Модуль сохранения

Модуль сохранения — это математическая структура в анализе сохраняющихся гомологий и топологических данных , которая формально фиксирует сохранение топологических характеристик объекта в диапазоне масштабных параметров. Модуль сохранения часто состоит из набора групп гомологии (или векторных пространств , если используются коэффициенты поля ), соответствующих фильтрации топологических пространств , и набора линейных отображений, индуцированных включениями фильтрации . Концепция модуля сохранения была впервые введена в 2005 году как приложение градуированных модулей над полиномиальными кольцами , таким образом импортируя хорошо развитые алгебраические идеи из классической теории коммутативной алгебры в настройку сохраняющихся гомологий. ^[1] С тех пор модули сохранения являются одной из основных алгебраических структур, изучаемых в области прикладной топологии. ^{[2] [3] [4] [5] [6] [7]}

Определение

Модули сохранения отдельных параметров

Пусть будет полностью упорядоченным множеством и пусть будет полем . Множество иногда называют индексирующим множеством . Тогда однопараметрический модуль сохранения является функтором из категории частично упорядоченных множеств в категорию векторных пространств над и линейных отображений . ^[8] Однопараметрический модуль сохранения, индексированный дискретным частично упорядоченным множеством, таким как целые числа, может быть интуитивно представлен в виде диаграммы пространств: Чтобы подчеркнуть используемый индексирующий набор, модуль сохранения, индексированный по , иногда называют -модулем сохранения или просто -модулем. ^[9] Обычные варианты индексирующих множеств включают и т. д. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M:T\to \mathbf {Vec} _{K}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \cdots \to M_{-1}\to M_{0}\to M_{1}\to M_{2}\to \cdots }$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {N} }$

В качестве альтернативы можно использовать теоретико-множественное определение модуля сохранения, которое эквивалентно категориальной точке зрения: модуль сохранения — это пара , где — набор векторных пространств, а — набор линейных отображений, где для каждого , такое, что для любого (т.е. все отображения коммутируют ). ^[4] ${\displaystyle (V,\pi )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{V_{z}\}_{z\in T}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{\pi _{y,z}\}_{y\leq z\in T}}$ ${\displaystyle \pi _{y,z}:V_{y}\to V_{z}}$ ${\displaystyle y\leq z\in T}$ ${\displaystyle \pi _{y,z}\circ \pi _{x,y}=\pi _{x,z}}$ ${\displaystyle x\leq y\leq z\in T}$

Многопараметрические модули сохранения

Пусть будет произведением полностью упорядоченных множеств , т.е. для некоторых полностью упорядоченных множеств . Тогда, наделив произведение частичным порядком, заданным только если для всех , мы можем определить многопараметрический модуль персистентности , индексированный как функтор . Это обобщение однопараметрических модулей персистентности, и в частности, это согласуется с однопараметрическим определением, когда . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P=T_{1}\times \dots \times T_{n}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (s_{1},\dots ,s_{n})\leq (t_{1},\dots ,t_{n})}$ ${\displaystyle s_{i}\leq t_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M:P\to \mathbf {Vec} _{K}}$ ${\displaystyle n=1}$

В этом случае модуль -persistence называется -мерным или -параметрическим модулем персистентности или просто многопараметрическим или многомерным модулем, если количество параметров уже ясно из контекста. ^[10] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Пример двухпараметрического модуля персистентности, индексированного по сетке 5x5, рассматриваемой как конечный посет.

Многомерные модули персистентности были впервые представлены в 2009 году Карлссоном и Зомородианом. ^[11] С тех пор было проведено значительное количество исследований в области теории и практики работы с многомерными модулями, поскольку они обеспечивают большую структуру для изучения формы данных. ^{[12] [13] [14]} А именно, многопараметрические модули могут иметь большую чувствительность к плотности и устойчивость к выбросам, чем однопараметрические модули, что делает их потенциально полезным инструментом для анализа данных. ^{[15] [16] [17]}

Одним из недостатков многопараметрической персистентности является ее внутренняя сложность. Это затрудняет выполнение вычислений, связанных с многопараметрическими модулями персистентности. В худшем случае вычислительная сложность многомерной персистентной гомологии экспоненциальна. ^[18]

Наиболее распространенным способом измерения сходства двух многопараметрических модулей персистентности является использование расстояния чередования , которое является расширением расстояния узкого места. ^[19]

Примеры

Модули гомологии

При использовании гомологии с коэффициентами в поле группа гомологии имеет структуру векторного пространства . Поэтому, учитывая фильтрацию пространств , применяя функтор гомологии к каждому индексу, мы получаем модуль сохранения для каждого , называемый ( -мерным) модулем гомологии . Векторные пространства модуля гомологии могут быть определены по индексу как для всех , а линейные отображения индуцируются отображениями включения . [ ^1] ${\displaystyle F:P\to \mathbf {Top} }$ ${\displaystyle H_{i}(F):P\to \mathbf {Vec} _{K}}$ ${\displaystyle i=1,2,\dots }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle H_{i}(F)_{z}=H_{i}(F_{z})}$ ${\displaystyle z\in P}$ ${\displaystyle F}$

Модули гомологии являются наиболее распространенными примерами модулей персистентности, поскольку они кодируют информацию о количестве и масштабе топологических характеристик объекта (обычно получаемых путем построения фильтрации на облаке точек ) в чисто алгебраической структуре, что делает понимание формы данных поддающимся алгебраическим методам, заимствованным из хорошо развитых областей математики, таких как коммутативная алгебра и теория представлений . ^{[5] [20] [21]}

Интервальные модули

Основной проблемой при изучении модулей сохранения является то, можно ли разложить модули на «более простые части», грубо говоря. В частности, алгебраически и вычислительно удобно, если модуль сохранения может быть выражен как прямая сумма меньших модулей, известных как интервальные модули . ^[1]

Пусть — непустое подмножество частично упорядоченного множества . Тогда — интервал в , если ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle P}$

• Для каждого если то ${\displaystyle x,z\in J}$ ${\displaystyle x\leq y\leq z\in P}$ ${\displaystyle y\in J}$
• Для каждого существует последовательность элементов такая, что , , и сравнимы для всех . ${\displaystyle x,z\in J}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\in J}$ ${\displaystyle p_{1}=x}$ ${\displaystyle p_{n}=z}$ ${\displaystyle p_{i},p_{j}}$ ${\displaystyle i,j\in \{1,\dots ,n\}}$

Теперь, учитывая интервал, мы можем определить модуль персистентности по индексу следующим образом: ${\displaystyle J\subseteq P}$ ${\displaystyle \mathbb {I} ^{J}}$

${\displaystyle \mathbb {I} _{z}^{J}:={\begin{cases}K&{\text{if }}z\in J\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}}$; . ${\displaystyle \mathbb {I} _{y,z}^{J}:={\begin{cases}\operatorname {id} _{K}&{\text{if }}y\leq z\in J\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}}$

Модуль называется интервальным модулем . ^{[9] [22]} ${\displaystyle \mathbb {I} ^{J}}$

Бесплатные модули

Пусть . Тогда мы можем определить модуль сохранения относительно , ​​где пространства задаются как ${\displaystyle a\in P}$ ${\displaystyle Q^{a}}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle Q_{z}^{a}:={\begin{cases}K&{\text{if }}z\geq a\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}}$, и карты, определенные с помощью . ${\displaystyle Q_{y,z}^{a}:={\begin{cases}\operatorname {id} _{K}&{\text{if }}z\geq a\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}}$

Тогда он известен как свободный (сохраняющийся) модуль . ^[23] ${\displaystyle Q^{a}}$

Можно также определить свободный модуль в терминах разложения на интервальные модули. Для каждого определите интервал , иногда называемый «свободным интервалом». ^[9] Тогда модуль сохранения является свободным модулем, если существует мультимножество такое, что . ^[22] Другими словами, модуль является свободным модулем, если его можно разложить как прямую сумму свободных интервальных модулей. ${\displaystyle a\in P}$ ${\displaystyle a^{\llcorner }:=\{b\in P\mid b\geq a\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {J}}(F)\subseteq P}$ ${\displaystyle F=\bigoplus _{a\in {\mathfrak {J}}(F)}\mathbb {I} ^{a^{\llcorner }}}$

Характеристики

Условия конечного типа

Говорят, что индексированный по персистентный модуль имеет конечный тип , если для всех выполняются следующие условия : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

1. Каждое векторное пространство конечномерно. ${\displaystyle M_{n}}$
2. Существует целое число такое, что отображение является изоморфизмом для всех . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M_{N,n}}$ ${\displaystyle n\geq N}$

Если удовлетворяет первому условию, то обычно говорят, что он является точечно-конечномерным (pfd) . ^{[24] [25] [26]} Понятие точечной конечномерности немедленно распространяется на произвольные индексные множества. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Определение конечного типа также можно адаптировать к непрерывным индексным множествам. А именно, модуль, индексированный по , имеет конечный тип, если является pfd и содержит конечное число уникальных векторных пространств. ^[27] Формально говоря, это требует, чтобы для всех, кроме конечного числа точек, существовала окрестность такая , что для всех , а также чтобы существовала некоторая такая, что для всех . ^[4] Модуль, удовлетворяющий только первому свойству, иногда называют существенно дискретным , тогда как модуль, удовлетворяющий обоим свойствам, называют существенно конечным . ^{[28] [23] [29]} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M_{y}\cong M_{z}}$ ${\displaystyle y,z\in N}$ ${\displaystyle w\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M_{v}=0}$ ${\displaystyle v\leq w}$

Говорят, что -модуль персистентности является полунепрерывным, если для любого и любого достаточно близкого к , отображение является изоморфизмом. Обратите внимание, что это условие избыточно, если выполнены другие условия конечного типа выше, поэтому оно обычно не включается в определение, но имеет значение в определенных обстоятельствах. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y\leq x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M_{y,x}:M_{y}\to M_{x}}$

Теорема о структуре

Одной из основных целей в изучении модулей персистентности является классификация модулей в соответствии с их разложимостью на интервальные модули. Модуль персистентности, который допускает разложение в виде прямой суммы интервальных модулей, часто просто называют «интервально разложимым». Одним из основных результатов в этом направлении является то, что любой pfd-модуль персистентности, индексированный по полностью упорядоченному множеству, является интервально разложимым. Иногда это называют «структурной теоремой для модулей персистентности». ^[24]

Пример двумерного модуля персистентности на плоскости с его интервальными разложениями.

Случай, когда является конечным, является простым применением структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов . Для модулей, индексированных над , первое известное доказательство структурной теоремы принадлежит Уэббу. ^[30] Теорема была распространена на случай (или любого полностью упорядоченного множества, содержащего счетное подмножество , которое плотно в с топологией порядка ) Кроули-Боуви в 2015 году. ^[31] Обобщенная версия структурной теоремы, т. е. для pfd-модулей, индексированных над произвольными полностью упорядоченными множествами, была установлена ​​Ботнаном и Кроули-Боуви в 2019 году. ^[32] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Ссылки

1. Zomorodian, Afra; Carlsson, Gunnar (2005). «Вычисление устойчивой гомологии». Дискретная и вычислительная геометрия . 33 (2): 249–274. doi : 10.1007/s00454-004-1146-y . ISSN  0179-5376.
2. Структура и стабильность модулей персистентности. Фредерик Шазаль, Вин Де Сильва, Марк Глисс, Стив Ю. Удо. Швейцария. 2016. ISBN 978-3-319-42545-0. OCLC  960458101.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) CS1 maint: others (link)
3. Удо, Стив Ю. (2015). Теория персистентности: от представлений колчана к анализу данных. Провиденс, Род-Айленд. ISBN 978-1-4704-2545-6. OCLC  918149730.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Полтерович, Леонид (2020). Топологическая настойчивость в геометрии и анализе. Дэниел Розен, Карина Самвелян, Цзюнь Чжан. Провиденс, Род-Айленд. ISBN 978-1-4704-5495-1. OCLC  1142009348.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. Шенк, Хэл (2022). Алгебраические основы прикладной топологии и анализа данных. Cham. ISBN 978-3-031-06664-1. OCLC  1351750760.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
6. Дей, Тамал К. (2022). Вычислительная топология для анализа данных. Юсу Ванг. Кембридж, Соединенное Королевство. ISBN 978-1-009-09995-0. OCLC  1281786176.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
7. Рабадан, Рауль; Блумберг, Эндрю Дж. (2019). Топологический анализ данных для геномики и эволюции: топология в биологии. Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017/9781316671665. ISBN 978-1-107-15954-9. S2CID  242498045.
8. Бубеник, Питер; Скотт, Джонатан А. (2014-04-01). «Категоризация устойчивой гомологии». Дискретная и вычислительная геометрия . 51 (3): 600–627. arXiv : 1205.3669 . doi :10.1007/s00454-014-9573-x. ISSN  1432-0444. S2CID  254027425.
9. Бакке Бьеркевик, Ховард (2021). «О стабильности интервальных разложимых модулей персистентности». Дискретная и вычислительная геометрия . 66 (1): 92–121. doi : 10.1007/s00454-021-00298-0 . ISSN  0179-5376. S2CID  243797357.
10. Ботнан, Магнус Бакке; Лесник, Майкл (27 марта 2022 г.). «Введение в многопараметрическую устойчивость». arXiv : 2203.14289 [math.AT].
11. Карлссон, Гуннар; Зомородян, Афра (2009-07-01). «Теория многомерного сохранения». Дискретная и вычислительная геометрия . 42 (1): 71–93. doi : 10.1007/s00454-009-9176-0 . ISSN  1432-0444.
12. Cerri, Andrea; Landi, Claudia (2013). «Пространство персистентности в многомерной персистентной гомологии». В Gonzalez-Diaz, Rocio; Jimenez, Maria-Jose; Medrano, Belen (ред.). Дискретная геометрия для компьютерных изображений . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 7749. Berlin, Heidelberg: Springer. pp. 180–191. doi : 10.1007/978-3-642-37067-0_16 . ISBN 978-3-642-37067-0.
13. Кальяри, Ф.; Ди Фабио, Б.; Ферри, М. (2008-07-28). «Одномерная редукция многомерных устойчивых гомологий». arXiv : math/0702713 .
14. Аллили, Маджид; Качинский, Томаш; Ланди, Клаудия (2017-01-01). «Редукция комплексов в многомерной персистентной теории гомологии». Журнал символьных вычислений . Алгоритмы и программное обеспечение для вычислительной топологии. 78 : 61–75. doi :10.1016/j.jsc.2015.11.020. hdl : 11380/1123249 . ISSN  0747-7171. S2CID  14185228.
15. Блумберг, Эндрю Дж.; Лесник, Майкл (2022-10-17). "Устойчивость 2-параметрических устойчивых гомологий". Основы вычислительной математики . arXiv : 2010.09628 . doi : 10.1007/s10208-022-09576-6. ISSN  1615-3383. S2CID  224705357.
16. Серри, Андреа; Фабио, Барбара Ди; Ферри, Массимо; Фросини, Патрицио; Ланди, Клаудия (2013). «Числа Бетти в многомерных постоянных гомологиях являются стабильными функциями». Математические методы в прикладных науках . 36 (12): 1543–1557. Бибкод : 2013MMAS...36.1543C. дои : 10.1002/мма.2704. S2CID  9938133.
17. Серри, Андреа; Ди Фабио, Барбара; Ферри, Массимо; Фросини, Патрицио; Ланди, Клаудия (1 августа 2009 г.). «Многомерная стойкая гомология стабильна». arXiv : 0908.0064 [math.AT].
18. ; Вонгмаса, Павин (2017). «Вычислительная сложность многомерной персистентности». Предлагаемая журнальная статья, неопубликованная . 2017. OSTI  1429696.
19. Лесник, Майкл (2015). «Теория расстояния чередования на многомерных модулях сохранения». Основы вычислительной математики . 15 (3): 613–650. arXiv : 1106.5305 . doi : 10.1007/s10208-015-9255-y. ISSN  1615-3375. S2CID  254158297.
20. Карлссон, Гуннар (2009). «Топология и данные». Бюллетень Американского математического общества . 46 (2): 255–308. doi : 10.1090/S0273-0979-09-01249-X . ISSN  0273-0979.
21. Шазаль, Фредерик; Мишель, Бертран (2021). «Введение в топологический анализ данных: фундаментальные и практические аспекты для специалистов по данным». Frontiers in Artificial Intelligence . 4 : 667963. doi : 10.3389/frai.2021.667963 . ISSN  2624-8212. PMC 8511823. PMID 34661095  . 
22. Botnan, Magnus; Lesnick, Michael (2018-10-18). "Алгебраическая устойчивость модулей зигзагообразной устойчивости". Algebraic & Geometric Topology . 18 (6): 3133–3204. arXiv : 1604.00655 . doi :10.2140/agt.2018.18.3133. ISSN  1472-2739. S2CID  14072359.
23. Лесник, Майкл (2022). «Конспект лекций для AMAT 840: многопараметрическая устойчивость» (PDF) . Университет в Олбани, SUNY .
24. Ботнан, Магнус Бакке; Кроули-Бови, Уильям (04 октября 2019 г.). «Декомпозиция модулей персистентности». arXiv : 1811.08946 [math.RT].
25. Шмаль, Максимилиан (2022). «Структура полунепрерывных $q$-ручных модулей персистентности». Гомология, гомотопия и приложения . 24 (1): 117–128. arXiv : 2008.09493 . doi : 10.4310/HHA.2022.v24.n1.a6. ISSN  1532-0081. S2CID  221246111.
26. Хансон, Эрик Дж.; Рок, Джоб Д. (17 июля 2020 г.). «Разложение точечно-конечномерных модулей сохранения S^1». arXiv : 2006.13793 [math.RT].
27. Карлссон, Гуннар; Зомородян, Афра; Коллинз, Энн; Гибас, Леонидас (2004-07-08). "Сохраняющиеся штрихкоды для фигур". Труды симпозиума Eurographics/ACM SIGGRAPH 2004 года по обработке геометрии . Ницца, Франция: ACM. стр. 124–135. doi :10.1145/1057432.1057449. ISBN 978-3-905673-13-5. S2CID  456712.
28. Лесник, Майкл (2012-06-06). «Многомерные чередования и их применение в топологическом выводе». arXiv : 1206.1365 [math.AT].
29. "3. Математические предварительные сведения — документация RIVET 1.0". rivet.readthedocs.io . Получено 27.02.2023 .
30. Вебб, Кэри (1985). «Разложение градуированных модулей». Труды Американского математического общества . 94 (4): 565–571. doi : 10.1090/S0002-9939-1985-0792261-6 . ISSN  0002-9939. S2CID  115146035.
31. Кроули-Боуви, Уильям (2015-06-01). «Разложение точечно-конечномерных модулей персистентности». Журнал алгебры и ее применения . 14 (5): 1550066. arXiv : 1210.0819 . doi : 10.1142/S0219498815500668. ISSN  0219-4988. S2CID  119635797.
32. Ботнан, Магнус; Кроули-Боэви, Уильям (2020). «Разложение модулей сохранения». Труды Американского математического общества . 148 (11): 4581–4596. arXiv : 1811.08946 . doi : 10.1090/proc/14790. ISSN  0002-9939. S2CID  119711245.