Корень единства

Корни 5-й степени из единицы (синие точки) на комплексной плоскости

В математике корень из единицы , иногда называемый числом Муавра , — это любое комплексное число , которое при возведении в некоторую положительную целую степень $n$ дает 1 . Корни из единицы используются во многих разделах математики и особенно важны в теории чисел , теории групповых характеров и дискретном преобразовании Фурье .

Корни единства можно найти в любой области . Если характеристика поля равна нулю, корни представляют собой комплексные числа, которые также являются целыми алгебраическими числами . Для полей с положительной характеристикой корни принадлежат конечному полю и, наоборот , каждый ненулевой элемент конечного поля является корнем из единицы. Любое алгебраически замкнутое поле содержит ровно $n корней$ $n-й$ степени из единицы, за исключением случаев, когда $n$ кратно (положительной) характеристике поля.

Общее определение

Корень $n-$ й степени из единицы , где $n$ — целое положительное число, представляет собой число $z,$ удовлетворяющее уравнению ^[1]^[2]

z^{n}=1.

комплексные числа

n

которые мнимой частью

n-

^[3]

\exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.

Однако определяющее уравнение корней из единицы имеет смысл над любым полем ( и даже над любым кольцом ) $F$ , и это позволяет рассматривать корни из единицы в $F.$ Каким бы ни было поле $F$ , корни из единицы в $F$ являются либо комплексными числами, если характеристика $F$ равна 0, либо, в противном случае, принадлежат конечному полю . И наоборот, каждый ненулевой элемент в конечном поле является корнем из единицы в этом поле. Дополнительные сведения см. в разделе «Корень из единицы по модулю n» и «Конечное поле» .

Говорят, что корень n-й степени из единицы $равен$ примитивный, если он не является $m-$ й степени из единицы для некоторого меньшего $m$ , то есть если^[4]^[5]

z^{n}=1\quad {\text{and}}\quad z^{m}\neq 1{\text{ for }}m=1,2,3,\ldots,n-1 .

Если n — простое число , то все корни $n-$ й степени из единицы, кроме 1, являются примитивными. ^[6]

В приведенной выше формуле, выраженной в показательных и тригонометрических функциях, примитивными корнями $n$ -й степени из единицы являются те, для которых $k$ и $n$ являются взаимно простыми целыми числами .

Последующие разделы этой статьи будут соответствовать сложным корням единства. О случае корней из единицы в полях ненулевой характеристики см. Конечное поле § Корни из единицы . Для случая корней из единицы в кольцах модулярных целых чисел см. Корень из единицы по модулю n .

Элементарные свойства

Каждый корень $z$ $n-$ й степени из единицы является примитивным корнем $a$ -й степени из единицы для некоторого $a$ $\leq$ $n$ , что является наименьшим положительным целым числом таким, что $z$ $a$ $= 1$ .

Любая целая степень корня $n-$ й степени из единицы также является корнем $n-$ й степени из единицы, ^[7] как

(z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.

Это справедливо и для отрицательных показателей. В частности, обратное значение корня $n-$ й степени из единицы является его комплексно-сопряженным , а также является корнем $n-$ й степени из единицы: ^[8]

{\frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.

Если $z$ — корень $n-й$ степени из единицы и $a \equiv b (mod n)$ , то $z a = z b$ . Действительно, по определению сравнения по модулю n , $a = b + kn$ для некоторого целого $k$ и, следовательно,

z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}(z^{n})^{k}=z^{b} 1^{k}=z^{b}.

$Следовательно, учитывая$ степень $z a$ числа $z$ , имеем $z a = z r$ , где $0 \leq r < n$ — остаток евклидова деления a $на$ n .

Пусть $z$ — примитивный корень $n-$ й степени из единицы. Тогда степени $z$ , $z 2$ , ..., $z n -1$ , $z n = z 0 = 1$ являются корнями $n-й$ степени из единицы и все различны. (Если $z a = z b$ , где $1 \leq a < b \leq n$ , то $z b - a = 1$ , что будет означать, что $z$ не будет примитивным.) Из этого следует, что $z$ , $z 2$ , ..., $z n - 1$ , $z n = z 0 = 1$ — все корни $n-$ й степени из единицы, поскольку полиномиальное уравнение $n$ -й степени над полем (в данном случае полем комплексных чисел) имеет не более $n$ решений.

Из предыдущего следует, что если $z$ является примитивным корнем $n-$ й степени из единицы, то тогда и только тогда, когда Если $z$ не является примитивным, тогда подразумевается , но обратное может быть ложным, как показано в следующем примере. Если $n$ $= 4$ , непримитивный корень $n$ - й степени из единицы равен $z$ $= -1$ , и он имеет , хотя $z^{a}=z^{b}$ $a\equiv b{\pmod {n}}.$ $a\equiv b{\pmod {n}}$ $z^{a}=z^{b},$ $z^{2}=z^{4}=1$ $2\not \equiv 4{\pmod {4}}.$

Пусть $z$ — примитивный корень $n-$ й степени из единицы. Степень $w = z k$ числа $z$ является примитивным корнем $a$ -й степени из единицы для

a={\frac {n}{\gcd(k,n)}},

где – наибольший общий делитель n и $k$ $.$ Это происходит из-за того, что $ka$ — наименьшее кратное $k$ , которое также кратно $n$ . Другими словами, $ka$ — наименьшее общее кратное $k$ и $n$ . Таким образом $\gcd(k,n)$

a={\frac {\operatorname {lcm} (k,n)}{k}} = {\frac {kn}{k\gcd(k,n)}} = {\frac {n} \gcd(k,n)}}.

Таким образом, если $k$ и $n$ взаимно просты , $z k$ также является примитивным корнем $n-$ й степени из единицы, и, следовательно, существует $φ (n)$ различных примитивных корней $n-й степени из единицы (где$ $φ$ — общая функция Эйлера ). Это означает, что если $n$ — простое число, все корни, кроме $+1$ , примитивные.

Другими словами, если $R(n)$ — множество всех корней $n-й$ степени из единицы, а $P(n)$ — множество примитивных, $R(n)$ — непересекающееся объединение P $(n)$ :

\operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),

где обозначение означает, что $d$ $проходит$ через все положительные делители n , включая $1$ и $n$ .

Поскольку мощность R $(n)$ равна $n$ , а мощность $P(n)$ равна $φ (n)$ , это демонстрирует классическую формулу

{\ displaystyle \ sum _ {d \, | \, n} \ varphi (d) = n.}

Свойства группы

Группа всех корней единства

Произведение и мультипликативное обратное произведение двух корней из единицы также являются корнями из единицы. Фактически, если $x m = 1$ и $y n = 1$ , то $(x -1) m = 1$ и $(xy) k = 1$ , где $k$ — наименьшее общее кратное $m$ и $n$ .

Следовательно, корни из единицы при умножении образуют абелеву группу . Эта группа является периодической подгруппой группы кругов .

Группа корней n- й степени из единицы

Для целого числа n произведение и мультипликативное обратное значение двух корней $n-$ й степени из единицы также являются корнями $n-$ й степени из единицы. Следовательно, корни $n-$ й степени из единицы при умножении образуют абелеву группу.

Учитывая примитивный корень $n-$ й степени из единицы $ω$ , остальные корни $n-$ й степени являются степенями $ω$ . Это означает, что группа корней $n-$ й степени из единицы является циклической группой . Стоит отметить, что термин циклическая группа возник из-за того, что эта группа является подгруппой круговой группы .

Группа Галуа примитивных корней n- й степени из единицы

Пусть – расширение поля рациональных чисел , порожденное примитивным корнем $n-$ й степени из единицы $ω$ . Поскольку каждый корень $n-$ й степени из единицы является степенью $ω$ , поле содержит все корни $n-$ й степени из единицы и является расширением Галуа $\mathbb {Q} (\omega)$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} (\omega)$ $\mathbb {Q} (\omega)$ $\mathbb {Q} .$

Если $k$ — целое число, $ωk$ — примитивный $корень$ $n-$ й степени из единицы тогда и только тогда, когда $k$ и $n$ взаимно просты . В этом случае карта

\omega \mapsto \omega ^{k}

индуцирует автоморфизм , который отображает каждый корень $n-$ й степени из единицы в его $k-$ ю степень. Таким образом получается каждый автоморфизм , и эти автоморфизмы образуют группу Галуа над полем рациональных чисел. $\mathbb {Q} (\omega)$ $\mathbb {Q} (\omega)$ $\mathbb {Q} (\omega)$

Правила возведения в степень предполагают, что композиция двух таких автоморфизмов получается перемножением показателей. Отсюда следует, что карта

k\mapsto \left (\omega \mapsto \omega ^{k}\right)

определяет групповой изоморфизм между единицами кольца целых чисел по модулю $n$ и группой Галуа $\mathbb {Q} (\omega).$

Это показывает, что эта группа Галуа является абелевой , и, таким образом, подразумевает, что примитивные корни из единицы могут быть выражены через радикалы .

Группа Галуа действительной части первородных корней единицы

Действительная часть примитивных корней из единицы связана друг с другом как корни минимального многочлена . Корни минимального многочлена всего лишь в два раза превышают действительную часть ; эти корни образуют циклическую группу Галуа. $2\cos(2\pi /n).$

Тригонометрическое выражение

Формула Де Муавра , справедливая для всех действительных $x$ и целых чисел $n$ , имеет вид

\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.

Установка $х =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}2π/н$ дает примитивный корень $n-$ й степени из единицы – получается

\left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,

но

\left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1

для $k = 1, 2, \dots, n - 1$ . Другими словами,

\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}

является примитивным корнем $n-$ й степени из единицы.

Эта формула показывает, что в комплексной плоскости корни $n$ -й степени из единицы находятся в вершинах правильного $n$ -стороннего многоугольника , вписанного в единичную окружность , с одной вершиной в точке 1 (см. графики для $n = 3$ и $n = 5$ на верно). Этот геометрический факт объясняет термин «круговой» в таких фразах, как круговое поле и круговой полином ; оно происходит от греческих корней «цикло» (круг) плюс «томос» (разрезать, делить).

Формула Эйлера

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

которое справедливо для всех действительных $x$ , можно использовать для приведения формулы для корней $n-$ й степени из единицы к виду

e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\quad 0\leq k<n.

Из обсуждения в предыдущем разделе следует, что это примитивный корень $n$ -й степени тогда и только тогда, когда дробь $к / н$ находится в самом низком выражении; то есть $k$ и $n$ взаимно просты. Иррациональное число , которое можно выразить как действительную часть корня из единицы; то есть как , называется тригонометрическим числом . $\cos(2\pi k/n)$

Алгебраическое выражение

Корни $n$ -й степени из единицы по определению являются корнями многочлена $x$ $n$ $- 1$ и, следовательно, являются алгебраическими числами . Поскольку этот многочлен не является неприводимым (за исключением $n$ $= 1$ ), примитивные корни $n$ -й степени из единицы являются корнями неприводимого многочлена (по целым числам) более низкой степени, называемого n- $м$ круговым многочленом и часто обозначаемого $Φ$ $n$ . Степень $Φ$ $n$ определяется функцией Эйлера , которая подсчитывает (помимо прочего) количество примитивных корней $n-$ й степени из единицы. ^[9] Корни $Φ$ $n$ — это в точности примитивные корни $n-$ й степени из единицы.

Теорию Галуа можно использовать, чтобы показать, что круговые полиномы можно удобно решать в терминах радикалов. (Тривиальная форма неудобна, поскольку она содержит непримитивные корни, такие как 1, которые не являются корнями кругового многочлена, и потому что она не дает действительную и мнимую части отдельно.) Это означает, что для каждого положительного целое число $n$ , существует выражение, построенное из целых чисел путем извлечения корней, сложения, вычитания, умножения и деления (и ничего больше), такое, что примитивные корни $n-$ й степени из единицы представляют собой именно набор значений, которые можно получить, выбирая значения для извлечения корней ( $k$ возможных значений для $k$ -го корня). (Подробнее см. § Циклотомные поля ниже.) ${\sqrt[{n}]{1}}$

Гаусс доказал , что примитивный корень $n-$ й степени из единицы можно выразить с помощью только квадратных корней , сложения, вычитания, умножения и деления тогда и только тогда, когда можно построить с помощью циркуля и линейки правильный n -угольник . Это имеет место тогда и только тогда, когда $n$ является либо степенью двойки , либо произведением степени двойки и простых чисел Ферма , которые все различны.

Если $z$ — примитивный корень $n-$ й степени из единицы, то же самое верно и для $1/ z$ , и оно в два раза превышает действительную часть $z$ . Другими словами, $Φ$ $n$ является обратным многочленом , многочлен , который имеет $r$ в качестве корня, может быть выведен из $Φ$ $n$ с помощью стандартных манипуляций с обратными многочленами, а примитивные корни $n$ -й степени из единицы могут быть выведены из корней путем решения квадратное уравнение . То есть действительная часть первообразного корня равна, а мнимая часть равна $r=z+{\frac {1}{z}}$ $R_{n}$ $R_{n}$ $z^{2}-rz+1=0.$ ${\frac {r}{2}},$ $\pm i{\sqrt {1-\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}}}.$

Полином — это неприводимый многочлен, все корни которого действительны. Его степень является степенью двойки тогда и только тогда, когда $n$ является произведением степени двойки на произведение (возможно, пустое ) различных простых чисел Ферма, а правильный $n$ -угольник можно построить с помощью циркуля и линейки. В противном случае она разрешима в радикалах, но они находятся в casus нередуцибилис , то есть каждое выражение корней через радикалы включает в себя нереальные радикалы . $R_{n}$

Явные выражения в низких степенях

Для $n = 1$ круговой полином равен $Φ 1 (x) = x - 1.$ Следовательно, единственный примитивный первый корень из единицы равен 1, что является непримитивным корнем $n$ -й степени из единицы для каждого n > 1.
Поскольку $Φ 2 (x) = x + 1$ , единственный примитивный второй (квадратный) корень из единицы равен −1, который также является непримитивным корнем $n$ -й степени из единицы для каждого четного $n > 2$ . В предыдущем случае это завершает список действительных корней из единицы.
Поскольку $Φ 3 (x) = x 2 + x + 1$ , примитивные третьи ( кубические ) корни из единицы, которые являются корнями этого квадратичного многочлена , равны ${\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\ {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}.$
Поскольку $Φ 4 (x) = x 2 + 1$ , два примитивных корня четвертой степени из единицы - это $i$ и $- i$ .
Поскольку $Φ 5 (x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1$ , четыре примитивных корня пятой степени из единицы являются корнями этого многочлена четвертой степени , который может быть явно решен в терминах радикалов, давая корни ${\frac {\varepsilon {\sqrt {5}}-1}{4}}\pm i{\frac {\sqrt {10+2\varepsilon {\sqrt {5}}}}{4}},$ где может принимать два значения 1 и -1 (одно и то же значение в двух случаях). $\varepsilon$
Поскольку $Φ 6 (x) = x 2 - x + 1$ , существует два примитивных корня шестой степени из единицы, которые являются отрицательными числами (а также квадратными корнями) двух примитивных кубических корней: ${\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},\ {\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}.$
Поскольку 7 не является простым числом Ферма, корни седьмой степени из единицы являются первыми, требующими кубических корней . Существует 6 примитивных корней седьмой степени из единицы, которые попарно комплексно сопряжены . Сумма корня и сопряженного ему числа в два раза превышает его действительную часть. Эти три суммы представляют собой три вещественных корня кубического многочлена , а примитивные корни седьмой степени из единицы равны $r^{3}+r^{2}-2r-1,$ ${\frac {r}{2}}\pm i{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{4}}}},$ где $r$ пробегает корни указанного выше многочлена. Как и для любого кубического многочлена, эти корни можно выразить через квадратные и кубические корни. Однако, поскольку все эти три корня вещественны, это casus нередуцибилис , и любое такое выражение включает в себя недействительные кубические корни.
Поскольку $Φ 8 (x) = x 4 + 1$ , четыре примитивных корня восьмой степени из единицы являются квадратными корнями примитивных корней четвертой степени $\pm i$ . Таким образом, они $\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\pm i{\frac {\sqrt {2}}{2}}.$
См . Гептадекагон , чтобы узнать действительную часть корня из единицы 17-й степени.

Периодичность

Если $z$ — примитивный корень $n-$ й степени из единицы, то последовательность степеней

\dots , z -1, z 0, z 1, \dots

является $n$ -периодической (потому что $z j + n = z j z n = z j$ для всех значений $j$ ), а $n$ последовательности степеней

s k : \dots , z k \cdot(-1), z k \cdot0, z k \cdot1, \dots

для $k = 1, \dots, n$ все $n$ -периодичны (поскольку $z k \cdot(j + n) = z k \cdot j$ ). Более того, множество ${s 1, \dots , s n$ } этих последовательностей является базисом линейного пространства всех $n$ -периодических последовательностей. Это означает, что любая $n$ -периодическая последовательность комплексных чисел

\dots , Икс -1, Икс 0, Икс 1, \dots

можно выразить как линейную комбинацию степеней примитивного корня $n-$ й степени из единицы:

x_{j}=\sum _{k}X_{k}\cdot z^{k\cdot j}=X_{1}z^{1\cdot j}+\cdots +X_{n}\cdot z^{n\cdot j}

для некоторых комплексных чисел $X 1, \dots , X n$ и любого целого числа $j$ .

Это форма анализа Фурье . Если $j$ — (дискретная) временная переменная, то $k$ — частота , а $X k$ — комплексная амплитуда .

Выбор примитивного корня $n-$ й степени из единицы

z=e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}

позволяет выразить $x j$ $как линейную комбинацию cos$ и $sin$ :

x_{j}=\sum _{k}A_{k}\cos {\frac {2\pi jk}{n}}+\sum _{k}B_{k}\sin {\frac {2\pi jk}{n}}.

Это дискретное преобразование Фурье .

Суммирование

Пусть $SR(n)$ будет суммой всех корней $n-$ й степени из единицы, примитивных или нет. Затем

\operatorname {SR} (n)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1.\end{cases}}

Это непосредственное следствие формул Виеты . Фактически, корни $n$ -й степени из единицы являются корнями многочлена $X n - 1$ , их сумма представляет собой коэффициент степени $n - 1$ , который равен 1 или 0 в зависимости от того, $n = 1$ или $n > 1$ .

Альтернативно, для $n = 1$ нечего доказывать, а для $n > 1$ существует корень $z \neq 1$ – поскольку множество $S$ всех корней $n$ -й степени из единицы является группой , $z S = S$ , поэтому сумма удовлетворяет условию $z SR(n) = SR(n)$ , откуда $SR(n) = 0$ .

Пусть $SP(n)$ будет суммой всех примитивных корней $n-$ й степени из единицы. Затем

\operatorname {SP} (n)=\mu (n),

где $µ (n)$ – функция Мёбиуса .

В разделе «Элементарные свойства» было показано, что если $R(n)$ — множество всех корней $n-$ й степени из единицы, а $P(n)$ — множество примитивных, то $R(n)$ — непересекающееся объединение $P(n)$ :

\operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),

Из этого следует

\operatorname {SR} (n)=\sum _{d\,|\,n}\operatorname {SP} (d).

Применение формулы обращения Мёбиуса дает

\operatorname {SP} (n)=\sum _{d\,|\,n}\mu (d)\operatorname {SR} \left({\frac {n}{d}}\right).

В этой формуле, если $d < n$ , то $SR(н / д) = 0$ , а для $d = n$ : $SR(н / д) = 1$ . Следовательно, $SP(n) = µ (n)$ .

Это частный случай $c n (1)$ суммы Рамануджана $c n (s)$ ^[10] , определяемой как сумма s $-$ х степеней примитивных $n-$ х корней из единицы:

c_{n}(s)=\sum _{a=1 \atop \gcd(a,n)=1}^{n}e^{2\pi i{\frac {a}{n}}s}.

Ортогональность

Из формулы суммирования следует соотношение ортогональности : для $j = 1, \dots , n$ и $j' = 1, \dots , n$

\sum _{k=1}^{n}{\overline {z^{j\cdot k}}}\cdot z^{j'\cdot k}=n\cdot \delta _{j,j'}

где $δ$ — дельта Кронекера , а $z$ — любой примитивный корень $n- й степени из единицы.$

Матрица $U$ размера $n \times n$ , чья $($ $j$ $,$ $k$ $)$ -я запись равна

U_{j,k}=n^{-{\frac {1}{2}}}\cdot z^{j\cdot k}

определяет дискретное преобразование Фурье . Вычисление обратного преобразования с использованием исключения Гаусса требует $O (n 3)$ операций. Однако из ортогональности следует, что $U$ унитарно . То есть,

\sum _{k=1}^{n}{\overline {U_{j,k}}}\cdot U_{k,j'}=\delta _{j,j'},

и, таким образом, обратное к $U$ — это просто комплексно-сопряженное число. (Этот факт впервые был отмечен Гауссом при решении задачи тригонометрической интерполяции .) Непосредственное применение $U$ или обратного к данному вектору требует $O (n 2)$ операций. Алгоритмы быстрого преобразования Фурье дополнительно сокращают количество операций до $O (n log n)$ .

Циклотомные полиномы

Нули многочлена _

p(z)=z^{n}-1

являются в точности корнями $n-$ й степени из единицы, каждый из которых имеет кратность 1. $n-$ й круговой многочлен определяется тем фактом, что его нули являются в точности примитивными корнями $n$ -й степени из единицы, каждый из которых имеет кратность 1.

\Phi _{n}(z)=\prod _{k=1}^{\varphi (n)}(z-z_{k})

где $z 1, z 2, z 3, \dots, z φ(n)$ — примитивные корни $n$ -й степени из единицы, а $φ(n)$ — общая функция Эйлера . Многочлен $Φ n (z)$ имеет целые коэффициенты и является неприводимым многочленом над рациональными числами (то есть его нельзя записать в виде произведения двух многочленов положительной степени с рациональными коэффициентами). ^[9] Случай простого числа $n$ , который проще, чем общее утверждение, вытекает из применения критерия Эйзенштейна к многочлену

{\frac {(z+1)^{n}-1}{(z+1)-1}},

и расширение с помощью биномиальной теоремы .

Каждый корень $n-$ й степени из единицы является примитивным корнем $d$ -й степени из единицы ровно для одного положительного делителя $d$ числа $n$ . Это означает, что ^[9]

z^{n}-1=\prod _{d\,|\,n}\Phi _{d}(z).

Эта формула представляет собой факторизацию многочлена $z n - 1$ на неприводимые множители:

{\begin{aligned}z^{1}-1&=z-1\\z^{2}-1&=(z-1)(z+1)\\z^{3}-1&=(z-1)(z^{2}+z+1)\\z^{4}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)\\z^{5}-1&=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{6}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\\z^{7}-1&=(z-1)(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{8}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)(z^{4}+1)\\\end{aligned}}

Применение обращения Мёбиуса к формуле дает

\Phi _{n}(z)=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{\frac {n}{d}}-1\right)^{\mu (d)}=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{d}-1\right)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},

где $ц$ — функция Мёбиуса . Итак, первые несколько круговых полиномов равны

Φ 1 (z) знак равно z - 1

Φ 2 (z) знак равно (z 2 - 1)\cdot(z - 1) -1 знак равно z + 1

Φ 3 (z) знак равно (z 3 - 1)\cdot(z - 1) -1 знак равно z 2 + z + 1

Φ 4 (z) знак равно (z 4 - 1)\cdot (z 2 - 1) -1 знак равно z 2 + 1

Φ 5 (z) знак равно (z 5 - 1)\cdot (z - 1) -1 знак равно z 4 + z 3 + z 2 + z + 1

Φ 6 (z) знак равно (z 6 - 1)\cdot(z 3 - 1) -1 \cdot(z 2 - 1) -1 \cdot(z - 1) знак равно z 2 - z + 1

Φ 7 (z) знак равно (z 7 - 1)\cdot (z - 1) -1 знак равно z 6 + z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1

Φ 8 (z) знак равно (z 8 - 1)\cdot(z 4 - 1) -1 знак равно z 4 + 1

Если $p$ — простое число , то все корни $p$ -й степени из единицы, кроме 1, являются примитивными корнями $p$ -й степени. Поэтому ^[6]

\Phi _{p}(z)={\frac {z^{p}-1}{z-1}}=\sum _{k=0}^{p-1}z^{k}.

Заменяя z

повторной единицей по базе

z

Обратите внимание, что, вопреки первому мнению, не все коэффициенты всех круговых многочленов равны 0, 1 или -1. Первое исключение — $Φ 105$ . Неудивительно, что на получение примера уходит так много времени, поскольку поведение коэффициентов зависит не столько от $n$ , сколько от того, сколько нечетных простых множителей входит в $n$ . Точнее, можно показать, что если $n$ имеет 1 или 2 нечетных простых множителя (например, $n = 150$ ), то $n$ -й круговой полином имеет только коэффициенты 0, 1 или -1. Таким образом, первое мыслимое $n$ , для которого может быть коэффициент, кроме 0, 1 или −1, является произведением трех наименьших нечетных простых чисел, то есть $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$ . Это само по себе не доказывает, что 105-й полином имеет еще один коэффициент, но показывает, что это первый полином, который вообще имеет шанс сработать (а затем вычисление коэффициентов показывает, что это так). Теорема Шура утверждает, что существуют круговые многочлены со сколь угодно большими по модулю коэффициентами . В частности, если где – нечетные простые числа, а t нечетно, то $1 -$ $t$ встречается как коэффициент в $n-$ м круговом многочлене. ^[11] $n=p_{1}p_{2}\cdots p_{t},$ $p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{t}$ $p_{1}+p_{2}>p_{t},$

Известно множество ограничений относительно значений, которые круговые полиномы могут принимать в целочисленных значениях. Например, если $p$ простое число, то $d ∣ Φ p (d)$ тогда и только тогда, когда $d \equiv 1 (mod p)$ .

Циклотомные многочлены разрешимы в радикалах , поскольку корни из единицы сами являются радикалами. Более того, существуют более информативные радикальные выражения для корней $n-й$ степени из единицы с тем дополнительным свойством ^[12] , что каждое значение выражения, полученное выбором значений радикалов (например, знаков квадратных корней), является примитивным корнем $n-$ й степени из единицы. единство. Это уже было показано Гауссом в 1797 году. ^[13] Существуют эффективные алгоритмы вычисления таких выражений. ^[14]

Циклические группы

Корни $n-$ й степени из единицы при умножении образуют циклическую группу порядка n $,$ и фактически эти группы включают в себя все конечные подгруппы мультипликативной группы поля комплексных чисел. Генератором этой циклической группы является примитивный корень $n-$ й степени из единицы.

Корни $n-$ й степени из единицы образуют неприводимое представление любой циклической группы порядка $n$ . Отношение ортогональности также следует из теоретико-групповых принципов, описанных в разделе «Группа символов» .

Корни единицы появляются как элементы собственных векторов любой циркулянтной матрицы ; то есть матрицы, инвариантные относительно циклических сдвигов, - факт, который также следует из теории представлений групп как варианта теоремы Блоха . ^[15]^{[ нужна страница ]} В частности, если рассматривать циркулянтную эрмитову матрицу (например, дискретизированный одномерный лапласиан с периодическими границами ^[16] ), то свойство ортогональности немедленно следует из обычной ортогональности собственных векторов эрмитовых матриц.

Циклотомные поля

Присоединяя примитивный корень $n-$ й степени из единицы к одному, получаем $n-$ е круговое поле. Это поле содержит все корни $n- й степени из единицы и является$ полем расщепления n $-$ го кругового многочлена над . Расширение поля имеет степень φ( n ) и свою степень Галуа. группа естественно изоморфна мультипликативной группе единиц кольца $\mathbb {Q} ,$ $\mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n)).$ $\mathbb {Q} .$ $\mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .$

Поскольку группа Галуа абелева, это абелевое расширение . Каждое подполе кругового поля является абелевым расширением рациональных чисел. Отсюда следует, что каждый корень n- й степени из единицы может быть выражен через k -корни, причем различные k не превосходят φ( n ). В этих случаях теория Галуа может быть явно записана в терминах гауссовских периодов : эта теория из « Арифметических исследований Гаусса » была опубликована за много лет до Галуа. ^[17] $\mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q}$

И наоборот, каждое абелево расширение рациональных чисел является таким подполем кругового поля – это содержание теоремы Кронекера , обычно называемой теоремой Кронекера-Вебера на том основании, что Вебер завершил доказательство.

Связь с квадратичными целыми числами

Для $n = 1, 2$ оба корня из единицы 1 и −1 являются целыми числами .

Для трех значений $n$ корни из единицы представляют собой квадратичные целые числа :

Для $n = 3, 6$ это целые числа Эйзенштейна ( $D = -3$ ).
Для $n = 4$ это целые числа Гаусса ( $D = -1$ ): см. Мнимая единица измерения .

Для четырех других значений $n$ примитивные корни из единицы не являются квадратичными целыми числами, но сумма любого корня из единицы с его комплексно-сопряженным (также корнем $n-$ й степени из единицы) является квадратичным целым числом.

Для $n = 5, 10$ ни один из невещественных корней из единицы (которые удовлетворяют уравнению четвертой степени ) не является квадратичным целым числом, но сумма $z + z = 2 Re z$ каждого корня с его комплексно сопряженным (также корнем 5-й степени) единицы) является элементом кольца $Z [1 + \sqrt 5 / 2]$ ( $Д знак равно 5$ ). Для двух пар недействительных корней пятой степени из единицы эти суммы представляют собой обратное золотое сечение и минус золотое сечение.

Для $n = 8$ для любого корня из единицы $z + z$ равно 0, ±2 или ± √ 2 ( $D = 2$ ).

Для $n = 12$ для любого корня из единицы $z + z$ равно 0, ±1, ±2 или ± √ 3 ( $D = 3$ ).

Смотрите также

Система Арган
Группа кругов , единица комплексных чисел
Циклотомное поле
Групповая схема корней единицы
Дирихле персонаж
Сумма Рамануджана
Вектор Витта
Тейхмюллер персонаж

Примечания

^ Хэдлок, Чарльз Р. (2000). Теория поля и ее классические проблемы, том 14. Издательство Кембриджского университета. стр. 84–86. ISBN 978-0-88385-032-9.
^ Ланг, Серж (2002). «Корни единства». Алгебра . Спрингер. стр. 276–277. ISBN 978-0-387-95385-4.
^ Месерве, Брюс Э. (1982). Основные понятия алгебры . Дуврские публикации. п. 52.
^ Московиц, Мартин А. (2003). Приключения в математике. Всемирная научная. п. 36. ISBN 9789812794949.
^ Лидл, Рудольф; Пильц, Гюнтер (1984). Прикладная абстрактная алгебра. Тексты для бакалавриата по математике. Спрингер. п. 149. дои : 10.1007/978-1-4615-6465-2. ISBN 978-0-387-96166-8.
^ Аб Моранди, Патрик (1996). Теория поля и Галуа. Тексты для аспирантов по математике. Том. 167. Спрингер. п. 74. дои : 10.1007/978-1-4612-4040-2. ISBN 978-0-387-94753-2.
^ Рейли, Норман Р. (2009). Введение в прикладные алгебраические системы. п. 137. ИСБН 978-0-19-536787-4.
^ Ротман, Джозеф Дж. (2015). Продвинутая современная алгебра. Том. 1 (3-е изд.). Американское математическое общество. п. 129. ИСБН 9781470415549.
^ abc Ризель, Ганс (1994). Факторизация простых чисел и компьютерные методы факторизации. Спрингер. п. 306. ИСБН 0-8176-3743-5.
^ Апостол, Том М. (1976). Введение в аналитическую теорию чисел. Тексты для бакалавриата по математике. Спрингер. п. 160. дои : 10.1007/978-1-4757-5579-4. ISBN 978-1-4419-2805-4.
^ Лемер, Эмма (1936). «О величине коэффициентов кругового многочлена». Бюллетень Американского математического общества . 42 (6): 389–392. дои : 10.1090/S0002-9904-1936-06309-3 .
^ Ландау, Сьюзен ; Миллер, Гэри Л. (1985). «Разрешимость радикалами находится за полиномиальное время». Журнал компьютерных и системных наук . 30 (2): 179–208. дои : 10.1016/0022-0000(85)90013-3.
^ Гаусс, Карл Ф. (1965). Арифметические исследования . Издательство Йельского университета. стр. §§359–360. ISBN 0-300-09473-6.
^ Вебер, Андреас; Кекайзен, Майкл. «Решение циклотомных полиномов с помощью радикальных выражений» (PDF) . Проверено 22 июня 2007 г.
^ Инуи, Тетуро; Танабэ, Юкито; Онодера, Ёситака (1996). Теория групп и ее приложения в физике . Спрингер.
^ Стрэнг, Гилберт (1999). «Дискретное косинусное преобразование». Обзор СИАМ . 41 (1): 135–147. дои : 10.1137/S0036144598336745.
↑ « Дискуссии » были опубликованы в 1801 году, Галуа родился в 1811 году, умер в 1832 году, но не был опубликован до 1846 года.