Струйный пучок

В дифференциальной топологии струйное расслоение — это определенная конструкция, которая делает из заданного гладкого расслоения новое гладкое расслоение . Это позволяет записывать дифференциальные уравнения на сечениях расслоения в инвариантной форме. Струи также можно рассматривать как координатно-свободные версии разложений Тейлора .

Исторически струйные расслоения приписываются Чарльзу Эресману и были шагом вперед по сравнению с методом ( продолжением ) Эли Картана , геометрически работающим с высшими производными , путем наложения дифференциальных формальных условий на вновь введенные формальные переменные. Струйные расслоения иногда называют спреями , хотя спреи обычно относятся более конкретно к связанному векторному полю, индуцированному на соответствующем расслоении (например, геодезический спрей на многообразиях Финслера ).

С начала 1980-х годов струйные расслоения появились как краткий способ описания явлений, связанных с производными отображений, в частности, тех, которые связаны с вариационным исчислением . ^[1] Следовательно, струйное расслоение теперь признано правильной областью для геометрической ковариантной теории поля , и большая работа проделана в области общих релятивистских формулировок полей с использованием этого подхода.

Самолеты

Предположим, что M — многообразие размерности m , а ( E , π, M ) — расслоение . Для p ∈ M пусть Γ(p) обозначает множество всех локальных сечений, область определения которых содержит p . Пусть ⁠ ⁠ — мультииндекс ( кортеж m неотрицательных целых чисел, не обязательно в порядке возрастания), тогда определим: ${\displaystyle I=(I(1),I(2),...,I(m))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|I|&:=\sum _{i=1}^{m}I(i)\\{\frac {\partial ^{|I|}}{\partial x^{I}}}&:=\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)^{I(i)}.\end{aligned}}}$

Определим локальные сечения σ, η ∈ Γ(p) так, чтобы они имели одну и ту же r -струю в точке p, если

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\eta ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p},\quad 0\leq |I|\leq r.}$

Отношение, что две карты имеют одинаковую r -струю, является отношением эквивалентности . R -струя является классом эквивалентности в этом отношении, а r -струя с представителем σ обозначается . Целое число r также называется порядком струи, p - ее источником , а σ( p ) - ее целью . ${\displaystyle j_{p}^{r}\sigma }$

Струйные коллекторы

r -ое струйное многообразие π - это множество

${\displaystyle J^{r}(\pi )=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma \in \Gamma (p)\right\}.}$

Мы можем определить проекции π _r и π _{r ,0,} называемые исходной и целевой проекциями соответственно,

${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{r}:J^{r}(\pi )\to M\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto p\end{cases}},\qquad {\begin{cases}\pi _{r,0}:J^{r}(\pi )\to E\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto \sigma (p)\end{cases}}}$

Если 1 ≤ k ≤ r , то проекция k -струи является функцией π _{r,k ,} определяемой соотношением

${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{r,k}:J^{r}(\pi )\to J^{k}(\pi )\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto j_{p}^{k}\sigma \end{cases}}}$

Из этого определения ясно, что π _r = π o π _{r ,0} и что если 0 ≤ m ≤ k , то π _r,m = π _k,m o π _r,k . Принято считать π _r,r тождественным отображением на J  ^r ( π ) и отождествлять J  ⁰ ( π ) с E .

Функции π _r,k , π _{r ,0} и π _r являются гладкими сюръективными субмерсиями .

Система координат на E будет генерировать систему координат на J  ^r ( π ). Пусть ( U , u ) будет адаптированной координатной картой на E , где u = ( x ⁱ , u ^α ). Индуцированная координатная карта ( U ^r , u ^r ) на J  ^r ( π ) определяется как

${\displaystyle {\begin{aligned}U^{r}&=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma (p)\in U\right\}\\u^{r}&=\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right)\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{i}\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=x^{i}(p)\\u^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=u^{\alpha }(\sigma (p))\end{aligned}}}$

и функции, известные как производные координаты : ${\displaystyle n\left({\binom {m+r}{r}}-1\right)}$

${\displaystyle {\begin{cases}u_{I}^{\alpha }:U^{k}\to \mathbf {R} \\u_{I}^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}\end{cases}}}$

Если задан атлас адаптированных карт ( U , u ) на E , то соответствующий набор карт ( U  ^r , u  ^r ) представляет собой конечномерный атлас C ^∞ на J  ^r ( π ).

Связки реактивных двигателей

Поскольку атлас на каждом определяет многообразие, тройки и все определяют расслоенные многообразия. В частности, если является расслоением волокон , тройка определяет r -ое расслоение струй π . ${\displaystyle J^{r}(\pi )}$ ${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r,k},J^{k}(\pi ))}$ ${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r,0},E)}$ ${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)}$ ${\displaystyle (E,\pi ,M)}$ ${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)}$

Если W ⊂ M — открытое подмногообразие, то

${\displaystyle J^{r}\left(\pi |_{\pi ^{-1}(W)}\right)\cong \pi _{r}^{-1}(W).\,}$

Если p ∈ M , то волокно обозначается . ${\displaystyle \pi _{r}^{-1}(p)\,}$ ${\displaystyle J_{p}^{r}(\pi )}$

Пусть σ — локальное сечение π с областью W ⊂ M. Продолжение σ на r-ю струю — это отображение, определяемое соотношением ${\displaystyle j^{r}\sigma :W\rightarrow J^{r}(\pi )}$

${\displaystyle (j^{r}\sigma )(p)=j_{p}^{r}\sigma .\,}$

Обратите внимание , что , так что на самом деле это раздел. В локальных координатах задается как ${\displaystyle \pi _{r}\circ j^{r}\sigma =\mathbb {id} _{W}}$ ${\displaystyle j^{r}\sigma }$ ${\displaystyle j^{r}\sigma }$

${\displaystyle \left(\sigma ^{\alpha },{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right)\qquad 1\leq |I|\leq r.\,}$

Мы отождествляем себя с . ${\displaystyle j^{0}\sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

Алгебро-геометрическая перспектива

Дано независимо мотивированное построение пучка сечений . ${\displaystyle \Gamma J^{k}\left(\pi _{TM}\right)}$

Рассмотрим диагональное отображение , где гладкое многообразие является локально окольцованным пространством по для каждого открытого . Пусть будет идеальным пучком , эквивалентно пусть будет пучком гладких ростков , которые исчезают на для всех . Обратный путь фактор- пучка от до по является пучком k-струй. ^[2] ${\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \Delta _{n}(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \Delta _{n}(M)}$ ${\displaystyle 0<n\leq k}$ ${\displaystyle {\Delta _{n}}^{*}\left({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{n+1}\right)}$ ${\textstyle \prod _{i=1}^{n+1}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta _{n}}$

Прямой предел последовательности инъекций, заданных каноническими включениями пучков, приводит к бесконечному струйному пучку . Заметим, что по построению прямого предела это фильтрованное кольцо. ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{n+1}\hookrightarrow {\mathcal {I}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{\infty }(TM)}$

Пример

Если π — тривиальное расслоение ( M × R , pr ₁ , M ), то существует канонический диффеоморфизм между первым расслоением струй и T*M × R . Чтобы построить этот диффеоморфизм, для каждого σ в запишем . ${\displaystyle J^{1}(\pi )}$ ${\displaystyle \Gamma _{M}(\pi )}$ ${\displaystyle {\bar {\sigma }}=pr_{2}\circ \sigma \in C^{\infty }(M)\,}$

Тогда, всякий раз, когда p ∈ M

${\displaystyle j_{p}^{1}\sigma =\left\{\psi :\psi \in \Gamma _{p}(\pi );{\bar {\psi }}(p)={\bar {\sigma }}(p);d{\bar {\psi }}_{p}=d{\bar {\sigma }}_{p}\right\}.\,}$

Следовательно, отображение

${\displaystyle {\begin{cases}J^{1}(\pi )\to T^{*}M\times \mathbf {R} \\j_{p}^{1}\sigma \mapsto \left(d{\bar {\sigma }}_{p},{\bar {\sigma }}(p)\right)\end{cases}}}$

хорошо определен и явно инъективен . Запись его в координатах показывает, что он является диффеоморфизмом, поскольку если (x ⁱ , u) — координаты на M × R , где u = id _R — единичная координата, то производные координаты u _i на J ¹ (π) соответствуют координатам ∂ _i на T*M .

Аналогично, если π — тривиальное расслоение ( R × M , pr ₁ , R ), то существует канонический диффеоморфизм между и R × TM . ${\displaystyle J^{1}(\pi )}$

Структура контакта

Пространство J ^r (π) несет естественное распределение , то есть подрасслоение касательного расслоения TJ ^r (π)), называемое распределением Картана . Распределение Картана натянуто на все касательные плоскости к графикам голономных сечений; то есть сечения вида j ^r φ для φ сечения π.

Аннулятор распределения Картана — это пространство дифференциальных одноформ , называемых контактными формами , на J ^r (π). Пространство дифференциальных одноформ на J ^r (π) обозначается как , а пространство контактных форм обозначается как . Одноформа является контактной формой при условии, что ее обратный прогон вдоль каждого продолжения равен нулю. Другими словами, является контактной формой тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \Lambda ^{1}J^{r}(\pi )}$ ${\displaystyle \Lambda _{C}^{r}\pi }$ ${\displaystyle \theta \in \Lambda ^{1}J^{r}\pi }$

${\displaystyle \left(j^{r+1}\sigma \right)^{*}\theta =0}$

для всех локальных сечений σ точки π над M .

Распределение Картана является основной геометрической структурой на пространствах струй и играет важную роль в геометрической теории уравнений с частными производными . Распределения Картана полностью неинтегрируемы. В частности, они не инволютивны . Размерность распределения Картана растет с порядком пространства струй. Однако на пространстве бесконечных струй J ^∞ распределение Картана становится инволютивным и конечномерным: его размерность совпадает с размерностью базового многообразия M .

Пример

Рассмотрим случай (E, π, M) , где E ≃ R ² и M ≃ R. Тогда (J ¹ (π), π, M) определяет первое струйное расслоение и может быть скоординировано с помощью (x, u, u ₁ ) , где

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=x(p)=x\\u\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}=\sigma '(x)\end{aligned}}}$

для всех p ∈ M и σ в Γ _p (π). Общая 1-форма на J ¹ (π) принимает вид

${\displaystyle \theta =a(x,u,u_{1})dx+b(x,u,u_{1})du+c(x,u,u_{1})du_{1}\,}$

Сечение σ в Γ _p (π) имеет первое продолжение

${\displaystyle j^{1}\sigma =(u,u_{1})=\left(\sigma (p),\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}\right).}$

Следовательно, (j ¹ σ)*θ можно рассчитать как

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{1}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma (x))+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma '(x))\\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)dx+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)dx\\&=[a(x,\sigma (x),\sigma '(x))+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)]dx\end{aligned}}}$

Это исчезнет для всех сечений σ тогда и только тогда, когда c = 0 и a = − bσ′(x) . Следовательно, θ = b(x, u, u ₁ )θ ₀ обязательно должно быть кратно основной контактной форме θ ₀ = du − u ₁ dx . Переходя ко второму пространству струй J ² (π) с дополнительной координатой u ₂ , такой, что

${\displaystyle u_{2}(j_{p}^{2}\sigma )=\left.{\frac {\partial ^{2}\sigma }{\partial x^{2}}}\right|_{p}=\sigma ''(x)\,}$

общая 1-форма имеет конструкцию

${\displaystyle \theta =a(x,u,u_{1},u_{2})dx+b(x,u,u_{1},u_{2})du+c(x,u,u_{1},u_{2})du_{1}+e(x,u,u_{1},u_{2})du_{2}\,}$

Это контактная форма только в том случае, если

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(j_{p}^{2}\sigma \right)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{2}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma (x))+{}\\&\qquad \qquad c(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma '(x))+e(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma ''(x))\\&=adx+b\sigma '(x)dx+c\sigma ''(x)dx+e\sigma '''(x)dx\\&=[a+b\sigma '(x)+c\sigma ''(x)+e\sigma '''(x)]dx\\&=0\end{aligned}}}$

что подразумевает, что e = 0 и a = − bσ′(x) − cσ′′(x) . Следовательно, θ является контактной формой тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \theta =b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{0}+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{1},}$

где θ ₁ = du ₁ − u ₂ dx — следующая базовая контактная форма (обратите внимание, что здесь мы отождествляем форму θ ₀ с ее откатом к J ² (π) ). ${\displaystyle \left(\pi _{2,1}\right)^{*}\theta _{0}}$

В общем случае, при x, u ∈ R , контактную форму на J ^r+1 (π) можно записать как линейную комбинацию основных контактных форм

${\displaystyle \theta _{k}=du_{k}-u_{k+1}dx\qquad k=0,\ldots ,r-1\,}$

где

${\displaystyle u_{k}\left(j^{k}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{k}\sigma }{\partial x^{k}}}\right|_{p}.}$

Подобные рассуждения приводят к полной характеристике всех контактных форм.

В локальных координатах каждая контактная одноформа на J ^r+1 (π) может быть записана в виде линейной комбинации

${\displaystyle \theta =\sum _{|I|=0}^{r}P_{\alpha }^{I}\theta _{I}^{\alpha }}$

с гладкими коэффициентами основных контактных форм ${\displaystyle P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })}$

${\displaystyle \theta _{I}^{\alpha }=du_{I}^{\alpha }-u_{I,i}^{\alpha }dx^{i}\,}$

|I| известен как порядок контактной формы . Обратите внимание, что контактные формы на J ^r+1 (π) имеют порядки не более r . Контактные формы дают характеристику тех локальных сечений π _r+1 , которые являются продолжениями сечений π. ${\displaystyle \theta _{i}^{\alpha }}$

Пусть ψ ∈ Γ _W ( π _r+1 ), тогда ψ = j ^r+1 σ, где σ ∈ Γ _W (π), тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \psi ^{*}(\theta |_{W})=0,\forall \theta \in \Lambda _{C}^{1}\pi _{r+1,r}.\,}$

Векторные поля

Общее векторное поле на всем пространстве E , координируемое , есть ${\displaystyle (x,u)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,}$

${\displaystyle V\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.\,}$

Вектор поля называется горизонтальным , что означает, что все вертикальные коэффициенты равны нулю, если = 0. ${\displaystyle \phi ^{\alpha }}$

Вектор поля называется вертикальным , что означает, что все горизонтальные коэффициенты равны нулю, если ρ ⁱ = 0.

Для фиксированных (x, u) мы определяем

${\displaystyle V_{(x,u)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,}$

имеющий координаты (x, u, ρ ⁱ , φ ^α ) , с элементом в слое T xu E TE над ₍ x , u ) в E , называемым касательным вектором в TE . Сечение

${\displaystyle {\begin{cases}\psi :E\to TE\\(x,u)\mapsto \psi (x,u)=V\end{cases}}}$

называется векторным полем на E с

${\displaystyle V=\rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}}$

и ψ в Γ(TE) .

Струйный пучок J ^r (π) координируется . Для фиксированных (x, u, w) определите ${\displaystyle (x,u,w)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha },w_{i}^{\alpha }\right)\,}$

${\displaystyle V_{(x,u,w)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} V^{i}(x,u,w){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+V^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+V_{i}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i}^{\alpha }}}+V_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }}}+\cdots +V_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}}}$

имея координаты

${\displaystyle \left(x,u,w,v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\cdots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }\right),}$

с элементом в слое TJ r ⁽ π) над (x, u, w) ∈ J ^r (π) , называемым касательным вектором в TJ ^r (π) . Здесь, ${\displaystyle T_{xuw}(J^{r}\pi )}$

${\displaystyle v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\ldots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}$

являются действительными функциями на J ^r (π) . Раздел

${\displaystyle {\begin{cases}\Psi :J^{r}(\pi )\to TJ^{r}(\pi )\\(x,u,w)\mapsto \Psi (u,w)=V\end{cases}}}$

является векторным полем на J ^r (π) , и мы говорим, что ${\displaystyle \Psi \in \Gamma (T\left(J^{r}\pi \right)).}$

Уравнения с частными производными

Пусть (E, π, M) — расслоение. Частное дифференциальное уравнение r -го порядка на π — это замкнутое вложенное подмногообразие S многообразия струй J ^r (π) . Решение — это локальное сечение σ ∈ Γ _W (π), удовлетворяющее , для всех p из M . ${\displaystyle j_{p}^{r}\sigma \in S}$

Рассмотрим пример уравнения в частных производных первого порядка.

Пример

^Пусть π — тривиальное расслоение ( R2 × R , pr1 _, R2 ) с ^{глобальными} координатами ( x1 , x2 , u1 ). Тогда отображение ^{F :} J1 (π) ^→ R ^, определяемое  формулой

${\displaystyle F=u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}}$

приводит к дифференциальному уравнению

${\displaystyle S=\left\{j_{p}^{1}\sigma \in J^{1}\pi \ :\ \left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)=0\right\}}$

что можно написать

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial x^{1}}}{\frac {\partial \sigma }{\partial x^{2}}}-2x^{2}\sigma =0.}$

Конкретный

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma :\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {R} \\\sigma (p_{1},p_{2})=\left(p^{1},p^{2},p^{1}(p^{2})^{2}\right)\end{cases}}}$

имеет первое продление, заданное

${\displaystyle j^{1}\sigma \left(p_{1},p_{2}\right)=\left(p^{1},p^{2},p^{1}\left(p^{2}\right)^{2},\left(p^{2}\right)^{2},2p^{1}p^{2}\right)}$

и является решением этого дифференциального уравнения, потому что

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u_{1}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u_{2}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)-2x^{2}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)\\&=\left(p^{2}\right)^{2}\cdot 2p^{1}p^{2}-2\cdot p^{2}\cdot p^{1}\left(p^{2}\right)^{2}\\&=2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}-2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}\\&=0\end{aligned}}}$

и так для каждого p ∈ R ² . ${\displaystyle j_{p}^{1}\sigma \in S}$

Удлинение струи

Локальный диффеоморфизм ψ  : J ^r ( π ) → J ^r ( π ) определяет контактное преобразование порядка r , если оно сохраняет контактный идеал, что означает, что если θ — любая контактная форма на J ^r ( π ), то ψ*θ также является контактной формой.

Поток, создаваемый векторным полем V ^r на пространстве струй J ^r (π), образует однопараметрическую группу контактных преобразований тогда и только тогда, когда производная Ли любой контактной формы θ сохраняет контактный идеал. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}(\theta )}$

Начнем со случая первого порядка. Рассмотрим общее векторное поле V ¹ на J ¹ ( π ), заданное как

${\displaystyle V^{1}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\chi _{i}^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}.}$

Теперь применим основные контактные формы и разложим внешнюю производную функций по их координатам, чтобы получить: ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}}$ ${\displaystyle \theta _{0}^{\alpha }=du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(\theta _{0}^{\alpha }\right)&={\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i}\right)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du^{\alpha }-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{i}^{\alpha }\right)dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx^{i}\right)\\&=d\left(V^{1}u^{\alpha }\right)-V^{1}u_{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\left(V^{1}x^{i}\right)\\&=d\phi ^{\alpha }-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\rho ^{i}\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial x^{m}}}dx^{m}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u_{m}^{k}}}du_{m}^{k}\right]\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{l}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}\right]\\&=\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}-u_{l}^{\alpha }\left({\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}\right)-\chi _{i}^{\alpha }\right]dx^{i}+\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}\right]du_{i}^{k}+\left({\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\right)\theta ^{k}\end{aligned}}}$

Следовательно, V ¹ определяет контактное преобразование тогда и только тогда, когда коэффициенты dx ⁱ и в формуле равны нулю. Последние требования подразумевают контактные условия ${\displaystyle du_{i}^{k}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}=0}$

Предыдущие требования дают явные формулы для коэффициентов первых производных членов в V ¹ :

${\displaystyle \chi _{i}^{\alpha }={\widehat {D}}_{i}\phi ^{\alpha }-u_{l}^{\alpha }\left({\widehat {D}}_{i}\rho ^{l}\right)}$

где

${\displaystyle {\widehat {D}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+u_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial u^{k}}}}$

обозначает усечение нулевого порядка полной производной D _i .

Таким образом, условия контакта однозначно предписывают продолжение любого точечного или контактного векторного поля. То есть, если удовлетворяет этим уравнениям, V ^r называется r -м продолжением V до векторного поля на J ^r (π) . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}}$

Эти результаты лучше всего понять, если применить их к конкретному примеру. Поэтому давайте рассмотрим следующее.

Пример

Рассмотрим случай (E, π, M) , где E ≅ R ² и M ≃ R. Тогда (J ¹ (π), π, E) определяет первое струйное расслоение и может быть скоординировано с помощью (x, u, u ₁ ) , где

${\displaystyle {\begin{aligned}x(j_{p}^{1}\sigma )&=x(p)=x\\u(j_{p}^{1}\sigma )&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}(j_{p}^{1}\sigma )&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}={\dot {\sigma }}(x)\end{aligned}}}$

для всех p ∈ M и σ в Γ _p ( π ). Контактная форма на J ¹ (π) имеет вид

${\displaystyle \theta =du-u_{1}dx}$

Рассмотрим вектор V на E , имеющий вид

${\displaystyle V=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}}$

Тогда первое продолжение этого векторного поля до J ¹ (π) равно

${\displaystyle {\begin{aligned}V^{1}&=V+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\end{aligned}}}$

Если теперь взять производную Ли контактной формы относительно этого продолженного векторного поля, то получим ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta ),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta )&={\mathcal {L}}_{V^{1}}(du-u_{1}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{1}\right)dx-u_{1}\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx\right)\\&=d\left(V^{1}u\right)-V^{1}u_{1}dx-u_{1}d\left(V^{1}x\right)\\&=dx-\rho (x,u,u_{1})dx+u_{1}du\\&=(1-\rho (x,u,u_{1}))dx+u_{1}du\\&=[1-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}(\theta +u_{1}dx)&&du=\theta +u_{1}dx\\&=[1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}\theta \end{aligned}}}$

Следовательно, для сохранения идеального контакта нам необходимо

${\displaystyle 1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})=0\quad \Leftrightarrow \quad \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}.}$

Итак, первое продолжение V до векторного поля на J ¹ (π) равно

${\displaystyle V^{1}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}.}$

Вычислим также второе продолжение V в векторное поле на J ² (π) . Имеем в качестве координат на J ² (π) . Следовательно, продолженный вектор имеет вид ${\displaystyle \{x,u,u_{1},u_{2}\}}$

${\displaystyle V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.}$

Контактные формы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=du-u_{1}dx\\\theta _{1}&=du_{1}-u_{2}dx\end{aligned}}}$

Для сохранения идеального контакта нам требуется

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta )&=0\\{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&=0\end{aligned}}}$

Теперь θ не имеет зависимости от u _2. Следовательно, из этого уравнения мы выберем формулу для ρ , которая обязательно будет тем же результатом, который мы нашли для V ¹ . Следовательно, задача аналогична продолжению векторного поля V ¹ до J ² (π). То есть, мы можем сгенерировать r -е продолжение векторного поля, рекурсивно применяя производную Ли контактных форм относительно продолженных векторных полей r раз. Итак, мы имеем

${\displaystyle \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}}$

и так

${\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}&=V^{1}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\end{aligned}}}$

Следовательно, производная Ли второй контактной формы относительно V ² равна

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&={\mathcal {L}}_{V^{2}}(du_{1}-u_{2}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{2}}du_{1}-\left({\mathcal {L}}_{V^{2}}u_{2}\right)dx-u_{2}\left({\mathcal {L}}_{V^{2}}dx\right)\\&=d(V^{2}u_{1})-V^{2}u_{2}dx-u_{2}d(V^{2}x)\\&=d(1+u_{1}u_{1})-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du&=\theta +u_{1}dx\\&=2u_{1}(\theta _{1}+u_{2}dx)-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du_{1}&=\theta _{1}+u_{2}dx\\&=[3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})]dx+u_{2}\theta +2u_{1}\theta _{1}\end{aligned}}}$

Следовательно, для сохранения идеального контакта нам требуется ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})}$

${\displaystyle 3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})=0\quad \Leftrightarrow \quad \phi (x,u,u_{1},u_{2})=3u_{1}u_{2}.}$

Итак, второе продолжение V до векторного поля на J ² (π) равно

${\displaystyle V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+3u_{1}u_{2}{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.}$

Обратите внимание, что первое продолжение V можно восстановить, опустив вторые производные члены в V ² или проецируя обратно на J ¹ (π) .

Бесконечные реактивные пространства

Обратный предел последовательности проекций порождает бесконечное пространство струй J ^∞ (π) . Точка — это класс эквивалентности сечений π, имеющих ту же k -струю в p, что и σ для всех значений k . Естественная проекция π _∞ отображается в p . ${\displaystyle \pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )}$ ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$ ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$

Если просто думать в терминах координат, J ^∞ (π) кажется бесконечномерным геометрическим объектом. Фактически, простейший способ введения дифференцируемой структуры на J ^∞ (π) , не полагаясь на дифференцируемые карты, дается дифференциальным исчислением над коммутативными алгебрами . Двойственной к последовательности проекций многообразий является последовательность инъекций коммутативных алгебр. Давайте обозначим просто через . Теперь возьмем прямой предел ' s. Это будет коммутативная алгебра, которую можно считать алгеброй гладких функций над геометрическим объектом J ^∞ (π) . Заметим, что , будучи рожденным как прямой предел, несет дополнительную структуру: это фильтрованная коммутативная алгебра. ${\displaystyle \pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )}$ ${\displaystyle \pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(J^{k}(\pi ))}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$

Грубо говоря, конкретный элемент всегда будет принадлежать некоторому , поэтому он является гладкой функцией на конечномерном многообразии J ^k (π) в обычном смысле. ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {F}}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$

Бесконечно длительные уравнения в частных производных

Для системы уравнений в частных производных E ⊆ J ^k (π) k -го порядка совокупность I(E) исчезающих на E гладких функций на J ^∞ (π) является идеалом в алгебре , а следовательно, и в прямом пределе . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$

Улучшим I(E), добавив все возможные композиции полных производных , примененные ко всем его элементам. Таким образом, мы получим новый идеал I , который теперь замкнут относительно операции взятия полной производной. Подмногообразие E _(∞) в J ^∞ (π), вырезанное I, называется бесконечным продолжением E . ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$

Геометрически E _(∞) является многообразием формальных решений E. Легко видеть , что точка E _(∞) представлена ​​сечением σ, график k -струи которого касается E в точке с произвольно высоким порядком касания. ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$ ${\displaystyle j_{p}^{k}(\sigma )}$

Аналитически, если E задано соотношением φ = 0, формальное решение можно понимать как набор коэффициентов Тейлора сечения σ в точке p , которые обращают в нуль ряд Тейлора в точке p . ${\displaystyle \varphi \circ j^{k}(\sigma )}$

Самое важное, что свойства замыкания I подразумевают, что E _(∞) касается контактной структуры бесконечного порядка на J ^∞ (π) , так что, ограничиваясь E _(∞), можно получить разность и изучить связанную с ней последовательность Виноградова (C-спектральную) . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (E_{(\infty )},{\mathcal {C}}|_{E_{(\infty )}})}$

Замечание

В этой статье определены струи локальных сечений расслоения, но можно определить струи функций f: M → N , где M и N — многообразия; тогда струя f просто соответствует струе сечения

гр _f : М → М × N

гр _f (p) = (p, f(p))

( gr _f известен как график функции f ) тривиального расслоения ( M × N , π ₁ , M ). Однако это ограничение не упрощает теорию, поскольку глобальная тривиальность π не подразумевает глобальную тривиальность π ₁ .

Смотрите также

• Группа реактивных самолетов
• Джет (математика)
• Лагранжева система
• Вариационный бикомплекс

Ссылки

1. Крупка, Деметер (2015). Введение в глобальную вариационную геометрию. Atlantis Press. ISBN 978-94-6239-073-7.
2. Вакил, Рави (25 августа 1998 г.). "Руководство для начинающих по струйным расслоениям с точки зрения алгебраической геометрии" (PDF) . Получено 25 июня 2017 г. .

Дальнейшее чтение

• Эресманн, К., «Введение в теорию бесконечно малых структур и псевдогрупп Ли». Геометрия Дифференциелла, коллок. Интер. дю Центр Нац. de la Recherche Scientifique, Страсбург, 1953, 97–127.
• Коларж, И., Михор, П., Словак, Й., Естественные операции в дифференциальной геометрии. Springer-Verlag: Берлин-Гейдельберг, 1993. ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .  
• Сондерс, Дж.Дж., «Геометрия реактивных пучков», Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7 
• Красильщик, И.С., Виноградов, А.М., [и др.], «Симметрии и законы сохранения для дифференциальных уравнений математической физики», Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X . 
• Олвер, П. Дж. , «Эквивалентность, инварианты и симметрия», Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1