В философии и логике классический парадокс лжеца или парадокс лжеца или антиномия лжеца — это заявление лжеца о том, что он лжет: например, заявление: «Я лгу». Если лжец действительно лжет, то лжец говорит правду, а это значит, что лжец просто солгал. В высказывании «это предложение есть ложь» парадокс усиливается, чтобы сделать его поддающимся более строгому логическому анализу. Его до сих пор обычно называют «парадоксом лжеца», хотя абстракция делается именно от того, кто лжец делает это заявление. Попытка приписать этому утверждению усиленного лжеца классическое бинарное значение истинности приводит к противоречию .
Если «это предложение ложно» истинно, то оно ложно, но в предложении утверждается, что оно ложно, а если оно ложно, то оно должно быть истинным и так далее.
Парадокс Эпименида (ок. 600 г. до н. э.) был предложен как пример парадокса лжеца, но они логически не эквивалентны. Полумифический провидец Эпименид , критянин , как сообщается, заявил, что «все критяне — лжецы». [1] Однако утверждение Эпименида о том, что все критяне лжецы, можно признать ложным, учитывая, что он знает по крайней мере еще одного критянина, который не лжет (альтернативно, это можно рассматривать просто как утверждение, что все критяне лгут, не то чтобы они говорили только ложь).
Название парадокса переводится как псевдоменос логос (ψευδόμενος λόγος) на древнегреческом языке . Одна из версий парадокса лжеца приписывается греческому философу Евбулиду Милетскому , жившему в IV веке до нашей эры. Сообщается, что Евбулид спросил: «Человек говорит, что он лжет. То, что он говорит, правда или ложь?» [2]
Парадокс однажды обсуждался Иеронимом Стридонским в проповеди:
« В тревоге я сказал: «Каждый человек — лжец! » Дэвид говорит правду или лжёт? Если верно, что каждый человек лжец, и утверждение Давида: «Каждый человек лжец» истинно, то и Давид тоже лжёт; он тоже мужчина. Но если и он лжет, то его утверждение, что «каждый человек лжец», следовательно, неверно. Как бы вы ни повернули это предложение, вывод окажется противоречием. Поскольку сам Давид — человек, то, следовательно, и он лжет; но если он лжет потому, что всякий человек лжец, то его ложь иного рода. [3]
Индийский грамматист и философ Бхартрихари (конец пятого века нашей эры) был хорошо осведомлен о парадоксе лжеца, который он сформулировал как «все, что я говорю, ложно» (sarvam mithyā bravīmi). Он анализирует это утверждение вместе с парадоксом «незначимости» и исследует границу между беспроблемными в повседневной жизни утверждениями и парадоксами. [4] [5]
Парадокс лжеца обсуждался в ранней исламской традиции на протяжении как минимум пяти столетий, начиная с конца IX века, и, по-видимому, без влияния какой-либо другой традиции. Насир ад-Дин ат-Туси мог быть первым логиком, который определил парадокс лжеца как самореферентный . [6]
Проблема парадокса лжеца в том, что он, похоже, показывает, что общие убеждения об истине и ложности на самом деле приводят к противоречию . Могут быть построены предложения, которым невозможно последовательно присвоить истинностное значение, даже если они полностью соответствуют грамматическим и семантическим правилам.
Простейшей версией парадокса является предложение:
Если (А) истинно, то утверждение «Это утверждение ложно» истинно. Следовательно, (А) должно быть ложным. Гипотеза о том, что (А) истинно, приводит к заключению, что (А) ложно, что противоречит.
Если (А) ложно, то «Это утверждение ложно» ложно. Следовательно, (А) должно быть истинным. Гипотеза о том, что (А) ложна, приводит к выводу, что (А) истинно, что представляет собой еще одно противоречие. В любом случае (А) одновременно истинно и ложно, что является парадоксом.
Однако тот факт, что предложение лжеца может оказаться истинным, если оно ложно, и ложным, если оно истинно, привел некоторых к выводу, что оно «ни истинно, ни ложно». [7] Этот ответ на парадокс, по сути, является отказом от утверждения, что каждое утверждение должно быть либо истинным, либо ложным, также известного как принцип бивалентности , концепции, связанной с законом исключенного третьего .
Предположение о том, что это утверждение не является ни истинным, ни ложным, породило следующую, усиленную версию парадокса:
Если (B) не является ни истинным , ни ложным, то оно не должно быть истинным . Поскольку именно это утверждает само (B), это означает, что (B) должно быть истинным . Поскольку изначально (Б) не было верным , а теперь верно, возникает еще один парадокс.
Другая реакция на парадокс (А) состоит в том, чтобы постулировать, как это сделал Грэм Прист , что это утверждение одновременно истинно и ложно. Тем не менее, даже анализ Приста подвержен следующей версии лжеца:
Если (C) одновременно истинно и ложно, то (C) только ложно. Но тогда это неправда . Поскольку изначально (C) было верно , а теперь не верно , это парадокс. Однако утверждалось, что, приняв двузначную реляционную семантику (в отличие от функциональной семантики ), диалетеический подход может преодолеть эту версию Лжеца. [8]
Существуют также версии парадокса лжеца, состоящие из нескольких предложений. Ниже приводится версия из двух предложений:
Предположим, что (D1) верно. Тогда (D2) верно. Это означало бы, что (D1) неверно. Следовательно, (D1) одновременно истинно и ложно.
Предположим, что (D1) неверно. Тогда (D2) ложно. Это означало бы, что (D1) верно. Таким образом, (D1) одновременно истинно и ложно. В любом случае (D1) одновременно истинно и ложно – тот же парадокс, что и (A) выше.
Версия парадокса лжеца, состоящая из нескольких предложений, обобщается на любую циклическую последовательность таких утверждений (где последнее утверждение утверждает истинность/ложность первого утверждения) при условии, что существует нечетное количество утверждений, утверждающих ложность их преемника; Ниже приводится версия из трех предложений, в которой каждое утверждение утверждает ложность своего преемника:
Предположим, что (E1) верно. Тогда (E2) ложно, а значит (E3) истинно, и, следовательно, (E1) ложно, что приводит к противоречию.
Предположим, что (E1) неверно. Тогда (E2) истинно, что означает, что (E3) ложно, и, следовательно, (E1) истинно. В любом случае (E1) одновременно истинно и ложно – тот же парадокс, что и в случае (A) и (D1).
Существует множество других вариантов и множество дополнений. При нормальном построении предложения простейшим вариантом дополнения является предложение:
Если предполагается, что F несет истинностное значение, то возникает проблема определения объекта этого значения. Но возможна более простая версия, если предположить, что единственное слово «истина» имеет истинностное значение. Аналогом парадокса является предположение, что единственное слово «ложь» также имеет истинностное значение, а именно, что оно ложно. Это показывает, что парадокс можно свести к мысленному акту предположения, что сама идея заблуждения имеет истинное значение, а именно, что сама идея заблуждения ложна: акт искажения фактов. Итак, симметричная версия парадокса будет такой:
В нечеткой логике значением истинности утверждения может быть любое действительное число от 0 до 1 включительно, в отличие от булевой логики , где значения истинности могут быть только целочисленными значениями 0 или 1. В этой системе утверждение «Это утверждение ложно» больше не является парадоксальным, поскольку ему можно присвоить значение истинности 0,5, [9] [10], что делает его ровно наполовину истинным, а наполовину ложным. Упрощенное объяснение показано ниже.
Обозначим истинностное значение утверждения «Это утверждение ложно» . Заявление становится
Обобщая оператор НЕ до эквивалентного оператора Заде из нечеткой логики , утверждение становится
из чего следует, что
Альфред Тарский диагностировал парадокс как возникающий только в «семантически закрытых» языках, под которым он имел в виду язык, в котором одно предложение может утверждать истинность (или ложность) другого предложения на том же языке (или даже самого себя). ). Чтобы избежать внутреннего противоречия, необходимо при обсуждении значений истинности представлять себе уровни языков, каждый из которых может утверждать истинность (или ложность) только языков более низкого уровня. Таким образом, когда одно предложение относится к истинностному значению другого, оно семантически выше. Упомянутое предложение является частью «объектного языка», в то время как соответствующее предложение считается частью «метаязыка» по отношению к объектному языку. Предложения на «языках» выше в семантической иерархии имеют право ссылаться на предложения ниже в «языковой» иерархии, но не наоборот. Это не позволяет системе стать самореферентной.
Однако эта система несовершенна. Хотелось бы иметь возможность делать такие утверждения, как «Для каждого утверждения на уровне α иерархии существует утверждение на уровне α +1, которое утверждает, что первое утверждение ложно». Это истинное и значимое утверждение об иерархии, которую определяет Тарский, но оно относится к утверждениям на каждом уровне иерархии, поэтому оно должно находиться выше каждого уровня иерархии и, следовательно, невозможно внутри иерархии (хотя ограниченные версии предложение возможно). [11] [12] Саулу Крипке приписывают определение этой неполноты в иерархии Тарского в его широко цитируемой статье «Очерк теории истины» [12], и это признано общей проблемой в иерархических языках. [12] [13]
Артур Прайор утверждает, что в парадоксе лжеца нет ничего парадоксального. Его утверждение (которое он приписывает Чарльзу Сандерсу Пирсу и Джону Буридану ) состоит в том, что каждое утверждение включает в себя неявное утверждение своей собственной истинности. [14] Так, например, утверждение «Верно, что два плюс два равняется четырем» содержит не больше информации, чем утверждение «два плюс два равняется четырем», поскольку фраза «верно, что...» всегда верна. неявно там. И в духе самореференции «Парадокса лжеца» фраза «это правда, что…» эквивалентна «все это утверждение верно и…».
Таким образом, следующие два утверждения эквивалентны:
Последнее представляет собой простое противоречие формы «А и не А» и, следовательно, ложно. Следовательно, здесь нет никакого парадокса, поскольку утверждение о том, что этот двухсоюзный Лжец ложен, не приводит к противоречию. Юджин Миллс дает аналогичный ответ. [15]
Саул Крипке утверждал, что то, является ли предложение парадоксальным или нет, может зависеть от случайных фактов. [11] : 6 Если единственное, что Смит говорит о Джонсе, это
и Джонс говорит о Смите только эти три вещи:
Если Смит действительно большой транжира, но не снисходителен к преступности, то и замечание Смита о Джонсе, и последнее замечание Джонса о Смите парадоксальны.
Крипке предлагает следующее решение. Если истинностное значение утверждения в конечном итоге связано с каким-то поддающимся оценке фактом о мире, то это утверждение «обосновано». Если нет, то это утверждение «необоснованно». Необоснованные утверждения не имеют истинностного значения. Лживые утверждения и лжеподобные утверждения необоснованны и, следовательно, не имеют истинной ценности.
Джон Барвайз и Джон Этчеменди предполагают, что предложение лжеца (которое они интерпретируют как синоним «Усиленного лжеца») двусмысленно. Они основывают этот вывод на различии между «отрицанием» и «отрицанием». Если лжец имеет в виду: «Это утверждение неправда», то он отрицает себя. Если это означает: «Это утверждение неверно», то оно отрицает само себя. Далее они утверждают, основываясь на семантике ситуации , что «лжец-отрицатель» может быть истинным без противоречия, в то время как «лжец-отрицатель» может быть ложным без противоречия. В их книге 1987 года широко используется необоснованная теория множеств . [16]
Грэм Прист и другие логики, в том числе Дж. К. Билл и Брэдли Армор-Гарб, предложили считать предложение лжеца одновременно истинным и ложным, и эта точка зрения известна как диалетеизм . Диалетеизм – это точка зрения, согласно которой существуют истинные противоречия. Диалетеизм поднимает свои собственные проблемы. Главный из них заключается в том, что, поскольку диалетеизм признает парадокс лжеца, внутреннее противоречие, истинным, он должен отказаться от давно признанного принципа взрыва , который утверждает, что любое утверждение может быть выведено из противоречия, если только диалетеист не желает принять его. тривиализм – мнение, что все предложения истинны. Поскольку тривиализм является интуитивно ложным взглядом, диалетеисты почти всегда отвергают принцип взрыва. Логики, отвергающие ее, называются паранепротиворечивыми .
Эндрю Ирвин выступал в пользу некогнитивистского решения парадокса, предполагая, что некоторые, казалось бы, правильно построенные предложения не окажутся ни истинными, ни ложными, и что «одни лишь формальные критерии неизбежно окажутся недостаточными» для разрешения парадокса. [7]
Индийский грамматик-философ Бхартрихари (конец пятого века нашей эры) рассматривал такие парадоксы, как лжец, в разделе одной из глав своего великого произведения «Вакьяпадия». [ нужна цитата ] Решение Бхартрихари вписывается в его общий подход к языку, мышлению и реальности, который некоторые характеризуют как «релятивистский», «ни к чему не обязывающий» или «перспективистский». [17] Что касается парадокса лжеца ( sarvam mithyā bravīmi «все, что я говорю — ложь»), Бхартрихари выделяет скрытый параметр, который может превратить беспроблемные ситуации в повседневном общении в упрямый парадокс. Решение Бхартрихари можно понять в терминах решения, предложенного в 1992 году Джулианом Робертсом: «Парадоксы поглощают сами себя. определенный момент времени не обязательно должен быть таким в другом... Общая сила «остиновского» аргумента заключается не просто в том, что «все меняется», но и в том, что рациональность по существу временна, поскольку нам нужно время, чтобы примирить и управлять тем, что в противном случае было бы быть взаимно деструктивными государствами». [18] По предположению Роберта, именно фактор «время» позволяет нам примирить разделенные «части мира», которые играют решающую роль в решении Барвайза и Этчеменди. [16] : 188 Способность времени предотвратить прямую конфронтацию двух «частей света» здесь внешняя по отношению к «лжецу». Однако в свете анализа Бхартрихари протяженность во времени, разделяющая две точки зрения на мир или две «части мира» – часть до и часть после того, как функция выполняет свою задачу – присуща любой «функции»: также функция обозначения, лежащая в основе каждого высказывания, включая «лжеца». [5] [ необходимы разъяснения ] Неразрешимый парадокс – ситуация, в которой мы имеем либо противоречие ( виродха ), либо бесконечный регресс ( анавастха ) – возникает в случае лжеца и других парадоксов, таких как парадокс незначимости ( парадокс Бхартрихари ), когда абстрагируется от этой функции ( вьяпара ) и ее расширения во времени путем принятия одновременной противоположной функции ( апара вьяпара ), отменяющей предыдущую.
Для лучшего понимания парадокса лжеца полезно записать его более формально. Если «это утверждение ложно» обозначается буквой A и ищется его истинностное значение, необходимо найти условие, которое ограничивает выбор возможных значений истинности A. Поскольку A самореференциально, можно задать условие по уравнению.
Если какое-то утверждение B считается ложным, пишут: «B = ложь». Утверждение (C) о том, что утверждение B ложно, можно было бы записать как «C = 'B = false ' ». Теперь парадокс лжеца можно выразить как утверждение А о том, что А ложно:
Это уравнение, из которого, как мы надеемся, можно получить значение истинности A = «это утверждение ложно». В логической области «A = false» эквивалентно «не A», и поэтому уравнение неразрешимо. Это мотивация для новой интерпретации А. Самый простой логический подход, позволяющий сделать уравнение разрешимым, - это диалетеистический подход, и в этом случае решение состоит в том, что А является одновременно «истинным» и «ложным». Другие резолюции в основном включают некоторые модификации уравнения; Артур Прайор утверждает, что уравнение должно быть таким: «А = 'А = ложь и А = истина ' », и, следовательно, А ложно. В вычислительной логике глаголов парадокс лжеца распространяется на такие утверждения, как «Я слышу, что он говорит; он говорит то, чего я не слышу», где для разрешения парадокса необходимо использовать глагольную логику. [19]
Теоремы Гёделя о неполноте — это две фундаментальные теоремы математической логики , которые устанавливают внутренние ограничения достаточно мощных аксиоматических систем математики. Теоремы были доказаны Куртом Гёделем в 1931 году и играют важную роль в философии математики. Грубо говоря, при доказательстве первой теоремы о неполноте Гёдель использовал модифицированную версию парадокса лжеца, заменив «это предложение ложно» на «это предложение недоказуемо», получившее название «предложение Гёделя G». Его доказательство показало, что для любой достаточно мощной теории T G истинно, но недоказуемо в T. Анализ истинности и доказуемости G представляет собой формализованную версию анализа истинности предложения лжеца. [20]
Чтобы доказать первую теорему о неполноте, Гёдель представил утверждения числами . Тогда рассматриваемая теория, которая, как предполагается, доказывает определенные факты о числах, также доказывает факты о своих собственных утверждениях. Вопросы о доказуемости утверждений представляются как вопросы о свойствах чисел, которые были бы разрешимы теорией, если бы она была полной. В этих терминах предложение Гёделя утверждает, что не существует натурального числа с определенным странным свойством. Число с этим свойством будет кодировать доказательство несостоятельности теории. Если бы такое число существовало, то теория была бы противоречивой, вопреки гипотезе непротиворечивости. Итак, если предположить, что теория непротиворечива, такого числа не существует.
Невозможно заменить «недоказуемое» на «ложное» в предложении Гёделя, поскольку предикат «Q — число Гёделя ложной формулы» не может быть представлен как арифметическая формула. Этот результат, известный как теорема о неопределимости Тарского , был открыт независимо Гёделем (когда он работал над доказательством теоремы о неполноте) и Альфредом Тарским .
С тех пор Джордж Булос набросал альтернативное доказательство первой теоремы о неполноте, в котором для построения истинной, но недоказуемой формулы используется парадокс Берри , а не парадокс лжеца.
Парадокс лжеца иногда используется в художественной литературе, чтобы отключить искусственный интеллект, который представлен как неспособный обработать предложение. В эпизоде сериала « Звездный путь: Оригинальный сериал » « Я, Мадд » парадокс лжеца используется капитаном Кирком и Гарри Маддом , чтобы сбить с толку и в конечном итоге вывести из строя андроида, удерживающего их в плену. В сериале «Зеленая смерть» Доктора Кто 1973 года Доктор временно ставит в тупик безумного компьютерного БОССА, спрашивая его: «Если бы я сказал вам, что следующее, что я скажу, было бы правдой, но что последнее, что я сказал, было бы ложью, это было бы правдой». ты веришь мне?" БОСС пытается разобраться, но не может и в конце концов решает, что вопрос не имеет значения, и вызывает охрану.
В видеоигре Portal 2 2011 года искусственный интеллект GLaDOS пытается использовать парадокс «это предложение ложно», чтобы убить другой искусственный интеллект, Уитли . Однако, не имея ума, чтобы осознать, что это утверждение является парадоксом, он просто отвечает: «Хм, правда. Я выберу правду. Вот это было легко». и не затрагивается. Как ни странно, все остальные присутствующие ИИ, за исключением ГЛаДОС, которые значительно менее разумны и сознательны, чем она и Уитли, все еще убиты, услышав парадокс. Однако позже ГЛаДОС отмечает, что она чуть не покончила с собой из-за собственной попытки убить Уитли.
Песня Devo , Enough Said , включает в себя слова: «Следующее, что я скажу вам, будет правдой / Последнее, что я сказал, было ложью».
В седьмом эпизоде Minecraft: Story Mode под названием «Доступ запрещен» главный герой Джесси и его друзья попадают в плен к суперкомпьютеру под названием PAMA. После того, как ПАМА контролирует двух друзей Джесси, Джесси узнает, что ПАМА останавливается при обработке, и использует парадокс, чтобы сбить его с толку и сбежать со своим последним другом. Один из парадоксов, который игрок может заставить рассказать Джесси, — это парадокс лжеца.
Песня « Liar » группы Rollins Band 1994 года намекает на парадокс, когда рассказчик заканчивает песню словами: «Я буду лгать снова и снова, и я буду продолжать лгать, обещаю».
Песня Роберта Эрла Кина «The Road Goes On and On» намекает на этот парадокс. Широко распространено мнение, что песня была написана как часть вражды Кина с Тоби Китом, который, по-видимому, является тем «лжецом», о котором говорит Кин. [21]
