Паракомпактное пространство

Топологическое пространство, в котором каждое открытое покрытие имеет открытое уточнение, локально конечное.

В математике паракомпактное пространство — это топологическое пространство , в котором каждое открытое покрытие имеет открытое уточнение , локально конечное . Эти пространства были введены Дьедонне (1944). Всякий компакт паракомпактен. ^[1] Каждое паракомпактное хаусдорфово пространство является нормальным , а хаусдорфово пространство является паракомпактным, если ^[2] и только если оно допускает разбиения единицы, подчиненные любому открытому накрытию. Иногда паракомпактные пространства определяются так, чтобы они всегда были Хаусдорфовыми.

Каждое замкнутое подпространство паракомпактного пространства паракомпактно. Хотя компактные подмножества хаусдорфовых пространств всегда замкнуты, для паракомпактных подмножеств это неверно. Пространство такое, что каждое его подпространство является паракомпактным, называется наследственно паракомпактным . Это эквивалентно требованию, чтобы каждое открытое подпространство было паракомпактным.

Понятие паракомпактного пространства также изучается в бессмысленной топологии , где оно более корректно. Например, произведение любого количества паракомпактных локалей является паракомпактным локалем, но произведение двух паракомпактных пространств не может быть паракомпактным. ^{[3] [4]} Сравните это с теоремой Тихонова , которая утверждает, что произведение любого набора компактных топологических пространств компактно. Однако произведение паракомпакта и бикомпакта всегда паракомпактно.

Каждое метрическое пространство паракомпактно. Топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно является паракомпактным и локально метризуемым хаусдорфовым пространством .

Определение

Покрытием множества называется совокупность подмножеств , объединение которых содержит . _ В символах, если индексированное семейство подмножеств , то является покрытием if ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$

Покрытие топологического пространства открыто , если все его члены являются открытыми множествами . Уточнение покрытия пространства — это новое покрытие того же пространства, при котором каждое множество в новом покрытии является подмножеством некоторого множества в старом покрытии. В символах покрытие является уточнением покрытия тогда и только тогда, когда для каждого в существует такой , что . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V=\{V_{\beta }:\beta \in B\}}$ ${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle V_{\beta }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }}$

Открытое покрытие пространства локально конечно, если каждая точка пространства имеет окрестность , пересекающую лишь конечное число множеств в покрытии. В символах локально конечно тогда и только тогда, когда для любого из существует некоторая окрестность такая, что множество ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap V\neq \varnothing \right\}}$

конечно. Топологическое пространство теперь называется паракомпактным, если каждое открытое покрытие имеет локально конечное открытое уточнение. ${\displaystyle X}$

Это определение дословно распространяется на локали, за исключением локально конечных: открытое покрытие локально конечно тогда и только тогда, когда множество открытий, которые пересекают только конечное число открытий в, также образуют покрытие . Обратите внимание, что открытое покрытие топологического пространства является локально конечным тогда и только тогда, когда оно является локально конечным покрытием лежащего в основе локали. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

Примеры

• Всякий компакт паракомпактен.
• Всякое регулярное пространство Линделёфа паракомпактно. ^[5] В частности, каждое локально компактное хаусдорфово пространство со вторым счетом является паракомпактным.
• Линия Соргенфрея паракомпактна , хотя она не является ни компактной, ни локально компактной, ни счетной, ни метризуемой.
• Любой комплекс КС является паракомпактным. ^[6]
• ( Теорема А. Х. Стоуна ) Каждое метрическое пространство паракомпактно. ^[7] Ранние доказательства были несколько трудоемкими, но элементарное было найдено М. Е. Рудиным . ^[8] Существующие доказательства этого требуют аксиомы выбора для несепарабельного случая . Было показано, что теории ZF недостаточно, чтобы доказать это, даже после добавления более слабой аксиомы зависимого выбора . ^[9]

Некоторые примеры пространств, которые не являются паракомпактными, включают:

• Самый известный контрпример — длинная линия , представляющая собой непаракомпактное топологическое многообразие . (Длинная линия локально компактна, но не счетна по секундам.)
• Другой контрпример — произведение бесчисленного числа копий бесконечного дискретного пространства . Любое бесконечное множество, несущее конкретную точечную топологию, не является паракомпактным; на самом деле это даже не метакомпакт .
• Многообразие Прюфера P является непаракомпактной поверхностью. (Легко найти несчетное открытое покрытие P без какого-либо уточнения.)
• Теорема о волынке показывает, что существует 2 ^{ℵ ₁} классов топологической эквивалентности непаракомпактных поверхностей.
• Плоскость Соргенфрея не является паракомпактной, несмотря на то, что она является произведением двух паракомпактных пространств.

Характеристики

Паракомпактность слабо наследственна, т. е. каждое замкнутое подпространство паракомпактного пространства паракомпактно. Это можно распространить и на подпространства F-сигмы . ^[10]

• Регулярное пространство называется паракомпактным, если каждое открытое покрытие допускает локально конечное уточнение. (Здесь уточнение не обязательно должно быть открытым.) В частности, каждое регулярное пространство Линделёфа паракомпактно.
• ( Теорема Смирнова о метризации ) Топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно паракомпактно, хаусдорфово и локально метризуемо.
• Теорема выбора Майкла утверждает, что полунепрерывные снизу мультифункции из X в непустые замкнутые выпуклые подмножества банаховых пространств допускают непрерывный выбор тогда и только тогда, когда X паракомпактно.

Хотя произведение паракомпактных пространств не обязательно должно быть паракомпактным, верно следующее:

• Произведение паракомпактного пространства и компактного пространства паракомпактно.
• Произведение метакомпакта и компакта метакомпактно.

Оба этих результата можно доказать с помощью леммы о трубке , которая используется при доказательстве компактности произведения конечного числа компактов.

Паракомпакты Хаусдорфа.

Иногда требуется, чтобы паракомпактные пространства были также хаусдорфовыми , чтобы расширять свои свойства.

• ( Теорема Жана Дьедонне ) Каждое паракомпактное хаусдорфово пространство нормально .
• Каждое паракомпактное хаусдорфово пространство является сжимающимся пространством , то есть каждое открытое покрытие паракомпактного хаусдорфова пространства имеет сжимающееся: другое открытое покрытие, индексированное тем же набором, такое, что замыкание каждого множества в новом покрытии лежит внутри соответствующего множества в старая обложка.
• В паракомпактных хаусдорфовых пространствах пучковые когомологии и когомологии Чеха равны. ^[11]

Разделы единства

Важнейшей особенностью паракомпактов Хаусдорфовых пространств является то, что они нормальны и допускают разбиения единицы, подчиненные любому открытому покрытию. Это означает следующее: если X — паракомпактное хаусдорфово пространство с заданным открытым покрытием, то существует набор непрерывных функций на X со значениями в единичном интервале [0, 1] такой, что:

• для каждой функции f :  X  →  R из набора существует открытое множество U из покрытия такое, что носитель f содержится в U ;
• для каждой точки x в X существует окрестность V точки x такая, что все функции в коллекции, кроме конечного числа, равны тождественному 0 в V , а сумма ненулевых функций тождественно равна 1 в V.

Фактически пространство T ₁ является хаусдорфовым и паракомпактным тогда и только тогда, когда оно допускает разбиения единицы, подчиненные любому открытому покрытию (см. ниже). Это свойство иногда используется для определения паракомпактных пространств (по крайней мере, в случае Хаусдорфа).

Перегородки единства полезны тем, что часто позволяют распространить локальные конструкции на все пространство. Например, интеграл дифференциальных форм на паракомпактных многообразиях сначала определяется локально (где многообразие выглядит как евклидово пространство и интеграл хорошо известен), а затем это определение распространяется на все пространство через разбиение единицы.

Доказательство того, что паракомпактные хаусдорфовы пространства допускают разбиения единицы.

(Нажмите «показать» справа, чтобы увидеть доказательство, или «скрыть», чтобы скрыть его.)

Хаусдорфово пространство паракомпактно тогда и только тогда, когда каждое его открытое покрытие допускает подчиненное разбиение единицы. Направление if является простым. Теперь, что касается направления only if , мы делаем это в несколько этапов. ${\displaystyle X\,}$

Лемма 1: Если — локально конечное открытое покрытие, то для каждого существуют открытые множества , такие что каждое и является локально конечным уточнением. ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle W_{U}\,}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,}$ ${\displaystyle \{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,}$

Лемма 2: Если — локально конечное открытое покрытие, то существуют непрерывные функции такие, что и такие, что это непрерывная функция, которая всегда отлична от нуля и конечна. ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle f_{U}:X\to [0,1]\,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,}$ ${\displaystyle f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,}$

Теорема: В паракомпактном хаусдорфовом пространстве , если – открытое покрытие, то существует подчиненное ему разбиение единицы. ${\displaystyle X\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$

Доказательство (лемма 1):

Позвольте быть совокупностью открытых множеств, встречающихся только с конечным числом множеств в , и замыкание которых содержится в множестве в . В качестве упражнения можно проверить, что это дает открытое уточнение, поскольку паракомпакты Хаусдорфа регулярны и локально конечны. Теперь заменим локально конечным открытым уточнением. Нетрудно проверить, что каждое множество в этом уточнении обладает тем же свойством, что и исходное покрытие. ${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$

Теперь определяем . Свойство of гарантирует, что каждое содержится в некотором . Поэтому это открытая доработка . Так как имеем , то это накрытие сразу локально конечно. ${\displaystyle W_{U}=\bigcup \{A\in {\mathcal {V}}:{\bar {A}}\subseteq U\}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle W_{U}}$ ${\displaystyle \{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle W_{U}\subseteq U}$

Теперь мы хотим показать, что каждый . Для каждого мы это докажем . Поскольку мы решили быть локально конечными, существует окрестность такой , что только конечное число множеств в имеют непустое пересечение с , и мы отмечаем их в определении . Поэтому мы можем разложить на две части: которые пересекаются , и остальные , которые не пересекаются, а значит, они содержатся в замкнутом множестве . Теперь у нас есть . Поскольку и у нас есть для каждого . А поскольку является дополнением окрестности , ее также нет в . Поэтому у нас есть . ${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,}$ ${\displaystyle x\notin U}$ ${\displaystyle x\notin {\bar {W_{U}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle A_{1},...,A_{n},...\in {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle W_{U}}$ ${\displaystyle W_{U}}$ ${\displaystyle A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle C:=X\setminus V[x]}$ ${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq {\bar {A_{1}}}\cup ...\cup {\bar {A_{n}}}\cup C}$ ${\displaystyle {\bar {A_{i}}}\subseteq U}$ ${\displaystyle x\notin U}$ ${\displaystyle x\notin {\bar {A_{i}}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x\notin {\bar {W_{U}}}}$

Доказательство (лемма 2):

Применяя лемму 1, пусть – непрерывные отображения с и (по лемме Урысона для непересекающихся замкнутых множеств в нормальных пространствах, которыми является паракомпактное хаусдорфово пространство). Заметим, что под носителем функции здесь подразумеваются точки, не отображающиеся в нуль (а не замыкание этого множества). Чтобы показать, что всегда конечен и ненулевой, возьмите и пусть окрестность встречи только с конечным числом множеств в ; таким образом , принадлежит только конечному числу множеств в ; таким образом, для всех, кроме конечного числа ; более того для некоторых , таким образом ; так конечно и . Для установления непрерывности возьмем, как и раньше, и пусть , которое конечно; тогда , которая является непрерывной функцией; следовательно, прообраз под окрестностью будет окрестностью . ${\displaystyle f_{U}:X\to [0,1]\,}$ ${\displaystyle f_{U}\upharpoonright {\bar {W}}_{U}=1\,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,}$ ${\displaystyle f=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,}$ ${\displaystyle x\in X\,}$ ${\displaystyle N\,}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle f_{U}(x)=0\,}$ ${\displaystyle U\,}$ ${\displaystyle x\in W_{U}\,}$ ${\displaystyle U\,}$ ${\displaystyle f_{U}(x)=1\,}$ ${\displaystyle f(x)\,}$ ${\displaystyle \geq 1\,}$ ${\displaystyle x,N\,}$ ${\displaystyle S=\{U\in {\mathcal {O}}:N{\text{ meets }}U\}\,}$ ${\displaystyle f\upharpoonright N=\sum _{U\in S}f_{U}\upharpoonright N\,}$ ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle f(x)\,}$ ${\displaystyle x\,}$

Доказательство (теорема):

Возьмем локально конечное подпокрытие уточняющего покрытия: . Применяя лемму 2, мы получаем непрерывные функции с (таким образом, обычная замкнутая версия носителя содержится в некотором , для каждого ; для которых их сумма представляет собой непрерывную функцию, которая всегда конечная ненулевая (следовательно , непрерывная положительная, конечнозначная функция) Таким образом, заменяя каждый на , мы теперь (все остается неизменным) имеем, что их сумма повсюду . Наконец , если позволить быть окрестностью встречи только с конечным числом множеств в , мы имеем для всех, кроме конечного числа, поскольку каждый . Таким образом, мы иметь раздел единства, подчиненный оригинальной открытой крышке. ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}\,}$ ${\displaystyle \{V{\text{ open }}:(\exists {U\in {\mathcal {O}}}){\bar {V}}\subseteq U\}\,}$ ${\displaystyle f_{W}:X\to [0,1]\,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}\,}$ ${\displaystyle W\in {\mathcal {O}}^{*}\,}$ ${\displaystyle 1/f\,}$ ${\displaystyle f_{W}\,}$ ${\displaystyle f_{W}/f\,}$ ${\displaystyle 1\,}$ ${\displaystyle x\in X\,}$ ${\displaystyle N\,}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}\,}$ ${\displaystyle f_{W}\upharpoonright N=0\,}$ ${\displaystyle W\in {\mathcal {O}}^{*}\,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,}$

Связь с компактностью

Существует сходство между определениями компактности и паракомпактности: для паракомпактности «подпокрытие» заменяется на «открытое уточнение», а «конечное» заменяется на «локально конечное». Оба эти изменения существенны: если мы возьмем определение паракомпакта и заменим «открытое уточнение» обратно на «подпокрытие» или «локально конечное» обратно на «конечное», в обоих случаях мы получим компакты.

Паракомпактность не имеет ничего общего с понятием компактности, а скорее связана с разбиением объектов топологического пространства на управляемые части.

Сравнение свойств с компактностью

Паракомпактность аналогична компактности в следующих отношениях:

• Любое замкнутое подмножество паракомпактного пространства паракомпактно.
• Каждое паракомпактное хаусдорфово пространство нормально . ^[10]

Он отличается в следующих отношениях:

• Паракомпактное подмножество хаусдорфова пространства не обязательно должно быть замкнутым. Фактически, для метрических пространств все подмножества паракомпактны.
• Произведение паракомпактных пространств не обязательно должно быть паракомпактным. Квадрат вещественной прямой R в топологии нижнего предела является классическим примером этого.

Вариации

Существует несколько вариаций понятия паракомпактности. Чтобы определить их, нам сначала нужно расширить список терминов выше:

Топологическое пространство – это:

• метакомпактным , если каждое открытое покрытие имеет открытое точечно-конечное уточнение.
• ортокомпактным, если каждое открытое покрытие имеет открытое уточнение такое, что пересечение всех открытых множеств относительно любой точки этого уточнения открыто.
• полностью нормально , если каждая открытая крышка имеет уточнение открытой звезды , и полностью T ₄ , если она полностью нормальна, и T 1 (см. аксиомы разделения ).

Наречие « счетно » может быть добавлено к любому из прилагательных «паракомпактный», «метакомпактный» и «полностью нормальный», чтобы требование распространялось только на счетные открытые крышки.

Всякое паракомпактное пространство метакомпактно, а всякое метакомпактное пространство ортокомпактно.

Определение соответствующих терминов для вариаций

• Учитывая покрытие и точку, звезда точки в покрытии представляет собой объединение всех множеств в покрытии, содержащих эту точку. В символах звезда x в U = { U _α  : α в A } — это

${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}(x):=\bigcup _{U_{\alpha }\ni x}U_{\alpha }.}$

Обозначение звезды в литературе не стандартизировано, и это лишь одна из возможностей.

• Звездное уточнение покрытия пространства X — это такое покрытие того же пространства, что для любой точки пространства звезда точки в новом покрытии является подмножеством некоторого множества в старом покрытии. В символах V является звездным уточнением U = { U _α  : α in A }, если для любого x в X существует U _α в U такой, что V ^* ( x ) содержится в U _α .
• Покрытие пространства X называется точечно-конечным (или точечно-конечным ), если каждая точка пространства принадлежит лишь конечному числу множеств покрытия. В символах U является точечно конечным, если для любого x в X множество конечно. ${\displaystyle \left\{\alpha \in A:x\in U_{\alpha }\right\}}$

Как следует из названий, полностью нормальное пространство является нормальным , а полностью T ₄ пространство — это T ₄ . Всякое пространство T ₄ паракомпактно. Фактически для хаусдорфовых пространств паракомпактность и полная нормальность эквивалентны. Таким образом, вполне Т4 _- пространство — это то же самое, что и паракомпактное хаусдорфово пространство.

Без свойства Хаусдорфа паракомпактные пространства не обязательно являются полностью нормальными. Примером может служить любое нерегулярное компактное пространство.

Историческая справка: полностью нормальные пространства были определены Джоном В. Тьюки до паракомпактных пространств в 1940 году. ^[12] Доказать, что все метризуемые пространства вполне нормальны, несложно. Когда А. Х. Стоун доказал, что для хаусдорфовых пространств полная нормальность и паракомпактность эквивалентны, он неявно доказал, что все метризуемые пространства паракомпактны. Позднее Эрнест Михаэль дал прямое доказательство последнего факта, а М. Е. Рудин дал другое, элементарное доказательство.

Смотрите также

• а-паракомпактное пространство
• Паранормальное пространство

Примечания

1. Мункрес 2000, стр. 252.
2. Дугунджи 1966, стр. 170, Теорема 4.2.
3. Джонстон, Питер Т. (1983). «Точка бессмысленной топологии» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 8 (1): 41–53. дои : 10.1090/S0273-0979-1983-15080-2.
4. Дугунджи 1966, стр. 165. Теорема 2.4.
5. Майкл, Эрнест (1953). «Заметка о паракомпактах» (PDF) . Труды Американского математического общества . 4 (5): 831–838. дои : 10.1090/S0002-9939-1953-0056905-8 . ISSN  0002-9939. Архивировано (PDF) из оригинала 27 августа 2017 г.
6. Хэтчер, Аллен , Векторные расслоения и К-теория , предварительная версия доступна на домашней странице автора
7. Стоун, А.Х. Паракомпактность и продуктовые пространства. Бык. амер. Математика. Соц. 54 (1948), 977–982.
8. Рудин, Мэри Эллен (февраль 1969 г.). «Новое доказательство паракомпактности метрических пространств». Труды Американского математического общества . 20 (2): 603. doi : 10.1090/S0002-9939-1969-0236876-3 .
9. Хорошо, К.; Три, Эй-Джей; Уотсон, WS (апрель 1998 г.). «О теореме Стоуна и аксиоме выбора». Труды Американского математического общества . 126 (4): 1211–1218. дои : 10.1090/S0002-9939-98-04163-X .
10. Dugundji 1966, стр. 165, Теорема 2.2.
11. Брылински, Жан-Люк (2007), Пространства петель, характеристические классы и геометрическое квантование, Progress in Mathematics, vol. 107, Спрингер, с. 32, ISBN 9780817647308.
12. Тьюки, Джон В. (1940). Сходимость и однородность в топологии . Анналы математических исследований. Том. 2. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, стр. ix+90. МР  0002515.

Рекомендации

• Дьедонне, Жан (1944), «Обобщение компактных пространств», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 23 : 65–76, ISSN  0021-7824, MR  0013297
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. ОСЛК  395340485.
• Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах-младший , Контрпримеры в топологии (2-е изд.) , Springer Verlag , 1978, ISBN 3-540-90312-7 . стр.23. 
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. ОСЛК  42683260.
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 0-486-43479-6.
• Мэтью, Ахил. «Топология/Паракомпактность».

Внешние ссылки

• «Паракомпактное пространство», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]