Высоко составное число

Положительное целое число, у которого делителей больше, чем у любого меньшего положительного целого числа.

Демонстрация с помощью палочек Кюизенера первых четырех сложных чисел: 1, 2, 4, 6.

Составное число — это целое положительное число , у которого больше делителей , чем у любого меньшего положительного целого числа. Связанное с этим понятие — это в значительной степени составное число , положительное целое число, имеющее по крайней мере столько же делителей, сколько любое меньшее положительное целое число. Название может вводить в заблуждение, поскольку первые два весьма составных числа (1 и 2) на самом деле не являются составными числами ; однако все дальнейшие условия таковы.

Рамануджан написал статью о сложных числах в 1915 году. ^[1]

Математик Жан-Пьер Кахан предположил, что Платон , должно быть, знал о весьма сложных числах, поскольку он сознательно выбрал такое число, 5040 (=  7! ), как идеальное количество горожан в городе. ^[2] Кроме того, статья Вардулакиса и Пью посвящена аналогичному исследованию числа 5040. ^[3]

Примеры

Первые 41 весьма составное число перечислены в таблице ниже (последовательность A002182 в OEIS ). Количество делителей указано в столбце с надписью d ( n ). Звездочки обозначают превосходные высококомплексные числа .

Делители первых 19 сложных чисел показаны ниже.

В таблице ниже показаны все 72 делителя числа 10080, записанные в виде произведения двух чисел 36 различными способами.

15-тысячное сложное число можно найти на сайте Ахима Фламменкампа. Это произведение 230 простых чисел:

${\displaystyle a_{0}^{14}a_{1}^{9}a_{2}^{6}a_{3}^{4}a_{4}^{4}a_{5}^{3}a_{6}^{3}a_{7}^{3}a_{8}^{2}a_{9}^{2}a_{10}^{2}a_{11}^{2}a_{12}^{2}a_{13}^{2}a_{14}^{2}a_{15}^{2}a_{16}^{2}a_{17}^{2}a_{18}^{2}a_{19}a_{20}a_{21}\cdots a_{229},}$

где – е последовательное простое число, а все пропущенные члены ( от ₂₂ до 228 ) являются множителями с показателем степени _, равным единице (т.е. число равно ). Короче говоря, это продукт семи различных первоначальных элементов: ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{14}\times 3^{9}\times 5^{6}\times \cdots \times 1451}$

${\displaystyle b_{0}^{5}b_{1}^{3}b_{2}^{2}b_{4}b_{7}b_{18}b_{229},}$

где первобытное .​ ^[4] ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle a_{0}a_{1}\cdots a_{n}}$

простые множители

График количества делителей целых чисел от 1 до 1000. Числа с высокой степенью сложности выделены жирным шрифтом, а числа с высокой степенью сложности отмечены звездочкой. В файле SVG наведите указатель мыши на полосу, чтобы просмотреть ее статистику.

Грубо говоря, чтобы число было составным, оно должно иметь как можно меньшие простые делители , но не слишком много одинаковых. По фундаментальной теореме арифметики каждое положительное целое число n имеет уникальную простую факторизацию:

${\displaystyle n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}}$

где являются простыми числами, а показатели степени являются целыми положительными числами. ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k}}$ ${\displaystyle c_{i}}$

Любой фактор числа n должен иметь одинаковую или меньшую кратность в каждом простом числе:

${\displaystyle p_{1}^{d_{1}}\times p_{2}^{d_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{d_{k}},0\leq d_{i}\leq c_{i},0<i\leq k}$

Таким образом, число делителей числа n равно:

${\displaystyle d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).}$

Следовательно, для весьма составного числа n

• k заданных простых чисел p _i должны быть в точности первыми k простыми числами (2, 3, 5, ...); в противном случае мы могли бы заменить одно из данных простых чисел меньшим простым и, таким образом, получить число меньшее, чем n , с тем же количеством делителей (например, 10 = 2 × 5 можно заменить на 6 = 2 × 3; оба имеют четыре делителя);
• последовательность показателей должна быть невозрастающей, т.е. в противном случае, поменяв два показателя степени, мы снова получили бы число меньшее, чем n , с тем же количеством делителей (например, 18 = 2 ¹  × 3 ² можно заменить на 12 = 2 ²  × 3 ¹ ; оба имеют шесть делителей). ${\displaystyle c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k}}$

Кроме того, за исключением двух особых случаев n  = 4 и n  = 36, последний показатель степени c _k должен равняться 1. Это означает, что 1, 4 и 36 — единственные квадратные весьма составные числа. Сказать, что последовательность показателей не возрастает, равносильно утверждению, что составное число является произведением простых чисел или, альтернативно, наименьшим числом для его простого сигнатуры .

Заметим, что хотя описанные выше условия и необходимы, их недостаточно для того, чтобы число было высоко составным. Например, 96 = 2 ⁵ × 3 удовлетворяет вышеуказанным условиям и имеет 12 делителей, но не является очень составным, поскольку существует меньшее число (60), имеющее такое же количество делителей.

Асимптотический рост и плотность

Если Q ( x ) обозначает количество сложных чисел, меньших или равных x , то существуют две константы a и b , обе больше 1, такие, что

${\displaystyle (\log x)^{a}\leq Q(x)\leq (\log x)^{b}\,.}$

Первую часть неравенства доказал Поль Эрдеш в 1944 году, а вторую часть — Жан-Луи Николя в 1988 году. Имеем

${\displaystyle 1.13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.44\ }$

и

${\displaystyle \limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.71\ .}$^[5]

Связанные последовательности

Диаграмма Эйлера чисел до 100:

   Обильный

   Примитивное изобилие

   Очень обильный

   Сверхобильные и очень сложные

   Колоссально обильный и превосходный высококомпозитный

   Странный

   Идеальный

   Композитный

   Дефицит

Составные числа больше 6 также являются избыточными числами . Чтобы убедиться в этом факте, достаточно взглянуть на три крупнейших собственных делителя конкретного весьма составного числа. Неверно, что все составные числа также являются числами Харшада по основанию 10. Первое составное число, не являющееся числом Харшада, равно 245 044 800; его сумма цифр равна 27, которая не делится на 245 044 800 поровну.

10 из первых 38 сложных чисел являются превосходными сложными числами . Последовательность весьма составных чисел (последовательность A002182 в OEIS ) является подмножеством последовательности наименьших чисел k ровно с n делителями (последовательность A005179 в OEIS ).

Высокосоставные числа, число делителей которых также является весьма составным числом, — это

1, 2, 6, 12, 60, 360, 1260, 2520, 5040, 55440, 277200, 720720, 3603600, 61261200, 2205403200, 293318625600, 6746328388800, 195643523275200 (последовательность A189394 в OEIS ).

Весьма вероятно, что эта последовательность является полной.

Положительное целое число n является в значительной степени составным числом, если d ( n ) ≥ d ( m ) для всех m ≤ n . Считающая функция Q _L ( x ) в значительной степени составных чисел удовлетворяет

${\displaystyle (\log x)^{c}\leq \log Q_{L}(x)\leq (\log x)^{d}\ }$

для положительных c и d с . ^{[6] [7]} ${\displaystyle 0.2\leq c\leq d\leq 0.5}$

Поскольку при факторизации простого составного числа используются все первые k простых чисел, каждое весьма составное число должно быть практическим числом . ^[8] Из-за простоты использования в вычислениях с дробями многие из этих чисел используются в традиционных системах измерения и инженерных проектах.

Смотрите также

• Превосходное высокосложное число
• Очень внимательный номер
• Таблица делителей
• Функция Эйлера
• Круглое число
• Гладкий номер

Примечания

1. Рамануджан, С. (1915). «Сильно составные числа» (PDF) . Учеб. Лондонская математика. Соц . Серия 2. 14 : 347–409. дои : 10.1112/plms/s2_14.1.347. ЖФМ  45.1248.01.
2. Кахане, Жан-Пьер (февраль 2015 г.), «Извилины Бернулли и самоподобные меры после Эрдёша: личная закуска», Уведомления Американского математического общества , 62 (2): 136–140. Кахане цитирует Законы Платона , 771c.
3. Вардулакис, Антонис; Пью, Клайв (сентябрь 2008 г.), «Скрытая теорема Платона о распределении простых чисел», The Mathematical Intelligencer , 30 (3): 61–63..
4. Фламменкамп, Ахим, Высокосложные числа..
5. Шандор и др. (2006) с. 45
6. Шандор и др. (2006) с. 46
7. Николя, Жан-Луи (1979). «Перераспределение больших композиций». Акта Арит. (На французском). 34 (4): 379–390. дои : 10.4064/aa-34-4-379-390 . Збл  0368.10032.
8. Шринивасан, АК (1948), «Практические числа» (PDF) , Current Science , 17 : 179–180, MR  0027799.

Рекомендации

• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag . стр. 45–46. ISBN 1-4020-4215-9. Збл  1151.11300.
• Эрдеш, П. (1944). «О весьма составных числах» (PDF) . Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 19 (75_Часть_3): 130–133. doi : 10.1112/jlms/19.75_part_3.130. МР  0013381.
• Алаоглу, Л. ; Эрдеш, П. (1944). «О весьма составных и подобных числах» (PDF) . Труды Американского математического общества . 56 (3): 448–469. дои : 10.2307/1990319. JSTOR  1990319. MR  0011087.
• Рамануджан, Шриниваса (1997). «Сильно составные числа» (PDF) . Журнал Рамануджана . 1 (2): 119–153. дои : 10.1023/А: 1009764017495. MR  1606180. S2CID  115619659.С аннотациями и предисловием Жана-Луи Николя и Гая Робина.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Высокосложное число». Математический мир .
• Алгоритм вычисления высокосоставных чисел
• Первые 10 000 высокосложных чисел как факторы
• Ахим Фламменкамп, первый 779674 HCN с сигмой, тау, факторами
• Онлайн-калькулятор сложных чисел
• 5040 и другие антипростые числа - доктор Джеймс Грайм, доктор Джеймс Грайм для Numberphile