Однородное пространство

Топологическое пространство в теории групп

Тор . Стандартный тор однороден относительно своих групп диффеоморфизмов и гомеоморфизмов , а плоский тор однороден относительно своих групп диффеоморфизмов, гомеоморфизмов и изометрий .

В математике однородное пространство , очень неформально, это пространство, которое выглядит одинаково везде, когда вы двигаетесь по нему, причем движение задается действием группы . Однородные пространства встречаются в теориях групп Ли , алгебраических групп и топологических групп . Точнее, однородное пространство для группы G — это непустое многообразие или топологическое пространство X , на котором G действует транзитивно . Элементы G называются симметриями X. Частным случаем этого является случай, когда рассматриваемая группа G является группой автоморфизмов пространства X — здесь «группа автоморфизмов» может означать группу изометрий , группу диффеоморфизмов или группу гомеоморфизмов . В этом случае X является однородным, если интуитивно X выглядит локально одинаково в каждой точке, либо в смысле изометрии (жесткая геометрия), диффеоморфизма ( дифференциальная геометрия ) или гомеоморфизма ( топология ). Некоторые авторы настаивают на том, что действие G должно быть точным (нетождественные элементы действуют нетривиально), хотя в настоящей статье этого нет. Таким образом, существует групповое действие G на X , которое можно рассматривать как сохраняющее некоторую «геометрическую структуру» на X и превращающее X в одну G -орбиту .

Формальное определение

Пусть X — непустое множество, а G — группа. Тогда X называется G -пространством, если оно снабжено действием G на X. ^[1] Обратите внимание, что автоматически G действует автоморфизмами (биекциями) на множестве. Если X вдобавок принадлежит некоторой категории , то предполагается, что элементы G действуют как автоморфизмы в той же категории. То есть отображения на X , происходящие от элементов G, сохраняют структуру, связанную с категорией (например, если X — объект в Diff , то требуется, чтобы действие осуществлялось диффеоморфизмами ). Однородное пространство — это G -пространство, на котором G действует транзитивно.

Если X — объект категории C , то структура G -пространства является гомоморфизмом :

${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} _{\mathbf {C} }(X)}$

в группу автоморфизмов объекта X в категории C. Пара ( X , ρ ) определяет однородное пространство при условии, что ρ ( G ) является транзитивной группой симметрий базового множества  X.

Примеры

Например, если X — топологическое пространство , то предполагается, что элементы группы действуют как гомеоморфизмы на X. Структура G - пространства — это групповой гомоморфизм ρ  :  G  → Homeo( X ) в группу гомеоморфизмов X  .

Аналогично, если X — дифференцируемое многообразие , то элементы группы являются диффеоморфизмами . Структура G -пространства — это групповой гомоморфизм ρ  : G → Diffeo( X ) в группу диффеоморфизмов  X .

Римановы симметричные пространства являются важным классом однородных пространств и включают в себя многие из перечисленных ниже примеров.

Конкретные примеры включают в себя:

Группы изометрии

• Положительная кривизна:
  1. Сфера ( ортогональная группа ): S ^{n −1} ≅ O( n ) / O( n −1) . Это верно из-за следующих наблюдений: Во-первых, S ^{n −1} — это множество векторов в R ⁿ с нормой 1. Если мы рассмотрим один из этих векторов как базовый вектор, то любой другой вектор может быть построен с помощью ортогонального преобразования. Если мы рассмотрим промежуток этого вектора как одномерное подпространство R ⁿ , то дополнение будет ( n − 1) -мерным векторным пространством, которое инвариантно относительно ортогонального преобразования из O( n − 1) . Это показывает нам, почему мы можем построить S ^{n −1} как однородное пространство.
  2. Ориентированная сфера ( специальная ортогональная группа ): S ^{n −1} ≅ SO( n ) / SO( n − 1)
  3. Проективное пространство ( проективная ортогональная группа ): P ^{n −1} ≅ PO( n ) / PO( n − 1)
• Плоский (нулевая кривизна):
  1. Евклидово пространство ( евклидова группа , стабилизатор точки — ортогональная группа): E ⁿ ≅ E( n ) / O( n )
• Отрицательная кривизна:
  1. Гиперболическое пространство ( ортохронная группа Лоренца , ортогональная группа стабилизатора точки, соответствующая модели гиперболоида ): H ⁿ ≅ O ⁺ (1, n ) / O( n )
  2. Ориентированное гиперболическое пространство: SO ⁺ (1, n ) / SO( n )
  3. Пространство Антиде Ситтера : AdS _{n +1} = O(2, n ) / O(1, n )

Другие

• Аффинное пространство над полем K (для аффинной группы , стабилизатора точки общей линейной группы ): A ⁿ = Aff( n , K ) / GL( n , K ) .
• Грассманиан : Gr( r , n ) = O( n ) / ( O ( r ) × O ( n - r ))
• Топологические векторные пространства (в смысле топологии)
• Существуют и другие интересные однородные пространства, в частности, имеющие отношение к физике: к ним относятся пространство Минковского M ⁿ ≅ ISO( n-1,1 ) / SO( n,1 ) или галилеевы и кэрролловы пространства. ^[2]

Геометрия

С точки зрения программы Эрлангена можно понять, что «все точки одинаковы» в геометрии X. Это было верно по существу для всех геометрий, предложенных до римановой геометрии , в середине девятнадцатого века.

Так, например, евклидово пространство , аффинное пространство и проективное пространство являются естественным образом однородными пространствами для их соответствующих групп симметрии . То же самое относится к моделям, найденным в неевклидовой геометрии постоянной кривизны , таким как гиперболическое пространство .

Еще одним классическим примером является пространство прямых в проективном пространстве трех измерений (эквивалентно, пространство двумерных подпространств четырехмерного векторного пространства ). Простая линейная алгебра показывает, что GL ₄ действует транзитивно на них. Мы можем параметризовать их координатами прямой : это миноры 2×2 матрицы 4×2 со столбцами два базисных вектора для подпространства. Геометрия полученного однородного пространства является геометрией прямой Юлиуса Плюккера .

Однородные пространства как смежные пространства

В общем случае, если X — однородное пространство G , а H _o — стабилизатор некоторой отмеченной точки o в X (выбор начала координат ), то точки X соответствуют левым смежным классам G / H _o , а отмеченная точка o соответствует смежному классу единицы. Наоборот, если задано смежное пространство G / H , то это однородное пространство для G с выделенной точкой, а именно смежным классом единицы. Таким образом, однородное пространство можно рассматривать как смежное пространство без выбора начала координат.

Например, если H — это единичная подгруппа { e }, то X — это G -торсор , что объясняет, почему G -торсоры часто интуитивно описываются как « G с забытой идентичностью».

В общем случае другой выбор начала o приведет к фактору  G по другой подгруппе H _o′ , которая связана с H o _{внутренним} автоморфизмом G.  В частности,

где g — любой элемент G , для которого go = o ′ . Обратите внимание, что внутренний автоморфизм (1) не зависит от того, какой такой g выбран; он зависит только от g по модулю  H _o .

Если действие G на X непрерывно и X хаусдорфово , то H является замкнутой подгруппой G. В частности, если G является группой Ли , то H является подгруппой Ли по теореме Картана . Следовательно, G / H является гладким многообразием , и поэтому X несет единственную гладкую структуру , совместимую с действием группы.

Можно пойти дальше и рассмотреть двойные пространства смежных классов , в частности формы Клиффорда–Клейна Γ\ G / H , где Γ — дискретная подгруппа (группы G ), действующая собственно разрывно .

Пример

Например, в случае линейной геометрии мы можем идентифицировать H как 12-мерную подгруппу 16-мерной общей линейной группы GL(4), определяемую условиями на элементы матрицы

ч ₁₃ = ч ₁₄ = ч ₂₃ = ч ₂₄ = 0,

путем поиска стабилизатора подпространства, охватываемого первыми двумя стандартными базисными векторами. Это показывает, что X имеет размерность 4.

Поскольку однородных координат, заданных минорами, 6, это означает, что последние не являются независимыми друг от друга. Фактически, между шестью минорами выполняется одно квадратичное соотношение, как было известно геометрам девятнадцатого века.

Этот пример был первым известным примером грассманиана , отличного от проективного пространства. Существует много других однородных пространств классических линейных групп, которые широко используются в математике.

Предоднородные векторные пространства

Идея предоднородного векторного пространства была введена Микио Сато .

Это конечномерное векторное пространство V с групповым действием алгебраической группы G , таким, что существует орбита G , открытая для топологии Зарисского (и, следовательно, плотная). Примером является GL(1), действующая на одномерном пространстве.

Определение более ограничительно, чем может показаться на первый взгляд: такие пространства обладают замечательными свойствами, и существует классификация неприводимых предоднородных векторных пространств с точностью до преобразования, известного как «рокировка».

Однородные пространства в физике

Учитывая группу Пуанкаре G и ее подгруппу , группу Лоренца H , пространство смежных классов G / H является пространством Минковского . ^[3] Вместе с пространством де Ситтера и пространством Анти-де Ситтера они являются максимально симметричными лоренцевыми пространствами. Существуют также однородные пространства, имеющие отношение к физике, которые не являются лоренцевыми, например, галилеевское, кэрролловское или аристотелевское пространства-времена. ^[2]

Физическая космология, использующая общую теорию относительности , использует систему классификации Бьянки . Однородные пространства в теории относительности представляют собой пространственную часть фоновых метрик для некоторых космологических моделей ; например, три случая метрики Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера могут быть представлены подмножествами типов Бьянки I (плоский), V (открытый), VII (плоский или открытый) и IX (закрытый), в то время как вселенная Миксмастера представляет собой анизотропный пример космологии Бьянки IX. ^[4]

Однородное пространство размерности N допускает множество ⁠1/2⁠ N ( N + 1) векторов Киллинга . ^[5] Для трех измерений это дает в общей сложности шесть линейно независимых векторных полей Киллинга; однородные 3-пространства обладают тем свойством, что можно использовать их линейные комбинации, чтобы найти три всюду неисчезающих векторных поля Киллинга ξ^{( а )}
_я,

${\displaystyle \xi _{[i;k]}^{(a)}=C_{\ bc}^{a}\xi _{i}^{(b)}\xi _{k}^{(c)},}$

где объект C ^a _bc , «структурные константы», образуют постоянный тензор третьего порядка, антисимметричный по двум нижним индексам (с левой стороны скобки обозначают антисимметризацию, а «;» представляет ковариантный дифференциальный оператор ). В случае плоской изотропной вселенной одной из возможностей является C ^a _bc = 0 (тип I), но в случае замкнутой вселенной FLRW C ^a _bc = ε ^a _bc , где ε ^a _bc — символ Леви-Чивиты .

Смотрите также

• Программа Эрланген
• геометрия Клейна
• Куча (математика)
• Однородное разнообразие

Примечания

1. Мы предполагаем, что действие происходит слева . Различие важно только при описании X как смежного пространства.
2. Фигероа-О'Фаррилл, Хосе; Прохазка, Стефан (2019-01-31). "Пространственно изотропные однородные пространства-времена". Журнал физики высоких энергий . 2019 (1): 229. arXiv : 1809.01224 . doi : 10.1007/JHEP01(2019)229. ISSN  1029-8479.
3. Роберт Герман (1966) Группы Ли для физиков , стр. 4, WA Benjamin
4. Лев Ландау и Евгений Лифшиц (1980), Курс теоретической физики т. 2: Классическая теория полей , Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-7506-2768-9
5. Стивен Вайнберг (1972), Гравитация и космология , John Wiley and Sons

Ссылки

• Джон Милнор и Джеймс Д. Сташефф (1974) Характерные классы , Princeton University Press ISBN 0-691-08122-0 
• Такаши Кода Введение в геометрию однородных пространств от Национального университета Кёнбук
• Менелаос Зикидис Однородные пространства от Гейдельбергского университета
• Сёсичи Кобаяси , Кацуми Номидзу (1969) Основы дифференциальной геометрии , том 2, глава X, (Библиотека Wiley Classics)