Обозначение Эйнштейна

Сокращенная запись для тензорных операций

В математике , особенно в использовании линейной алгебры в математической физике и дифференциальной геометрии , обозначение Эйнштейна (также известное как соглашение о суммировании Эйнштейна или обозначение суммирования Эйнштейна ) — это соглашение об обозначениях, которое подразумевает суммирование по набору индексированных членов в формуле, что обеспечивает краткость. Как часть математики это подмножество обозначений исчисления Риччи ; однако оно часто используется в физических приложениях, которые не различают касательные и котасательные пространства . Оно было введено в физику Альбертом Эйнштейном в 1916 году. ^[1]

Введение

Заявление о конвенции

Согласно этому соглашению, когда индексная переменная появляется дважды в одном термине и не определена иным образом (см. Свободные и связанные переменные ), это подразумевает суммирование этого термина по всем значениям индекса. Таким образом, если индексы могут располагаться в диапазоне { 1, 2, 3} , соглашение упрощает это до: $${\displaystyle y=\sum _{i=1}^{3}x^{i}e_{i}=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+x^{3}e_{3}}$$ $${\displaystyle y=x^{i}e_{i}}$$

Верхние индексы не являются показателями степени , а являются индексами координат, коэффициентов или базисных векторов . То есть в этом контексте x ² следует понимать как второй компонент x, а не квадрат x (это может иногда приводить к неоднозначности). Верхняя позиция индекса в x ⁱ обусловлена ​​тем, что, как правило, индекс встречается один раз в верхней (надстрочной) и один раз в нижней (подстрочной) позиции в члене (см. § Применение ниже). Обычно ( x ¹ x ² x ³ ) будет эквивалентно традиционному ( x y z ) .

В общей теории относительности общепринятым является то, что

• Для пространственных и временных компонентов используется греческий алфавит, где индексы принимают значения 0, 1, 2 или 3 (часто используемые буквы — μ , ν , ... ) ,
• латинский алфавит используется только для пространственных компонентов, где индексы принимают значения 1, 2 или 3 (часто используемые буквы i , j , ... ),

В общем случае индексы могут располагаться в любом наборе индексации , включая бесконечный набор . Это не следует путать с типографски схожим соглашением, используемым для различения нотации тензорного индекса и тесно связанной, но отличной от базиса независимой абстрактной нотации индекса .

Индекс, по которому производится суммирование, является индексом суммирования , в данном случае « i  ». Его также называют фиктивным индексом , поскольку любой символ может заменить « i  », не меняя смысла выражения (при условии, что он не конфликтует с другими символами индекса в том же термине).

Индекс, по которому не суммируется, является свободным индексом и должен появляться только один раз на член. Если такой индекс появляется, он обычно также появляется в каждом другом члене уравнения. Примером свободного индекса является « i  » в уравнении , что эквивалентно уравнению . ${\displaystyle v_{i}=a_{i}b_{j}x^{j}}$ ${\textstyle v_{i}=\sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$

Приложение

Обозначение Эйнштейна может применяться несколько по-разному. Обычно каждый индекс встречается один раз в верхней (надстрочный индекс) и один раз в нижней (подстрочный индекс) позиции в термине; однако соглашение может применяться в более общем смысле к любым повторяющимся индексам в пределах термина. ^[2] При работе с ковариантными и контравариантными векторами, где позиция индекса указывает на тип вектора, обычно применяется первый случай; ковариантный вектор может быть свернут только с контравариантным вектором, что соответствует суммированию произведений коэффициентов. С другой стороны, когда есть фиксированный базис координат (или когда не рассматриваются векторы координат), можно использовать только подстрочные индексы; см. § Верхние и нижние индексы против только нижних индексов ниже.

Векторные представления

Верхние и нижние индексы по сравнению с использованием только нижних индексов

С точки зрения ковариантности и контравариантности векторов ,

• верхние индексы представляют компоненты контравариантных векторов ( векторов ),
• нижние индексы представляют компоненты ковариантных векторов ( ковекторов ).

Они преобразуются контравариантно или ковариантно, соответственно, относительно смены базиса .

В знак признания этого факта в следующей записи используется один и тот же символ как для вектора или ковектора, так и для его компонентов , например: $${\displaystyle {\begin{aligned}v=v^{i}e_{i}={\begin{bmatrix}e_{1}&e_{2}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\\vdots \\v^{n}\end{bmatrix}}\\w=w_{i}e^{i}={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{1}\\e^{2}\\\vdots \\e^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

где v — вектор, а v ⁱ — его компоненты (не i- й ковектор v ), w — ковектор, а w _i — его компоненты. Элементами базисного вектора являются векторы-столбцы, а элементами базисного ковектора — ковекторы-строки. (См. также § Описание абстракции; дуальность , ниже и примеры ) ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle e^{i}}$

При наличии невырожденной формы ( изоморфизма V → V ^∗ , например, римановой метрики или метрики Минковского ) можно повышать и понижать индексы .

Базис дает такую ​​форму (через двойственный базис ), поэтому при работе на R ⁿ с евклидовой метрикой и фиксированным ортонормированным базисом есть возможность работать только с нижними индексами.

Однако при изменении координат характер изменения коэффициентов зависит от дисперсии объекта, и игнорировать это различие нельзя; см. Ковариация и контравариация векторов .

Мнемоника

В приведенном выше примере векторы представлены в виде матриц n × 1 (векторы-столбцы), а ковекторы представлены в виде матриц 1 × n (ковекторы-строки).

При использовании соглашения о векторах-столбцах:

• « Верхние индексы идут сверху вниз; нижние индексы идут слева направо».
• « Ковариантные тензоры — это векторы- строки , индексы которых находятся ниже ( co-row-below )».
• Ковекторы являются векторами-строками: следовательно, нижний индекс указывает, в каком столбце вы находитесь. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}w_{1}&\cdots &w_{k}\end{bmatrix}}.}$$
• Контравариантные векторы являются векторами-столбцами: поэтому верхний индекс указывает, в какой строке вы находитесь. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}v^{1}\\\vdots \\v^{k}\end{bmatrix}}}$$

Абстрактное описание

Достоинство обозначений Эйнштейна состоит в том, что они представляют инвариантные величины с помощью простых обозначений.

В физике скаляр инвариантен относительно преобразований базиса. В частности, скаляр Лоренца инвариантен относительно преобразования Лоренца . Отдельные члены в сумме не инвариантны. При изменении базиса компоненты вектора изменяются посредством линейного преобразования, описываемого матрицей. Это привело Эйнштейна к предложению соглашения, согласно которому повторяющиеся индексы подразумевают, что должно быть выполнено суммирование.

Что касается ковекторов, то они изменяются на обратную матрицу . Это сделано для того, чтобы гарантировать, что линейная функция, связанная с ковектором, сумма выше, будет одинаковой независимо от базиса.

Значение соглашения Эйнштейна заключается в том, что оно применимо к другим векторным пространствам, построенным из V с использованием тензорного произведения и дуальности . Например, V ⊗  V , тензорное произведение V на себя, имеет базис, состоящий из тензоров вида e _ij = e _i ⊗ e _j . Любой тензор T в V ⊗  V можно записать как: $${\displaystyle \mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}.}$$

V  * , двойственный V , имеет базис e ¹ , e ² , ..., e ^{n ,} который подчиняется правилу , где δ — символ Кронекера . Поскольку координаты строки/столбца в матрице соответствуют верхним/нижним индексам в тензорном произведении. $${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)=V^{*}\otimes W}$$

Обычные операции в этой нотации

В нотации Эйнштейна обычная ссылка на элемент для -й строки и -го столбца матрицы становится . Затем мы можем записать следующие операции в нотации Эйнштейна следующим образом. ${\displaystyle A_{mn}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {A^{m}}_{n}}$

Внутренний продукт

Внутреннее произведение двух векторов представляет собой сумму произведений их соответствующих компонент, при этом индексы одного вектора опущены (см. #Повышение и опускание индексов): В случае ортонормированного базиса имеем , и выражение упрощается до: $${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\rangle u^{i}v^{j}=u_{j}v^{j}}$$ ${\displaystyle u^{j}=u_{j}}$ $${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\sum _{j}u^{j}v^{j}=u_{j}v^{j}}$$

Векторные перекрестные произведения

В трех измерениях перекрестное произведение двух векторов относительно положительно ориентированного ортонормированного базиса, что означает, что , может быть выражено как: ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3}}$ $${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{\,jk}^{i}u^{j}v^{k}\mathbf {e} _{i}}$$

Здесь — символ Леви-Чивиты . Поскольку базис ортонормальный, повышение индекса не изменяет значение , если рассматривать его как тензор. ${\displaystyle \varepsilon _{\,jk}^{i}=\varepsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

Умножение матрицы на вектор

Произведение матрицы A _ij с вектором- столбцом v _j эквивалентно $${\displaystyle \mathbf {u} _{i}=(\mathbf {A} \mathbf {v} )_{i}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}v_{j}}$$ $${\displaystyle u^{i}={A^{i}}_{j}v^{j}}$$

Это частный случай умножения матриц.

Умножение матриц

Матричное произведение двух матриц A _ij и B _jk равно: $${\displaystyle \mathbf {C} _{ik}=(\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ik}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}}$$

эквивалентно $${\displaystyle {C^{i}}_{k}={A^{i}}_{j}{B^{j}}_{k}}$$

След

Для квадратной матрицы A ⁱ _j след представляет собой сумму диагональных элементов, следовательно, сумму по общему индексу A ⁱ _i .

Внешний продукт

Внешнее произведение вектора-столбца u ⁱ на вектор-строку v _j дает матрицу A размером m  ×  n : $${\displaystyle {A^{i}}_{j}=u^{i}v_{j}={(uv)^{i}}_{j}}$$

Поскольку i и j представляют собой два разных индекса, суммирование не производится, и индексы не исключаются при умножении.

Повышение и понижение индексов

Учитывая тензор , можно повысить индекс или понизить индекс , свернув тензор с метрическим тензором , g _μν . Например, взяв тензор T ^α _β , можно понизить индекс: $${\displaystyle g_{\mu \sigma }{T^{\sigma }}_{\beta }=T_{\mu \beta }}$$

Или можно поднять индекс: $${\displaystyle g^{\mu \sigma }{T_{\sigma }}^{\alpha }=T^{\mu \alpha }}$$

Смотрите также

• Тензор
• Обозначение абстрактного индекса
• Обозначение скобок
• Графическая нотация Пенроуза
• Символ Леви-Чивиты
• нотация ДеВитта

Примечания

1. Это применимо только к числовым индексам. Ситуация обратная для абстрактных индексов . Тогда сами векторы несут верхние абстрактные индексы, а ковекторы несут нижние абстрактные индексы, как в примере во введении к этой статье. Элементы базиса векторов могут нести нижний числовой индекс и верхний абстрактный индекс.

Ссылки

1. Эйнштейн, Альберт (1916). "Основание общей теории относительности". Annalen der Physik . 354 (7): 769. Bibcode : 1916AnP...354..769E. doi : 10.1002/andp.19163540702. Архивировано из оригинала ( PDF ) 29-08-2006 . Получено 03-09-2006 .
2. "Суммирование Эйнштейна". Wolfram Mathworld . Получено 13 апреля 2011 г.

Библиография

• Купцов, Л.П. (2001) [1994], "Правило Эйнштейна", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС.

Внешние ссылки

• Роулингс, Стив (2007-02-01). "Лекция 10 – Соглашение о суммировании Эйнштейна и векторные тождества". Оксфордский университет. Архивировано из оригинала 2017-01-06 . Получено 2008-07-02 .
• «Понимание einsum NumPy». Stack Overflow .