В математике модулярная форма — это (комплексная) аналитическая функция в верхней полуплоскости , которая удовлетворяет:
Поэтому теория модулярных форм относится к комплексному анализу . Основное значение теории — ее связь с теорией чисел . Модульные формы появляются и в других областях, таких как алгебраическая топология , упаковка сфер и теория струн .
Теория модульных форм является частным случаем более общей теории автоморфных форм , которые представляют собой функции, определенные на группах Ли , которые хорошо преобразуются относительно действия определенных дискретных подгрупп , обобщая пример модулярной группы .
Термин «модульная форма» как систематическое описание обычно приписывают Гекке.
Каждая модульная форма привязана к представлению Галуа . [1]
В общем, [2] для данной подгруппы конечного индекса , называемой арифметической группой , модулярная форма уровня и веса является голоморфной функцией из верхней полуплоскости такой, что выполняются два условия:
где и функция отождествляется с матрицей. Отождествление таких функций с такими матрицами приводит к тому, что композиция таких функций соответствует умножению матриц. Кроме того, ее называют формой возврата , если она удовлетворяет следующему условию роста:
Модульные формы также можно интерпретировать как участки определенного линейного расслоения на модульных разновидностях . Для модульной формы уровень и вес можно определить как элемент
где – каноническое линейное расслоение на модулярной кривой
Размерности этих пространств модулярных форм можно вычислить с помощью теоремы Римана–Роха . [3] Классическими модулярными формами для являются сечения линейного расслоения на стеке модулей эллиптических кривых .
Модульная функция — это функция, инвариантная относительно модулярной группы, но без условия голоморфности f ( z ) в верхней полуплоскости (среди прочих требований) . Вместо этого модулярные функции мероморфны : они голоморфны в дополнении множества изолированных точек, которые являются полюсами функции.
Модульная форма веса k для модульной группы
— комплексная функция f в верхней полуплоскости H = { z ∈ C , Im ( z ) > 0}, удовлетворяющая следующим трем условиям:
Примечания:
Модульную форму можно эквивалентно определить как функцию F от набора решеток в C до набора комплексных чисел , которая удовлетворяет определенным условиям:
Ключевая идея доказательства эквивалентности двух определений состоит в том, что такая функция F определяется в силу второго условия своими значениями на решетках вида Z + Z τ , где τ ∈ H .
Серия И. Эйзенштейн
Простейшими примерами с этой точки зрения являются ряды Эйзенштейна . Для каждого четного целого числа k > 2 мы определяем G k (Λ) как сумму λ − k по всем ненулевым векторам λ из Λ :
Тогда Gk — модулярная форма веса k . Для Λ = Z + Z τ имеем
и
Условие k > 2 необходимо для сходимости ; для нечетного k существует сокращение между λ − k и (− λ ) − k , так что такие ряды тождественно равны нулю.
II. Тэта-функции четных унимодулярных решеток
Четная унимодулярная решетка L в R n — это решетка, порожденная n векторами, образующими столбцы матрицы определителя 1 и удовлетворяющая условию, что квадрат длины каждого вектора в L является четным целым числом. Так называемая тета-функция
сходится, когда Im(z) > 0, и, как следствие формулы суммирования Пуассона, можно показать, что это модулярная форма веса n /2 . Построить четные унимодулярные решетки не так-то просто, но есть один из способов: пусть n — целое число, делящееся на 8, и рассмотрим все векторы v в R n такие, что 2 v имеет целые координаты, либо все четные, либо все нечетные, и такие что сумма координат v является четным целым числом. Мы называем эту решетку L n . Когда n = 8 , это решетка, порожденная корнями корневой системы, называемой E 8 . Поскольку существует только одна модульная форма веса 8 с точностью до скалярного умножения,
хотя решетки L 8 × L 8 и L 16 не подобны. Джон Милнор заметил, что 16-мерные торы , полученные делением R 16 на эти две решетки, являются, следовательно, примерами компактных римановых многообразий , которые являются изоспектральными , но не изометрическими (см. «Услышать форму барабана» ).
III. Модульный дискриминант
Эта-функция Дедекинда определяется как
где q – квадрат нома . Тогда модульный дискриминант Δ( z ) = (2π) 12 η ( z ) 24 является модулярной формой веса 12. Наличие 24 связано с тем, что решетка Лича имеет 24 измерения. Знаменитая гипотеза Рамануджана утверждала , что когда Δ( z ) разлагается в степенной ряд по q, коэффициент при q p для любого простого числа p имеет абсолютное значение ≤ 2 p 11/2 . Это было подтверждено работами Эйхлера , Шимуры , Куги , Ихары и Пьера Делиня в результате доказательства Делинем гипотез Вейля , которые, как было показано, подразумевают гипотезу Рамануджана.
Второй и третий примеры дают некоторый намек на связь между модулярными формами и классическими вопросами теории чисел, такими как представление целых чисел квадратичными формами и статистическая сумма . Решающую концептуальную связь между модулярными формами и теорией чисел обеспечивает теория операторов Гекке , которая также дает связь между теорией модулярных форм и теорией представлений .
Когда вес k равен нулю, с помощью теоремы Лиувилля можно показать , что единственные модульные формы являются постоянными функциями. Однако ослабление требования голоморфности f приводит к понятию модулярных функций . Функция f : H → C называется модулярной, если она удовлетворяет следующим свойствам:
Его часто пишут в терминах (квадрат нома ) , как:
Это также называется q -разложением f ( принцип q-разложения ). Коэффициенты известны как коэффициенты Фурье функции f , а число m называется порядком полюса функции f в точке i∞. Это условие называется «мероморфным на вершине», что означает, что только конечное число коэффициентов с отрицательным числом n отличны от нуля, поэтому q -разложение ограничено снизу, гарантируя, что оно мероморфно при q = 0. [примечание 2]
Иногда используется более слабое определение модулярных функций - согласно альтернативному определению достаточно, чтобы f была мероморфной в открытой верхней полуплоскости и чтобы f была инвариантной относительно подгруппы модулярной группы конечного индекса. [4] В данной статье это не соблюдается.
Другой способ сформулировать определение модулярных функций — использовать эллиптические кривые : каждая решетка Λ определяет эллиптическую кривую C /Λ над C ; две решетки определяют изоморфные эллиптические кривые тогда и только тогда, когда одна получается из другой умножением на некоторое ненулевое комплексное число α . Таким образом, модулярную функцию можно рассматривать и как мероморфную функцию на множестве классов изоморфизма эллиптических кривых. Например, j-инвариант j ( z ) эллиптической кривой, рассматриваемый как функция на множестве всех эллиптических кривых, является модулярной функцией. С более концептуальной точки зрения модулярные функции можно рассматривать как функции в пространстве модулей классов изоморфизма комплексных эллиптических кривых.
Модульная форма f , которая обращается в нуль при q = 0 (эквивалентно a 0 = 0 , также перефразируемая как z = i ∞ ), называется формой возврата ( Spitzenform на немецком языке ). Наименьшее n такое, что a n ≠ 0 — это порядок нуля f в точке i ∞ .
Модульная единица — это модульная функция, полюсы и нули которой ограничены точками возврата. [5]
Функциональное уравнение, т. е. поведение f относительно можно смягчить, потребовав его только для матриц в меньших группах.
Пусть G — подгруппа SL(2, Z ) , имеющая конечный индекс . Такая группа G действует на H так же, как SL(2, Z ) . Можно показать, что фактортопологическое пространство G \ H является хаусдорфовым пространством . Обычно он не компактен, но его можно компактифицировать, добавив конечное число точек, называемых точками возврата . Это точки на границе H , т.е. в Q ∪{∞}, [примечание 3] такие, что существует параболический элемент G (матрица со следом ±2), фиксирующий точку. Это дает компактное топологическое пространство G \ H ∗ . Более того, ей можно наделить структуру римановой поверхности , что позволяет говорить о голо- и мероморфных функциях.
Важными примерами являются для любого положительного целого числа N любая из подгрупп конгруэнтности
Для G = Γ 0 ( N ) или Γ ( N ) пространства G \ H и G \ H ∗ обозначаются Y 0 ( N ) и X 0 ( N ) и Y ( N ), X ( N ) соответственно.
Геометрию G \ H ∗ можно понять, изучая фундаментальные области для G , т.е. подмножества D ⊂ H такие, что D пересекает каждую орбиту действия G на H ровно один раз и такие, что замыкание D соответствует всем орбитам. Например, можно вычислить род G \ H ∗ . [6]
Модульная форма для G веса k — это функция на H , удовлетворяющая приведенному выше функциональному уравнению для всех матриц в G , то есть голоморфная на H и во всех точках возврата G. Опять же, модулярные формы, которые исчезают во всех точках возврата, называются формами сборки для G . C -векторные пространства модулярной и параболической форм веса k обозначаются M k ( G ) и S k ( G ) соответственно. Аналогично мероморфная функция на G \ H ∗ называется модулярной функцией для G. В случае G = Γ 0 ( N ) их также называют модулярными/касп-формами и функциями уровня N . Для G = Γ(1) = SL(2, Z ) это возвращает приведенные выше определения.
Теорию римановых поверхностей можно применить к G \ H ∗ для получения дополнительной информации о модулярных формах и функциях. Например, пространства Mk ( G ) и Sk ( G ) конечномерны , а их размерности можно вычислить благодаря теореме Римана – Роха в терминах геометрии G -действия на H. [7] Например,
где обозначает функцию пола и является четным.
Модульные функции составляют поле функций римановой поверхности и, следовательно, образуют поле первой степени трансцендентности (над C ). Если модулярная функция f не равна тождественно 0, то можно показать, что число нулей f равно числу полюсов f в замыкании фундаментальной области R Γ . Можно показать , что поле модулярной функции f не равно 0. функция уровня N ( N ≥ 1) порождается функциями j ( z ) и j ( Nz ). [8]
Ситуацию можно выгодно сравнить с той, которая возникает при поиске функций в проективном пространстве P( V ): в этой ситуации в идеале хотелось бы, чтобы функции F в векторном пространстве V были полиномиальными в координатах v ≠ 0 в V и удовлетворяют уравнению F ( cv ) = F ( v ) для всех ненулевых c . К сожалению, единственные такие функции — константы. Если мы допустим знаменатели (рациональные функции вместо многочленов), мы можем позволить F быть отношением двух однородных многочленов одной и той же степени. В качестве альтернативы мы можем придерживаться полиномов и ослабить зависимость от c , полагая F ( cv ) = c k F ( v ). Тогда решения представляют собой однородные многочлены степени k . С одной стороны, они образуют конечномерное векторное пространство для каждого k , а с другой, если мы позволим k меняться, мы сможем найти числители и знаменатели для построения всех рациональных функций, которые на самом деле являются функциями в базовом проективном пространстве P. ( В ).
Можно задаться вопросом: поскольку однородные полиномы на самом деле не являются функциями P( V ), каковы они с геометрической точки зрения? Алгебро -геометрический ответ заключается в том, что они представляют собой сечения пучка ( в данном случае можно также сказать, линейного расслоения ). Точно аналогичная ситуация и с модульными формами.
С этого геометрического направления также можно выгодно подойти к модульным формам как к сечениям линейных расслоений в пространстве модулей эллиптических кривых.
Для подгруппы Γ группы SL(2, Z ) кольцо модулярных форм — это градуированное кольцо , порожденное модулярными формами Γ . Другими словами, если Mk ( Γ) — кольцо модулярных форм веса k , то кольцо модулярных форм Γ является градуированным кольцом .
Кольца модулярных форм конгруэнтных подгрупп группы SL(2, Z ) конечно порождены благодаря результату Пьера Делиня и Майкла Рапопорта . Такие кольца модулярных форм порождаются с весом не более 6, а отношения - с весом не более 12, когда конгруэнтная подгруппа имеет модулярные формы с ненулевым нечетным весом, а соответствующие границы равны 5 и 10, когда нет модулярных форм с ненулевым нечетным весом. .
В более общем смысле существуют формулы для оценок весов образующих кольца модулярных форм и их соотношений для произвольных фуксовых групп .
Если f голоморфна в точке возврата (не имеет полюса в точке q = 0), она называется целой модулярной формой .
Если f мероморфна, но не голоморфна в точке возврата, она называется неполной модулярной формой . Например, j-инвариант представляет собой неполную модульную форму веса 0 и имеет простой полюс в точке i∞.
Новые формы — это подпространство модулярных форм [9] фиксированного веса , которое не может быть построено из модулярных форм младших весов, делящих . Остальные формы называются старыми формами . Эти старые формы можно построить, используя следующие наблюдения: если затем дать обратное включение модульных форм .
Форма возврата — это модулярная форма с нулевым постоянным коэффициентом в ряду Фурье. Это называется формой возврата, потому что форма исчезает на всех точках возврата.
Помимо классического, существует ряд других вариантов использования термина «модульная функция»; например, в теории мер Хаара это функция ∆( g ) , определяемая действием сопряжения.
Формы Мааса являются вещественно-аналитическими собственными функциями лапласиана , но не обязательно должны быть голоморфными . Голоморфные части некоторых слабых волновых форм Мааса оказываются, по сути, ложными тета-функциями Рамануджана . Можно рассматривать группы, не являющиеся подгруппами SL(2, Z ) .
Модульные формы Гильберта — это функции от n переменных, каждая из которых представляет собой комплексное число в верхней полуплоскости, удовлетворяющие модульному соотношению для матриц 2 × 2 с элементами в полностью вещественном числовом поле .
Модулярные формы Зигеля связаны с более крупными симплектическими группами точно так же, как классические модулярные формы связаны с SL(2, R ) ; другими словами, они связаны с абелевыми многообразиями в том же смысле, в каком классические модулярные формы (которые иногда называют эллиптическими модулярными формами , чтобы подчеркнуть это) связаны с эллиптическими кривыми.
Формы Якоби представляют собой смесь модульных форм и эллиптических функций. Примеры таких функций очень классические — тэта-функции Якоби и коэффициенты Фурье модулярных форм Зигеля второго рода — но относительно недавнее наблюдение показало, что формы Якоби имеют арифметическую теорию, очень аналогичную обычной теории модулярных форм.
Автоморфные формы расширяют понятие модулярных форм на общие группы Ли .
Модульные интегралы веса k — это мероморфные функции в верхней полуплоскости умеренного роста на бесконечности, которые не могут быть модулярными с весом k рациональной функцией.
Автоморфные факторы - это функции формы , которые используются для обобщения отношения модулярности, определяющего модульные формы, так что
Функция называется небентипусом модульной формы. Такие функции, как эта-функция Дедекинда , модульная форма веса 1/2, могут быть включены в теорию, допуская автоморфные факторы.
Теория модульных форм развивалась в четыре периода:
Танияма и Шимура выявили соответствие 1 к 1 между определенными модульными формами и эллиптическими кривыми. Роберт Ленглендс опирался на эту идею при создании своей обширной программы Ленглендса , которая стала одной из самых далеко идущих и последовательных исследовательских программ в области математики.
В 1994 году Эндрю Уайлс использовал модульные формы для доказательства Великой теоремы Ферма . В 2001 году была доказана модулярность всех эллиптических кривых над рациональными числами. В 2013 году была доказана модулярность эллиптических кривых над действительными квадратичными полями . В 2023 году было доказано, что эллиптические кривые являются модулярными примерно для половины мнимых квадратичных полей, включая поля, образованные путем объединения рациональных чисел с квадратным корнем из целых чисел до -5. [1]