Взаимообмен лимитирующими операциями

В математике изучение взаимозаменяемости предельных операций является одной из основных задач математического анализа , поскольку две заданные предельные операции, скажем, L и M , не могут давать одинаковый результат при применении в любом порядке. Одним из исторических источников этой теории является изучение тригонометрических рядов . ^[1]

Формулировка

В символах предположение

ЛМ = МЛ ,

где левая часть означает, что M применяется первым, затем L , и наоборот в правой части , не является допустимым уравнением между математическими операторами , при любых обстоятельствах и для всех операндов. Алгебраист сказал бы, что операции не коммутируют . Подход, принятый в анализе, несколько иной. Выводы, которые предполагают, что предельные операции «коммутируют», называются формальными . Аналитик пытается очертить условия, при которых такие выводы являются допустимыми; другими словами, математическая строгость устанавливается путем спецификации некоторого набора достаточных условий для проведения формального анализа. Этот подход оправдывает, например, понятие равномерной сходимости . ^[2] Относительно редко такие достаточные условия оказываются также необходимыми, так что более точная часть анализа может расширить область достоверности формальных результатов.

Поэтому, говоря профессионально, аналитики расширяют границы методов и расширяют значение понятия «хорошо себя ведут» для данного контекста. Г. Х. Харди писал, что «проблема определения того, являются ли две заданные предельные операции коммутативными, является одной из самых важных в математике». ^[3] Мнение, по-видимому, не в пользу кусочного подхода, а в пользу того, чтобы оставить анализ на уровне эвристики , высказал Ричард Курант .

Примеры

Примеров предостаточно, один из самых простых — для двойной последовательности a _{m , n} : не обязательно, что операции взятия пределов при m → ∞ и при n → ∞ можно свободно менять местами. ^[4] Например, возьмем

а _{м , n} = 2 ^{м − n}

в котором взятие предела сначала по n дает 0, а по m дает ∞.

Многие из фундаментальных результатов исчисления бесконечно малых также попадают в эту категорию: симметрия частных производных , дифференцирование под знаком интеграла и теорема Фубини имеют дело с заменой операторов дифференцирования и интегрирования .

Одной из главных причин использования интеграла Лебега является то, что существуют теоремы, такие как теорема о доминируемой сходимости , которые дают достаточные условия, при которых интегрирование и предельная операция могут быть взаимозаменяемы. Необходимые и достаточные условия для этого взаимозаменяемы были обнаружены Федерико Кафьеро . ^[5]

Список связанных теорем

• Обмен лимитами:
  • Теорема Мура-Осгуда
• Взаимосвязь предельного и бесконечного суммирования:
  • Теорема Таннери
• Взаимообмен пределом и производными:
  • Если последовательность функций сходится хотя бы в одной точке и производные сходятся равномерно, то также сходится равномерно, скажем, к некоторой функции и предельная функция производных равна . ^[6] Хотя это часто показывают с помощью теоремы о среднем значении для вещественных функций, тот же метод можно применить и к многомерным функциям, используя вместо этого неравенство среднего значения . ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$
• Взаимообмен частными производными:
  • Теорема Шварца
• Перестановка интегралов:
  • Теорема Фубини
• Взаимная замена предела и интеграла:
  • Теорема о доминируемой сходимости
  • Теорема Витали о сходимости
  • Теорема сходимости Фикеры
  • Теорема сходимости Кафьеро
  • Лемма Фату
  • Теорема о монотонной сходимости для интегралов (лемма Беппо-Леви)
• Взаимная замена производной и интеграла:
  • Интегральное правило Лейбница

Смотрите также

• Повторяющийся предел
• Равномерная сходимость

Примечания

1. "Тригонометрический ряд", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
2. Carothers, NL (2000). Реальный анализ . Нью-Йорк: Cambridge University Press. стр. 150. ISBN 0-521-49749-3.
3. В приложении А к «Курсу чистой математики» примечание об операциях с двойным пределом .
4. Кнапп, Энтони В. (2005). Базовый реальный анализ . Бостон: Birkhäuser. стр. 13. ISBN 0-8176-3250-6.
5. Кафьеро, Федерико (1953). «Sul passaggio al limite soto il segno d'integrale per Successioni d'integrali di Stieltjes-Lebesgue negli spazi astratti, con Masse Variabili con gli integrandi». Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova . 22 : 223–245. МР  0057951. Збл  0052.05003.
6. Рудин, Уолтер (1953). Принципы математического анализа (3-е изд.). McGraw Hill . стр. 152.