Кривизна

Математическая мера того, насколько кривая или поверхность отклоняется от плоскости.

Мигрирующая клетка дикого типа Dictyostelium discoideum , граница которой окрашена кривизной. Масштабная линейка: 5 мкм.

В математике кривизна — это одно из нескольких тесно связанных понятий в геометрии , которые интуитивно измеряют величину, на которую кривая отклоняется от прямой линии или на которую поверхность отклоняется от плоскости . Если кривая или поверхность содержится в большем пространстве, кривизна может быть определена внешне относительно окружающего пространства. Кривизна римановых многообразий размерности не менее двух может быть определена внутренне без ссылки на большее пространство.

Для кривых каноническим примером является окружность , кривизна которой равна обратной величине ее радиуса . Меньшие окружности изгибаются резче и, следовательно, имеют большую кривизну. Кривизна в точке дифференцируемой кривой — это кривизна ее соприкасающейся окружности , то есть окружности, которая наилучшим образом аппроксимирует кривую вблизи этой точки. Кривизна прямой линии равна нулю. В отличие от касательной , которая является векторной величиной, кривизна в точке обычно является скалярной величиной, то есть выражается одним действительным числом .

Для поверхностей (и, в более общем смысле, для многообразий более высокой размерности ), которые вложены в евклидово пространство , понятие кривизны более сложное, поскольку оно зависит от выбора направления на поверхности или многообразии. Это приводит к понятиям максимальной кривизны , минимальной кривизны и средней кривизны .

История

В «Трактате о конфигурации качества и движения» ^[1] философ и математик XIV века Николь Орем вводит понятие кривизны как меры отклонения от прямолинейности; для окружностей он считает кривизну обратно пропорциональной радиусу; и он пытается распространить эту идею на другие кривые как непрерывно изменяющуюся величину. ^[2]

Кривизна дифференцируемой кривой первоначально определялась через соприкасающиеся окружности . В этой постановке Огюстен-Луи Коши показал, что центр кривизны является точкой пересечения двух бесконечно близких нормалей к кривой. ^[3] кривая

Плоские кривые

Интуитивно, кривизна описывает для любой части кривой, насколько направление кривой изменяется на небольшом пройденном расстоянии (например, угол в рад/м ), поэтому она является мерой мгновенной скорости изменения направления точки, которая движется по кривой: чем больше кривизна, тем больше эта скорость изменения. Другими словами, кривизна измеряет, насколько быстро вращается единичный касательный вектор к кривой в точке p ^[4], когда точка p движется с единичной скоростью вдоль кривой. Фактически, можно доказать, что эта мгновенная скорость изменения и есть кривизна. Точнее, предположим, что точка движется по кривой с постоянной скоростью в одну единицу, то есть положение точки P ( s ) является функцией параметра s , который можно рассматривать как время или как длину дуги от заданного начала координат. Пусть T ( s ) будет единичным касательным вектором кривой в точке P ( s ) , который также является производной P ( s ) по s . Тогда производная T ( s ) по s представляет собой вектор, нормальный к кривой, длина которого равна кривизне.

Чтобы быть осмысленными, определение кривизны и ее различные характеристики требуют, чтобы кривая была непрерывно дифференцируема вблизи P , чтобы иметь касательную, которая меняется непрерывно; требуется также, чтобы кривая была дважды дифференцируема в P , чтобы гарантировать существование задействованных пределов и производной T ( s ) .

Характеристика кривизны в терминах производной единичного касательного вектора, вероятно, менее интуитивна, чем определение в терминах соприкасающейся окружности, но формулы для вычисления кривизны вывести легче. Поэтому, а также из-за ее использования в кинематике , эта характеристика часто приводится как определение кривизны.

Соприкасающийся круг

Исторически кривизна дифференцируемой кривой определялась через соприкасающуюся окружность , которая является окружностью, наилучшим образом приближающей кривую в точке. Точнее, если задана точка P на кривой, то каждая другая точка Q кривой определяет окружность (или иногда прямую), проходящую через Q и касательную к кривой в точке P. Соприкасающаяся окружность является пределом , если он существует, этой окружности, когда Q стремится к точке P. Тогда центр и радиус кривизны кривой в точке P являются центром и радиусом соприкасающейся окружности. Кривизна является обратной величиной радиуса кривизны. То есть кривизна равна

${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}},}$

где R — радиус кривизны ^[5] (вся окружность имеет эту кривизну, ее можно прочитать как поворот на 2π на длину 2π R ).

Это определение трудно поддается манипуляциям и выражению в формулах. Поэтому были введены другие эквивалентные определения.

С точки зрения параметризации длины дуги

Каждая дифференцируемая кривая может быть параметризована относительно длины дуги . ^[6] В случае плоской кривой это означает существование параметризации γ ( s ) = ( x ( s ), y ( s )) , где x и y — действительные дифференцируемые функции, производные которых удовлетворяют

${\displaystyle \|{\boldsymbol {\gamma }}'\|={\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}=1.}$

Это означает, что касательный вектор

${\displaystyle \mathbf {T} (s)={\bigl (}x'(s),y'(s){\bigr )}}$

имеет длину, равную единице, и, таким образом, является единичным касательным вектором .

Если кривая дважды дифференцируема, то есть если существуют вторые производные x и y , то существует и производная T ( s ) . Этот вектор нормален к кривой, его длина равна кривизне κ ( s ) , и он ориентирован к центру кривизны. То есть,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} (s)&={\boldsymbol {\gamma }}'(s),\\[8mu]\|\mathbf {T} (s)\|^{2}&=1\ {\text{(constant)}}\implies \mathbf {T} '(s)\cdot \mathbf {T} (s)=0,\\[5mu]\kappa (s)&=\|\mathbf {T} '(s)\|=\|{\boldsymbol {\gamma }}''(s)\|={\sqrt {x''(s)^{2}+y''(s)^{2}}}\end{aligned}}}$

Более того, поскольку радиус кривизны равен (предполагая, что 𝜿 ( s ) ≠ 0)

${\displaystyle R(s)={\frac {1}{\kappa (s)}},}$

а центр кривизны находится на нормали к кривой, центр кривизны - это точка

${\displaystyle \mathbf {C} (s)={\boldsymbol {\gamma }}(s)+{\frac {1}{\kappa (s)^{2}}}\mathbf {T} '(s).}$

(В случае, если кривизна равна нулю, центр кривизны не находится нигде на плоскости R2 и часто говорят, что он находится «в бесконечности». ⁾

Если N ( s ) — единичный нормальный вектор, полученный из T ( s ) вращением против часовой стрелки ⁠π/2⁠ , тогда

${\displaystyle \mathbf {T} '(s)=k(s)\mathbf {N} (s),}$

с k ( s ) = ± κ ( s ) . Действительное число k ( s ) называется ориентированной кривизной или знаковой кривизной . Она зависит как от ориентации плоскости (определение против часовой стрелки), так и от ориентации кривой, предоставляемой параметризацией. Фактически, замена переменной s → – s обеспечивает другую параметризацию длины дуги и изменяет знак k ( s ) .

С точки зрения общей параметризации

Пусть γ ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) — собственное параметрическое представление дважды дифференцируемой плоской кривой. Здесь собственное означает, что на области определения параметризации производная ⁠д γ/дт⁠ определен, дифференцируем и нигде не равен нулевому вектору.

При такой параметризации знаковая кривизна равна

${\displaystyle k={\frac {x'y''-y'x''}{{\bigl (}{x'}^{2}+{y'}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}},}$

где штрихи относятся к производным по t . Кривизна κ , таким образом, равна

${\displaystyle \kappa ={\frac {\left|x'y''-y'x''\right|}{{\bigl (}{x'}^{2}+{y'}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}.}$

Их можно выразить в безкоординатном виде как

${\displaystyle k={\frac {\det \left({\boldsymbol {\gamma }}',{\boldsymbol {\gamma }}''\right)}{\|{\boldsymbol {\gamma }}'\|^{3}}},\qquad \kappa ={\frac {\left|\det \left({\boldsymbol {\gamma }}',{\boldsymbol {\gamma }}''\right)\right|}{\|{\boldsymbol {\gamma }}'\|^{3}}}.}$

Эти формулы могут быть выведены из частного случая параметризации длины дуги следующим образом. Вышеуказанное условие параметризации подразумевает, что длина дуги s является дифференцируемой монотонной функцией параметра t , и наоборот, что t является монотонной функцией s . Более того, изменяя, если необходимо, s на – s , можно предположить, что эти функции возрастают и имеют положительную производную. Используя обозначения предыдущего раздела и цепное правило , имеем

${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{dt}}={\frac {ds}{dt}}\mathbf {T} ,}$

и таким образом, взяв норму обеих сторон

${\displaystyle {\frac {dt}{ds}}={\frac {1}{\|{\boldsymbol {\gamma }}'\|}},}$

где штрих обозначает дифференцирование по t .

Кривизна — это норма производной T по s . Используя приведенную выше формулу и цепное правило, эту производную и ее норму можно выразить только через γ ′ и γ ″ , полностью исключив параметр длины дуги s , что дает приведенные выше формулы для кривизны.

График функции

График функции y = f ( x ) представляет собой частный случай параметризованной кривой вида

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=t\\y&=f(t).\end{aligned}}}$

Поскольку первая и вторая производные x равны 1 и 0, предыдущие формулы упрощаются до

${\displaystyle \kappa ={\frac {\left|y''\right|}{{\bigl (}1+{y'}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}},}$

для кривизны и для

${\displaystyle k={\frac {y''}{{\bigl (}1+{y'}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}},}$

для знаковой кривизны.

В общем случае кривой знак знаковой кривизны несколько произволен, поскольку зависит от ориентации кривой. В случае графика функции существует естественная ориентация по возрастанию значений x . Это делает знак знаковой кривизны значимым.

Знак знаковой кривизны совпадает со знаком второй производной f . Если он положительный, то график имеет вогнутость вверх, а если он отрицательный, то график имеет вогнутость вниз. Если он равен нулю, то есть точка перегиба или точка волнистости .

Когда наклон графика (то есть производная функции) мал, знаковая кривизна хорошо аппроксимируется второй производной. Точнее, используя нотацию большого O , можно получить

${\displaystyle k(x)=y''{\Bigl (}1+O{\bigl (}{\textstyle y'}^{2}{\bigr )}{\Bigr )}.}$

В физике и технике принято аппроксимировать кривизну второй производной, например, в теории балок или для вывода волнового уравнения струны под напряжением, а также в других приложениях, где задействованы малые наклоны. Это часто позволяет рассматривать системы, которые в противном случае были бы нелинейными , приблизительно как линейные.

Полярные координаты

Если кривая определена в полярных координатах радиусом, выраженным как функция полярного угла, то есть r является функцией θ , то ее кривизна равна

${\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {\left|r^{2}+2{r'}^{2}-r\,r''\right|}{{\bigl (}r^{2}+{r'}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}}$

где штрих относится к дифференцированию по θ .

Это следует из формулы для общих параметризаций, учитывая параметризацию

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta )\cos \theta \\y&=r(\theta )\sin \theta \end{aligned}}}$

Неявная кривая

Для кривой, заданной неявным уравнением F ( x , y ) = 0 с частными производными, обозначенными F _x , F _y , F _xx , F _xy , F _yy , кривизна определяется как ^[7]

${\displaystyle \kappa ={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|}{{\bigl (}F_{x}^{2}+F_{y}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}.}$

Знаковая кривизна не определена, поскольку она зависит от ориентации кривой, которая не указана в неявном уравнении. Обратите внимание, что замена F на – F не изменит кривую, определенную F ( x , y ) = 0 , но изменит знак числителя, если в предыдущей формуле опустить абсолютное значение.

Точка кривой, в которой F _x = F _y = 0, является особой точкой , что означает, что кривая в этой точке не дифференцируема, и, таким образом, кривизна не определена (чаще всего точка является либо точкой пересечения, либо точкой возврата ).

Приведенную выше формулу для кривизны можно вывести из выражения кривизны графика функции, используя теорему о неявной функции и тот факт, что на такой кривой имеем

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}}.}$

Примеры

Может быть полезно проверить на простых примерах, что различные формулы, приведенные в предыдущих разделах, дают один и тот же результат.

Круг

Обычная параметризация окружности радиуса r - γ ( t ) = ( r cos t , r sin t ) . Формула для кривизны дает

${\displaystyle k(t)={\frac {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}{{\bigl (}r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\sin ^{2}t{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}={\frac {1}{r}}.}$

Из этого следует, как и ожидалось, что радиус кривизны равен радиусу окружности, а центр кривизны равен центру окружности.

Окружность — это редкий случай, когда параметризацию длины дуги легко вычислить, поскольку она

${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}(s)=\left(r\cos {\frac {s}{r}},\,r\sin {\frac {s}{r}}\right).}$

Это параметризация длины дуги, поскольку норма

${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}'(s)=\left(-\sin {\frac {s}{r}},\,\cos {\frac {s}{r}}\right)}$

равна единице. Эта параметризация дает то же значение для кривизны, поскольку она равна делению на r ³ как в числителе, так и в знаменателе предыдущей формулы.

Эту же окружность можно также определить неявным уравнением F ( x , y ) = 0 с F ( x , y ) = x ² + y ² – r ² . Тогда формула для кривизны в этом случае дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|}{{\bigl (}F_{x}^{2}+F_{y}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}\\&={\frac {8y^{2}+8x^{2}}{{\bigl (}4x^{2}+4y^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}\\&={\frac {8r^{2}}{{\bigl (}4r^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}={\frac {1}{r}}.\end{aligned}}}$

Парабола

Рассмотрим параболу y = ax ² + bx + c .

Это график функции с производной 2 ax + b и второй производной 2 a . Таким образом, кривизна со знаком равна

${\displaystyle k(x)={\frac {2a}{{\bigl (}1+\left(2ax+b\right)^{2}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{3/2}}}.}$

Она имеет знак a для всех значений x . Это означает, что если a > 0 , вогнутость направлена ​​вверх везде; если a < 0 , вогнутость направлена ​​вниз; при a = 0 кривизна везде равна нулю, что подтверждает, что парабола в этом случае вырождается в прямую.

(Беззнаковая) кривизна максимальна при x = – ⁠б/2 а⁠ , то есть в стационарной точке (нулевая производная) функции, которая является вершиной параболы.

Рассмотрим параметризацию γ ( t ) = ( t , at ² + bt + c ) = ( x , y ) . Первая производная x равна 1 , а вторая производная равна нулю. Подстановка в формулу для общих параметризаций дает точно такой же результат, как и выше, с заменой x на t . Если мы используем штрихи для производных по параметру t .

Та же парабола может быть также определена неявным уравнением F ( x , y ) = 0 с F ( x , y ) = ax ² + bx + c – y . Поскольку F _y = –1 и F _yy = F _xy = 0 , мы получаем точно такое же значение для (беззнаковой) кривизны. Однако знаковая кривизна здесь бессмысленна, так как – F ( x , y ) = 0 является допустимым неявным уравнением для той же параболы, которое дает противоположный знак для кривизны.

Формулы Френе-Серре для плоских кривых

Векторы T и N в двух точках на плоской кривой, переведенная версия второго кадра (пунктирная), и δ T изменение T . Здесь δs — расстояние между точками. В пределе ⁠д Т/дс⁠ будет в направлении N. Кривизна описывает скорость вращения рамки.

Выражение кривизны в терминах параметризации длины дуги по сути является первой формулой Френе-Серре

${\displaystyle \mathbf {T} '(s)=\kappa (s)\mathbf {N} (s),}$

где штрихи относятся к производным по длине дуги s , а N ( s ) — нормальный единичный вектор в направлении T ′(s) .

Так как плоские кривые имеют нулевое кручение , вторая формула Френе-Серре обеспечивает соотношение

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} ,\\&=-\kappa {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{ds}}.\end{aligned}}}$

Для общей параметризации по параметру t нужны выражения, включающие производные по t . Так как они получаются путем умножения на ⁠дс/дт⁠ производные по s , для любой правильной параметризации имеем

${\displaystyle \mathbf {N} '(t)=-\kappa (t){\boldsymbol {\gamma }}'(t).}$

Гребень кривизны

Гребень кривизны

Гребень кривизны ^[8] может быть использован для графического представления кривизны каждой точки кривой. Если это параметризованная кривая, то ее гребень определяется как параметризованная кривая ${\displaystyle t\mapsto x(t)}$

${\displaystyle t\mapsto x(t)+d\kappa (t)n(t)}$

где — вектор кривизны и нормали, а — масштабный коэффициент (выбирается для улучшения графического представления). ${\displaystyle \kappa ,n}$ ${\displaystyle d}$

Пространственные кривые

Анимация кривизны и вектора ускорения T ′( s )

Как и в случае кривых в двух измерениях, кривизна регулярной пространственной кривой C в трех измерениях (и выше) является величиной ускорения частицы, движущейся с единичной скоростью вдоль кривой. Таким образом, если γ ( s ) является параметризацией длины дуги C , то единичный касательный вектор T ( s ) задается как

${\displaystyle \mathbf {T} (s)={\boldsymbol {\gamma }}'(s)}$

а кривизна — это величина ускорения:

${\displaystyle \kappa (s)=\|\mathbf {T} '(s)\|=\|{\boldsymbol {\gamma }}''(s)\|.}$

Направление ускорения — это единичный нормальный вектор N ( s ) , который определяется как

${\displaystyle \mathbf {N} (s)={\frac {\mathbf {T} '(s)}{\|\mathbf {T} '(s)\|}}.}$

Плоскость, содержащая два вектора T ( s ) и N ( s ), является соприкасающейся плоскостью к кривой в точке γ ( s ) . Кривизна имеет следующую геометрическую интерпретацию. Существует окружность в соприкасающейся плоскости, касательная к γ ( s ) , ряд Тейлора которой до второго порядка в точке контакта совпадает с рядом Тейлора γ ( s ) . Это соприкасающаяся окружность к кривой. Радиус окружности R ( s ) называется радиусом кривизны , а кривизна является обратной величиной радиуса кривизны:

${\displaystyle \kappa (s)={\frac {1}{R(s)}}.}$

Касательная, кривизна и нормальный вектор вместе описывают поведение второго порядка кривой вблизи точки. В трех измерениях поведение третьего порядка кривой описывается связанным понятием кручения , которое измеряет степень, в которой кривая стремится двигаться как винтовая траектория в пространстве. Кручение и кривизна связаны формулами Френе-Серре (в трех измерениях) и их обобщением (в высших измерениях).

Общие выражения

Для параметрически заданной пространственной кривой в трех измерениях, заданной в декартовых координатах как γ ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) , кривизна равна

${\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {{\bigl (}z''y'-y''z'{\bigr )}{\vphantom {'}}^{2}+{\bigl (}x''z'-z''x'{\bigr )}{\vphantom {'}}^{2}+{\bigl (}y''x'-x''y'{\bigr )}{\vphantom {'}}^{2}}}{{\bigl (}{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}},}$

где штрих обозначает дифференциацию по параметру t . Это можно выразить независимо от системы координат с помощью формулы ^[9]

${\displaystyle \kappa ={\frac {{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}'\times {\boldsymbol {\gamma }}''{\bigr \|}}{{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}'{\bigr \|}{\vphantom {'}}^{3}}}}$

где × обозначает векторное векторное произведение . Следующая формула верна для кривизны кривых в евклидовом пространстве любой размерности:

${\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}'{\bigr \|}{\vphantom {'}}^{2}{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}''{\bigr \|}{\vphantom {'}}^{2}-{\bigl (}{\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''{\bigr )}{\vphantom {'}}^{2}}}{{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}'{\bigr \|}{\vphantom {'}}^{3}}}.}$

Кривизна от длины дуги и хорды

Даны две точки P и Q на C , пусть s ( P , Q ) будет длиной дуги части кривой между P и Q , а d ( P , Q ) — длиной отрезка прямой от P до Q. Кривизна C в точке P задается пределом ^{[ требуется ссылка ]}

${\displaystyle \kappa (P)=\lim _{Q\to P}{\sqrt {\frac {24{\bigl (}s(P,Q)-d(P,Q){\bigr )}}{s(P,Q){\vphantom {Q}}^{3}}}}}$

где предел берется, когда точка Q приближается к P на C. Знаменатель можно с тем же успехом взять равным d ( P , Q ) ³ . Формула верна в любом измерении. Более того, рассматривая предел независимо по обе стороны от P , это определение кривизны иногда может вместить сингулярность в P . Формула следует из ее проверки для соприкасающейся окружности.

Поверхности

Кривизна кривых, начерченных на поверхности, является основным инструментом для определения и изучения кривизны поверхности.

Кривые на поверхностях

Для кривой, нарисованной на поверхности (встроенной в трехмерное евклидово пространство ), определены несколько кривизн, которые связывают направление кривизны с единичным вектором нормали поверхности , включая:

• нормальная кривизна
• геодезическая кривизна
• геодезическое кручение

Любая неособая кривая на гладкой поверхности имеет свой касательный вектор T, содержащийся в касательной плоскости поверхности. Нормальная кривизна , k _n , является кривизной кривой, спроецированной на плоскость, содержащую касательную кривой T и нормаль поверхности u ; геодезическая кривизна , k _g , является кривизной кривой, спроецированной на касательную плоскость поверхности; а геодезическое кручение (или относительное кручение ), τ _r , измеряет скорость изменения нормали поверхности вокруг касательной кривой.

Пусть кривая параметризована длиной дуги , и пусть t = u × T, так что T , t , u образуют ортонормированный базис , называемый фреймом Дарбу . Вышеуказанные величины связаны соотношением:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {T} '\\\mathbf {t} '\\\mathbf {u} '\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&\kappa _{\mathrm {g} }&\kappa _{\mathrm {n} }\\-\kappa _{\mathrm {g} }&0&\tau _{\mathrm {r} }\\-\kappa _{\mathrm {n} }&-\tau _{\mathrm {r} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}}$

Основная кривизна

Седловая поверхность с нормальными плоскостями в направлениях главных кривизн

Все кривые на поверхности с одним и тем же касательным вектором в данной точке будут иметь одну и ту же нормальную кривизну, которая совпадает с кривизной кривой, полученной пересечением поверхности с плоскостью, содержащей T и u . Взяв все возможные касательные векторы, максимальные и минимальные значения нормальной кривизны в точке называются главными кривизнами , k ₁ и k ₂ , а направления соответствующих касательных векторов называются главными нормальными направлениями .

Нормальные разделы

Кривизну можно оценить вдоль нормальных сечений поверхности , аналогично § Кривые на поверхностях выше (см., например, радиус кривизны Земли ).

Развертываемые поверхности

Некоторые криволинейные поверхности, например, сделанные из гладкого листа бумаги, могут быть сплющены в плоскость без искажения их внутренних особенностей каким-либо образом. Такие развертывающиеся поверхности имеют нулевую гауссову кривизну (см. ниже). ^[10]

Гауссова кривизна

В отличие от кривых, которые не имеют внутренней кривизны, но имеют внешнюю кривизну (они имеют кривизну только при вложении), поверхности могут иметь внутреннюю кривизну, независимую от вложения. Гауссова кривизна , названная в честь Карла Фридриха Гаусса , равна произведению главных кривизн, k ₁ k ₂ . Она имеет размерность длины ⁻² и положительна для сфер , отрицательна для однополостных гиперболоидов и равна нулю для плоскостей и цилиндров . Она определяет, является ли поверхность локально выпуклой (когда она положительна) или локально седловидной (когда она отрицательна).

Гауссова кривизна является внутренним свойством поверхности, то есть она не зависит от конкретного вложения поверхности; интуитивно это означает, что муравьи, живущие на поверхности, могут определять гауссову кривизну. Например, муравей, живущий на сфере, может измерить сумму внутренних углов треугольника и определить, что она больше 180 градусов, подразумевая, что пространство, в котором он обитает, имеет положительную кривизну. С другой стороны, муравей, живущий на цилиндре, не обнаружил бы никакого такого отклонения от евклидовой геометрии ; в частности, муравей не мог бы обнаружить, что две поверхности имеют разные средние кривизны (см. ниже), что является чисто внешним типом кривизны.

Формально гауссова кривизна зависит только от римановой метрики поверхности. Это знаменитая теорема Гаусса Egregium , которую он нашел, занимаясь географическими исследованиями и картографированием.

Внутреннее определение гауссовой кривизны в точке P следующее: представьте себе муравья, привязанного к точке P короткой нитью длины r . Он бежит вокруг точки P , пока нить полностью растянута, и измеряет длину C ( r ) одного полного обхода вокруг точки P. Если бы поверхность была плоской, муравей обнаружил бы C ( r ) = 2π r . На искривленных поверхностях формула для C ( r ) будет другой, и гауссова кривизна K в точке P может быть вычислена с помощью теоремы Бертрана–Диге–Пюизе как

${\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}3\left({\frac {2\pi r-C(r)}{\pi r^{3}}}\right).}$

Интеграл гауссовой кривизны по всей поверхности тесно связан с эйлеровой характеристикой поверхности ; см. теорему Гаусса–Бонне .

Дискретным аналогом кривизны, соответствующим кривизне, сосредоточенной в точке и особенно полезным для многогранников , является (угловой) дефект ; аналогом теоремы Гаусса–Бонне является теорема Декарта о полном угловом дефекте .

Поскольку (гауссова) кривизна может быть определена без ссылки на вложенное пространство, нет необходимости, чтобы поверхность была вложена в многомерное пространство, чтобы быть искривленной. Такая внутренне искривленная двумерная поверхность является простым примером риманова многообразия .

Средняя кривизна

Средняя кривизна — это внешняя мера кривизны, равная половине суммы главных кривизн , ⁠к ₁ + к ₂/2⁠ . Он имеет размерность длины ⁻¹ . Средняя кривизна тесно связана с первой вариацией площади поверхности . В частности, минимальная поверхность, такая как мыльная пленка , имеет среднюю кривизну нулевую, а мыльный пузырь имеет постоянную среднюю кривизну. В отличие от гауссовой кривизны, средняя кривизна является внешней и зависит от вложения, например, цилиндр и плоскость локально изометричны, но средняя кривизна плоскости равна нулю, а средняя кривизна цилиндра ненулевая.

Вторая фундаментальная форма

Внутренняя и внешняя кривизна поверхности могут быть объединены во второй фундаментальной форме. Это квадратичная форма в касательной плоскости к поверхности в точке, значение которой в определенном касательном векторе X к поверхности является нормальной составляющей ускорения кривой вдоль поверхности, касательной к X ; то есть это нормальная кривизна к кривой, касательной к X (см. выше). Символически,

${\displaystyle \operatorname {I\!I} (\mathbf {X} ,\mathbf {X} )=\mathbf {N} \cdot (\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {X} )}$

где N — единичная нормаль к поверхности. Для единичных касательных векторов X вторая фундаментальная форма принимает максимальное значение k ₁ и минимальное значение k ₂ , которые возникают в главных направлениях u ₁ и u ₂ соответственно. Таким образом, по теореме о главной оси вторая фундаментальная форма имеет вид

${\displaystyle \operatorname {I\!I} (\mathbf {X} ,\mathbf {X} )=k_{1}\left(\mathbf {X} \cdot \mathbf {u} _{1}\right)^{2}+k_{2}\left(\mathbf {X} \cdot \mathbf {u} _{2}\right)^{2}.}$

Таким образом, вторая фундаментальная форма кодирует как внутреннюю, так и внешнюю кривизну.

Оператор формы

Инкапсуляцию кривизны поверхности можно найти в операторе формы S , который является самосопряженным линейным оператором из касательной плоскости к себе (в частности, дифференциалом отображения Гаусса ).

Для поверхности с касательными векторами X и нормалью N оператор формы можно компактно выразить в записи суммирования индексов как

${\displaystyle \partial _{a}\mathbf {N} =-S_{ba}\mathbf {X} _{b}.}$

(Сравните альтернативное выражение кривизны для плоской кривой.)

Уравнения Вайнгартена дают значение S через коэффициенты первой и второй фундаментальных форм как

${\displaystyle S=\left(EG-F^{2}\right)^{-1}{\begin{pmatrix}eG-fF&fG-gF\\fE-eF&gE-fF\end{pmatrix}}.}$

Главные кривизны являются собственными значениями оператора формы, главные направления кривизны являются его собственными векторами , гауссова кривизна является его определителем , а средняя кривизна равна половине его следа .

Искривление пространства

В продолжение предыдущего аргумента, пространство из трех или более измерений может быть внутренне искривлено. Кривизна является внутренней в том смысле, что это свойство, определенное в каждой точке пространства, а не свойство, определенное относительно большего пространства, которое его содержит. В общем, искривленное пространство может или не может быть задумано как вложенное в окружающее пространство более высокой размерности ; если нет, то его кривизна может быть определена только внутренне.

После открытия внутреннего определения кривизны, тесно связанного с неевклидовой геометрией , многие математики и ученые задались вопросом, может ли обычное физическое пространство быть искривленным, хотя успех евклидовой геометрии до того времени означал, что радиус кривизны должен быть астрономически большим. В общей теории относительности , описывающей гравитацию и космологию , эта идея несколько обобщена до «кривизны пространства-времени »; в теории относительности пространство-время является псевдоримановым многообразием . После определения временной координаты трехмерное пространство, соответствующее конкретному времени, обычно является искривленным римановым многообразием; но поскольку выбор временной координаты в значительной степени произволен, именно лежащая в основе кривизна пространства-времени имеет физическое значение.

Хотя произвольно искривленное пространство очень сложно описать, кривизна пространства, которое локально изотропно и однородно, описывается одной гауссовой кривизной, как для поверхности; математически это сильные условия, но они соответствуют разумным физическим предположениям (все точки и все направления неразличимы). Положительная кривизна соответствует обратному квадрату радиуса кривизны; примером является сфера или гиперсфера . Примером отрицательно искривленного пространства является гиперболическая геометрия (см. также: неположительная кривизна ). Пространство или пространство-время с нулевой кривизной называется плоским .Например, евклидово пространство является примером плоского пространства, а пространство Минковского является примером плоского пространства-времени. Однако существуют и другие примеры плоских геометрий в обеих конфигурациях. Тору или цилиндру можно задать плоские метрики, но они различаются по топологии . Для искривленного пространства возможны и другие топологии (см. также: Форма вселенной ) .

Обобщения

Перемещение вектора по кривой от A → N → B → A создает другой вектор. Невозможность вернуться к исходному вектору измеряется голономией поверхности. В пространстве без кривизны угол α равен 0 градусов, а в пространстве с кривизной угол α больше 0 градусов. Чем больше искривлено пространство, тем больше величина угла α.

Математическое понятие кривизны также определяется в гораздо более общих контекстах. ^[11] Многие из этих обобщений подчеркивают различные аспекты кривизны, как она понимается в меньших измерениях.

Одним из таких обобщений является кинематическое. Кривизну кривой можно естественным образом рассматривать как кинематическую величину, представляющую силу, ощущаемую определенным наблюдателем, движущимся вдоль кривой; аналогично, кривизну в более высоких измерениях можно рассматривать как своего рода приливную силу (это один из способов представления секционной кривизны ). Это обобщение кривизны зависит от того, как расходятся или сходятся соседние пробные частицы, когда им позволяют свободно перемещаться в пространстве; см. поле Якоби .

Другое широкое обобщение кривизны происходит из изучения параллельного переноса на поверхности. Например, если вектор перемещается по петле на поверхности сферы, сохраняя параллельность на протяжении всего движения, то конечное положение вектора может не совпадать с начальным положением вектора. Это явление известно как голономия . ^[12] Различные обобщения фиксируют в абстрактной форме эту идею кривизны как меры голономии; см. форму кривизны . Тесно связанное понятие кривизны происходит из калибровочной теории в физике, где кривизна представляет поле, а векторный потенциал для поля является величиной, которая в общем случае зависит от пути: она может измениться, если наблюдатель движется по петле.

Еще два обобщения кривизны — скалярная кривизна и кривизна Риччи . На искривленной поверхности, такой как сфера, площадь диска на поверхности отличается от площади диска того же радиуса в плоском пространстве. Эта разница (в подходящем пределе) измеряется скалярной кривизной. Разница в площади сектора диска измеряется кривизной Риччи. Каждая из скалярной кривизны и кривизны Риччи определяются аналогичным образом в трех и более измерениях. Они особенно важны в теории относительности, где они обе появляются на стороне уравнений поля Эйнштейна , которая представляет геометрию пространства-времени (другая сторона которой представляет наличие материи и энергии). Эти обобщения кривизны лежат в основе, например, понятия, что кривизна может быть свойством меры ; см. кривизна меры .

Другое обобщение кривизны основано на возможности сравнивать искривленное пространство с другим пространством, имеющим постоянную кривизну. Часто это делается с треугольниками в пространствах. Понятие треугольника имеет смысл в метрических пространствах , и это приводит к появлению пространств CAT( k ) .

Смотрите также

• Форма кривизны для соответствующего понятия кривизны для векторных расслоений и главных расслоений со связностью
• Кривизна меры для понятия кривизны в теории меры
• Кривизна параметрических поверхностей
• Кривизна римановых многообразий для обобщений гауссовой кривизны на римановы многообразия более высокой размерности
• Вектор кривизны и геодезическая кривизна для соответствующих понятий кривизны кривых в римановых многообразиях любой размерности
• Степень кривизны
• Дифференциальная геометрия кривых для полного рассмотрения кривых, вложенных в евклидово пространство произвольной размерности
• Диоптрия — единица измерения кривизны, используемая в оптике.
• Эволюта , геометрическое место центров кривизны данной кривой.
• Основная теорема кривых
• Теорема Гаусса–Бонне для элементарного применения кривизны
• Карта Гаусса для получения дополнительных геометрических свойств кривизны Гаусса
• Принцип наименьшего принуждения Гаусса , выражение принципа наименьшего действия
• Средняя кривизна в одной точке поверхности
• Минимальный радиус кривой железнодорожного пути
• Радиус кривизны
• Вторая фундаментальная форма для внешней кривизны гиперповерхностей в общем случае
• Извилистость
• Кручение кривой

Примечания

1. Клэгетт, Маршалл (1968), Николь Орем и средневековая геометрия качеств и движений; трактат о единообразии и различии интенсивностей, известный как Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum, Мэдисон, Висконсин: Издательство Висконсинского университета, ISBN 0-299-04880-2
2. Серрано, Изабель; Сучава, Богдан (2015). «Средневековая тайна: концепция Curvitas Николь Орезм» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 62 (9): 1030–1034. doi : 10.1090/noti1275 .
3. Боровик, Александр ; Кац, Михаил Г. (2011), «Кто дал вам историю Коши–Вейерштрасса? Двойственная история строгого исчисления», Foundations of Science , 17 (3): 245–276, arXiv : 1108.2885 , Bibcode : 2011arXiv1108.2885B, doi : 10.1007/s10699-011-9235-x, S2CID  119320059
4. Pressley, Andrew (14 июня 2010 г.). Elementary Differential Geometry (1-е изд.). Cambridge University Press . стр. 29. ISBN 978-0521896719.
5. Клайн, Моррис (1998). Исчисление: интуитивный и физический подход (2-е изд.). Dover Publications. стр. 458. ISBN 0486404536. LCCN  98036211.
6. Кеннеди, Джон (2011). "Параметризация длины дуги кривой". Архивировано из оригинала 28-09-2015 . Получено 10-12-2013 .
7. Голдман, Рон (2005). «Формулы кривизны для неявных кривых и поверхностей». Computer Aided Geometric Design . 22 (7): 632–658. CiteSeerX 10.1.1.413.3008 . doi :10.1016/j.cagd.2005.06.005. 
8. Фарин, Джеральд (2016). «Гребни кривизны и графики кривизны». Computer-Aided Design . 80 : 6–8. doi :10.1016/j.cad.2016.08.003.
9. Доказательство этого можно найти в статье о кривизне на сайте Wolfram MathWorld .
10. развертываемая поверхность, Mathworld. (Получено 11 февраля 2021 г.)
11. Кобаяси, Сёсичи ; Номидзу, Кацуми (1963). Основы дифференциальной геометрии (1-е изд.). Wiley Interscience . т. 1 гл. 2–3. ISBN 9780470496473.
12. Хендерсон, Дэвид В .; Тайминя, Дайна (23 июля 2019 г.). Experiencing Geometry (3-е изд.). Пирсон . стр. 98–99. ISBN 978-0131437487.

Ссылки

• Кулидж, Джулиан Л. (июнь 1952 г.). «Неудовлетворительная история кривизны». American Mathematical Monthly . 59 (6): 375–379. doi :10.2307/2306807. JSTOR  2306807.
• Соколов, Дмитрий Дмитриевич (2001) [1994], "Кривизна", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Клайн, Моррис (1998). Исчисление: интуитивный и физический подход . Довер. С. 457–461. ISBN 978-0-486-40453-0.( ограниченная онлайн-копия , стр. 457, в Google Books )
• Клаф, А. Альберт (1956). Освежитель исчисления . Довер. С. 151–168. ISBN 978-0-486-20370-6.( ограниченная онлайн-копия , стр. 151, в Google Books )
• Кейси, Джеймс (1996). Исследование кривизны . Вьюег+Тойбнер. ISBN 978-3-528-06475-4.

Внешние ссылки

• Фейнмановские лекции по физике, том II, гл. 42: Искривленное пространство
• История кривизны
• Кривизна, внутренняя и внешняя в MathPages