Спектральная плотность

Относительная важность определенных частот в составном сигнале

Спектральная плотность флуоресцентного света как функция оптической длины волны показывает пики при атомных переходах, обозначенные пронумерованными стрелками.

Форма голосового сигнала с течением времени (слева) имеет широкий спектр мощности звука (справа).

При обработке сигналов спектр мощности непрерывного сигнала описывает распределение мощности на частотные компоненты, составляющие этот сигнал. ^[1] Согласно анализу Фурье , любой физический сигнал можно разложить на ряд дискретных частот или спектр частот в непрерывном диапазоне. Среднее статистическое значение любого типа сигнала (включая шум ), анализируемое с точки зрения его частотного содержания, называется его спектром . ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle f}$

Когда энергия сигнала сосредоточена вокруг конечного интервала времени, особенно если его полная энергия конечна, можно вычислить спектральную плотность энергии . Чаще используется спектральная плотность мощности (PSD или просто спектр мощности ), которая применяется к сигналам, существующим в течение всего времени или в течение достаточно большого периода времени (особенно по отношению к продолжительности измерения), который он также мог бы иметь. прошло в течение бесконечного промежутка времени. Тогда PSD относится к спектральному распределению энергии, которое можно найти в единицу времени, поскольку полная энергия такого сигнала за все время обычно будет бесконечной. Суммирование или интеграция спектральных компонентов дает общую мощность (для физического процесса) или дисперсию (в статистическом процессе), идентичную тому, что было бы получено путем интегрирования во временной области, как это продиктовано теоремой Парсеваля . ^[1] ${\displaystyle x^{2}(t)}$

Спектр физического процесса часто содержит существенную информацию о природе . Например, высота и тембр музыкального инструмента сразу определяются на основе спектрального анализа. Цвет источника света определяется спектром электрического поля электромагнитной волны, поскольку оно колеблется с чрезвычайно высокой частотой. Получение спектра из таких временных рядов включает преобразование Фурье и обобщения, основанные на анализе Фурье. Во многих случаях временная область на практике специально не используется, например, когда дисперсионная призма используется для получения спектра света в спектрографе или когда звук воспринимается посредством его воздействия на слуховые рецепторы внутреннего уха, каждый из которых из которых чувствителен к определенной частоте. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E(t)}$

Однако эта статья концентрируется на ситуациях, в которых временной ряд известен (по крайней мере, в статистическом смысле) или непосредственно измерен (например, с помощью микрофона, записанного компьютером). Спектр мощности важен при статистической обработке сигналов и статистическом исследовании случайных процессов , а также во многих других областях физики и техники . Обычно этот процесс является функцией времени, но аналогичным образом можно обсудить данные в пространственной области, разлагаемые по пространственной частоте . ^[1]

Единицы

В физике сигналом может быть волна, например, электромагнитная волна , акустическая волна или вибрация механизма. Спектральная плотность мощности ( PSD) сигнала описывает мощность, присутствующую в сигнале, как функцию частоты на единицу частоты. Спектральная плотность мощности обычно выражается в единицах СИ .ватты/герц(сокращенно Вт/Гц). ^[2]

Например, когда сигнал определяется только напряжением , не существует уникальной мощности, связанной с указанной амплитудой. В этом случае «мощность» просто рассчитывается в квадрате сигнала, поскольку она всегда будет пропорциональна фактической мощности, передаваемой этим сигналом при заданном импедансе . Таким образом, для PSD можно использовать единицы измерения В ²  Гц ^{-1 .} Спектральная плотность энергии (ESD) будет иметь единицы измерения В ²  с Гц ^-1 , поскольку энергия имеет единицы мощности, умноженные на время (например, ватт-час ). ^[3]

В общем случае единицами PSD будут соотношение единиц дисперсии на единицу частоты; так, например, ряд значений смещения (в метрах) во времени (в секундах) будет иметь PSD в единицах квадратных метров на герц, м ² /Гц. При анализе случайных вибраций для PSD ускорения часто используются единицы g ²  Гц ^-1 , где g обозначает перегрузочную силу . ^[4]

Математически нет необходимости присваивать физические размеры сигналу или независимой переменной. В последующем обсуждении значение x ( t ) останется неопределенным, но предполагается, что независимой переменной является время.

Односторонний против двустороннего

PSD может быть либо односторонней функцией только положительных частот, либо двусторонней функцией как положительных, так и отрицательных частот , но только с половиной амплитуды. PSD шума обычно односторонние в технике и двусторонние в физике. ^[5]

Определение

Спектральная плотность энергии

Спектральная плотность энергии описывает, как энергия сигнала или временного ряда распределяется по частоте. Здесь термин энергия используется в обобщенном смысле обработки сигналов; ^[6] то есть энергия сигнала равна: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x(t)}$ $${\displaystyle E\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}\ dt.}$$

Спектральная плотность энергии наиболее подходит для переходных процессов, то есть импульсных сигналов, имеющих конечную полную энергию. Конечная или нет, теорема Парсеваля (или теорема Планшереля) дает нам альтернативное выражение для энергии сигнала: ^[7] где: — значение преобразования Фурье на частоте (в Гц ). Теорема справедлива и в случаях дискретного времени. Поскольку интеграл в левой части представляет собой энергию сигнала, значение можно интерпретировать как функцию плотности , умноженную на бесконечно малый частотный интервал, описывающую энергию, содержащуюся в сигнале на частоте в частотном интервале . $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}\,df,}$$ $${\displaystyle {\hat {x}}(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi ft}x(t)\ dt}$$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}df}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f+df}$

Поэтому спектральная плотность энергии определяется как: ^[8] ${\displaystyle x(t)}$

Функция и автокорреляция образуют пару преобразований Фурье, результат, также известный как теорема Винера – Хинчина (см. также Периодограмму ). ${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$

В качестве физического примера того, как можно измерить спектральную плотность энергии сигнала, предположим, что представляет собой потенциал (в вольтах ) электрического импульса, распространяющегося вдоль линии передачи с импедансом , и предположим, что линия заканчивается согласованным резистором (так что вся энергия импульса передается резистору и ни одна не отражается обратно). По закону Ома мощность, подаваемая на резистор в момент времени, равна , поэтому полная энергия находится путем интегрирования по времени по длительности импульса. Чтобы найти значение спектральной плотности энергии на частоте , можно было бы вставить между линией передачи и резистором полосовой фильтр , который пропускает только узкий диапазон частот ( скажем) вблизи интересующей частоты, а затем измерить полную энергию, рассеиваемую на резистор. Тогда значение спектральной плотности энергии при оценивается как . В этом примере, поскольку мощность имеет единицы V ² Ω ^-1 , энергия имеет единицы V ²  s Ω ^-1  = J , и, следовательно, оценка спектральной плотности энергии имеет единицы J Гц ^-1 , как и требуется. Во многих ситуациях принято забывать этап деления на, так что вместо этого спектральная плотность энергии имеет единицы В ²  Гц ^-1 . ${\displaystyle V(t)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$ ${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$ ${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle E(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E(f)/\Delta f}$ ${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$ ${\displaystyle E(f)}$ ${\displaystyle E(f)/\Delta f}$ ${\displaystyle Z}$

Это определение простым образом обобщается на дискретный сигнал со счетным бесконечным числом значений , такой как сигнал, дискретизированный в дискретные моменты времени : где - преобразование Фурье в дискретном времени. Интервал   выборки необходим для сохранения правильных физических единиц и обеспечения что мы восстанавливаем непрерывный случай в пределе.   Но в математических науках интервал часто устанавливается равным 1, что упрощает результаты за счет общности. (также см. нормализованную частоту ) ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$ $${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }(\Delta t)^{2}\underbrace {\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}} _{\left|{\hat {x}}_{d}(f)\right|^{2}},}$$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{d}(f)}$ ${\displaystyle x_{n}.}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t\to 0.}$

Спектральная плотность мощности

Спектр мощности измеренной анизотропии температуры космического микроволнового фонового излучения в угловом масштабе. Сплошная линия — теоретическая модель для сравнения.

Приведенное выше определение спектральной плотности энергии подходит для переходных процессов (импульсных сигналов), энергия которых сосредоточена вокруг одного временного окна; тогда преобразования Фурье сигналов обычно существуют. Для непрерывных сигналов в течение всего времени необходимо скорее определить спектральную плотность мощности (PSD), которая существует для стационарных процессов ; это описывает, как мощность сигнала или временного ряда распределяется по частоте, как в простом примере, приведенном ранее. Здесь мощность может быть фактической физической мощностью или, что чаще, для удобства абстрактных сигналов, просто идентифицируется как квадрат значения сигнала. Например, статистики изучают изменение функции во времени (или по другой независимой переменной) и, используя аналогию с электрическими сигналами (среди других физических процессов), принято называть ее спектром мощности , даже когда нет задействована физическая сила. Если бы кто-то создал физический источник напряжения , который следовал бы за ним и подал бы его на выводы резистора сопротивлением в один Ом , тогда действительно мгновенная мощность, рассеиваемая на этом резисторе, была бы выражена в ваттах . ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x^{2}(t)}$

Таким образом, средняя мощность сигнала за все время определяется следующим средним значением по времени, где период сосредоточен вокруг некоторого произвольного времени : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$ $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}-T/2}^{t_{0}+T/2}\left|x(t)\right|^{2}\,dt}$$

Однако для понимания последующей математики удобнее иметь дело с ограничениями по времени в самом сигнале, а не с ограничениями по времени в границах интеграла. Таким образом, у нас есть альтернативное представление средней мощности, где и — единица в пределах произвольного периода и ноль в другом месте. Очевидно, что в случаях, когда приведенное выше выражение для P не равно нулю, интеграл должен неограниченно расти, поскольку T неограниченно растет. Именно по этой причине в таких случаях мы не можем использовать энергию сигнала, которая представляет собой расходящийся интеграл. ${\displaystyle x_{T}(t)=x(t)w_{T}(t)}$ ${\displaystyle w_{T}(t)}$ $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|x_{T}(t)\right|^{2}\,dt.}$$

При анализе частотного содержания сигнала можно было бы вычислить обычное преобразование Фурье ; однако для многих представляющих интерес сигналов преобразование Фурье формально не существует. ^{[nb 1]} Тем не менее, теорема Парсеваля говорит нам, что мы можем переписать среднюю мощность следующим образом. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$ $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,df}$$

Тогда спектральная плотность мощности просто определяется как подынтегральная функция, указанная выше. ^{[9] [10]}

Отсюда, благодаря теореме о свертке , мы также можем рассматривать как преобразование Фурье временной свертки и , где * представляет собой комплексно-сопряженное число. Приняв это во внимание и сделав, имеем: где использовалась теорема свертки при переходе от 3-й к 4-й строке. ${\displaystyle |{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}}$ ${\displaystyle x_{T}^{*}(-t)}$ ${\displaystyle x_{T}(t)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)[e^{-i2\pi ft}]^{*}dt\\&=\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}(t)e^{-i2\pi ft}dt\right]^{*}\\&=\left[{\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\right]^{*}\\&=\left[{\hat {x}}_{T}(f)\right]^{*}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle u(t)=x_{T}^{*}(-t)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}&=[{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}\cdot {\hat {x}}_{T}(f)\\&={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\mathbin {\mathbf {*} } x_{T}(t)\right\}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }u(\tau -t)x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau ,\end{aligned}}}$$

Теперь, если мы разделим приведенную выше временную свертку на период и возьмем предел как , она станет автокорреляционной функцией неоконного сигнала , который обозначается как , при условии, что он эргодичен , что верно в большинстве случаев, но не во всех, практические случаи. ^{[номер 2]} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle R_{xx}(\tau )}$ ${\displaystyle x(t)}$ $${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau }$$

Отсюда мы видим, снова предполагая эргодичность , что спектральная плотность мощности может быть найдена как преобразование Фурье автокорреляционной функции ( теорема Винера – Хинчина ). ^[11] ${\displaystyle x(t)}$

Многие авторы используют это равенство для фактического определения спектральной плотности мощности. ^[12]

Мощность сигнала в заданном диапазоне частот , где , можно рассчитать путем интегрирования по частоте. Поскольку , одинаковое количество мощности может быть отнесено к положительным и отрицательным полосам частот, что учитывает коэффициент 2 в следующей форме (такие тривиальные факторы зависят от используемых соглашений): В более общем плане, аналогичные методы могут использоваться для оценки изменяющаяся во времени спектральная плотность. В этом случае временной интервал конечен, а не стремится к бесконечности. Это приводит к уменьшению спектрального охвата и разрешения, поскольку частоты ниже не дискретизируются, а результаты на частотах, которые не являются целым кратным, не являются независимыми. При использовании одного такого временного ряда оцененный спектр мощности будет очень «зашумлен»; однако это можно облегчить, если можно оценить ожидаемое значение (в приведенном выше уравнении), используя большое (или бесконечное) количество краткосрочных спектров, соответствующих статистическим ансамблям реализаций, оцененных в течение указанного временного окна. ${\displaystyle [f_{1},f_{2}]}$ ${\displaystyle 0<f_{1}<f_{2}}$ ${\displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$ $${\displaystyle P_{\textsf {bandlimited}}=2\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{xx}(f)\,df}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle x(t)}$

Как и в случае со спектральной плотностью энергии, определение спектральной плотности мощности можно обобщить на дискретные переменные времени . Как и раньше, мы можем рассмотреть окно с сигналом, дискретизированным в дискретные моменты времени в течение общего периода измерения . Обратите внимание, что единая оценка PSD может быть получена с помощью конечного числа выборок. Как и раньше, фактическая PSD достигается, когда (и, следовательно , ) приближается к бесконечности, и формально применяется ожидаемое значение. В реальных приложениях обычно усредняют PSD конечного измерения по многим испытаниям, чтобы получить более точную оценку теоретической PSD физического процесса, лежащего в основе отдельных измерений. Эту вычисленную PSD иногда называют периодограммой . Эта периодограмма сходится к истинной PSD, когда количество оценок, а также временной интервал усреднения приближаются к бесконечности. ^[13] ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle -N\leq n\leq N}$ ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$ ${\displaystyle T=(2N+1)\,\Delta t}$ $${\displaystyle S_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }{\frac {(\Delta t)^{2}}{T}}\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Если оба сигнала обладают спектральной плотностью мощности, то аналогичным образом можно рассчитать кросс-спектральную плотность; Поскольку PSD связана с автокорреляцией, то же самое относится и кросс-спектральная плотность к взаимной корреляции .

Свойства спектральной плотности мощности

Некоторые свойства PSD включают: ^[14]

• Спектр мощности всегда действителен и неотрицательен, а спектр действительнозначного процесса также является четной функцией частоты: . ${\displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$
• Для непрерывного случайного процесса x(t) автокорреляционная функция R _xx ( t ) может быть восстановлена ​​по ее спектру мощности S _xx (f) с помощью обратного преобразования Фурье
• Используя теорему Парсеваля , можно вычислить дисперсию (среднюю мощность) процесса путем интегрирования спектра мощности по всей частоте: $${\displaystyle P=\operatorname {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\!S_{xx}(f)\,df}$$
• Для реального процесса x ( t ) со спектральной плотностью мощности можно вычислить интегрированный спектр или спектральное распределение мощности , которое определяет среднюю мощность в ограниченной полосе частот , содержащуюся в частотах от постоянного тока до f, используя: ^[15] Обратите внимание, что предыдущее выражение для полной мощности (дисперсия сигнала) — это частный случай, когда  f → ∞ . ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle F(f)}$ $${\displaystyle F(f)=2\int _{0}^{f}S_{xx}(f')\,df'.}$$

Спектральная плотность перекрестной мощности

Учитывая два сигнала и , каждый из которых обладает спектральной плотностью мощности и , можно определить перекрестную спектральную плотность мощности ( CPSD ) или перекрестную спектральную плотность ( CSD ). Для начала рассмотрим среднюю мощность такого комбинированного сигнала. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle S_{yy}(f)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]^{*}\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]dt\\&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|x_{T}(t)|^{2}+x_{T}^{*}(t)y_{T}(t)+y_{T}^{*}(t)x_{T}(t)+|y_{T}(t)|^{2}dt\\\end{aligned}}}$$

Используя те же обозначения и методы, которые использовались для вывода спектральной плотности мощности, мы используем теорему Парсеваля и получаем, где, опять же, вклады и уже понятны. Обратите внимание , что полный вклад в перекрестную мощность обычно в два раза превышает реальную часть любого отдельного CPSD . Как и раньше, отсюда мы преобразуем эти продукты в преобразование Фурье временной свертки, которое при делении на период и доведении до предела становится преобразованием Фурье функции взаимной корреляции . ^[16] где – взаимная корреляция с и – взаимная корреляция с . В свете этого PSD считается частным случаем CSD для . Если и являются реальными сигналами (например, напряжением или током), их преобразования Фурье обычно ограничиваются положительными частотами по соглашению. Следовательно, при типичной обработке сигналов полный CPSD — это всего лишь один из CPSD , масштабированный в два раза. $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {x}}_{T}^{*}(f){\hat {y}}_{T}(f)\right]&S_{yx}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {y}}_{T}^{*}(f){\hat {x}}_{T}(f)\right]\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle S_{yy}(f)}$ ${\displaystyle S_{xy}^{*}(f)=S_{yx}(f)}$ ${\displaystyle T\to \infty }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )y_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\S_{yx}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{yx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle R_{xy}(\tau )}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle R_{yx}(\tau )}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)=y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$ ${\displaystyle {\hat {y}}(f)}$ $${\displaystyle \operatorname {CPSD} _{\text{Full}}=2S_{xy}(f)=2S_{yx}(f)}$$

Для дискретных сигналов x _n и y _n взаимосвязь между кросс-спектральной плотностью и кросс-ковариацией равна $${\displaystyle S_{xy}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau _{n})e^{-i2\pi f\tau _{n}}\,\Delta \tau }$$

Оценка

Целью оценки спектральной плотности является оценка спектральной плотности случайного сигнала из последовательности временных выборок. В зависимости от того, что известно о сигнале, методы оценки могут включать параметрические или непараметрические подходы и могут быть основаны на анализе во временной или частотной области. Например, общий параметрический метод предполагает подгонку наблюдений к модели авторегрессии . Распространенным непараметрическим методом является периодограмма .

Спектральная плотность обычно оценивается с использованием методов преобразования Фурье (таких как метод Уэлча ), но также можно использовать и другие методы, такие как метод максимальной энтропии .

Связанные понятия

• Спектральный центроид сигнала — это середина его функции спектральной плотности, т. е. частота, которая делит распределение на две равные части.
• Граничная частота спектра ( SEF ) , обычно выражаемая как «SEF x », представляет собой частоту , ниже которой находится x процентов от общей мощности данного сигнала; обычно x находится в диапазоне от 75 до 95. В частности, это популярный показатель, используемый при мониторинге ЭЭГ , и в этом случае SEF по-разному используется для оценки глубины анестезии и стадий сна . ^{[17] [18]}
• Спектральная огибающая — это огибающая спектральной плотности. Он описывает один момент времени (точнее, одно окно). Например, при дистанционном зондировании с использованием спектрометра спектральная огибающая объекта является границей его спектральных свойств, определяемой диапазоном уровней яркости в каждом из интересующих спектральных диапазонов .
• Спектральная плотность является функцией частоты, а не временем. Однако можно вычислить спектральную плотность небольшого окна более длинного сигнала и построить график зависимости от времени, связанного с окном. Такой график называется спектрограммой . Это основа ряда методов спектрального анализа, таких как кратковременное преобразование Фурье и вейвлеты .
• «Спектр» обычно означает спектральную плотность мощности, как обсуждалось выше, которая отражает распределение содержания сигнала по частоте. Для передаточных функций (например, график Боде , чирп ) полная частотная характеристика может быть представлена ​​в виде двух частей: зависимость мощности от частоты и фаза от частоты — фазовая спектральная плотность , фазовый спектр или спектральная фаза . Реже этими двумя частями могут быть действительная и мнимая части передаточной функции. Это не следует путать с частотной характеристикой передаточной функции, которая также включает фазу (или, что эквивалентно, действительную и мнимую часть) как функцию частоты. Импульсная характеристика во временной области, как правило, не может быть однозначно восстановлена ​​только по спектральной плотности мощности без фазовой части. Хотя это также пары преобразований Фурье, здесь нет симметрии (как в случае автокорреляции ) , заставляющей преобразование Фурье быть действительным. См. Ультракороткий импульс#Спектральная фаза , фазовый шум , групповая задержка . ${\displaystyle h(t)}$
• Иногда можно встретить амплитудную спектральную плотность ( ASD ), которая является квадратным корнем PSD; ASD сигнала напряжения имеет единицы измерения В Гц ^-1/2 . ^[19] Это полезно, когда форма спектра достаточно постоянна, поскольку изменения ASD будут тогда пропорциональны изменениям самого уровня напряжения сигнала. Но с математической точки зрения предпочтительнее использовать PSD, поскольку только в этом случае площадь под кривой имеет смысл с точки зрения фактической мощности на всей частоте или в заданной полосе пропускания.

Приложения

Любой сигнал, который можно представить как переменную, изменяющуюся во времени, имеет соответствующий частотный спектр. Сюда входят такие знакомые объекты, как видимый свет (воспринимаемый как цвет ), музыкальные ноты (воспринимаемые как высота звука ), радио/телевидение (определяемое их частотой или иногда длиной волны ) и даже регулярное вращение Земли. Когда эти сигналы рассматриваются в виде частотного спектра, выявляются определенные аспекты полученных сигналов или лежащих в их основе процессов, производящих их. В некоторых случаях частотный спектр может включать отчетливый пик, соответствующий синусоидальной составляющей. Кроме того, могут присутствовать пики, соответствующие гармоникам основного пика, указывающие на периодический сигнал, который не является просто синусоидальным. Или непрерывный спектр может иметь узкие частотные интервалы, которые сильно усилены, соответствующие резонансам, или частотные интервалы, содержащие почти нулевую мощность, как это было бы в результате использования режекторного фильтра .

Электротехника

Спектрограмма FM-радиосигнала с частотой по горизонтальной оси и временем, увеличивающимся вверх по вертикальной оси.

Понятие и использование спектра мощности сигнала имеет основополагающее значение в электротехнике , особенно в электронных системах связи , включая радиосвязь , радары и связанные с ними системы, а также в технологии пассивного дистанционного зондирования . Электронные приборы, называемые анализаторами спектра, используются для наблюдения и измерения спектров мощности сигналов.

Анализатор спектра измеряет величину кратковременного преобразования Фурье (STFT) входного сигнала. Если анализируемый сигнал можно считать стационарным процессом, STFT представляет собой хорошую сглаженную оценку его спектральной плотности мощности.

Космология

Первичные флуктуации , вариации плотности в ранней Вселенной, количественно оцениваются спектром мощности, который дает мощность изменений как функцию пространственного масштаба.

Смотрите также

• Биспектр
• Яркостная температура
• Цвета шума
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Спектральная плотность шума
• Оценка спектральной плотности
• Спектральная эффективность
• Спектральная утечка
• Спектральное распределение мощности
• Вероятность Уиттла
• Функция окна

Примечания

1. Некоторые авторы, например (Рискен и Франк 1996, стр. 30), до сих пор формально используют ненормализованное преобразование Фурье, чтобы сформулировать определение спектральной плотности мощности, где - дельта-функция Дирака . Такие формальные утверждения иногда могут быть полезны для управления интуицией, но их всегда следует использовать с предельной осторожностью. $${\displaystyle \langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{\ast }(\omega ')\rangle =2\pi f(\omega )\delta (\omega -\omega '),}$$ ${\displaystyle \delta (\omega -\omega ')}$
2. Теорема Винера-Хинчина объясняет эту формулу для любого стационарного процесса в широком смысле при более слабых гипотезах: он не обязательно должен быть абсолютно интегрируемым, он должен только существовать. Но интеграл уже нельзя интерпретировать как обычно. Формула также имеет смысл, если ее интерпретировать как включающую распределения (в смысле Лорана Шварца , а не в смысле статистической кумулятивной функции распределения ) вместо функций. Если непрерывно, то теорему Бохнера можно использовать для доказательства того, что ее преобразование Фурье существует как положительная мера , функция распределения которой равна F (но не обязательно как функция и не обязательно обладающая плотностью вероятности). ${\displaystyle R_{xx}}$ ${\displaystyle R_{xx}}$

1. П. Стойка и Р. Моисей (2005). «Спектральный анализ сигналов» (PDF) .
2. Марал 2004.
3. Нортон и Карчуб 2003.
4. Биролини 2007, с. 83.
5. Пашотта, Рюдигер. «Спектральная плотность мощности». rp-photonics.com . Архивировано из оригинала 15 апреля 2024 г. Проверено 26 июня 2024 г.
6. Оппенгейм и Вергезе, 2016, с. 12.
7. Штейн 2000, стр. 108, 115.
8. Оппенгейм и Вергезе, 2016, с. 14.
9. Оппенгейм и Вергезе, 2016, стр. 422–423.
10. Миллер и Чайлдерс, 2012, стр. 429–431.
11. Миллер и Чайлдерс 2012, стр. 433.
12. Деннис Уорд Рикер (2003). Обработка эхо-сигнала. Спрингер. ISBN 978-1-4020-7395-3.
13. Браун и Хван 1997.
14. Миллер и Чайлдерс 2012, стр. 431.
15. Давенпорт и Рут 1987.
16. Уильям Д. Пенни (2009). «Курс обработки сигналов, глава 7».
17. Иранманеш и Родригес-Вильегас 2017.
18. Имтиас и Родригес-Вильегас 2014.
19. Майкл Черна и Одри Ф. Харви (2000). «Основы анализа и измерения сигналов на основе БПФ» (PDF) .

Рекомендации

• Биролини, Алессандро (2007). Инженерия надежности . Берлин ; Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-49388-4.
• Браун, Роберт Гровер; Хван, Патрик Ю.К. (1997). Введение в случайные сигналы и прикладную фильтрацию Калмана с помощью упражнений и решений Matlab . Нью-Йорк: Вили-Лисс. ISBN 978-0-471-12839-7.
• Давенпорт, Уилбур Б. (младший); Рут, Уильям Л. (1987). Введение в теорию случайных сигналов и шума . Нью-Йорк: Wiley-IEEE Press. ISBN 978-0-87942-235-6.
• Имтиаз, Сайед Анас; Родригес-Вильегас, Эстер (2014). «Алгоритм с низкими вычислительными затратами для обнаружения быстрого сна с использованием одноканальной ЭЭГ». Анналы биомедицинской инженерии . 42 (11): 2344–59. дои : 10.1007/s10439-014-1085-6. ПМК  4204008 . ПМИД  25113231.
• Иранманеш, Саам; Родригес-Вильегас, Эстер (2017). «Система обнаружения спящего шпинделя со сверхнизким энергопотреблением на кристалле». Транзакции IEEE в биомедицинских схемах и системах . 11 (4): 858–866. дои : 10.1109/TBCAS.2017.2690908. hdl : 10044/1/46059 . PMID  28541914. S2CID  206608057.
• Марал, Жерар (2004). VSAT-сети . Западный Суссекс, Англия ; Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0-470-86684-9.
• Миллер, Скотт; Чайлдерс, Дональд (2012). Вероятность и случайные процессы . Бостон, Массачусетс: Академическая пресса. ISBN 978-0-12-386981-4. ОСЛК  696092052.
• Нортон, член парламента; Карчуб, Д.Г. (2003). Основы анализа шума и вибрации для инженеров . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-49913-2.
• Оппенгейм, Алан В.; Вергезе, Джордж К. (2016). Сигналы, системы и вывод . Бостон: Пирсон. ISBN 978-0-13-394328-3.
• Рискен, Ханнес; Франк, Тилль (1996). Уравнение Фоккера-Планка . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-61530-9.
• Штейн, Джонатан Ю. (2000). Цифровая обработка сигналов . Нью-Йорк Вайнхайм: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-29546-4.

Внешние ссылки

• Скрипты Matlab для определения спектральной плотности мощности