Групповое представительство

Гомоморфизм группы в общую линейную группу над векторным пространством

Представление группы « действует» на объект. Простым примером является то, как симметрии правильного многоугольника , состоящие из отражений и вращений, преобразуют многоугольник.

В математической области теории представлений представления групп описывают абстрактные группы в терминах биективных линейных преобразований векторного пространства в себя (т. е. автоморфизмов векторного пространства ); в частности, их можно использовать для представления элементов группы в виде обратимых матриц, так что групповая операция может быть представлена ​​умножением матриц .

В химии групповое представление может связывать элементы математической группы с симметричными вращениями и отражениями молекул.

Представления групп позволяют свести многие проблемы теории групп к проблемам линейной алгебры . В физике они описывают, как группа симметрии физической системы влияет на решения уравнений, описывающих эту систему.

Термин представление группы также используется в более общем смысле для обозначения любого «описания» группы как группы преобразований некоторого математического объекта. Более формально «представление» означает гомоморфизм из группы в группу автоморфизмов объекта. Если объект является векторным пространством, мы имеем линейное представление . Некоторые люди используют реализацию для общего понятия и резервируют термин представление для особого случая линейных представлений. Большая часть этой статьи описывает теорию линейного представления; см. последний раздел для обобщений.

Разделы теории группового представительства

Теория представления групп делится на подтеории в зависимости от типа представляемой группы. Различные теории довольно сильно различаются в деталях, хотя некоторые основные определения и концепции схожи. Наиболее важными подразделениями являются:

• Конечные группы — Групповые представления являются очень важным инструментом в изучении конечных групп. Они также возникают в приложениях теории конечных групп к кристаллографии и геометрии. Если поле скаляров векторного пространства имеет характеристику p , и если p делит порядок группы, то это называется модульной теорией представлений ; этот особый случай имеет совершенно другие свойства. См. Теория представлений конечных групп .
• Компактные группы или локально компактные группы — Многие результаты теории представлений конечных групп доказываются усреднением по группе. Эти доказательства могут быть перенесены на бесконечные группы заменой среднего на интеграл, при условии, что можно определить приемлемое понятие интеграла. Это можно сделать для локально компактных групп, используя меру Хаара . Полученная теория является центральной частью гармонического анализа . Двойственность Понтрягина описывает теорию для коммутативных групп как обобщенное преобразование Фурье . См. также: Теорема Петера–Вейля .
• Группы Ли — Многие важные группы Ли компактны, поэтому результаты теории компактных представлений применимы к ним. Также используются другие методы, специфичные для групп Ли. Большинство групп, важных в физике и химии, являются группами Ли, и их теория представлений имеет решающее значение для применения теории групп в этих областях. См. Представления групп Ли и Представления алгебр Ли .
• Линейные алгебраические группы (или, в более общем смысле, аффинные групповые схемы ) — это аналоги групп Ли, но над более общими полями, чем просто R или C. Хотя линейные алгебраические группы имеют классификацию, очень похожую на классификацию групп Ли, и приводят к тем же семействам алгебр Ли, их представления довольно различны (и гораздо менее понятны). Аналитические методы, используемые для изучения групп Ли, должны быть заменены методами из алгебраической геометрии , где относительно слабая топология Зарисского вызывает много технических сложностей.
• Некомпактные топологические группы — Класс некомпактных групп слишком широк, чтобы построить какую-либо общую теорию представлений, но были изучены конкретные особые случаи, иногда с использованием специальных методов. Полупростые группы Ли имеют глубокую теорию, построенную на компактном случае. Дополнительные разрешимые группы Ли не могут быть классифицированы таким же образом. Общая теория для групп Ли имеет дело с полупрямыми произведениями двух типов с помощью общих результатов, называемых теорией Макки , которая является обобщением методов классификации Вигнера .

Теория представлений также сильно зависит от типа векторного пространства , на котором действует группа. Различают конечномерные представления и бесконечномерные. В бесконечномерном случае важны дополнительные структуры (например, является ли пространство гильбертовым пространством , банаховым пространством и т. д.).

Необходимо также учитывать тип поля, над которым определено векторное пространство. Наиболее важным случаем является поле комплексных чисел . Другими важными случаями являются поле действительных чисел , конечные поля и поля p-адических чисел . В общем случае, алгебраически замкнутые поля проще в обращении, чем неалгебраически замкнутые. Характеристика поля также имеет значение; многие теоремы для конечных групп зависят от характеристики поля, не делящей порядок группы .

Определения

Представление группы G на векторном пространстве V над полем K — это групповой гомоморфизм из G в GL( V ) , общую линейную группу на V . То есть представление — это отображение

${\displaystyle \rho \colon G\to \mathrm {GL} \left(V\right)}$

такой что

${\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2}),\qquad {\text{for all }}g_{1},g_{2}\in G.}$

Здесь V называется пространством представления , а размерность V называется размерностью или степенью представления. Обычно принято называть само V представлением, когда гомоморфизм ясен из контекста.

В случае, когда V имеет конечную размерность n, обычно выбирают базис для V и отождествляют GL( V ) с GL( n , K ) , группой обратимых матриц над полем K . ${\displaystyle n\times n}$

• Если G — топологическая группа , а V — топологическое векторное пространство , то непрерывное представление G в V — это представление ρ такое, что приложение Φ : G × V → V , определенное формулой Φ( g , v ) = ρ ( g )( v ), является непрерывным .
• Ядро представления ρ группы G определяется как нормальная подгруппа группы G, образом которой при ρ является тождественное преобразование:

${\displaystyle \ker \rho =\left\{g\in G\mid \rho (g)=\mathrm {id} \right\}.}$

Точное представление — это представление, в котором гомоморфизм G → GL( V ) является инъективным ; другими словами, ядром которого является тривиальная подгруппа { e }, состоящая только из единичного элемента группы.

• Для двух векторных пространств K V и W два представления ρ  : G → GL( V ) и π  : G → GL( W ) называются эквивалентными или изоморфными , если существует изоморфизм векторных пространств α  : V → W такой, что для всех g из G

${\displaystyle \alpha \circ \rho (g)\circ \alpha ^{-1}=\pi (g).}$

Примеры

Рассмотрим комплексное число u = e ^{2πi / 3} , которое обладает свойством u ³ = 1. Множество C ₃ = {1, u , u ² } образует циклическую группу относительно умножения. Эта группа имеет представление ρ на , заданное формулой: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle \rho \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{bmatrix}}.}$

Это представление является точным, поскольку ρ является отображением один к одному .

Другое представление для C ₃ на , изоморфное предыдущему, — это σ, заданное формулой: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle \sigma \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u\right)={\begin{bmatrix}u&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}u^{2}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}.}$

Группа C ₃ может быть также точно представлена ​​на τ, заданной формулой: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \tau \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u\right)={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\\\end{bmatrix}}}$

где

${\displaystyle a={\text{Re}}(u)=-{\tfrac {1}{2}},\qquad b={\text{Im}}(u)={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.}$

Другой пример:

Пусть — пространство однородных полиномов степени 3 над комплексными числами в переменных ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}.}$

Затем действует путем перестановки трех переменных. ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle V}$

Например, отправляет в . ${\displaystyle (12)}$ ${\displaystyle x_{1}^{3}}$ ${\displaystyle x_{2}^{3}}$

Сводимость

Подпространство W пространства V , инвариантное относительно действия группы, называется подпредставлением . Если V имеет ровно два подпредставления, а именно нульмерное подпространство и само V , то представление называется неприводимым ; если оно имеет собственное подпредставление ненулевой размерности, то представление называется приводимым . Представление размерности ноль не считается ни приводимым, ни неприводимым, ^[1] так же, как число 1 не считается ни составным , ни простым .

При предположении, что характеристика поля K не делит размер группы, представления конечных групп можно разложить в прямую сумму неприводимых подпредставлений (см. теорему Машке ). Это справедливо, в частности, для любого представления конечной группы над комплексными числами , поскольку характеристика комплексных чисел равна нулю, который никогда не делит размер группы.

В приведенном выше примере первые два представления (ρ и σ) разложимы на два одномерных подпредставления (заданных как span{(1,0)} и span{(0,1)}), тогда как третье представление (τ) неприводимо.

Обобщения

Теоретико-множественные представления

Теоретико -множественное представление (также известное как представление группового действия или перестановочное представление ) группы G на множестве X задается функцией ρ : G → X ^X , множеством функций из X в X , таких что для всех g ₁ , g ₂ из G и всех x из X :

${\displaystyle \rho (1)[x]=x}$

${\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})[x]=\rho (g_{1})[\rho (g_{2})[x]],}$

где — единичный элемент группы G. Это условие и аксиомы для группы подразумевают, что ρ( g ) является биекцией (или перестановкой ) для всех g в G. Таким образом, мы можем эквивалентно определить представление перестановки как гомоморфизм группы из G в симметрическую группу S _X группы X. ${\displaystyle 1}$

Более подробную информацию по этой теме можно найти в статье о групповых действиях .

Представления в других категориях

Каждая группа G может рассматриваться как категория с одним объектом; морфизмы в этой категории являются просто элементами G. Если задана произвольная категория C , представление G в C является функтором из G в C. Такой функтор выбирает объект X в C и групповой гомоморфизм из G в Aut( X ), группу автоморфизмов X .

В случае, когда C — это Vect _K , категория векторных пространств над полем K , это определение эквивалентно линейному представлению. Аналогично, теоретико-множественное представление — это просто представление G в категории множеств .

Когда C — это Ab , категория абелевых групп , полученные объекты называются G -модулями .

В качестве другого примера рассмотрим категорию топологических пространств Top . Представления в Top являются гомоморфизмами из G в группу гомеоморфизмов топологического пространства X.

Два типа представлений, тесно связанных с линейными представлениями:

• проективные представления : в категории проективных пространств . Их можно описать как «линейные представления с точностью до скалярных преобразований».
• аффинные представления : в категории аффинных пространств . Например, евклидова группа действует аффинно на евклидовом пространстве .

Смотрите также

• Неприводимые представления
• Таблица символов
• Теория характера
• Молекулярная симметрия
• Список тем гармонического анализа
• Список тем по теории репрезентации
• Теория представлений конечных групп
• Полупростое представление

Примечания

1. "1.4: Представления". Chemistry LibreTexts . 2019-09-04 . Получено 2021-06-23 .

Ссылки

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.Введение в теорию представлений с упором на группы Ли .
• Юрий И. Любич. Введение в теорию банаховых представлений групп . Перевод с русскоязычного издания 1985 г. (Харьков, Украина). Birkhäuser Verlag. 1988.