Воздушный змей (геометрия)

Четырехугольник, симметричный по диагонали

В евклидовой геометрии воздушный змей представляет собой четырехугольник с симметрией отражения по диагонали . Из-за этой симметрии воздушный змей имеет два равных угла и две пары смежных сторон одинаковой длины. Воздушные змеи также известны как дельтоиды , ^[1] но слово дельтоид может также относиться к дельтовидной кривой , несвязанному геометрическому объекту, который иногда изучается в связи с четырехугольниками. ^{[2] [3]} Воздушный змей также можно назвать дротиком , [ ^4] особенно, если он не выпуклый. ^{[5] [6]}

Каждый воздушный змей представляет собой ортодиагональный четырехугольник (его диагонали под прямым углом) и, если он выпуклый, тангенциальный четырехугольник (его стороны касаются вписанной окружности). Выпуклые воздушные змеи представляют собой в точности четырехугольники, которые являются как ортодиагональными, так и касательными. В качестве особых случаев они включают в себя правые воздушные змеи с двумя противоположными прямыми углами; ромбики с двумя диагональными осями симметрии; и квадраты , которые также являются частными случаями как правых воздушных змеев, так и ромбов.

Четырехугольник с наибольшим отношением периметра к диаметру представляет собой воздушный змей с углами 60°, 75° и 150°. Воздушные змеи двух форм (одна выпуклая и одна невыпуклая) образуют прототипы одной из форм мозаики Пенроуза . Воздушные змеи также образуют грани нескольких гране-симметричных многогранников и мозаик и изучались в связи с внешним бильярдом — проблемой высшей математики динамических систем .

Определение и классификация

Выпуклые и вогнутые воздушные змеи

Воздушный змей представляет собой четырехугольник с симметрией отражения по одной из диагоналей. Другими словами, это четырехугольник, четыре стороны которого можно сгруппировать в две пары смежных сторон одинаковой длины. ^{[1] [7]} Воздушный змей можно построить из центров и точек пересечения любых двух пересекающихся кругов . ^[8] Описываемые здесь воздушные змеи могут быть как выпуклыми , так и вогнутыми , хотя в некоторых источниках под «воздушным змеем» подразумеваются только выпуклые воздушные змеи. Четырехугольник является воздушным змеем тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих условий:

• Четыре стороны можно разделить на две пары смежных сторон одинаковой длины. ^[7]
• Одна диагональ пересекает середину другой диагонали под прямым углом, образуя ее биссектрису . ^[9] (В вогнутом случае линия, проходящая через одну из диагоналей, делит другую пополам.)
• Одна диагональ представляет собой линию симметрии. Он делит четырехугольник на два равных треугольника, которые являются зеркальными отражениями друг друга. ^[7]
• Одна диагональ делит пополам оба угла на двух своих концах. ^[7]

Четырехугольные воздушные змеи названы в честь летающих воздушных змеев , которые часто имеют такую ​​форму ^{[10] [11]} и которые, в свою очередь, названы в честь парящей птицы и звука, который она издает. ^{[12] [13]} Согласно Олаусу Хенрици , название «воздушный змей» было дано этим формам Джеймсом Джозефом Сильвестром . ^[14]

Четырехугольники можно классифицировать иерархически , что означает, что некоторые классы четырехугольников включают другие классы, или раздельно , что означает, что каждый четырехугольник принадлежит только одному классу. По иерархической классификации воздушные змеи включают ромбы (четырехугольники с четырьмя равными сторонами) и квадраты . Все равносторонние воздушные змеи — ромбы, а все равноугольные — квадраты. При раздельной классификации ромбы и квадраты не были бы воздушными змеями, поскольку они принадлежат к другому классу четырехугольников; Точно так же правильные воздушные змеи , обсуждаемые ниже, не будут воздушными змеями. Оставшаяся часть этой статьи соответствует иерархической классификации; ромбы, квадраты и правые воздушные змеи считаются воздушными змеями. Избегая необходимости рассматривать особые случаи, эта классификация может упростить некоторые факты о воздушных змеях. ^[15]

Как и воздушные змеи, параллелограмм также имеет две пары сторон одинаковой длины, но они расположены напротив друг друга, а не рядом. Любой несамопересекающийся четырехугольник, имеющий ось симметрии, должен быть либо воздушным змеем с диагональной осью симметрии; или равнобедренная трапеция с осью симметрии, проходящей через середины двух сторон. К ним относятся в качестве особых случаев ромб и прямоугольник соответственно, а также квадрат, который является частным случаем обоих. ^[1] Самопересекающиеся четырехугольники включают еще один класс симметричных четырехугольников — антипараллелограммы . ^[16]

Особые случаи

Правильные воздушные змеи имеют два противоположных прямых угла . ^{[15] [16]} Правильные воздушные змеи — это в точности те воздушные змеи, которые представляют собой вписанные четырехугольники , а это означает, что через все их вершины проходит круг. ^[17] Вписанные четырехугольники можно эквивалентно определить как четырехугольники, в которых два противоположных угла являются дополнительными (они в сумме составляют 180 °); если одна пара является дополнительной, то и другая тоже. ^[9] Следовательно, правильные воздушные змеи - это воздушные змеи с двумя противоположными дополнительными углами для любой из двух противоположных пар углов. Поскольку правые воздушные змеи описывают одну окружность и вписаны в другую окружность, они представляют собой бицентрические четырехугольники (на самом деле трехцентрические, поскольку у них также есть третья окружность, касающаяся снаружи продолжений их сторон ). ^[16] Если размеры вписанного и описанного кругов фиксированы, правый змей имеет наибольшую площадь среди всех четырехугольников, зажатых между ними. ^[18]

Среди всех четырехугольников фигурой, которая имеет наибольшее отношение периметра к диаметру ( максимальное расстояние между любыми двумя точками), является равнодиагональный змей с углами 60°, 75°, 150°, 75°. Его четыре вершины лежат в трех углах и одной из боковых середин треугольника Рело . ^{[19] [20]} Когда длина сторон равнодиагонального воздушного змея меньше или равна его диагоналям, как этот или квадрат, это один из четырехугольников с наибольшим соотношением площади к диаметру . ^[21]

Воздушный змей с тремя углами 108° и одним углом 36° образует выпуклую оболочку лютни Пифагора , фрактал, состоящий из вложенных друг в друга пентаграмм . ^[22] Четыре стороны этого воздушного змея лежат на четырех сторонах правильного пятиугольника , а к пятой стороне приклеен золотой треугольник . ^[16]

Часть апериодической мозаики с прототипами, сделанными из восьми воздушных змеев.

Есть только восемь многоугольников, которые могут замостить плоскость так, что при отражении любой плитки через любой из ее краев образуется другая плитка; такое расположение называется краевой тесселяцией . Один из них — замощение прямым воздушным змеем с углами 60°, 90° и 120°. Он создает дельтовидную тригексагональную мозаику (см. § Тайлинги и многогранники). ^[23] Прототип , сделанный из восьми таких воздушных змеев, покрывает плоскость плиткой только апериодически , что является ключом к заявленному решению проблемы Эйнштейна . ^[24]

В неевклидовой геометрии воздушный змей может иметь три прямых угла и один непрямой угол, образуя частный случай четырехугольника Ламберта . Четвертый угол острый в гиперболической геометрии и тупой в сферической геометрии . ^[25]

Характеристики

Диагонали, углы и площади

Каждый воздушный змей представляет собой ортодиагональный четырехугольник , то есть две его диагонали расположены под прямым углом друг к другу. Более того, одна из двух диагоналей (ось симметрии) является биссектрисой другой, а также биссектрисой двух углов, с которыми она пересекается. ^[1] Из-за симметрии два других угла кайта должны быть равны. ^{[10] [11]} Диагональная ось симметрии выпуклого воздушного змея делит его на два конгруэнтных треугольника ; другая диагональ делит его на два равнобедренных треугольника . ^[1]

Как и в более общем смысле для любого ортодиагонального четырехугольника, площадь воздушного змея можно рассчитать как половину произведения длин диагоналей и : ^[10] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle A={\frac {p\cdot q}{2}}.}$$

формулу SASугол^[26] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle \displaystyle A=ab\cdot \sin \theta .}$$

Вписанный круг

Две окружности, касающиеся сторон и расширенных сторон выпуклого воздушного змея (вверху), невыпуклого воздушного змея (в центре) и антипараллелограмма (внизу). Четыре прямые, проходящие через стороны каждого четырехугольника, являются касательными к окружностям.

Каждый выпуклый воздушный змей также является касательным четырехугольником , четырехугольником, в который вписана окружность . То есть существует окружность, касающаяся всех четырех сторон. Кроме того, если выпуклый воздушный змей не является ромбом, снаружи воздушного змея есть круг, касающийся продолжений четырех сторон; следовательно, каждый выпуклый змей, не являющийся ромбом, является экскасательным четырехугольником . Выпуклые воздушные змеи, не являющиеся ромбами, представляют собой в точности четырехугольники, которые являются как тангенциальными, так и экстангенциальными. ^[16] Для каждого вогнутого змея существуют две окружности, касающиеся двух сторон и продолжения двух других: одна находится внутри змея и касается двух сторон, противоположных вогнутому углу, а другая окружность находится снаружи кайт и касается кайта по двум краям, прилегающим к вогнутому углу. ^[27]

Для выпуклого воздушного змея с длинами диагоналей и длинами сторон и радиус вписанной окружности равен ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle r={\frac {pq}{2(a+b)}},}$$

^[16] ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \rho ={\frac {pq}{2|a-b|}}.}$$

Касательный четырехугольник также является воздушным змеем тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих условий: ^[28]

• Площадь равна половине произведения диагоналей .
• Диагонали перпендикулярны . (Таким образом, воздушные змеи представляют собой в точности четырехугольники, которые одновременно являются тангенциальными и ортодиагональными .)
• Два отрезка, соединяющие противоположные точки касания, имеют одинаковую длину.
• Касательные длины , расстояния от точки касания до соседней вершины четырехугольника, равны в двух противоположных вершинах четырехугольника. (В каждой вершине есть две соседние точки касания, но они находятся на одинаковом расстоянии друг от друга от вершины, поэтому каждая вершина имеет одну касательную длину.)
• Две бимедианы , отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, имеют одинаковую длину.
• Произведения противоположных сторон равны.
• Центр вписанной окружности лежит на линии симметрии, которая также является диагональю.

Если диагонали в касательном четырехугольнике пересекаются в точке , а вписанные в треугольники , , , имеют радиусы , , , и соответственно, то четырехугольник является воздушным змеем тогда и только тогда, когда ^[28] ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ABP}$ ${\displaystyle BCP}$ ${\displaystyle CDP}$ ${\displaystyle DAP}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$ ${\displaystyle r_{4}}$

$${\displaystyle r_{1}+r_{3}=r_{2}+r_{4}.}$$

вписанные^[28] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle R_{3}}$ ${\displaystyle R_{4}}$

$${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}.}$$

Двойственность

Воздушный змей и его двойная равнобедренная трапеция.

Воздушные змеи и равнобедренные трапеции двойственны друг другу, а это означает, что между ними существует соответствие, которое меняет размерность их частей на противоположные, превращая вершины в стороны, а стороны в вершины. Для любого воздушного змея вписанная окружность касается четырех его сторон в четырех вершинах равнобедренной трапеции. Для любой равнобедренной трапеции касательные к описанной окружности в ее четырех вершинах образуют четыре стороны воздушного змея. Это соответствие также можно рассматривать как пример полярного возвратно-поступательного движения , общего метода сопоставления точек с линиями и наоборот с учетом фиксированного круга. Хотя они и не касаются круга, четыре вершины воздушного змея в этом смысле обратны четырем сторонам равнобедренной трапеции. ^[29] Характеристики воздушных змеев и равнобедренных трапеций, соответствующих друг другу в рамках этой двойственности, сравниваются в таблице ниже. ^[7]

Диссекция

Проблема равнорассечения касается разделения многоугольников на треугольники, имеющие равные площади . В этом контексте спектр многоугольника - это набор чисел, такой, что многоугольник имеет равное деление на треугольники равной площади. Из-за своей симметрии спектр воздушного змея содержит все четные целые числа. Некоторые специальные воздушные змеи также содержат в своем спектре нечетные числа. ^{[30] [31]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Любой треугольник можно разделить на три правых змея, встречающихся в центре вписанного в него круга. В более общем смысле, метод, основанный на упаковке кругов , можно использовать для разделения любого многоугольника со сторонами на воздушные змеи, соединяющиеся от края до края. ^[32] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle O(n)}$

Тайлинги и многогранники

Все воздушные змеи замостили плоскость путем многократного точечного отражения вокруг середин своих краев, как и все четырехугольники в целом. ^[33] Воздушные змеи и дротики с углами 72°, 72°, 72°, 144° и 36°, 72°, 36°, 216° соответственно образуют прототипы одной из версий мозаики Пенроуза , апериодической мозаики плоскость, открытая физиком-математиком Роджером Пенроузом . ^[5] Если у воздушного змея углы на вершине и на одной стороне в сумме составляют некоторое положительное целое число , то масштабированные копии этого воздушного змея можно использовать для мозаики плоскости в виде фрактальной розетки, в которой последовательно большие кольца воздушных змеев окружают центральная точка. ^[34] Эти розетки можно использовать для изучения явления неупругого коллапса, при котором система движущихся частиц, встречающихся в неупругих столкновениях, объединяется в одной точке. ^[35] ${\displaystyle \pi (1-{\tfrac {1}{n}})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Воздушный змей с углами 60°, 90°, 120°, 90° также может замостить плоскость за счет многократного отражения от ее краев; результирующая мозаика, дельтовидная тригексагональная мозаика , накладывает мозаику плоскости правильными шестиугольниками и равнобедренными треугольниками. ^[16] Дельтоидный икоситетраэдр , дельтоидный шестиконтаэдр и трапецоэдр представляют собой многогранники с конгруэнтными гранями в форме воздушного змея , ^[36] которые альтернативно можно рассматривать как мозаику сферы конгруэнтными сферическими змеями. ^[37] Существует бесконечно много гране-симметричных замощений гиперболической плоскости воздушными змеями. ^[38] Эти многогранники (эквивалентно сферическим мозаикам), квадратные и дельтовидные тригексагональные мозаики евклидовой плоскости, а также некоторые мозаики гиперболической плоскости показаны в таблице ниже, помечены конфигурацией грани (количество соседей каждой из четыре вершины каждого тайла). Некоторые многогранники и мозаики появляются дважды, под двумя разными конфигурациями граней.

Десятигранный кубик

Трапецоэдры — еще одно семейство многогранников, имеющих конгруэнтные грани в форме воздушного змея . В этих многогранниках края одной из двух сторон змея встречаются в двух «полюсных» вершинах, а края другой длины образуют экваториальный зигзагообразный путь вокруг многогранника. Они представляют собой двойственные многогранники однородных антипризм . ^[36] Часто встречающимся примером является пятиугольный трапецоэдр , используемый для изготовления десятигранных игральных костей . ^[16]

Внешний бильярд

Математик Ричард Шварц изучал внешний бильярд на воздушных змеях. Внешний бильярд — это динамическая система , в которой из точки вне данного компактного выпуклого множества на плоскости проводят касательную к выпуклому множеству, идут от начальной точки по этой прямой до другой точки, равно удаленной от точки касания. , а затем повторяет тот же процесс. С 1950-х годов было открыто, может ли какая-либо система, определенная таким образом, создавать пути, уходящие на сколь угодно далеко от их начальной точки, и в статье 2007 года Шварц решил эту проблему, найдя неограниченные бильярдные траектории для воздушного змея с углами 72 °, 72 °. , 72°, 144°, такие же, как и в мозаике Пенроуза. ^[39] Позже он написал монографию , анализирующую внешний бильярд на предмет форм воздушных змеев в более общем плане. Для этой задачи любое аффинное преобразование воздушного змея сохраняет на нем динамические свойства внешнего биллиарда, и можно преобразовать любой воздушный змей в форму, в которой три вершины находятся в точках и , с четвертой в с в открытом единичном интервале . Поведение внешнего биллиарда на любом воздушном змее сильно зависит от параметра и, в частности, от того, является ли он рациональным . В случае воздушного змея Пенроуза , иррациональное число, где – золотое сечение . ^[40] ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle (0,\pm 1)}$ ${\displaystyle (\alpha ,0)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =1/\varphi ^{3}}$ ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$

Рекомендации

1. Halsted, Джордж Брюс (1896), «Глава XIV. Симметричные четырехугольники», Элементарная синтетическая геометрия , Дж. Уайли и сыновья, стр. 49–53
2. Гурмахти, Р. (1947), «Ортополярные и изополярные линии в циклическом четырехугольнике», The American Mathematical Monthly , 54 (4): 211–214, doi : 10.1080/00029890.1947.11991815, JSTOR  2304700, MR  0019934
3. См. обзор Грюнбаума (1960) HSM Coxeter в MR 0125489: «К сожалению, автор использует вместо слова «воздушный змей» название «дельтовидная мышца», которое больше соответствует кривой, гипоциклоиде с тремя выступами. ."
4. Чартер, Кевин; Роджерс, Томас (1993), «Динамика четырехстороннего складывания», Экспериментальная математика , 2 (3): 209–222, doi : 10.1080/10586458.1993.10504278, MR  1273409
5. Гарднер, Мартин (январь 1977 г.), «Необычайное непериодическое замощение, которое обогащает теорию плиток», Mathematical Games, Scientific American , vol. 236, нет. 1, стр. 110–121, Бибкод : 1977SciAm.236a.110G, номер документа : 10.1038/scientificamerican0177-110, JSTOR  24953856.
6. Терстон, Уильям П. (1998), «Формы многогранников и триангуляции сферы», в Ривине, Игорь ; Рурк, Колин; Серия, Кэролайн (ред.), День рождения Эпштейна , Монографии по геометрии и топологии, том. 1, Ковентри, стр. 511–549, arXiv : math/9801088 , doi : 10.2140/gtm.1998.1.511, MR  1668340, S2CID  8686884.{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
7. Де Вильерс, Майкл (2009), Некоторые приключения в евклидовой геометрии, Динамическое обучение математике, стр. 16, 55, ISBN 978-0-557-10295-2
8. Сечеи, Дениз (2004), Полное руководство идиота по геометрии, Penguin, стр. 290–291, ISBN 9781592571833
9. Усискин, Залман; Гриффин, Дженнифер (2008), Классификация четырехугольников: исследование определения , Information Age Publishing , стр. 49–52, 63–67.
10. Бимер, Джеймс Э. (май 1975 г.), «Сказка о воздушном змее», Учитель арифметики , 22 (5): 382–386, doi : 10.5951/at.22.5.0382, JSTOR  41188788
11. Александр, Дэниел С.; Кеберлейн, Джералин М. (2014), Элементарная геометрия для студентов колледжей (6-е изд.), Cengage Learning , стр. 180–181, ISBN 9781285965901
12. Суай, Хуан Мигель; Тейра, Дэвид (2014), «Воздушные змеи: взлет и падение научного объекта» (PDF) , Нунциус , 29 (2): 439–463, doi : 10.1163/18253911-02902004
13. Либерман, Анатолий (2009), Происхождение слов... и как мы их знаем: этимология для всех, Oxford University Press , стр. 17, ISBN 9780195387070
14. Хенрици, Олаус (1879), Элементарная геометрия: конгруэнтные фигуры, Лонгманс, Грин, с. xiv
15. Де Вильерс, Майкл (февраль 1994 г.), «Роль и функция иерархической классификации четырехугольников», For the Learning of Mathematics , 14 (1): 11–18, JSTOR  40248098
16. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2020), «Раздел 3.4: Воздушные змеи», Рог изобилия четырехугольников , Математические объяснения Дольчиани, том. 55, Провиденс, Род-Айленд: MAA Press и Американское математическое общество, стр. 73–78, ISBN. 978-1-4704-5312-1, МР  4286138; см. также антипараллелограммы, с. 212
17. Гант, П. (1944), «Заметка о четырехугольниках», The Mathematical Gazette , 28 (278): 29–30, doi : 10.2307/3607362, JSTOR  3607362, S2CID  250436895
18. Йозефссон, Мартин (2012), «Максимальная площадь бицентрического четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 237–241, MR  2990945
19. Болл, Д.Г. (1973), «Обобщение », The Mathematical Gazette , 57 (402): 298–303, doi : 10.2307/3616052, JSTOR  3616052, S2CID  125396664 ${\displaystyle \pi }$
20. Гриффитс, Дэвид; Калпин, Дэвид (1975), «Пи-оптимальные многоугольники», The Mathematical Gazette , 59 (409): 165–175, doi : 10.2307/3617699, JSTOR  3617699, S2CID  126325288
21. Одет, Чарльз; Хансен, Пьер; Свртан, Драгутин (2021), «Использование символических вычислений для определения крупнейших маленьких многоугольников», Journal of Global Optimization , 81 (1): 261–268, doi : 10.1007/s10898-020-00908-w, MR  4299185, S2CID  203042405
22. Дарлинг, Дэвид (2004), Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона, John Wiley & Sons , стр. 260, ISBN 9780471667001
23. Кирби, Мэтью; Амбл, Рональд (2011), «Замощение краев и головоломки со складыванием штампов», Mathematics Magazine , 84 (4): 283–289, arXiv : 0908.3257 , doi : 10.4169/math.mag.84.4.283, MR  2843659, S2CID  123579388
24. Смит, Дэвид; Майерс, Джозеф Сэмюэл; Каплан, Крейг С.; Гудман-Штраус, Хаим (март 2023 г.), Апериодический монотиль , arXiv : 2303.10798
25. Ивс, Говард Уитли (1995), Геометрия колледжа, Jones & Bartlett Learning , стр. 245, ISBN 9780867204759
26. «OC506» (PDF) , Olympiad Corner Solutions, Crux Mathematicorum , 47 (5): 241, май 2021 г.
27. Уиллер, Роджер Ф. (1958), «Четырехугольники», The Mathematical Gazette , 42 (342): 275–276, doi : 10.2307/3610439, JSTOR  3610439, S2CID  250434576
28. Йозефссон, Мартин (2011), «Когда касательный четырехугольник становится воздушным змеем?» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 165–174.
29. Робертсон, С.А. (1977), «Классификация треугольников и четырехугольников», The Mathematical Gazette , 61 (415): 38–49, doi : 10.2307/3617441, JSTOR  3617441, S2CID  125355481
30. Касиматис, Элейн А .; Штейн, Шерман К. (декабрь 1990 г.), «Равнорассечение многоугольников», Discrete Mathematics , 85 (3): 281–294, doi : 10.1016/0012-365X(90)90384-T , MR  1081836, Zbl  0736.05028
31. Джепсен, Чарльз Х.; Седберри, Тревор; Хойер, Рольф (2009), «Равнорассечение четырехугольников в форме воздушного змея» (PDF) , Involve: A Journal of Mathematics , 2 (1): 89–93, doi : 10.2140/involve.2009.2.89 , MR  2501347
32. Берн, Маршалл; Эппштейн, Дэвид (2000), «Четырехсторонняя сетка путем упаковки кругов», Международный журнал вычислительной геометрии и приложений , 10 (4): 347–360, arXiv : cs.CG/9908016 , doi : 10.1142/S0218195900000206, MR  1791192, S2CID  12228995
33. Шатшнайдер, Дорис (1993), «Очарование плитки», в Эммер, Мишель (редактор), The Visual Mind: Art and Mathematics , Серия книг Леонардо, Кембридж, Массачусетс: MIT Press , стр. 157–164, ISBN 0-262-05048-Х, МР  1255846
34. Фатауэр, Роберт (2018), «Искусство и развлекательная математика, основанная на розетках из воздушных змеев», в Торренсе, Ева ; Торренс, Брюс; Секин, Карло ; Фенивеси, Кристоф (ред.), Proceedings of Bridges 2018: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture , Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing, стр. 15–22, ISBN 978-1-938664-27-4
35. Шазель, Бернар ; Карнтикун, Криткорн; Чжэн, Юфэй (2022), «Геометрический подход к неупругому разрушению», Журнал вычислительной геометрии , 13 (1): 197–203, doi : 10.20382/jocg.v13i1a7, MR  4414332
36. Грюнбаум, Б. (1960), «О многогранниках, у которых все грани конгруэнтны», Бюллетень Исследовательского совета Израиля , 8F : 215–218 (1960), MR  0125489 ${\displaystyle E^{3}}$
37. Сакано, Юдай; Акама, Йоджи (2015), «Анизоэдрические сферические треугольники и классификация сферических мозаик с помощью конгруэнтных воздушных змеев, дротиков и ромбов», Hiroshima Mathematical Journal , 45 (3): 309–339, doi : 10.32917/hmj/1448323768 , MR  3429167, S2CID  123859584
38. Данэм, Дуглас; Линдгрен, Джон; Витте, Дэйв (1981), «Создание повторяющихся гиперболических паттернов», Грин, Дуг; Люсидо, Тони; Фукс, Генри (ред.), Труды 8-й ежегодной конференции по компьютерной графике и интерактивным технологиям, SIGGRAPH 1981, Даллас, Техас, США, 3–7 августа 1981 г., Ассоциация вычислительной техники , стр. 215–223, doi : 10.1145/800224.806808 , S2CID  2255628
39. Шварц, Ричард Эван (2007), «Неограниченные орбиты для внешнего биллиарда, I», Journal of Modern Dynamics , 1 (3): 371–424, arXiv : math/0702073 , doi : 10.3934/jmd.2007.1.371, MR  2318496, S2CID  119146537
40. Шварц, Ричард Эван (2009), Внешний бильярд на воздушных змеях , Анналы математических исследований, том. 171, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета , номер номера : 10.1515/9781400831975, ISBN. 978-0-691-14249-4, МР  2562898

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Воздушный змей», MathWorld
• формулы площади с интерактивной анимацией на Mathopenref.com