Групповая задержка и фазовая задержка

Задержки, возникающие в линейной, не зависящей от времени системе

В обработке сигналов групповая задержка и фазовая задержка — это два связанных способа описания того , как частотные компоненты сигнала задерживаются во времени при прохождении через линейную независимую от времени (LTI) систему (например, микрофон , коаксиальный кабель , усилитель , громкоговоритель , телекоммуникационные системы ). система , сетевой кабель , цифровой фильтр или аналоговый фильтр ). Фазовая задержка описывает временной сдвиг синусоидальной составляющей (синусоидальной волны в установившемся состоянии ). Групповая задержка описывает временной сдвиг огибающей волнового пакета , «пакета» или «группы» колебаний, сосредоточенных вокруг одной частоты, которые движутся вместе, сформированных, например, путем умножения ( амплитудной модуляции ) синусоидальной волны на огибающую (например, функция сужения ).

Эти задержки обычно зависят от частоты , ^[1] что означает, что разные частотные компоненты испытывают разные задержки. В результате форма сигнала испытывает искажения при прохождении через систему. Это искажение может вызвать такие проблемы, как низкая точность воспроизведения аналогового видео и аналогового звука или высокий уровень битовых ошибок в цифровом потоке битов. Однако в идеальном случае постоянной групповой задержки во всем частотном диапазоне сигнала с ограниченной полосой и плоской частотной характеристикой форма сигнала не будет испытывать искажений.

Фон

Частотные составляющие сигнала

Анализ Фурье показывает, как сигналы во времени могут быть альтернативно выражены как сумма синусоидальных частотных составляющих , каждая из которых основана на тригонометрической функции с фиксированной амплитудой и фазой, без начала и конца. ${\displaystyle \sin(x)}$

Линейные нестационарные системы обрабатывают каждую синусоидальную составляющую независимо; свойство линейности означает, что они удовлетворяют принципу суперпозиции .

Введение

Свойства групповой задержки и фазовой задержки линейной нестационарной системы (LTI) являются функциями частоты и определяют время с момента появления частотной составляющей изменяющейся во времени физической величины (например, сигнала напряжения) на входе системы LTI. до того момента, когда на выходе системы LTI появится копия той же самой частотной составляющей — возможно, другого физического явления.

Изменение фазовой характеристики в зависимости от частоты, на основе которой можно рассчитать групповую задержку и фазовую задержку, обычно происходит в таких устройствах, как микрофоны, усилители, громкоговорители, магнитные записывающие устройства, наушники, коаксиальные кабели и фильтры сглаживания. ^[2] Все частотные компоненты сигнала задерживаются при прохождении через такие устройства или при распространении в пространстве или среде, такой как воздух или вода.

В то время как фазовая характеристика описывает сдвиг фазы в угловых единицах (например, в градусах или радианах ), задержка фазы измеряется в единицах времени и равна отрицательному сдвигу фазы на каждой частоте, деленному на значение этой частоты. Групповая задержка — это отрицательная производная фазового сдвига по частоте.

Фазовая задержка

Линейная, независимая от времени система или устройство обладает свойством фазового отклика и свойством фазовой задержки, причем одно из них можно точно рассчитать на основе другого. Фазовая задержка напрямую измеряет временную задержку устройства или системы отдельных составляющих синусоидальной частоты в установившемся состоянии . ^[3] Если функция фазовой задержки на любой заданной частоте (в пределах интересующего диапазона частот) имеет одинаковую константу пропорциональности между фазой на выбранной частоте и самой выбранной частотой, система/устройство будет иметь идеальную линейную фазу. , что приводит к постоянной групповой задержке. ^[1] Поскольку фазовая задержка является функцией частоты, дающей задержку времени, отклонение от плоскостности графика ее функции может выявить различия во времени задержки между различными частотными компонентами сигнала, и в этом случае эти различия будут способствовать искажению сигнала, что проявляется поскольку форма выходного сигнала отличается от формы входного сигнала.

Групповая задержка

В то время как фазовая задержка описывает реакцию системы на синусоидальные компоненты установившегося состояния, групповая задержка описывает реакцию на синусоиду с амплитудной модуляцией .

Групповая задержка является удобной мерой линейности фазы по отношению к частоте в системе модуляции. ^{[4] [5]} Для сигнала модуляции (сигнала полосы пропускания) информация, передаваемая сигналом, передается исключительно в огибающей волны . Поэтому групповая задержка работает только с частотными компонентами, полученными из огибающей.

Базовая система модуляции

Рис. 1. Внешние и внутренние устройства LTI.

Групповую задержку устройства можно точно рассчитать по фазовой характеристике устройства, но не наоборот.

Самый простой вариант использования групповой задержки показан на рисунке 1, где показана концептуальная система модуляции , которая сама по себе является системой LTI с выходным сигналом основной полосы частот, который в идеале является точной копией входного сигнала основной полосы частот. Эта система в целом называется здесь внешней системой/устройством LTI, которая содержит внутреннюю (красный блок) систему/устройство LTI. Как это часто бывает в случае радиосистемы, внутренняя красная система LTI на рис. 1 может представлять собой две системы LTI в каскаде, например, усилитель, управляющий передающей антенной на передающей стороне, а другой — антенну и усилитель на принимающей стороне.

Амплитудная модуляция

Амплитудная модуляция создает сигнал полосы пропускания путем смещения частотных составляющих основной полосы частот в гораздо более высокий частотный диапазон. Хотя частоты разные, сигнал полосы пропускания несет ту же информацию, что и сигнал основной полосы. Демодулятор делает обратное, сдвигая частоты полосы пропускания обратно в исходный диапазон частот основной полосы. В идеале выходной (модульный) сигнал представляет собой задержанную по времени версию входного (модульного) сигнала, где форма выходного сигнала идентична форме входного сигнала.

На рисунке 1 фазовая задержка внешней системы является значимым показателем производительности. Для амплитудной модуляции внутренняя красная групповая задержка устройства LTI становится фазовой задержкой внешнего устройства LTI . Если групповая задержка внутреннего красного устройства полностью плоская в интересующем диапазоне частот, то внешнее устройство будет иметь идеальную фазовую задержку, которая также будет полностью плоской, где вклад искажений, обусловленный фазовой характеристикой внешнего устройства LTI, полностью определяется из-за возможно другой фазовой характеристики внутреннего устройства - устраняется. В этом случае групповая задержка внутреннего красного устройства и фазовая задержка внешнего устройства дают одинаковую величину временной задержки для сигнала в целом, от входа основной полосы до выхода основной полосы. Важно отметить, что внутреннее (красное) устройство может иметь неплоскую фазовую задержку (но плоскую групповую задержку), в то время как внешнее устройство имеет идеальную идеально ровную фазовую задержку. Это удачно, поскольку в конструкции устройств LTI легче добиться плоской групповой задержки, чем плоской фазовой задержки.

Угловая модуляция

В системе угловой модуляции, например, с частотной модуляцией (FM) или фазовой модуляцией (PM), сигнал полосы пропускания (FM или PM), подаваемый на вход системы LTI, может анализироваться как два отдельных сигнала полосы пропускания, синфазный ( I) сигнал полосы пропускания AM с амплитудной модуляцией и сигнал полосы пропускания AM с квадратурно-фазовой (Q) амплитудной модуляцией, где их сумма точно восстанавливает исходный сигнал полосы пропускания угловой модуляции (FM или PM). Хотя сигнал полосы пропускания (FM/PM) не является амплитудной модуляцией и, следовательно, не имеет видимой внешней огибающей, сигналы полос пропускания I и Q действительно имеют огибающие амплитудной модуляции. (Однако, в отличие от обычной амплитудной модуляции, огибающие I и Q не напоминают форму волны модулирующих сигналов, даже несмотря на то, что 100 процентов модулирующего сигнала сложно представлены их огибающими.) Итак, для каждой из Сигналы полосы пропускания I и Q, плоская групповая задержка гарантирует, что ни огибающая полосы пропускания I, ни огибающая полосы пропускания Q не будут иметь искажения формы волны, поэтому, когда сигнал полосы пропускания I и сигнал полосы пропускания Q складываются обратно, сумма является исходной. Сигнал полосы пропускания FM/PM, который также не будет изменен.

Теория

Согласно теории систем LTI (используемой в теории управления и цифровой или аналоговой обработке сигналов ), выходной сигнал системы LTI может быть определен путем свертки импульсной характеристики системы LTI во временной области с входным сигналом . Линейная нестационарная система § преобразования Фурье и Лапласа выражает эту связь как: ${\displaystyle \displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle \displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle \displaystyle x(t)}$

${\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )\,x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\,X(s)\}\,,}$

где обозначает операцию свертки, и – преобразования Лапласа входного сигнала и импульсной характеристики соответственно, s – комплексная частота , и – обратное преобразование Лапласа. называется передаточной функцией системы ЛТИ и, как и импульсная характеристика , полностью определяет входные-выходные характеристики системы ЛТИ. Эту свертку можно оценить с помощью интегрального выражения во временной области или (согласно самому правому выражению) с помощью умножения в области Лапласа и последующего применения обратного преобразования для возврата во временную область. ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \displaystyle X(s)}$ ${\displaystyle \displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle \displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}$ ${\displaystyle \displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle \displaystyle h(t)}$

Ответ системы LTI на волновой пакет

Предположим, что такая система приводится в движение волновым пакетом, образованным синусоидой, умноженной на огибающую амплитуды , поэтому входные данные можно выразить в следующей форме: ${\displaystyle \displaystyle A_{\text{env}}(t)>0}$ ${\displaystyle \displaystyle x(t)}$

${\displaystyle x(t)=A_{\text{env}}(t)\cos(\omega t+\theta )\,.}$

Также предположим, что огибающая медленно меняется относительно частоты синусоиды . Математически это условие можно выразить как: ${\displaystyle \displaystyle A_{\text{env}}(t)}$ ${\displaystyle \displaystyle \omega }$

${\displaystyle \left|{\frac {d}{dt}}\log {\big (}A_{\text{env}}(t){\big )}\right|\ll \omega \ .}$

Применение более раннего уравнения свертки показало бы, что выходные данные такой системы LTI очень хорошо аппроксимируются ^{[ необходимы пояснения ]} как:

${\displaystyle y(t)={\big |}H(i\omega ){\big |}\ A_{\text{env}}(t-\tau _{g})\cos {\big (}\omega (t-\tau _{\phi })+\theta {\big )}\;.}$

Здесь групповая задержка и фазовая задержка, и они задаются выражениями ниже (и потенциально являются функциями угловой частоты ). Фаза синусоиды, на что указывают положения пересечений нуля, задерживается во времени на величину, равную фазовой задержке, . Огибающая синусоиды задерживается во времени из-за групповой задержки . ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$ ${\displaystyle \displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$

Математическое определение групповой задержки и фазовой задержки

Групповая задержка , и фазовая задержка , (потенциально) зависят от частоты ^[6] и могут быть вычислены из развернутого фазового сдвига . Фазовая задержка на каждой частоте равна отрицательному сдвигу фазы на этой частоте, деленному на значение этой частоты: ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$ ${\displaystyle \displaystyle \phi (\omega )}$

${\displaystyle \tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}\,.}$

Групповая задержка на каждой частоте равна отрицательному наклону ( т.е. производной по частоте) фазы на этой частоте: ^[7]

${\displaystyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\,.}$

В линейной фазовой системе (с неинвертирующим коэффициентом усиления) оба и постоянны (т. е. не зависят от ) и равны, а их общее значение равно общей задержке системы; и развернутый фазовый сдвиг системы (а именно ) отрицателен, причем величина увеличивается линейно с частотой . ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$ ${\displaystyle \displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \displaystyle -\omega \tau _{\phi }}$ ${\displaystyle \displaystyle \omega }$

Реакция системы LTI на сложную синусоиду

В более общем плане можно показать, что для системы LTI с передаточной функцией, управляемой комплексной синусоидой единичной амплитуды, ${\displaystyle \displaystyle H(s)}$

${\displaystyle x(t)=e^{i\omega t}\ }$

результат

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=H(i\omega )\ e^{i\omega t}\ \\&=\left({\big |}H(i\omega ){\big |}e^{i\phi (\omega )}\right)\ e^{i\omega t}\ \\&={\big |}H(i\omega ){\big |}\ e^{i\left(\omega t+\phi (\omega )\right)}\ \\\end{aligned}}\ }$

где фазовый сдвиг ${\displaystyle \displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \arg \left\{H(i\omega )\right\}\;.}$

Отрицательная групповая задержка

• Рисунок 2. Схема фильтра отрицательной групповой задержки.
• Схема с отрицательной групповой задержкой = −RC = −1 мс для частот намного ниже 1 ⁄ RC = 1 кГц . ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$
• 
  LTspice моделирование переменного тока от 1 Гц ( ≅ −1 мс ) до 10 кГц ( ≅ 0 мс ). ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$
• 
  Переходное моделирование входной (зеленой) волны, выходной сигнал которой (красный) опережает на 1 мс , но с нестабильностью при включении и выключении входа.

Фильтры будут иметь отрицательную групповую задержку в диапазонах частот, где их фазовая характеристика имеет положительный наклон. Если сигнал ограничен по полосе частот в пределах некоторой максимальной частоты B, то он предсказуем в небольшой степени (в пределах периодов времени, меньших 1 ⁄ B ). Фильтр, групповая задержка которого отрицательна во всем диапазоне частот этого сигнала, может использовать предсказуемость сигнала, чтобы создать иллюзию непричинного опережения во времени. Однако если сигнал содержит непредсказуемое событие (например, резкое изменение, из-за которого спектр сигнала выходит за пределы полосы пропускания), то иллюзия разрушается. ^[8] Возможны схемы с отрицательной групповой задержкой (например, рисунок 2), хотя причинно-следственная связь не нарушается. ^[9]

Фильтры с отрицательной групповой задержкой могут быть выполнены как в цифровом, так и в аналоговом режиме. Приложения включают компенсацию внутренней задержки фильтров нижних частот для создания фильтров нулевой фазы , которые можно использовать для быстрого обнаружения изменений в тенденциях данных датчиков или цен на акции. ^[10]

Групповая задержка звука

Групповая задержка имеет определенное значение в области аудио и особенно в области воспроизведения звука. ^{[11] [12]} Многие компоненты цепи воспроизведения звука, особенно громкоговорители и многополосные кроссоверные сети громкоговорителей , вносят групповую задержку в аудиосигнал. ^{[2] [12]} Поэтому важно знать порог слышимости групповой задержки в зависимости от частоты, ^{[13] [14] [15],} особенно если аудиоцепь должна обеспечивать воспроизведение с высокой точностью . Таблица лучших порогов слышимости была предоставлена ​​Блауэртом и Лоузом. ^[16]

Фланаган, Мур и Стоун пришли к выводу, что на частотах 1, 2 и 4 кГц групповая задержка около 1,6 мс слышна в наушниках без реверберации. ^[17] Другие экспериментальные результаты показывают, что когда групповая задержка в диапазоне частот от 300 Гц до 1 кГц ниже 1,0 мс, она не слышна. ^[14]

Форма волны любого сигнала может быть точно воспроизведена системой, имеющей плоскую частотную характеристику и групповую задержку по всей полосе пропускания сигнала. Лич ^[18] ввел концепцию дифференциального искажения задержки, определяемого как разница между фазовой задержкой и групповой задержкой:

${\displaystyle \Delta \tau =\tau _{\phi }-\tau _{g}}$.

Идеальная система должна демонстрировать нулевое или незначительное дифференциальное искажение задержки по времени. ^[18]

Для коррекции искажений групповой задержки, возникающих из-за использования кроссоверов в многополосных акустических системах, можно использовать методы цифровой обработки сигналов. ^[19] Это включает в себя значительное вычислительное моделирование акустических систем для успешного применения выравнивания задержки, ^[20] с использованием алгоритма проектирования равнопульсирующего FIR-фильтра Паркса-Макклеллана . ^{[1] [5] [21] [22]}

Групповая задержка в оптике

Групповая задержка важна в физике и, в частности, в оптике .

В оптическом волокне групповая задержка — это время прохождения , необходимое оптической энергии , распространяющейся с групповой скоростью данной моды , для прохождения заданного расстояния. Для целей измерения дисперсии оптического волокна интересующей величиной является групповая задержка на единицу длины, которая является обратной величиной групповой скорости конкретной моды. Измеренная групповая задержка сигнала, проходящего через оптическое волокно, зависит от длины волны из-за различных механизмов дисперсии , присутствующих в волокне.

Часто желательно, чтобы групповая задержка была постоянной на всех частотах; в противном случае происходит временное размытие сигнала. Поскольку групповая задержка равна , отсюда следует, что постоянная групповая задержка может быть достигнута, если передаточная функция устройства или среды имеет линейную фазовую характеристику (т. е. когда групповая задержка является постоянной). Степень нелинейности фазы указывает на отклонение групповой задержки от постоянного значения. ${\textstyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi }{d\omega }}}$ ${\displaystyle \phi (\omega )=\phi (0)-\tau _{g}\omega }$ ${\displaystyle \tau _{g}}$

Дифференциальная групповая задержка представляет собой разницу во времени распространения между двумя собственными модами поляризации X и Y. Рассмотрим две собственные моды , которые представляют собой состояния линейной поляризации 0 ° и 90 ° . Если состояние поляризации входного сигнала является линейным состоянием под углом 45 ° между двумя собственными модами, входной сигнал делится поровну на две собственные моды. Мощность передаваемого сигнала E _{T ,total} представляет собой комбинацию передаваемых сигналов режимов x и y .

${\displaystyle E_{T}=(E_{i,x}\cdot t_{x})^{2}+(E_{i,y}\cdot t_{y})^{2}\,}$

Дифференциальная групповая задержка D _t определяется как разница во времени распространения между собственными модами: D _t  = | т _{т , Икс}  -  т _{т , y} |.

Истинная задержка времени

Говорят, что передающее устройство имеет истинную временную задержку (TTD), если временная задержка не зависит от частоты электрического сигнала. ^{[23] [24]} TTD обеспечивает широкую мгновенную полосу пропускания сигнала практически без искажений сигнала, таких как расширение импульса во время импульсной работы.

TTD является важной характеристикой линий передачи без потерь и с низкими потерями, без дисперсии . Уравнения телеграфиста § Передача без потерь показывают, что сигналы распространяются через них со скоростью для распределенной индуктивности L и емкости C . Следовательно, задержка распространения любого сигнала по линии просто равна длине линии, разделенной на эту скорость. ${\displaystyle 1/{\sqrt {LC}}}$

Смотрите также

• Замеры аудиосистемы
• Фильтр Бесселя — фильтр нижних частот с максимально плоской групповой задержкой.
• Рисунок глаз
• Групповая скорость — «Групповая скорость света в среде обратна групповой задержке на единицу длины». ^[25]
• Фазовая скорость
• Волновой пакет

Рекомендации

 Эта статья включает общедоступные материалы из Федерального стандарта 1037C. Управление общего обслуживания . Архивировано из оригинала 22 января 2022 г.

1. Рабинер, Лоуренс Р.; Голд, Бернард (1975). Теория и применение цифровой обработки сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc. ISBN 0-13-914101-4.
2. Прейс, Д. (1982). «Фазовые искажения и фазовое выравнивание при обработке аудиосигналов — обзор учебного пособия». Журнал Общества аудиоинженеров . 30 (11): 774–794 . Проверено 22 мая 2022 г.
3. Лати, BP (2005). Линейные системы и сигналы (второе изд.). Издательство Оксфордского университета, Inc. ISBN 978-0-19-515833-5.
4. Оппенгейм, Алан В.; Шафер, РВ; Бак, младший (1999). Дискретная обработка сигналов . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: ISBN Prentice-Hall, Inc. 0-13-754920-2.
5. Оппенгейм, Алан В.; Шафер, Рональд В. (2014). Дискретная обработка сигналов . Англия: Pearson Education Limited. ISBN 978-1-292-02572-8.
6. Амбардар, Ашок (1999). Аналоговая и цифровая обработка сигналов (второе изд.). Cengage Обучение. ISBN 9780534954093.
7. Оппенгейм, Алан В.; Уиллски, Алан С.; Наваб, Хамид (1997). Сигналы и системы . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: ISBN Prentice-Hall, Inc. 0-13-814757-4.
8. Бариска, Андор (2008). «Отрицательная групповая задержка» (PDF) . Физический смысл отрицательной групповой задержки? Архивировано (PDF) из оригинала 16 октября 2021 г. Проверено 28 октября 2022 г.
9. Наканиси, Тошихиро; Сугияма, К.; Китано, М. (1 января 2002 г.). «Демонстрация отрицательных групповых задержек в простой электронной схеме». Американский журнал физики . 70 (11): 1117–1121. arXiv : Quant-ph/0201001 . Бибкод : 2002AmJPh..70.1117N. дои : 10.1119/1.1503378. S2CID  39928138.
10. Кастор-Перри, Кендалл (18 марта 2020 г.). «Пять вещей, которые нужно знать о прогнозировании и фильтрах с отрицательной задержкой». Planetanalog.com . Архивировано из оригинала 28 июня 2022 г. Проверено 13 июня 2023 г.
11. Пломп, Р.; Стенекен, HJM (1969). «Влияние фазы на тембр сложных тонов». Журнал Акустического общества Америки . 46 (2Б): 409–421. Бибкод : 1969ASAJ...46..409P. дои : 10.1121/1.1911705. ПМИД  5804112.
12. Эшли, Дж. (1980). Требования к групповой и фазовой задержке для акустических систем . ИКАССП '80. Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов. Том. 5. С. 1030–1033. дои : 10.1109/ICASSP.1980.1170852.
13. Мёллер, Хеннинг (1975). «Измерения фазы громкоговорителя, переходные характеристики и качество звука» (PDF) . Брюль и Кьер (примечания по заявке 17-198). Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 22 мая 2022 г.
14. Лиски, Дж.; Мякивирта, А.; Вялимяки, В. (2018). Слышимость характеристик групповой задержки громкоговорителей (PDF) . 144-я Международная конвенция Общества аудиоинженеров, документ № 10008. Общество аудиоинженеров. стр. 879–888. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 21 мая 2022 г.
15. Лиски, Юхо; Мякивирта, Аки; Вялимяки, Веса (2021). «Слышимость выравнивания групповой задержки». Транзакции IEEE/ACM по обработке звука, речи и языка . 29 : 2189–2201. дои : 10.1109/TASLP.2021.3087969 . S2CID  236192266.
16. Блауэрт, Дж.; Лоус, П. (май 1978 г.). «Искажения групповой задержки в электроакустических системах» (PDF) . Журнал Акустического общества Америки . 63 (5): 1478–1483. Бибкод : 1978ASAJ...63.1478B. дои : 10.1121/1.381841. Архивировано из оригинала (PDF) 30 сентября 2015 г.
17. Фланаган, Шейла; Мур, Брайан Си Джей; Стоун, Майкл А. (2005). «Дискриминация групповой задержки в сигналах, похожих на щелчки, подаваемых через наушники и громкоговорители». Журнал Общества аудиоинженеров . 53 (7/8): 593–611.
18. Лич-младший, В. Маршалл (1989). «Дифференциальное искажение временной задержки и дифференциальное фазовое искажение как мера линейности фазы» (PDF) . Журнал Общества аудиоинженеров . 37 (9): 709–715. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
19. Адам, Вероника; Бенц, Себастьян (2007). Коррекция фазовых искажений кроссовера с использованием всепроходного БИХ-фильтра с обращенным временем. 122-й съезд Общества аудиоинженеров . Проверено 22 мая 2022 г.
20. Мякивирта, Аки; Лиски, Юхо; Вялимяки, Веса (2018). «Моделирование и выравнивание задержки откликов громкоговорителей». Журнал Общества аудиоинженеров . 66 (11): 922–934. дои : 10.17743/jaes.2018.0053 . S2CID  85506559 . Проверено 22 мая 2022 г.
21. Макклеллан, Дж.; Паркс, Т.; Рабинер, Л. (1973). «Компьютерная программа для проектирования оптимальных КИХ-линейно-фазовых цифровых фильтров». Транзакции IEEE по аудио и электроакустике . 21 (6): 506–526. дои : 10.1109/ТАУ.1973.1162525.
22. Оппенгейм, Алан В.; Шафер, Рональд В. (2010). Дискретная обработка сигналов . Англия: Pearson Education Limited. ISBN 978-0-13-198842-2.
23. «Истинная задержка времени». Микроволновые печи101, IEEE .
24. Юлиус О. Смит III. «Фазовая задержка и групповая задержка». Фоновая программа чтения музыки 320. Кафедра электротехники Стэнфордского университета .
25. «Групповая задержка».

Внешние ссылки

• Обсуждение групповой задержки в громкоговорителях
• Пояснения и применение групповой задержки
• «Введение в цифровые фильтры с аудиоприложениями», Джулиус О. Смит III (издание, сентябрь 2007 г.).