой группы по существу сводится к изучению O( n ) .
Выбрав ортонормированный базис евклидова векторного пространства, ортогональную группу можно отождествить с группой (при умножении матриц) ортогональных матриц , которые являются матрицами такими, что
Из этого уравнения следует, что квадрат определителя Q равен 1 , и , следовательно, определитель Q равен либо 1 , либо −1 . Ортогональные матрицы с определителем 1 образуют подгруппу, называемую специальной ортогональной группой , обозначаемой SO( n ) , состоящую из всех прямых изометрий O ( n ) , которые сохраняют ориентацию пространства.
SO( n ) — нормальная подгруппа O( n ) как ядро определителя, который является гомоморфизмом группы, образом которого является мультипликативная группа {−1, +1} . Это означает, что ортогональная группа является внутренним полупрямым произведением SO ( n ) и любой подгруппы, образованной тождеством и отражением .
Группа с двумя элементами {± I } (где I — единичная матрица) является нормальной подгруппой и даже характеристической подгруппой O ( n ) , а, если n четно, также SO( n ) . Если n нечетно, O( n ) является внутренним прямым произведением SO ( n ) и {± I } .
Группа SO(2) абелева (это не относится к SO ( n ) для любого n > 2 ). Ее конечные подгруппы представляют собой циклическую группу Ck k - кратных вращений для каждого положительного целого числа k . Все эти группы являются нормальными подгруппами O(2) и SO(2) .
Для любого элемента из O( n ) существует ортогональный базис, где его матрица имеет вид
где матрицы R 1 , ..., R k представляют собой матрицы вращения 2х2, то есть матрицы вида
с a 2 + b 2 = 1 .
Это следует из спектральной теоремы путем перегруппировки собственных значений , которые являются комплексно-сопряженными , и учета того, что все абсолютные значения собственных значений ортогональной матрицы равны 1 .
Элемент принадлежит SO( n ) тогда и только тогда, когда на диагонали находится четное число −1 .
Особый случай n = 3 известен как теорема Эйлера о вращении , которая утверждает, что каждый (неединичный) элемент SO(3) представляет собой вращение вокруг уникальной пары ось-угол.
Отражения — это элементы O( n ) , каноническая форма которых равна
где I - единичная матрица ( n - 1) × ( n - 1) , а нули обозначают нулевые матрицы строк или столбцов. Другими словами, отражение — это преобразование, преобразующее пространство в его зеркальное отражение относительно гиперплоскости .
Во втором измерении каждое вращение является продуктом двух отражений . Точнее, поворот на угол θ — это произведение двух отражений, оси которых имеют угол θ /2 .
Каждый элемент O( n ) является продуктом не более n отражений. Это непосредственно следует из приведенной выше канонической формы и случая размерности два.
Теорема Картана–Дьедонне является обобщением этого результата на ортогональную группу невырожденной квадратичной формы над полем характеристики, отличной от двух.
Отражение через начало координат (карта v ↦ − v ) является примером элемента O( n ) , который не является продуктом менее чем n отражений.
Ортогональная группа O( n ) — это группа симметрии ( n − 1) -сферы (при n = 3 это просто сфера ) и всех объектов со сферической симметрией, если начало координат выбрано в центре.
Группа симметрии круга — O(2 ) . Подгруппа, сохраняющая ориентацию, SO(2) изоморфна (как вещественная группа Ли) группе кругов , также известной как U (1) , мультипликативной группе комплексных чисел с абсолютным значением, равным единице. Этот изоморфизм переводит комплексное число exp( φ i ) = cos( φ ) + i sin( φ ) абсолютного значения 1 в специальную ортогональную матрицу
В более высокой размерности O( n ) имеет более сложную структуру (в частности, он больше не является коммутативным). Топологические структуры n -сферы и O( n ) сильно коррелированы, и эта корреляция широко используется для изучения обоих топологических пространств .
Группы O( n ) и SO( n ) являются вещественными компактными группами Ли размерности n ( n − 1)/2 . Группа O( n ) имеет два связных компонента , причем SO( n ) является единичным компонентом , то есть связным компонентом, содержащим единичную матрицу .
Ортогональную группу O( n ) можно отождествить с группой матриц A таких, что AT A = I . Поскольку оба члена этого уравнения являются симметричными матрицами , это дает n ( n + 1)/2 уравнений, которым должны удовлетворять элементы ортогональной матрицы, и которым не все элементы любой неортогональной матрицы удовлетворяются.
Это доказывает, что O( n ) является алгебраическим множеством . Более того, можно доказать [ нужна ссылка ] , что его размерность равна
из чего следует, что O( n ) — полное пересечение . Это означает, что все его неприводимые компоненты имеют одинаковую размерность и что у него нет встроенных компонентов . Фактически, O( n ) имеет две неприводимые компоненты, которые различаются знаком определителя (то есть det( A ) = 1 или det( A ) = −1 ). Оба являются неособыми алгебраическими многообразиями одной и той же размерности n ( n - 1)/2 . Компонент с det( A ) = 1 — это SO( n ) .
Максимальный тор в компактной группе Ли G — это максимальная подгруппа среди тех, которые изоморфны T k для некоторого k , где T = SO(2) — стандартный одномерный тор. [2]
В O(2 n ) и SO(2 n ) для каждого максимального тора существует базис, на котором тор состоит из блочно-диагональных матриц вида
где каждый R j принадлежит SO(2) . В O(2 n + 1) и SO(2 n + 1) максимальные торы имеют одинаковую форму, окаймленные строкой и столбцом нулей, и 1 на диагонали.
Группа Вейля группы SO ( 2 n + 1) является полупрямым произведением нормальной элементарной абелевой 2-подгруппы и симметрической группы , где нетривиальный элемент каждого фактора {±1} группы {±1} n действует на соответствующем круге. множитель T × {1 } путем инверсии , а симметрическая группа S n действует как на {±1} n , так и на T × {1 } путем перестановки множителей. Элементы группы Вейля представлены матрицами размера O(2 n ) × {±1} . Коэффициент Sn представлен матрицами перестановок блоков с блоками 2х2 и конечной единицей по диагонали. Компонент {±1} n представлен блочно-диагональными матрицами с блоками 2х2 либо
с последним компонентом ±1 , выбранным для определения определителя 1 .
Группа Вейля группы SO(2 n ) — это подгруппа группы SO(2 n + 1) , где H n −1 < {±1} n — ядро гомоморфизма произведения {±1} n → {±1 } предоставлено ; т. е. H n −1 < {±1} n — подгруппа с четным числом знаков минус. Группа Вейля SO(2 n ) представлена в SO(2 n ) прообразами при стандартной инъекции SO(2 n ) → SO(2 n + 1) представителей группы Вейля SO(2 n + 1) . У этих матриц с нечетным количеством блоков не осталось последней координаты -1 , чтобы сделать их определители положительными, и, следовательно, они не могут быть представлены в SO(2 n ) .
Маломерные (действительные) ортогональные группы — это знакомые пространства :
С точки зрения алгебраической топологии , для n > 2 фундаментальная группа SO ( n , R ) является циклической порядка 2 , [4] , а спиновая группа Spin( n ) является ее универсальным покрытием . При n = 2 фундаментальная группа является бесконечной циклической , а универсальное накрытие соответствует вещественной прямой (группа Spin(2) — единственное связное 2-кратное накрытие ).
Обычно гомотопические группы π k ( O ) вещественной ортогональной группы связаны с гомотопическими группами сфер и, следовательно, их вообще трудно вычислить. Однако можно вычислить гомотопические группы стабильной ортогональной группы (также известной как бесконечная ортогональная группа), определяемой как прямой предел последовательности включений:
Поскольку все включения замкнуты, а значит, и корасслоения , это также можно интерпретировать как объединение. С другой стороны, Sn является однородным пространством для O( n + 1) и имеет следующее расслоение :
который можно понимать как «Ортогональная группа O( n + 1 ) действует транзитивно на единичной сфере Sn , а стабилизатор точки (мыслимый как единичный вектор ) является ортогональной группой перпендикулярного дополнения , которое представляет собой ортогональная группа на одно измерение ниже». Таким образом, естественное включение O( n ) → O( n + 1) является ( n − 1) -связным , поэтому гомотопические группы стабилизируются, и π k (O( n + 1)) = π k (O( n )) для n > k + 1 : таким образом, гомотопические группы стабильного пространства равны нижним гомотопическим группам неустойчивых пространств.
Из периодичности Ботта получаем Ω 8 O ≅ O , поэтому гомотопические группы O являются 8-кратно периодическими, что означает π k + 8 ( O ) = π k ( O ) , и нужно только перечислить 8 нижних гомотопических групп:
С помощью конструкции сцепления гомотопические группы стабильного пространства O отождествляются со стабильными векторными расслоениями на сферах ( с точностью до изоморфизма ) со сдвигом размерности на 1: π k ( O ) = π k + 1 ( BO ) . Полагая KO = BO × Z = Ω −1 O × Z (чтобы π 0 укладывалось в периодичность), получаем:
Первые несколько гомотопических групп можно вычислить, используя конкретные описания маломерных групп.
Из общих фактов о группах Ли следует , что π 2 ( G ) всегда равна нулю, а π 3 ( G ) свободна ( свободная абелева ).
π 0 ( K O) — векторное расслоение над S 0 , состоящее из двух точек. Таким образом, над каждой точкой расслоение тривиально, а нетривиальность расслоения — это разница между размерностями векторных пространств над двумя точками, поэтому π 0 ( K O) = Z — размерность .
Используя конкретные описания пространств петель в периодичности Ботта , можно интерпретировать высшие гомотопии O в терминах более простых для анализа гомотопий более низкого порядка. Используя π 0 , O и O /U имеют две компоненты, K O = B O × Z и K Sp = B Sp × Z имеют счетное число компонент, а остальные связны.
В двух словах: [5]
Пусть R — любая из четырех тел алгебр R , C , H , O , и пусть LR — тавтологическое линейное расслоение над проективной прямой RP 1 , а [ LR ] — его класс в K - теории. Учитывая, что R P 1 = S 1 , C P 1 = S 2 , H P 1 = S 4 , O P 1 = S 8 , они дают векторные расслоения над соответствующими сферами, и
С точки зрения симплектической геометрии π 0 ( K O) ≅ π 8 ( K O) = Z можно интерпретировать как индекс Маслова , думая о нем как о фундаментальной группе π 1 (U/O) стабильного лагранжиана . Грассманиан как U/O ≅ Ω 7 ( K O) , поэтому π 1 (U/O) = π 1+7 ( K O) .
Ортогональная группа закрепляет башню Уайтхеда :
которое получается последовательным удалением (убийством) гомотопических групп возрастающего порядка. Это делается путем построения коротких точных последовательностей , начинающихся с пространства Эйленберга – Маклейна для удаляемой гомотопической группы. Первые несколько записей в башне — это спиновая группа и струнная группа , им предшествует группа пятибран . Гомотопические группы, которые уничтожаются, в свою очередь: π 0 ( O ) для получения SO из O , π 1 ( O ) для получения Spin из SO , π 3 ( O ) для получения String из Spin , а затем π 7 ( O ) и и так далее, чтобы получить браны более высокого порядка .
Над действительными числами невырожденные квадратичные формы классифицируются законом инерции Сильвестра , который утверждает, что в векторном пространстве размерности n такая форма может быть записана как разность суммы p квадратов и суммы q квадратов: с p + q = n . Другими словами, существует основа, на которой матрица квадратичной формы представляет собой диагональную матрицу с p элементами, равными 1 , и q элементами, равными −1 . Пара ( p , q ) , называемая инерцией , является инвариантом квадратичной формы в том смысле, что она не зависит от способа вычисления диагональной матрицы.
Ортогональная группа квадратичной формы зависит только от инерции и поэтому обычно обозначается O( p , q ) . Более того, поскольку квадратичная форма и ее противоположность имеют одну и ту же ортогональную группу, то O( p , q ) = O( q , p ) .
Стандартная ортогональная группа — это O( n ) = O( n , 0) = O(0, n ) . Итак, в оставшейся части этого раздела предполагается, что ни p , ни q не равны нулю.
Подгруппа матриц определителя 1 в O( p , q ) обозначается SO( p , q ) . Группа O( p , q ) имеет четыре компонента связности, в зависимости от того, сохраняет ли элемент ориентацию в любом из двух максимальных подпространств, где квадратичная форма является положительно определенной или отрицательно определенной. Компонент тождества, элементы которого сохраняют ориентацию в обоих подпространствах, обозначается SO + ( p , q ) .
Группа O(3, 1) — это группа Лоренца , которая является фундаментальной в теории относительности . Здесь 3 соответствует пространственным координатам, а 1 соответствует временной координате.
Над полем C комплексных чисел каждая невырожденная квадратичная форма от n переменных эквивалентна x 1 2 + ... + x n 2 . Таким образом, с точностью до изоморфизма существует только одно невырожденное комплексное квадратичное пространство размерности n и одна связанная с ним ортогональная группа, обычно обозначаемая O( n , C ) . Это группа комплексных ортогональных матриц , комплексных матриц, произведение которых с их транспонированием является единичной матрицей.
Как и в реальном случае, O( n , C ) имеет две компоненты связности. Компонент идентичности состоит из всех матриц определителя 1 из O( n , C ) ; он обозначается SO( n , C ) .
Группы O( n , C ) и SO( n , C ) являются комплексными группами Ли размерности n ( n - 1)/2 над C (размерность над R вдвое больше). При n ≥ 2 эти группы некомпактны. Как и в реальном случае, SO( n , C ) не является односвязным: для n > 2 фундаментальная группа SO ( n , C ) является циклической порядка 2 , тогда как фундаментальная группа SO(2, C ) является З. _
Над полем характеристики, отличной от двух, две квадратичные формы эквивалентны , если их матрицы конгруэнтны , то есть если изменение базиса преобразует матрицу первой формы в матрицу второй формы. Две эквивалентные квадратичные формы, очевидно, имеют одну и ту же ортогональную группу.
Невырожденные квадратичные формы над конечным полем характеристики, отличной от двух, полностью классифицируются на классы конгруэнтности, и из этой классификации следует, что существует только одна ортогональная группа в нечетном измерении и две в четном измерении.
Точнее, теорема о разложении Витта утверждает, что (в характеристике, отличной от двух) каждое векторное пространство, снабженное невырожденной квадратичной формой Q , можно разложить в прямую сумму попарно ортогональных подпространств.
где каждый L i является гиперболической плоскостью ( то есть существует базис такой, что матрица ограничения Q на L i имеет вид ), а ограничение Q на W анизотропно (то есть Q ( w ) ≠ 0 для каждого ненулевого w в W ).
Теорема Шевалле -Уорнинга утверждает, что над конечным полем размерность W не превышает двух.
Если размерность V нечетна, размерность W, таким образом, равна единице, и ее матрица конгруэнтна либо , либо , где 𝜑 — неквадратный скаляр. В результате существует только одна ортогональная группа, которая обозначается O(2 n + 1, q ) , где q — количество элементов конечного поля (степень нечетного простого числа). [6]
Если размерность W равна двум и −1 не является квадратом в основном поле (то есть, если число ее элементов q конгруэнтно 3 по модулю 4), матрица ограничения Q на W конгруэнтна либо I или – I , где I – единичная матрица 2×2. Если размерность W равна двум и -1 является квадратом в основном поле (то есть, если q конгруэнтно 1 по модулю 4), матрица ограничения Q на W конгруэнтна φ - это любой неквадратный скаляр .
Это означает, что если размерность V четна, существует только две ортогональные группы, в зависимости от того, равна ли размерность W нулю или двум. Они обозначаются соответственно O + (2 n , q ) и O − ( 2 n , q ) . [6]
Ортогональная группа O ε (2, q ) является группой диэдра порядка 2( q − ε ) , где ε = ± .
Для изучения ортогональной группы O ε (2, q ) можно предположить, что матрица квадратичной формы возникает потому, что для данной квадратичной формы существует базис, в котором ее матрица диагонализуема. Матрица принадлежит ортогональной группе, если AQA T = Q , то есть a 2 – ωb 2 = 1 , ac – ωbd = 0 и c 2 – ωd 2 = – ω . Поскольку a и b не могут быть одновременно равными нулю (из-за первого уравнения), второе уравнение подразумевает существование ε в F q , такого что c = εωb и d = εa . Сообщая эти значения в третьем уравнении и используя первое уравнение, получаем, что ε 2 = 1 , и, таким образом, ортогональная группа состоит из матриц
где a2 – ωb2 = 1 и ε = ± 1 . Более того, определитель матрицы равен ε .
Для дальнейшего изучения ортогональной группы удобно ввести квадратный корень α из ω . Этот квадратный корень принадлежит F q , если ортогональная группа равна O + (2, q ) , и F q 2 в противном случае. Полагая x = a + αb и y = a – αb , имеем
Если и - две матрицы определителя один в ортогональной группе, то
Это ортогональная матрица с a = a 1 a 2 + ωb 1 b 2 и b = a 1 b 2 + b 1 a 2 . Таким образом
Отсюда следует, что отображение ( a , b ) ↦ a + αb является гомоморфизмом группы ортогональных матриц определителя один в мультипликативную группу F q 2 .
В случае O + (2 n , q ) образ — это мультипликативная группа F q , которая является циклической группой порядка q .
В случае O – (2 n , q ) указанные выше x и y сопряжены и, следовательно , являются образом друг друга согласно автоморфизму Фробениуса . Это означало, что x q +1 = 1 . Для каждого такого x можно восстановить соответствующую ортогональную матрицу. Отсюда следует, что отображение является групповым изоморфизмом ортогональных матриц определителя 1 группе ( q + 1) -корней из единицы . Эта группа представляет собой циклическую группу порядка q + 1 , состоящую из степеней g q −1 , где g — примитивный элемент F q 2 ,
Для завершения доказательства достаточно проверить, что группа всех ортогональных матриц не абелева и является полупрямым произведением группы {1, −1} и группы ортогональных матриц определителя один.
Сравнение этого доказательства с реальным случаем может оказаться проясняющим.
Здесь задействованы два групповых изоморфизма:
где g — примитивный элемент F q 2 , а T — мультипликативная группа элемента нормы один в F q 2 ;
с и
В реальном случае соответствующие изоморфизмы таковы:
где C — круг комплексных чисел нормы один;
с и
Если характеристика не равна двум, порядок ортогональных групп равен [7]
Во второй характеристике формулы те же, за исключением того, что множитель 2 | О(2 n + 1, q ) | необходимо удалить.
Для ортогональных групп инвариант Диксона представляет собой гомоморфизм ортогональной группы в факторгруппу Z /2 Z (целые числа по модулю 2), принимающий значение 0 в случае, если элемент является произведением четного числа отражений, и значение 1 иначе. [8]
Алгебраически инвариант Диксона можно определить как D ( f ) = ранг ( I − f ) по модулю 2 , где I — тождество (Тейлор 1992, теорема 11.43). Над полями, не имеющими характеристики 2, он эквивалентен определителю: определитель равен -1 в степени инварианта Диксона. В полях характеристики 2 определитель всегда равен 1, поэтому инвариант Диксона дает больше информации, чем определитель.
Специальная ортогональная группа является ядром инварианта Диксона [8] и обычно имеет индекс 2 в O( n , F ) . [9] Если характеристика F не равна 2, инвариант Диксона равен 0 , если определитель равен 1 . Таким образом, когда характеристика не равна 2, SO( n , F ) обычно определяется как элементы O( n , F ) с определителем 1 . Каждый элемент в O( n , F ) имеет определитель ±1 . Таким образом, в характеристике 2 определитель всегда равен 1 .
Инвариант Диксона также можно определить для групп Клиффорда и групп штифтов аналогичным образом (во всех измерениях).
Над полями характеристики 2 ортогональные группы часто демонстрируют особое поведение, некоторые из которых перечислены в этом разделе. (Раньше эти группы были известны как гипоабелевы группы , но этот термин больше не используется.)
Спинорная норма — это гомоморфизм ортогональной группы над полем F в факторгруппу F × / ( F × ) 2 ( мультипликативную группу поля F с точностью до умножения на квадратные элементы), принимающий отражение в векторе нормы n к образу n в F × / ( F × ) 2 . [11]
Для обычной ортогональной группы над вещественными числами она тривиальна, но часто нетривиальна над другими полями, или для ортогональной группы квадратичной формы над вещественными числами, которая не является положительно определенной.
В теории когомологий Галуа алгебраических групп вводятся некоторые дополнительные точки зрения. Они имеют объяснительное значение, в частности по отношению к теории квадратичных форм; но по большей части они были постфактум , поскольку речь идет об открытии этого явления. Первый момент заключается в том, что квадратичные формы над полем можно идентифицировать как Галуа H 1 или скрученные формы ( торсоры ) ортогональной группы. Как алгебраическая группа, ортогональная группа, как правило, не является ни связной, ни односвязной; последний пункт приводит к спиновым явлениям, а первый связан с определителем .
«Спиновое» название спинорной нормы можно объяснить связью со спиновой группой (точнее, контактной группой ). Теперь это можно быстро объяснить с помощью когомологий Галуа (которые, однако, появились после введения этого термина за счет более прямого использования алгебр Клиффорда ). Спиновое накрытие ортогональной группы дает короткую точную последовательность алгебраических групп .
Здесь µ 2 — алгебраическая группа квадратных корней из 1 ; над полем характеристики, отличной от 2, это примерно то же самое, что двухэлементная группа с тривиальным действием Галуа. Связующий гомоморфизм из H 0 (O V ) , который представляет собой просто группу O V ( F ) F -значных точек , в H 1 ( µ 2 ) по существу является спинорной нормой, поскольку H 1 ( µ 2 ) изоморфен мультипликативная группа полей по модулю квадратов.
Существует также связующий гомоморфизм H 1 ортогональной группы с H 2 ядра спинового накрытия. Когомологии неабелевы, так что это все, что мы можем сделать, по крайней мере, с обычными определениями.
Алгебра Ли, соответствующая группам Ли O( n , F ) и SO( n , F ), состоит из кососимметричных матриц размера n × n со скобкой Ли [, ] , заданной коммутатором . Обеим группам соответствует одна алгебра Ли. Ее часто обозначают или и называют ортогональной алгеброй Ли или специальной ортогональной алгеброй Ли . Над действительными числами эти алгебры Ли для разных n являются компактными действительными формами двух из четырех семейств полупростых алгебр Ли : в нечетной размерности Bk , где n = 2k + 1 , и в четной размерности D r , где n = 2 р .
Поскольку группа SO( n ) неодносвязна, теория представлений ортогональных алгебр Ли включает как представления, соответствующие обычным представлениям ортогональных групп, так и представления, соответствующие проективным представлениям ортогональных групп. (Проективные представления SO( n ) — это просто линейные представления универсального покрытия, спиновой группы Spin( n ).) Последние представляют собой так называемые спиновые представления , которые важны в физике.
В более общем смысле, для векторного пространства V (над полем с характеристикой, не равной 2) с невырожденной симметричной билинейной формой (⋅, ⋅) специальная ортогональная алгебра Ли состоит из бесследовых эндоморфизмов, которые кососимметричны для этой формы ( ) . Вместо этого над полем характеристики 2 рассмотрим знакопеременные эндоморфизмы. Конкретно мы можем приравнять их к знакопеременным тензорам Λ 2 V . Переписку ведут:
Это описание в равной степени применимо и к неопределенным специальным ортогональным алгебрам Ли для симметричных билинейных форм с сигнатурой ( p , q ) .
В отношении действительных чисел эта характеристика используется для интерпретации ротора векторного поля (естественно, 2-вектора) как бесконечно малого вращения или «завитка», отсюда и название.
Ортогональные группы и специальные ортогональные группы имеют ряд важных подгрупп, супергрупп, факторгрупп и накрывающих групп. Они перечислены ниже.
Включения O( n ) ⊂ U( n ) ⊂ USp(2 n ) и USp( n ) ⊂ U( n ) ⊂ O(2 n ) являются частью последовательности из 8 включений, используемых в геометрическом доказательстве периодичности Ботта. теорема , а соответствующие фактор-пространства являются симметричными пространствами , представляющими независимый интерес – например, U( n )/O( n ) является лагранжианом Грассманианом .
В физике, особенно в области компактификации Калуцы – Клейна , важно выяснить подгруппы ортогональной группы. Основные из них:
Ортогональная группа O( n ) также является важной подгруппой различных групп Ли:
Будучи изометриями , реальные ортогональные преобразования сохраняют углы и, таким образом, являются конформными отображениями , хотя не все конформные линейные преобразования ортогональны. Говоря классическими терминами, это разница между конгруэнтностью и подобием , примером которой является конгруэнтность треугольников SSS (сторона-сторона-сторона) и подобие треугольников AAA (угол-угол-угол) . Группа конформных линейных отображений Rn обозначается CO( n ) для конформной ортогональной группы и состоит из произведения ортогональной группы на группу расширений . Если n нечетно, эти две подгруппы не пересекаются и представляют собой прямое произведение : CO(2 k + 1) = O(2 k + 1) × R ∗ , где R ∗ = R ∖{0 } — вещественное число. мультипликативная группа , при этом если n четно, эти подгруппы пересекаются в ±1 , так что это не прямое произведение, а прямое произведение с подгруппой расширения на положительный скаляр: CO(2 k ) = O(2 k ) × р + .
Аналогично можно определить CSO( n ) ; это всегда: CSO( n ) = CO( n ) ∩ GL + ( n ) = SO( n ) × R + .
Поскольку ортогональная группа компактна, дискретные подгруппы эквивалентны конечным подгруппам. [примечание 1] Эти подгруппы известны как точечные группы и могут быть реализованы как группы симметрии многогранников . Очень важный класс примеров — конечные группы Кокстера , включающие группы симметрии правильных многогранников .
Особенно изучена размерность 3 — см. точечные группы в трёх измерениях , группы многогранников и список сферических групп симметрии . В двумерном пространстве конечные группы либо циклические, либо диэдральные – см. точечные группы в двух измерениях .
Другие конечные подгруппы включают:
Ортогональная группа не является ни односвязной , ни бесцентровой и, следовательно, имеет как накрывающую , так и факторгруппу соответственно:
Это все обложки 2 к 1.
Для специальной ортогональной группы соответствующими группами являются:
Спин представляет собой покрытие 2 к 1, в то время как в четном измерении PSO(2 k ) является покрытием 2 к 1, а в нечетном измерении PSO (2 k + 1) является покрытием 1 к 1; т. е. изоморфен SO(2 k + 1) . Эти группы Spin( n ) , SO( n ) и PSO( n ) являются формами группы Ли компактной специальной ортогональной алгебры Ли , – Spin – это односвязная форма, тогда как PSO – это бесцентровая форма, а SO – это вообще ни один. [заметка 3]
В размерности 3 и выше это покрытия и факторы, а в размерности 2 и ниже они несколько вырождены; подробности смотрите в конкретных статьях.
Главным однородным пространством для ортогональной группы O( n ) является многообразие Штифеля Vn ( Rn ) ортонормированных базисов (ортонормальных n -шкал ) .
Другими словами, пространство ортонормированных базисов похоже на ортогональную группу, но без выбора базовой точки: для данного ортогонального пространства не существует естественного выбора ортонормированного базиса, но как только он дан, появляется однозначный -одно соответствие между базисами и ортогональной группой. Конкретно, линейное отображение определяется тем, куда оно отправляет базис: точно так же, как обратимое отображение может перевести любой базис в любой другой базис, ортогональное отображение может перевести любой ортогональный базис в любой другой ортогональный базис.
Остальные многообразия Штифеля V k ( R n ) при k < n неполных ортонормированных базисов (ортонормальных k -шкалов) по-прежнему являются однородными пространствами для ортогональной группы, но не главными однородными пространствами: любой k -фрейм можно перевести в любой другой k -кадр ортогональным отображением, но это отображение не определено однозначно.