Парадокс береговой линии — это контринтуитивное наблюдение, что береговая линия суши не имеет четко определенной длины. Это вытекает из свойств береговых линий , подобных фрактальным кривым ; то есть, из того факта, что береговая линия обычно имеет фрактальную размерность . Хотя «парадокс длины» был ранее отмечен Хьюго Штейнхаусом [1], первое систематическое исследование этого явления было проведено Льюисом Фраем Ричардсоном [2] [ 3] , и оно было расширено Бенуа Мандельбротом [4] [5 ]
Измеренная длина береговой линии зависит от метода, используемого для ее измерения, и степени картографической генерализации . Поскольку на суше имеются особенности всех масштабов, от сотен километров до крошечных долей миллиметра и ниже, не существует очевидного размера наименьшей особенности, которую следует учитывать при измерении, и, следовательно, нет единого четко определенного периметра суши. Существуют различные приближения , когда делаются конкретные предположения о минимальном размере особенности.
Проблема принципиально отличается от измерения других, более простых кромок. Например, можно точно измерить длину прямого, идеализированного металлического стержня, используя измерительное устройство, чтобы определить, что длина меньше определенной величины и больше другой величины, то есть измерить ее с определенной степенью неопределенности . Чем точнее измерительное устройство, тем ближе будут результаты к истинной длине кромки. Однако при измерении береговой линии более близкое измерение не приводит к увеличению точности — измерение только увеличивается в длине; в отличие от металлического стержня, нет способа получить точное значение для длины береговой линии.
В трехмерном пространстве парадокс береговой линии легко распространяется на концепцию фрактальных поверхностей , где площадь поверхности изменяется в зависимости от разрешения измерения.
Незадолго до 1951 года Льюис Фрай Ричардсон , исследуя возможное влияние длины границ на вероятность войны, заметил, что португальцы сообщили, что их измеренная граница с Испанией составляет 987 км (613 миль), а испанцы сообщили о ней как о 1214 км (754 мили). Это было началом проблемы береговой линии, которая является математической неопределенностью, присущей измерению границ, которые являются нерегулярными. [6]
Преобладающим методом оценки длины границы (или береговой линии) было нанесение на карту или аэрофотоснимок n равных прямолинейных сегментов длиной l с разделителями . Каждый конец сегмента должен был находиться на границе. Исследуя расхождения в оценке границы, Ричардсон обнаружил то, что сейчас называется «эффектом Ричардсона»: сумма сегментов монотонно увеличивается, когда общая длина сегментов уменьшается. По сути, чем короче линейка, тем длиннее измеряемая граница; испанские и португальские географы просто использовали линейки разной длины.
Результат, наиболее поразительный для Ричардсона, заключается в том, что при определенных обстоятельствах, когда l стремится к нулю, длина береговой линии стремится к бесконечности . Ричардсон полагал, основываясь на евклидовой геометрии, что береговая линия будет стремиться к фиксированной длине, как и аналогичные оценки правильных геометрических фигур. Например, периметр правильного многоугольника , вписанного в окружность, приближается к окружности с увеличением числа сторон (и уменьшением длины одной стороны). В геометрической теории меры такая гладкая кривая, как окружность, которая может быть аппроксимирована небольшими прямыми отрезками с определенным пределом, называется спрямляемой кривой . [7] Бенуа Мандельброт показал, что D не зависит от ε .
Основная концепция длины берет начало от евклидова расстояния . В евклидовой геометрии прямая линия представляет собой кратчайшее расстояние между двумя точками . Эта линия имеет только одну длину. На поверхности сферы она заменяется геодезической длиной (также называемой длиной большого круга ), которая измеряется вдоль поверхностной кривой, существующей в плоскости, содержащей обе конечные точки и центр сферы. Длина основных кривых более сложна, но также может быть вычислена. Измеряя с помощью линейки, можно приблизительно определить длину кривой, добавив сумму прямых линий, соединяющих точки:
Использование нескольких прямых линий для аппроксимации длины кривой даст оценку ниже истинной длины; при использовании все более коротких (и, следовательно, более многочисленных) линий сумма приближается к истинной длине кривой. Точное значение этой длины можно найти с помощью исчисления , раздела математики, позволяющего вычислять бесконечно малые расстояния. Следующая анимация иллюстрирует, как гладкой кривой можно осмысленно присвоить точную длину:
Не все кривые можно измерить таким образом. Фрактал , по определению, — это кривая, воспринимаемая сложность которой меняется с масштабом измерения. В то время как приближения гладкой кривой стремятся к одному значению по мере увеличения точности измерения, измеренное значение для фрактала не сходится.
Поскольку длина фрактальной кривой всегда стремится к бесконечности, если бы кто-то измерил береговую линию с бесконечным или почти бесконечным разрешением, длина бесконечно коротких изломов в береговой линии составила бы в сумме бесконечность. [8] Однако эта цифра основана на предположении, что пространство можно разделить на бесконечно малые секции. Истинное значение этого предположения, которое лежит в основе евклидовой геометрии и служит полезной моделью в повседневных измерениях, является предметом философских спекуляций и может отражать или не отражать изменяющиеся реальности «пространства» и «расстояния» на атомном уровне (приблизительно в масштабе нанометра ) .
Береговые линии менее определенны по своей конструкции, чем идеализированные фракталы, такие как множество Мандельброта , поскольку они образованы различными естественными событиями, которые создают узоры статистически случайным образом, тогда как идеализированные фракталы образуются посредством повторяющихся итераций простых, шаблонных последовательностей. [9]
Более чем через десятилетие после того, как Ричардсон завершил свою работу, Бенуа Мандельброт разработал новую ветвь математики , фрактальную геометрию , для описания именно таких невыпрямляемых комплексов в природе, как бесконечная береговая линия. [10] Его собственное определение новой фигуры, служащей основой для его исследования, следующее: [11]
Я придумал слово fractal от латинского прилагательного fractus . Соответствующий латинский глагол frangere означает «ломать»: создавать нерегулярные фрагменты. Поэтому разумно ... что в дополнение к «фрагментированному» ... fractus также должен означать «нерегулярный».
В статье « Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробная размерность », опубликованной 5 мая 1967 года, [12] Мандельброт обсуждает самоподобные кривые, имеющие размерность Хаусдорфа от 1 до 2. Эти кривые являются примерами фракталов , хотя Мандельброт не использует этот термин в статье, поскольку он не придумывал его до 1975 года. Статья является одной из первых публикаций Мандельброта на тему фракталов. [13]
Эмпирические данные свидетельствуют о том, что чем меньше приращение измерения, тем длиннее становится измеряемая длина. Если бы кто-то измерил участок береговой линии с помощью линейки длиной 1 фут (30 см), то получил бы более короткий результат, чем если бы тот же участок был измерен линейкой длиной 1 фут (30 см) . Это происходит потому, что линейку пришлось бы класть по более криволинейному маршруту, чем тот, по которому шла линейка. Эмпирические данные свидетельствуют о правиле, которое, если его экстраполировать, показывает, что измеряемая длина неограниченно увеличивается по мере того, как шкала измерения уменьшается до нуля. Это обсуждение подразумевает, что бессмысленно говорить о длине береговой линии; необходимы какие-то другие средства количественной оценки береговых линий. Затем Мандельброт описывает различные математические кривые, связанные со снежинкой Коха , которые определены таким образом, что они строго самоподобны. Мандельброт показывает, как вычислить размерность Хаусдорфа каждой из этих кривых, каждая из которых имеет размерность D от 1 до 2 (он также упоминает, но не дает конструкцию для заполняющей пространство кривой Пеано , которая имеет размерность ровно 2). В статье не утверждается, что любая береговая линия или географическая граница на самом деле имеет дробную размерность. Вместо этого в ней отмечается, что эмпирический закон Ричардсона совместим с идеей о том, что географические кривые, такие как береговые линии, могут быть смоделированы случайными самоподобными фигурами дробной размерности. Ближе к концу статьи Мандельброт кратко обсуждает, как можно подойти к изучению фракталоподобных объектов в природе, которые выглядят случайными, а не регулярными. Для этого он определяет статистически самоподобные фигуры и говорит, что они встречаются в природе. Статья важна, потому что она является «поворотным моментом» в ранних размышлениях Мандельброта о фракталах. [14] Это пример связи математических объектов с естественными формами, которая была темой большей части его более поздних работ.
Ключевым свойством некоторых фракталов является самоподобие ; то есть в любом масштабе появляется одна и та же общая конфигурация. Береговая линия воспринимается как заливы, чередующиеся с мысами. В гипотетической ситуации, когда данная береговая линия обладает этим свойством самоподобия, то независимо от того, насколько сильно увеличивается любой небольшой участок береговой линии, появляется похожий рисунок из меньших заливов и мысов, наложенных на более крупные заливы и мысы, вплоть до песчинок. В этом масштабе береговая линия выглядит как мгновенно смещающаяся, потенциально бесконечно длинная нить со стохастическим расположением заливов и мысов, образованных из небольших подручных объектов. В такой среде (в отличие от плавных кривых) Мандельброт утверждает [10]: «длина береговой линии оказывается неуловимым понятием, которое ускользает между пальцами тех, кто хочет ее ухватить».
Существуют различные виды фракталов. Береговая линия с указанным свойством относится к "первой категории фракталов, а именно кривым, фрактальная размерность которых больше 1". Последнее утверждение представляет собой расширение Мандельбротом мысли Ричардсона. Утверждение Мандельброта об эффекте Ричардсона следующее: [15]
где L , длина береговой линии, функция единицы измерения ε , аппроксимируется выражением. F — константа, а D — параметр, который Ричардсон обнаружил зависящим от береговой линии, аппроксимированной L . Он не дал теоретического объяснения, но Мандельброт отождествил D с нецелой формой размерности Хаусдорфа , позже фрактальной размерности. Перестановка выражения дает
где Fε − D должно быть числом единиц ε, необходимых для получения L. Ломаная линия, измеряющая побережье, не простирается в одном направлении и не представляет собой область, а является промежуточной между ними и может рассматриваться как полоса шириной 2 ε . D — ее фрактальная размерность, варьирующаяся от 1 до 2 (и обычно меньше 1,5). Более ломаные береговые линии имеют большее D , и поэтому L длиннее для того же ε . D составляет приблизительно 1,02 для береговой линии Южной Африки и приблизительно 1,25 для западного побережья Великобритании. [5] Для береговых линий озер типичное значение D составляет 1,28. [16]
Парадокс береговой линии описывает проблему с реальными приложениями, включая тривиальные вопросы, такие как какая река , пляж , граница , береговая линия самая длинная, причем первые две записи являются предметом ожесточенных споров; кроме того, проблема распространяется на демаркацию территориальных границ , права собственности , мониторинг эрозии и теоретические последствия нашего геометрического моделирования . Для решения этой проблемы было предложено несколько решений. [17] Эти решения решают практические проблемы вокруг проблемы, устанавливая определение «береговой линии», устанавливая практические физические пределы береговой линии и используя математические целые числа в этих практических ограничениях для вычисления длины с осмысленным уровнем точности. [17] Эти практические решения проблемы могут решить проблему для всех практических приложений, пока она сохраняется как теоретическая/математическая концепция в наших моделях. [18]
Парадокс береговой линии часто критикуется, поскольку береговые линии по своей сути являются конечными, реальными объектами в пространстве, и, следовательно, существует количественный ответ на их длину. [17] [19] Сравнение с фракталами, хотя и полезно в качестве метафоры для объяснения проблемы, критикуется как не совсем точное, поскольку береговые линии не являются самоповторяющимися и принципиально конечны. [17]
Источник парадокса основан на способе, которым мы измеряем реальность, и наиболее уместен при попытке использовать эти измерения для создания картографических моделей побережий. [19] Современные технологии, такие как LiDAR , системы глобального позиционирования и географические информационные системы , значительно упростили решение парадокса; однако ограничения измерений и векторного программного обеспечения сохраняются. [17] Критики утверждают, что эти проблемы носят скорее теоретический, а не практический характер для планировщиков. [17]
С другой стороны, концепция береговой «линии» сама по себе является человеческим конструктом, который зависит от назначения приливных данных , которые не являются плоскими относительно любых вертикальных данных , и, таким образом, любая линия, построенная между сушей и морем где-то в приливной зоне, является полупроизвольной и находится в постоянном движении . Таким образом, большое количество «береговых линий» может быть построено для различных аналитических целей с использованием различных источников данных и методологий, каждая из которых имеет разную длину. Это может усложнить количественную оценку экосистемных услуг с использованием методов, которые зависят от длины береговой линии. [20]
Левый берег Вислы, если измерить его с большей точностью, даст длину в десять, сто и даже тысячу раз большую, чем длина, указанная на школьной карте. Утверждение, почти адекватное реальности, было бы назвать большинство дуг, встречающихся в природе, невыпрямляемыми.
