Конгруэнтность (геометрия)

Взаимосвязь между двумя фигурами одинаковой формы и размера или зеркально отображающими друг друга

Пример конгруэнтности. Два треугольника слева конгруэнтны, а третий подобен им. Последний треугольник не конгруэнтен и не подобен ни одному из остальных. Конгруэнтность допускает изменение некоторых свойств, таких как местоположение и ориентация, но оставляет другие неизменными, такие как расстояния и углы . Неизменные свойства называются инвариантами .

В геометрии две фигуры или объекта считаются равными, если они имеют одинаковую форму и размер , или если одна из них имеет ту же форму и размер, что и зеркальное отражение другой. ^[1]

Более формально, два набора точек называются конгруэнтными тогда и только тогда, когда один из них может быть преобразован в другой посредством изометрии , т. е. комбинации жестких движений , а именно переноса , поворота и отражения . Это означает, что любой объект может быть перемещен и отражен (но не изменен в размере) так, чтобы точно совпасть с другим объектом. Поэтому две различные плоские фигуры на листе бумаги конгруэнтны, если их можно вырезать, а затем полностью совместить. Переворачивать бумагу разрешается.

Эта диаграмма иллюстрирует геометрический принцип равенства треугольников по углу-углу-стороне: даны треугольник ABC и треугольник A'B'C', треугольник ABC равен треугольнику A'B'C' тогда и только тогда, когда: угол CAB равен углу C'A'B', а угол ABC равен углу A'B'C', а BC равен B'C'. Обратите внимание, что штриховка здесь используется для обозначения равенства углов и сторон.

В элементарной геометрии слово «конгруэнтный» часто используется следующим образом. ^[2] Для этих объектов вместо слова « конгруэнтный » часто используется слово «равный» .

• Два отрезка равны, если они имеют одинаковую длину.
• Два угла равны, если они имеют одинаковую величину.
• Две окружности равны, если они имеют одинаковый диаметр.

В этом смысле равенство двух плоских фигур подразумевает, что их соответствующие характеристики «равны» или «равны», включая не только их соответствующие стороны и углы, но и их соответствующие диагонали, периметры и площади.

Связанное с этим понятие подобия применяется, если объекты имеют одинаковую форму, но не обязательно одинаковый размер. (Большинство определений рассматривают конгруэнтность как форму подобия, хотя меньшинство требует, чтобы объекты имели разные размеры, чтобы считаться подобными.)

Определение подобия многоугольников

Оранжевый и зеленый четырехугольники конгруэнтны; синий им не конгруэнтен. Все три имеют одинаковый периметр и площадь . (Порядок сторон синего четырехугольника «смешанный», что приводит к тому, что два внутренних угла и одна из диагоналей не конгруэнтны.)

Для того чтобы два многоугольника были конгруэнтными, они должны иметь равное количество сторон (и, следовательно, равное количество — одинаковое количество — вершин). Два многоугольника с n сторонами конгруэнтны тогда и только тогда, когда каждый из них имеет численно идентичные последовательности (даже если по часовой стрелке для одного многоугольника и против часовой стрелки для другого) сторона-угол-сторона-угол-... для n сторон и n углов.

Графически подобие многоугольников можно установить следующим образом:

• Сначала сопоставьте и подпишите соответствующие вершины двух фигур.
• Во-вторых, проведите вектор из одной из вершин одной из фигур в соответствующую вершину другой фигуры. Перенесите первую фигуру на этот вектор так, чтобы эти две вершины совпали.
• В-третьих, вращайте преобразованную фигуру вокруг соответствующей вершины до тех пор, пока не совпадут одна пара соответствующих сторон .
• В-четвертых, отразите повернутую фигуру относительно этой совмещенной стороны до тех пор, пока фигуры не совпадут.

Если в какой-то момент шаг не может быть завершен, многоугольники не равны.

Равенство треугольников

Два треугольника равны, если их соответствующие стороны имеют одинаковую длину, а их соответствующие углы имеют одинаковую величину.

Символически запишем подобие и неподобие двух треугольников △ ABC и △ A′B′C′ следующим образом:

${\displaystyle ABC\cong A'B'C'}$

${\displaystyle ABC\ncong A'B'C'}$

Во многих случаях достаточно установить равенство трех соответствующих частей и использовать один из следующих результатов, чтобы вывести равенство двух треугольников.

Определение соответствия

Форма треугольника определяется с точностью до конгруэнтности указанием двух сторон и угла между ними (SAS), двух углов и стороны между ними (ASA) или двух углов и соответствующей смежной стороны (AAS). Однако указание двух сторон и смежного угла (SSA) может дать два различных возможных треугольника.

Достаточные доказательства соответствия двух треугольников в евклидовом пространстве можно получить с помощью следующих сравнений:

• SAS (сторона-угол-сторона): Если две пары сторон двух треугольников имеют одинаковую длину и углы, заключенные между ними, имеют одинаковую величину, то треугольники равны.
• SSS (сторона-сторона-сторона): Если три пары сторон двух треугольников имеют одинаковую длину, то треугольники равны.
• ASA (угол-сторона-угол): Если две пары углов двух треугольников равны по величине, а заключенные между ними стороны равны по длине, то треугольники равны.

Постулат ASA приписывается Фалесу Милетскому . В большинстве систем аксиом три критерия – SAS, SSS и ASA – устанавливаются как теоремы . В системе школьных математических кружков SAS принимается как один (#15) из 22 постулатов.

• AAS (угол-угол-сторона): Если две пары углов двух треугольников равны по измерению, а пара соответствующих невключенных сторон равна по длине, то треугольники конгруэнтны. AAS эквивалентно условию ASA, поскольку если даны любые два угла, то даен и третий угол, поскольку их сумма должна быть 180°. ASA и AAS иногда объединяют в одно условие, AAcorrS – любые два угла и соответствующая сторона. ^[3]
• RHS (прямой угол-гипотенуза-сторона), также известный как HL (гипотенуза-катер): если у двух прямоугольных треугольников гипотенузы равны по длине, а также пара других сторон также равны по длине, то треугольники равны.

Сторона-сторона-угол

Условие SSA (сторона-сторона-угол), которое определяет две стороны и невключенный угол (также известное как ASS, или угол-сторона-сторона), само по себе не доказывает конгруэнтность. Для того, чтобы показать конгруэнтность, требуется дополнительная информация, такая как мера соответствующих углов и в некоторых случаях длины двух пар соответствующих сторон. Есть несколько возможных случаев:

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA и длина стороны, противолежащей углу, больше или равна длине смежной стороны (SSA, или длинная сторона-короткая сторона-угол), то два треугольника конгруэнтны. Противоположная сторона иногда длиннее, когда соответствующие углы острые, но она всегда длиннее, когда соответствующие углы прямые или тупые. Если угол прямой, также известный как постулат гипотенузы-катета (HL) или условие прямого угла-гипотенузы-стороны (RHS), третью сторону можно вычислить с помощью теоремы Пифагора , что позволяет применить постулат SSS.

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA и соответствующие углы острые, а длина стороны, противолежащей углу, равна длине смежной стороны, умноженной на синус угла, то два треугольника равны.

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA и соответствующие углы острые, а длина стороны, противолежащей углу, больше длины смежной стороны, умноженной на синус угла (но меньше длины смежной стороны), то нельзя показать, что эти два треугольника равны. Это неоднозначный случай, и из данной информации можно образовать два разных треугольника, но дополнительная информация, различающая их, может привести к доказательству равенства.

Угол-угол-угол

В евклидовой геометрии AAA (угол-угол-угол) (или просто AA, поскольку в евклидовой геометрии углы треугольника в сумме составляют 180°) не даёт информации о размерах двух треугольников и, следовательно, доказывает только подобие , а не конгруэнтность в евклидовом пространстве.

Однако в сферической геометрии и гиперболической геометрии (где сумма углов треугольника изменяется в зависимости от размера) AAA достаточно для конгруэнтности на заданной кривизне поверхности. ^[4]

CPCTC

Эта аббревиатура расшифровывается как Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent (Соответствующие части равных треугольников равны) , что является сокращенной версией определения равных треугольников. ^{[5] [6]}

Более подробно, это краткий способ сказать, что если треугольники ABC и DEF равны, то есть,

${\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF,}$

с соответствующими парами углов в вершинах A и D ; B и E ; и C и F , и с соответствующими парами сторон AB и DE ; BC и EF ; и CA и FD , то следующие утверждения верны:

${\displaystyle {\overline {AB}}\cong {\overline {DE}}}$

${\displaystyle {\overline {BC}}\cong {\overline {EF}}}$

${\displaystyle {\overline {AC}}\cong {\overline {DF}}}$

${\displaystyle \angle BAC\cong \angle EDF}$

${\displaystyle \angle ABC\cong \angle DEF}$

${\displaystyle \angle BCA\cong \angle EFD.}$

Утверждение часто используется в качестве обоснования в доказательствах элементарной геометрии, когда требуется заключение о подобии частей двух треугольников после того, как было установлено подобие треугольников. Например, если было показано, что два треугольника подобны по критериям SSS, и в доказательстве требуется утверждение о том, что соответствующие углы подобны, то CPCTC может использоваться в качестве обоснования этого утверждения.

Связанной теоремой является CPCFC , в которой «треугольники» заменены на «фигуры», так что теорема применима к любой паре многоугольников или многогранников , которые являются конгруэнтными.

Определение конгруэнтности в аналитической геометрии

В евклидовой системе конгруэнтность является фундаментальной; она является аналогом равенства для чисел. В аналитической геометрии конгруэнтность может быть интуитивно определена следующим образом: два отображения фигур на одну декартову систему координат конгруэнтны тогда и только тогда, когда для любых двух точек в первом отображении евклидово расстояние между ними равно евклидову расстоянию между соответствующими точками во втором отображении.

Более формальное определение гласит, что два ^{подмножества} A и B евклидова пространства Rn называются конгруэнтными ^{, если} существует изометрия f  : Rn → Rn (элемент евклидовой группы E ( n )) с f ( A ) = B. Конгруэнтность — это отношение эквивалентности .

Конгруэнтные конические сечения

Два конических сечения конгруэнтны, если их эксцентриситеты и один другой отдельный параметр, характеризующий их, равны. Их эксцентриситеты устанавливают их формы, равенства которых достаточно для установления подобия, а второй параметр затем устанавливает размер. Поскольку две окружности , параболы или прямоугольные гиперболы всегда имеют одинаковый эксцентриситет (в частности, 0 в случае окружностей, 1 в случае парабол и в случае прямоугольных гипербол), двум окружностям, параболам или прямоугольным гиперболам нужно иметь только одно общее значение параметра, устанавливающее их размер, чтобы они были конгруэнтны. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Конгруэнтные многогранники

Для двух многогранников с одинаковым комбинаторным типом (то есть одинаковым числом E ребер, одинаковым числом граней и одинаковым числом сторон на соответствующих гранях) существует набор измерений E , который может установить, являются ли многогранники конгруэнтными. ^{[7] [8]} Это число ограничено, что означает, что измерений меньше E недостаточно, если многогранники являются общими среди их комбинаторного типа. Но меньше измерений может работать для особых случаев. Например, у кубов 12 ребер, но 9 измерений достаточно, чтобы решить, является ли многогранник этого комбинаторного типа конгруэнтным данному правильному кубу.

Равные треугольники на сфере

Как и в случае с плоскими треугольниками, на сфере два треугольника, разделяющие одну и ту же последовательность угол-сторона-угол (ASA), обязательно конгруэнтны (то есть имеют три одинаковые стороны и три одинаковых угла). ^[9] Это можно увидеть следующим образом: можно расположить одну из вершин с заданным углом на южном полюсе и провести сторону с заданной длиной вверх по нулевому меридиану. Знание обоих углов на обоих концах сегмента фиксированной длины гарантирует, что другие две стороны исходят с однозначно определенной траекторией и, таким образом, встретятся друг с другом в однозначно определенной точке; таким образом, ASA действительна.

Теоремы сравнения сторона-угол-сторона (SAS) и сторона-сторона-сторона (SSS) также справедливы на сфере; кроме того, если два сферических треугольника имеют одинаковую последовательность угол-угол-угол (AAA), они конгруэнтны (в отличие от плоских треугольников). ^[9]

Теорема о подобии плоского треугольника «угол-угол-сторона» (AAS) не верна для сферических треугольников. ^[10] Как и в плоской геометрии, теорема о подобии «сторона-сторона-угол» (SSA) не подразумевает подобия.

Обозначение

Символ, обычно используемый для сравнения, — это символ равенства с тильдой над ним, ≅ , соответствующий символу Unicode «приблизительно равно» (U+2245). В Великобритании иногда используется трехполосный знак равенства ≡ (U+2261).

Смотрите также

• Изометрия евклидовой плоскости
• Изометрия

Ссылки

1. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). "Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Congruent Figures" (PDF) . Addison-Wesley. стр. 167. Архивировано из оригинала 29 октября 2013 г. . Получено 2 июня 2017 г. .{{cite web}}: CS1 maint: бот: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )
2. "Конгруэнтность". Math Open Reference. 2009. Получено 2 июня 2017 .
3. Парр, Х. Э. (1970). Курс повторения школьной математики . Учебники математики, второе издание. G Bell and Sons Ltd. ISBN 0-7135-1717-4.
4. Корнел, Антонио (2002). Геометрия для средних школ . Учебники математики, второе издание. Bookmark Inc. ISBN 971-569-441-1.
5. Якобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия, WH Freeman, стр. 160, ISBN 0-7167-0456-0Джейкобс использует небольшую вариацию фразы
6. "Конгруэнтные треугольники". Заметки Клиффа . Получено 2014-02-04 .
7. Борисов, Александр; Дикинсон, Марк; Гастингс, Стюарт (март 2010 г.). «Проблема конгруэнтности для многогранников». American Mathematical Monthly . 117 (3): 232–249. arXiv : 0811.4197 . doi : 10.4169/000298910X480081. S2CID  8166476.
8. Крич, Алекса. "Проблема конгруэнтности" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 11 ноября 2013 г.
9. Болин, Майкл (9 сентября 2003 г.). «Исследование сферической геометрии» (PDF) . стр. 6–7. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09.
10. Холлиер, Л. «Слайд 89 из 112».

Внешние ссылки

• SSS в Cut-the-Knot
• SSA в Cut-the-Knot
• Интерактивные анимации, демонстрирующие Конгруэнтные многоугольники, Конгруэнтные углы, Конгруэнтные отрезки, Конгруэнтные треугольники в Math Open Reference