Точка перегиба

В дифференциальном исчислении и дифференциальной геометрии точка перегиба , точка перегиба , изгиб или перегиб (реже перегиб ) — это точка на гладкой плоской кривой , в которой кривизна меняет знак. В частности, в случае графика функции это точка, в которой функция меняет форму с вогнутой (вогнутой вниз) на выпуклую (вогнутой вверх) или наоборот.

Для графика функции $f$ класса дифференцируемости C $2 ($ ее первая производная $f'$ и вторая производная $f''$ существуют и непрерывны) условие $f'' = 0$ также можно использовать для нахождения точки перегиба, поскольку необходимо пройти точку $f'' = 0 , чтобы изменить$ $f''$ с положительного значения (вогнутость вверх) на отрицательное значение (вогнутость вниз) или наоборот, поскольку $f''$ является непрерывным; точка перегиба кривой находится там, где $f'' = 0$ и меняет в этой точке свой знак (с положительного на отрицательный или с отрицательного на положительный). ^[1] Точку, в которой вторая производная обращается в нуль, но не меняет знак, иногда называют точкой волнистости или точкой волнистости .

В алгебраической геометрии точка перегиба определяется несколько более широко: как обычная точка , где касательная пересекает кривую порядка не менее 3, а точка волнистости или гиперфлекс определяется как точка, где касательная пересекает кривую порядка не менее 4. .

Определение

Точки перегиба в дифференциальной геометрии — это точки кривой, в которых кривизна меняет знак. ^[2]^[3]

Например, график дифференцируемой функции имеет точку перегиба в точке $(x, f (x))$ тогда и только тогда, когда ее первая производная $f'$ имеет изолированный экстремум в точке $x$ . (это не то же самое, что сказать, что $f$ имеет экстремум). То есть в некоторой окрестности $x$ является единственной точкой, в которой $f'$ имеет (локальный) минимум или максимум. Если все экстремумы f $'$ изолированы , то точка перегиба — это точка на графике $f$ , в которой касательная пересекает кривую.

Нисходящая точка перегиба — это точка перегиба, в которой производная отрицательна по обе стороны от точки; другими словами, это точка перегиба, вблизи которой функция убывает. Восходящая точка перегиба — это точка, в которой производная положительна по обе стороны от точки; другими словами, это точка перегиба, вблизи которой функция возрастает.

Для гладкой кривой, заданной параметрическими уравнениями , точка является точкой перегиба, если ее знак кривизны меняется с плюса на минус или с минуса на плюс, т. е. меняет знак .

Для гладкой кривой, которая представляет собой график дважды дифференцируемой функции, точкой перегиба является точка на графике, в которой вторая производная имеет изолированный ноль и меняет знак.

В алгебраической геометрии неособая точка алгебраической кривой является точкой перегиба тогда и только тогда, когда число пересечения касательной линии и кривой (в точке касания) больше 2. Основная мотивация этого другого определения: заключается в том, что в противном случае множество точек перегиба кривой не было бы алгебраическим множеством . Фактически, множество точек перегиба плоской алгебраической кривой — это в точности ее неособые точки , являющиеся нулями гессианского определителя ее проективного пополнения .

График

f (x) = sin(2 x)

от −

π

/4 до 5

π

/4; вторая производная равна

f″ (x) = -4sin(2 x)

, и ее знак, таким образом, противоположен знаку

f

. Касательная — синяя, где кривая выпуклая (выше собственной касательной ), зеленая, где вогнутая (ниже касательной), и красная в точках перегиба: 0,

π

/2 и

π.

Необходимое, но недостаточное условие

Для функции f , если ее вторая производная $f″ (x)$ существует в точке $x0$ $и$ x0 $является точкой$ перегиба для $f$ , то $f″ (x0) = 0$ , но этого условия недостаточно для наличия точки перегиба , даже если существуют производные любого порядка. В этом случае также необходимо, чтобы наименьшая (выше второй) ненулевая производная была нечетного порядка (третьего, пятого и т. д.). Если младшая ненулевая производная имеет четный порядок, то точка является не точкой перегиба, а точкой волнистости . Однако в алгебраической геометрии и точки перегиба, и точки волнистости обычно называются точками перегиба . Примером точки волнистости является $x = 0$ для функции $f,$ заданной выражением $f (x) = x 4$ .

В предыдущих утверждениях предполагается, что $f$ имеет некоторую ненулевую производную более высокого порядка в точке $x$ , что не обязательно так. Если это так, $то$ условие, что первая ненулевая производная имеет нечетный порядок, означает, что знак $f' (x)$ одинаков по обе стороны от $x$ в окрестности x . Если этот знак положительный , то точка является восходящей точкой перегиба ; если оно отрицательное , то точка является падающей точкой перегиба .

Достаточные условия для точек перегиба:

Достаточным условием существования точки перегиба в случае, когда $f (x)$ $k$ раз непрерывно дифференцируема $в$ некоторой окрестности точки $x0$ с $k$ нечетным и $k \geq 3$ , является то, что $f$ $(n) (x0) = 0$ для $n знак равно 2, ..., k - 1$ и $ж (k) (Икс 0) \neq 0$ . Тогда $f (x)$ имеет точку перегиба в $точке$ $x0$ .
Другое, более общее достаточное условие существования требует, чтобы $f″ (x 0 + ε)$ и $f″ (x 0 - ε)$ имели противоположные знаки в окрестности $x 0$ ( Бронштейн, Семендяев, 2004, стр. 231).

Классификация точек перегиба

Точки перегиба также можно классифицировать в зависимости от того, является ли $f' (x)$ нулевым или ненулевым.

если $f' (x)$ равно нулю, точка является стационарной точкой перегиба
если $f' (x)$ не равно нулю, точка является нестационарной точкой перегиба

Стационарная точка перегиба не является локальным экстремумом . В более общем смысле, в контексте функций нескольких действительных переменных , стационарная точка, которая не является локальным экстремумом, называется седловой точкой .

Примером стационарной точки перегиба является точка $(0, 0)$ на графике $y = x 3$ . Касательная — это ось $X$ , которая разрезает график в этой точке.

Примером нестационарной точки перегиба является точка $(0, 0)$ на графике $y = x 3 + ax$ для любого ненулевого $a$ . Касательная в начале координат — это линия $y = ax$ , которая разрезает график в этой точке.

Функции с разрывами

Некоторые функции меняют вогнутость, не имея точек перегиба. Вместо этого они могут изменить вогнутость вокруг вертикальных асимптот или разрывов. Например, функция вогнута при отрицательном $x$ и выпукла при положительном $x$ , но у нее нет точек перегиба, поскольку 0 не находится в области определения функции. $x\mapsto {\frac {1}{x}}$

Функции с точками перегиба, вторая производная которых не обращается в нуль

Некоторые непрерывные функции имеют точку перегиба, хотя вторая производная никогда не равна 0. Например, функция кубического корня вогнута вверх, когда x отрицателен, и вогнута вниз, когда x положителен, но не имеет производных любого порядка в начале координат.

См. также

Критическая точка (математика)
Экологический порог
Конфигурация Гессе , образованная девятью точками перегиба эллиптической кривой.
Оги , архитектурная форма с точкой перегиба.
Вершина (кривая) — локальный минимум или максимум кривизны.

Ссылки

^ Стюарт, Джеймс (2015). Исчисление (8-е изд.). Бостон: Cengage Learning. п. 281. ИСБН 978-1-285-74062-1.
^ Проблемы математического анализа . Бараненков Г.С. Москва: Издательство «Мир». 1976 [1964]. ISBN 5030009434. ОСЛК 21598952.{{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка )
^ Бронштейн; Семендяев (2004). Справочник по математике (4-е изд.). Берлин: Шпрингер. п. 231. ИСБН 3-540-43491-7.

Источники

Вайсштейн, Эрик В. «Точка перегиба». Математический мир .
«Точка перегиба», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]