Сфероид

Поверхность, образованная вращением эллипса

Сфероид , также известный как эллипсоид вращения или эллипсоид вращения , представляет собой квадратичную поверхность, полученную вращением эллипса вокруг одной из его главных осей; другими словами, эллипсоид с двумя равными полудиаметрами . Сфероид имеет круговую симметрию .

Если эллипс вращается вокруг своей большой оси , то получится вытянутый сфероид , вытянутый как мяч для регби . Американский футбол похож, но имеет более заостренный конец, чем сфероид. Если эллипс вращается вокруг своей малой оси , то получится сплющенный сфероид , сплющенный как чечевица или простое драже M&M . Если образующий эллипс — круг, то получится сфера .

Из-за комбинированного воздействия гравитации и вращения , фигура Земли (и всех планет ) не совсем сферическая, а вместо этого слегка сплющенная в направлении своей оси вращения. По этой причине в картографии и геодезии Земля часто аппроксимируется сплющенным сфероидом, известным как референц-эллипсоид , вместо сферы. Текущая модель Всемирной геодезической системы использует сфероид, радиус которого составляет 6 378,137 км (3 963,191 мили) на экваторе и 6 356,752 км (3 949,903 мили) на полюсах .

Слово сфероид первоначально означало «приблизительно сферическое тело», допускающее неровности даже за пределами двух- или трехосной эллипсоидальной формы; именно так этот термин используется в некоторых старых работах по геодезии (например, в отношении усеченных сферических гармонических расширений модели геопотенциала гравитации Земли ). ^[1]

Уравнение

Назначение полуосей на сфероиде. Он сплющенный, если c < a (левый), и вытянутый, если c > a (правый).

Уравнение трехосного эллипсоида с центром в начале координат и полуосями a , b и c, выровненными вдоль осей координат, имеет вид

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}$

Уравнение сфероида с осью симметрии z задается путем установки a = b :

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}$

Полуось a — экваториальный радиус сфероида, а c — расстояние от центра до полюса вдоль оси симметрии. Возможны два случая:

• c < a : сплющенный сфероид
• c > a : вытянутый сфероид

Случай a = c сводится к сфере.

Характеристики

Область

Сплющенный сфероид с c < a имеет площадь поверхности

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\operatorname {arctanh} e\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {c^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right)\qquad {\mbox{where}}\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}.}$

Сплющенный сфероид образуется вращением вокруг оси z эллипса с большой полуосью a и малой полуосью c , поэтому e можно определить как эксцентриситет . (См. эллипс .) ^[2]

Вытянутый сфероид с c > a имеет площадь поверхности

${\displaystyle S_{\text{prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin \,e\right)\qquad {\mbox{where}}\quad e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}.}$

Вытянутый сфероид образуется вращением вокруг оси z эллипса с большой полуосью c и малой полуосью a ; поэтому e снова можно определить как эксцентриситет . (См. эллипс .) ^[3]

Эти формулы идентичны в том смысле, что формула для S _{сплющенного} может быть использована для вычисления площади поверхности вытянутого сфероида и наоборот. Однако тогда e становится мнимым и больше не может быть напрямую отождествлено с эксцентриситетом. Оба эти результата могут быть преобразованы во многие другие формы с использованием стандартных математических тождеств и соотношений между параметрами эллипса.

Объем

Объем внутри сфероида (любого вида) равен

${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\approx 4.19a^{2}c.}$

Если A = 2a — экваториальный диаметр, а C = 2c — полярный диаметр, то объем равен

${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}A^{2}C\approx 0.523A^{2}C.}$

Кривизна

Пусть сфероид параметризован как

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\beta ,\lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,a\cos \beta \sin \lambda ,c\sin \beta ),}$

где β — приведенная широта или параметрическая широта , λ — долгота , а − ⁠π/2⁠ < β < + ⁠π/2⁠ и −π < λ < +π . Тогда гауссова кривизна сфероида равна

${\displaystyle K(\beta ,\lambda )={\frac {c^{2}}{\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{2}}},}$

и его средняя кривизна равна

${\displaystyle H(\beta ,\lambda )={\frac {c\left(2a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)}{2a\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

Обе эти кривизны всегда положительны, так что каждая точка сфероида является эллиптической.

Соотношение сторон

Соотношение сторон сплющенного сфероида/эллипса, c  : a , представляет собой отношение полярной длины к экваториальной, в то время как сплющенность (также называемая сплющенностью ) f , представляет собой отношение разницы экваториальной и полярной длины к экваториальной длине:

${\displaystyle f={\frac {a-c}{a}}=1-{\frac {c}{a}}.}$

Первый эксцентриситет (обычно просто эксцентриситет, как указано выше) часто используется вместо уплощения. ^[4] Он определяется следующим образом:

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}$

Соотношения между эксцентриситетом и уплощением следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\sqrt {2f-f^{2}}}\\f&=1-{\sqrt {1-e^{2}}}\end{aligned}}}$

Все современные геодезические эллипсоиды определяются большой полуосью плюс либо малой полуосью (определяющей соотношение сторон), либо уплощением, либо первым эксцентриситетом. Хотя эти определения математически взаимозаменяемы, реальные вычисления должны потерять некоторую точность. Чтобы избежать путаницы, эллипсоидальное определение считает свои собственные значения точными в той форме, которую оно дает.

Возникновение и применение

Наиболее распространенными формами распределения плотности протонов и нейтронов в атомном ядре являются сферическая , вытянутая и сплющенная сфероидальная, где полярная ось предполагается осью спина (или направлением вектора углового момента спина ). Деформированные формы ядра возникают в результате конкуренции между электромагнитным отталкиванием между протонами, поверхностным натяжением и квантовыми оболочечными эффектами .

Сфероиды распространены в 3D клеточных культурах . Вращающиеся равновесные сфероиды включают сфероид Маклорена и эллипсоид Якоби . Сфероид также является формой археологических артефактов.

Сплюснутые сфероиды

Планета Юпитер представляет собой слегка сплющенный сфероид с коэффициентом сжатия 0,06487.

Сплющенный сфероид — это приблизительная форма вращающихся планет и других небесных тел , включая Землю, Сатурн , Юпитер и быстро вращающуюся звезду Альтаир . Сатурн — самая сплющенная планета в Солнечной системе , с уплощением 0,09796. Подробности см. в разделах планетарное уплощение и экваториальная выпуклость .

Ученый эпохи Просвещения Исаак Ньютон , работая над экспериментами Жана Рише с маятником и теориями Христиана Гюйгенса для их интерпретации, пришел к выводу, что Юпитер и Земля являются сплющенными сфероидами из-за их центробежной силы . ^{[5] [6]} Разнообразные картографические и геодезические системы Земли основаны на референц-эллипсоидах , все из которых являются сплющенными.

Вытянутые сфероиды

Мяч для регби .

Вытянутый сфероид — это приблизительная форма мяча в некоторых видах спорта, например, в регби .

Несколько лун Солнечной системы по форме приближаются к вытянутым сфероидам, хотя на самом деле являются трехосными эллипсоидами . Примерами являются спутники Сатурна Мимас , Энцелад и Тефия , а также спутник Урана Миранда .

В отличие от искажения в сплющенные сфероиды из-за быстрого вращения, небесные объекты слегка деформируются в вытянутые сфероиды из-за приливных сил , когда они вращаются вокруг массивного тела по близкой орбите. Наиболее экстремальным примером является луна Юпитера Ио , которая становится немного более или менее вытянутой на своей орбите из-за небольшого эксцентриситета, вызывая интенсивный вулканизм . Большая ось вытянутого сфероида в этом случае не проходит через полюса спутника, а через две точки на его экваторе, непосредственно обращенные к первичному и от него. Это сочетается с меньшим сплющенным искажением от синхронного вращения, заставляя тело стать трехосным.

Этот термин также используется для описания формы некоторых туманностей, таких как Крабовидная туманность . ^[7] Зоны Френеля , используемые для анализа распространения волн и интерференции в пространстве, представляют собой ряд концентрических вытянутых сфероидов с главными осями, выровненными вдоль прямой линии визирования между передатчиком и приемником.

Атомные ядра актинидов и лантаноидов имеют форму вытянутых сфероидов. ^[8] В анатомии органы, близкие к сфероидальным, такие как яички, можно измерить по их длинной и короткой осям . ^[9]

Многие подводные лодки имеют форму, которую можно описать как вытянутый сфероид. ^[10]

Динамические свойства

Для сфероида с однородной плотностью момент инерции равен моменту инерции эллипсоида с дополнительной осью симметрии. Учитывая описание сфероида как имеющего большую ось c и малые оси a = b , моменты инерции вдоль этих главных осей равны C , A и B. Однако в сфероиде малые оси симметричны. Поэтому наши инерционные члены вдоль больших осей равны: ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}A=B&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+c^{2}\right),\\C&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+b^{2}\right)={\tfrac {2}{5}}M\left(a^{2}\right),\end{aligned}}}$

где M — масса тела, определяемая как

${\displaystyle M={\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\rho .}$

Смотрите также

• Эллипсоидный купол
• Экваториальная выпуклость
• Большой эллипс
• лентоидный
• Сплюснутые сфероидальные координаты
• Яйцевидный
• Вытянутые сфероидальные координаты
• Вращение осей
• Перевод осей

Ссылки

1. Торге, Вольфганг (2001). Геодезия (3-е изд.). Вальтер де Грюйтер . п. 104. ИСБН 9783110170726.
2. Вывод этого результата можно найти в "Сплющенный сфероид - из Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com . Получено 24 июня 2014 г.
3. Вывод этого результата можно найти в "Prolate Spheroid - from Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 7 октября 2003 г. Получено 24 июня 2014 г.
4. Бриал П., Шаалан К. (2009), Введение в геодезию и геопозиционирование через спутники, стр.8
5. Гринберг, Джон Л. (1995). «Исаак Ньютон и проблема формы Земли». История точных наук . 49 (4). Springer: 371–391. doi :10.1007/BF00374704. JSTOR  41134011. S2CID  121268606.
6. Дюрант, Уилл; Дюрант, Ариэль (28 июля 1997 г.). История цивилизации: Эпоха Людовика XIV . MJF Books. ISBN 1567310192.
7. Тримбл, Вирджиния Луиза (октябрь 1973 г.), «Расстояние до Крабовидной туманности и NP 0532», Публикации астрономического общества Тихого океана , 85 (507): 579, Bibcode : 1973PASP...85..579T, doi : 10.1086/129507
8. "Деление ядра - Теория деления". Энциклопедия Британника .
9. Страница 559 в: Джон Пеллерито, Джозеф Ф. Полак (2012). Введение в сосудистую ультрасонографию (6-е изд.). Elsevier Health Sciences. ISBN 9781455737666.
10. «Что общего у подводной лодки, ракеты и футбольного мяча?». Scientific American . 8 ноября 2010 г. Получено 13 июня 2015 г.
11. Weisstein, Eric W. "Spheroid". MathWorld--A Wolfram Web Resource . Получено 16 мая 2018 г.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные со сфероидами на Wikimedia Commons
• «Сфероид»  . Британская энциклопедия (11-е изд.). 1911.