Степени свободы (механика)

Количество независимых параметров, необходимых для определения состояния механической системы

В физике степень свободы ( DOF ) механической системы — это число независимых параметров , определяющих ее конфигурацию или состояние. Это важно при анализе систем тел в машиностроении , строительной инженерии , аэрокосмической технике , робототехнике и других областях.

Положение одного вагона (локомотива), движущегося по рельсам, имеет одну степень свободы, поскольку положение вагона определяется расстоянием вдоль рельсов. Поезд из жестких вагонов, соединенных шарнирами с локомотивом, по-прежнему имеет только одну степень свободы, поскольку положения вагонов за локомотивом ограничены формой рельсов.

Автомобиль с очень жесткой подвеской можно рассматривать как твердое тело, движущееся по плоскости (плоскому двумерному пространству). Это тело имеет три независимые степени свободы, состоящие из двух компонентов перемещения и одного угла поворота. Занос или дрейф — хороший пример трех независимых степеней свободы автомобиля.

Положение и ориентация твердого тела в пространстве определяются тремя компонентами поступательного движения и тремя компонентами вращения , что означает, что оно имеет шесть степеней свободы.

Метод точного механического проектирования ограничений управляет степенями свободы, чтобы не допустить ни недостаточного, ни чрезмерного ограничения устройства. ^[1]

Движения и измерения

Положение n -мерного твердого тела определяется жестким преобразованием , [ T ] = [ A ,  d ], где d - n -мерный перенос, а A - матрица вращения n  ×  n , которая имеет n трансляционных степеней свободы и n ( n  − 1)/2 вращательных степеней свободы. Число вращательных степеней свободы определяется размерностью группы вращения  SO(n) .

Нежесткое или деформируемое тело можно рассматривать как совокупность множества мельчайших частиц (бесконечное число степеней свободы), это часто аппроксимируется конечной системой степеней свободы. Когда движение, включающее большие смещения, является основной целью исследования (например, для анализа движения спутников), деформируемое тело можно аппроксимировать как твердое тело (или даже частицу) для упрощения анализа.

Степень свободы системы можно рассматривать как минимальное количество координат, необходимых для задания конфигурации. Применяя это определение, имеем:

1. Для одной частицы в плоскости ее местоположение определяется двумя координатами, поэтому она имеет две степени свободы;
2. Для одной частицы в пространстве требуются три координаты, поэтому она имеет три степени свободы;
3. Две частицы в пространстве имеют в общей сложности шесть степеней свободы;
4. Если две частицы в пространстве ограничены сохранением постоянного расстояния друг от друга, как в случае двухатомной молекулы, то шесть координат должны удовлетворять одному уравнению ограничения, определяемому формулой расстояния. Это уменьшает степень свободы системы до пяти, поскольку формулу расстояния можно использовать для решения оставшейся координаты после того, как будут указаны остальные пять.

Твердые тела

Шесть степеней свободы движения корабля

Степени свободы по высоте для самолета

Мнемоника для запоминания названий углов

Одно твердое тело имеет максимум шесть степеней свободы (6 степеней свободы) 3T3R, состоящих из трех поступательных движений 3T и трех вращений 3R .

См. также углы Эйлера .

Например, движение корабля в море имеет шесть степеней свободы твердого тела и описывается следующим образом: ^[2]

Перевод и вращение:

1. Ходьба (или подъём ): движение вперёд и назад;
2. Блуждание (или покачивание ): движение влево и вправо;
3. Подъем (или поднятие ): перемещение вверх и вниз;
4. Вращение валков : повороты из стороны в сторону;
5. Вращение по тангажу : наклоны вперед и назад;
6. Вращение вокруг вертикальной оси : повороты влево и вправо;

Например, траектория самолета в полете имеет три степени свободы, и его положение вдоль траектории имеет три степени свободы, что в общей сложности составляет шесть степеней свободы.

• О качке в полете и динамике корабля см. крен (авиация) и крен (движение корабля) соответственно.
  • Важной производной является скорость крена (или скорость крена), которая представляет собой угловую скорость, с которой самолет может изменять свое положение по крену, и обычно выражается в градусах в секунду.
• О тангаже в полете и динамике корабля см. тангаж (авиация) и тангаж (движение корабля) соответственно.
• О рыскании в полете и динамике корабля см. рыскание (авиация) и рыскание (движение корабля) соответственно.
  • Одной из важных производных является угловая скорость рыскания (или скорость рыскания), угловая скорость вращения вокруг вертикальной оси, измеряемая датчиком угловой скорости рыскания .
  • Другой важной производной является момент рыскания, угловой момент вращения вокруг вертикальной оси, который важен для неблагоприятного рыскания в динамике самолета.

Меньшая подвижность

Физические ограничения могут ограничивать количество степеней свободы одного твердого тела. Например, блок, скользящий по плоскому столу, имеет 3 DOF 2T1R, состоящие из двух перемещений 2T и 1 вращения 1R . Робот позиционирования XYZ, такой как SCARA, имеет 3 DOF 3T с более низкой мобильностью.

Формула мобильности

Формула подвижности подсчитывает количество параметров, определяющих конфигурацию набора твердых тел, которые ограничены шарнирами, соединяющими эти тела. ^{[3] [4]}

Рассмотрим систему из n твердых тел, движущихся в пространстве, имеющую 6 n степеней свободы, измеренных относительно неподвижной системы отсчета. Чтобы подсчитать степени свободы этой системы, включите неподвижное тело в число тел, так чтобы подвижность не зависела от выбора тела, образующего неподвижную систему отсчета. Тогда степень свободы неограниченной системы N =  n  +  1 равна

${\displaystyle M=6n=6(N-1),\!}$

поскольку неподвижное тело имеет ноль степеней свободы относительно самого себя.

Соединения, которые соединяют тела в этой системе, устраняют степени свободы и уменьшают подвижность. В частности, шарниры и ползуны накладывают по пять ограничений и, следовательно, устраняют пять степеней свободы. Удобно определить число ограничений c , которые накладывает сочленение, в терминах свободы сочленения f , где c  = 6 −  f . В случае шарнира или ползуна, которые являются сочленениями с одной степенью свободы, f  = 1 и, следовательно, c  = 6 − 1 = 5.

В результате получается, что подвижность системы, образованной из n подвижных звеньев и j шарниров, каждое из которых имеет свободу f _i , i  = 1, ..., j, определяется выражением

${\displaystyle M=6n-\sum _{i=1}^{j}\ (6-f_{i})=6(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}}$

Напомним, что N включает фиксированную ссылку.

Есть два важных особых случая: (i) простая открытая цепь и (ii) простая закрытая цепь. Одна открытая цепь состоит из n подвижных звеньев, соединенных конец к концу n шарнирами, один конец которых соединен с заземляющим звеном. Таким образом, в этом случае N  =  j  + 1 и подвижность цепи равна

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}}$

Для простой замкнутой цепи n подвижных звеньев соединены конец к концу с помощью n  + 1 соединений так, что два конца соединены с заземляющим звеном, образуя петлю. В этом случае мы имеем N  =  j и подвижность цепи равна

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-6}$

Примером простой открытой цепи является серийный робот-манипулятор. Эти роботизированные системы состоят из ряда звеньев, соединенных шестью одностепенными вращательными или призматическими шарнирами, поэтому система имеет шесть степеней свободы.

Примером простой замкнутой цепи является пространственная четырехзвенная связь RSSR. Сумма свобод этих шарниров равна восьми, поэтому подвижность связи равна двум, где одной из степеней свободы является вращение сцепки вокруг линии, соединяющей два S-шарнира.

Плоское и сферическое движение

Обычной практикой является проектирование системы связей таким образом, чтобы движение всех тел было ограничено лежащими на параллельных плоскостях, чтобы сформировать то, что известно как плоская связь . Также возможно сконструировать систему связей таким образом, чтобы все тела двигались на концентрических сферах, образуя сферическую связь . В обоих случаях степени свободы связей в каждой системе теперь равны трем, а не шести, и ограничения, накладываемые сочленениями, теперь равны c  = 3 −  f .

В этом случае формула подвижности имеет вид

${\displaystyle M=3(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},}$

и особые случаи становятся

• плоская или сферическая простая открытая цепь, $${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},}$$
• плоская или сферическая простая замкнутая цепь, $${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-3.}$$

Примером плоской простой замкнутой цепи является плоский четырехзвенный шарнирный механизм , представляющий собой четырехзвенный контур с четырьмя шарнирами с одной степенью свободы и, следовательно, имеющий подвижность  M  = 1.

Системы органов

Шарнирный робот с шестью степенями свободы в кинематической цепи

Система с несколькими телами будет иметь объединенную степенями свободы, которая является суммой степеней свободы тел за вычетом внутренних ограничений, которые они могут иметь на относительное движение. Механизм или связь, содержащие несколько соединенных твердых тел, могут иметь больше степеней свободы, чем для одного твердого тела. Здесь термин « степени свободы» используется для описания числа параметров, необходимых для указания пространственной позы связи. Он также определяется в контексте пространства конфигурации, пространства задач и рабочего пространства робота.

Конкретным типом связи является открытая кинематическая цепь , в которой набор жестких звеньев соединен в суставах ; сустав может обеспечивать одну степень свободы (шарнир/скольжение) или две (цилиндрическая). Такие цепи обычно встречаются в робототехнике , биомеханике , а также для спутников и других космических конструкций. Считается, что человеческая рука имеет семь степеней свободы. Плечо обеспечивает тангаж, рыскание и крен, локоть обеспечивает тангаж, а запястье обеспечивает тангаж, рыскание и крен. Только 3 из этих движений были бы необходимы для перемещения руки в любую точку пространства, но люди не смогли бы хватать вещи под разными углами или направлениями. Робот (или объект), который имеет механизмы для управления всеми 6 физическими степенями свободы, называется голономным. Объект с меньшим количеством контролируемых степеней свободы, чем общее количество степеней свободы, называется неголономным, а объект с большим количеством контролируемых степеней свободы, чем общее количество степеней свободы (например, человеческая рука), называется избыточным. Хотя следует помнить, что в человеческой руке это не является излишним, поскольку две степени свободы — запястье и плечо, которые представляют одно и то же движение; поворот, дополняют друг друга, поскольку они не могут сделать полный оборот на 360 градусов. Степени свободы подобны различным движениям, которые можно выполнить.

В мобильной робототехнике робот, похожий на автомобиль, может достигать любого положения и ориентации в 2-D пространстве, поэтому ему нужно 3 степеней свободы для описания его позы, но в любой момент вы можете переместить его только движением вперед и углом поворота. Таким образом, у него есть две контрольные степени свободы и три репрезентативные степени свободы; т. е. он неголономный. Самолет с фиксированным крылом, имеющий 3–4 контрольные степени свободы (движение вперед, крен, тангаж и в ограниченной степени рыскание) в 3-D пространстве, также неголономный, поскольку он не может двигаться прямо вверх/вниз или влево/вправо.

Краткое изложение формул и методов вычисления степеней свободы в механических системах было дано Пеннестри, Кавачече и Вита. ^[5]

Электротехника

В электротехнике степени свободы часто используются для описания числа направлений, в которых фазированная антенная решетка может формировать либо лучи, либо нули . Она на единицу меньше числа элементов, содержащихся в решетке, поскольку один элемент используется в качестве эталона, по отношению к которому может применяться либо конструктивная, либо деструктивная интерференция с использованием каждого из оставшихся элементов антенны. Практика радиолокации и практика линий связи, при этом управление лучом более распространено для радиолокационных приложений, а управление нулем более распространено для подавления помех в линиях связи.

Смотрите также

• Блокировка карданного подвеса  – потеря одной степени свободы в трехмерном трехкарданном механизме.
• Кинематика  — раздел физики, описывающий движение объектов без учета сил.
• Кинематическая пара  – соединение двух физических объектов, ограничивающее их относительное движение.
• XR-2  – Образовательный робот

Ссылки

1. Хейл, Лейтон К. (1999). Принципы и методы проектирования точных машин (PDF) (PhD). Массачусетский технологический институт.
2. Сводка движения корабля. Архивировано 25 ноября 2011 г. на Wayback Machine.
3. JJ Uicker, GR Pennock и JE Shigley, 2003, Теория машин и механизмов , Oxford University Press, Нью-Йорк.
4. Дж. М. Маккарти и Г. С. Сох, Геометрическое проектирование связей, 2-е издание, Springer 2010
5. Pennestrı̀, E.; Cavacece, M.; Vita, L. (2005). «О вычислении степеней свободы: дидактическая перспектива». Том 6: 5-я международная конференция по многотельным системам, нелинейной динамике и управлению, части A, B и C. 2005 ASME Международные технические конференции по проектированию и инжинирингу и компьютеры и информация в машиностроении. Калифорния, США. стр. 1733–1741. doi :10.1115/DETC2005-84109. ISBN 0-7918-4743-8.