Масштабирование (геометрия)

Геометрическое преобразование

Каждая итерация треугольника Серпинского содержит треугольники, связанные со следующей итерацией с масштабным коэффициентом 1/2.

В аффинной геометрии равномерное масштабирование (или изотропное масштабирование ^[1] ) — это линейное преобразование , которое увеличивает (увеличивает) или уменьшает (уменьшает) объекты на масштабный коэффициент , который одинаков во всех направлениях ( изотропно ). Результат равномерного масштабирования подобен (в геометрическом смысле) оригиналу. Обычно допускается масштабный коэффициент 1, поэтому конгруэнтные формы также классифицируются как подобные. Равномерное масштабирование происходит, например, при увеличении или уменьшении фотографии или при создании масштабной модели здания, автомобиля, самолета и т. д.

Более общим является масштабирование с отдельным масштабным коэффициентом для каждого направления оси. Неравномерное масштабирование ( анизотропное масштабирование ) получается, когда хотя бы один из масштабных коэффициентов отличается от других; особый случай — направленное масштабирование или растяжение (в одном направлении). Неравномерное масштабирование изменяет форму объекта; например, квадрат может превратиться в прямоугольник или в параллелограмм, если стороны квадрата не параллельны осям масштабирования (углы между линиями, параллельными осям, сохраняются, но не все углы). Это происходит, например, когда далекий рекламный щит рассматривается под косым углом или когда тень плоского объекта падает на поверхность, которая ему не параллельна.

Когда коэффициент масштабирования больше 1, (равномерное или неравномерное) масштабирование иногда также называют расширением или дилатацией . Когда коэффициент масштабирования является положительным числом, меньшим 1, масштабирование иногда также называют сокращением или редукцией .

В самом общем смысле масштабирование включает случай, когда направления масштабирования не перпендикулярны. Оно также включает случай, когда один или несколько масштабных коэффициентов равны нулю ( проекция ), и случай одного или нескольких отрицательных масштабных коэффициентов (направленное масштабирование на -1 эквивалентно отражению ) .

Масштабирование — это линейное преобразование , и частный случай гомотетического преобразования (масштабирование относительно точки). В большинстве случаев гомотетические преобразования являются нелинейными преобразованиями.

Равномерное масштабирование

Масштабный коэффициент обычно является десятичной дробью, которая масштабирует или умножает некоторую величину. В уравнении y  = Cx , C является масштабным коэффициентом для x . C также является коэффициентом x и может быть назван константой пропорциональности y к x . Например, удвоение расстояния соответствует масштабному коэффициенту два для расстояния, в то время как разрезание торта пополам дает куски с масштабным коэффициентом для объема в одну половину. Основное уравнение для этого — изображение по прообразу.

В области измерений масштабный коэффициент прибора иногда называют чувствительностью. Отношение любых двух соответствующих длин в двух подобных геометрических фигурах также называют шкалой.

Матричное представление

Масштабирование может быть представлено матрицей масштабирования . Чтобы масштабировать объект вектором v = ( v _x , v _y , v _z ), каждую точку p = ( p _x , p _y , p _z ) необходимо умножить на эту матрицу масштабирования:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}.}$

Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\end{bmatrix}}.}$

Такое масштабирование изменяет диаметр объекта на коэффициент, промежуточный между масштабными коэффициентами, площадь — на коэффициент, промежуточный между наименьшим и наибольшим произведением двух масштабных коэффициентов, а объем — на произведение всех трех.

Масштабирование равномерно тогда и только тогда, когда масштабные коэффициенты равны ( v _x = v _y = v _z ). Если все, кроме одного, масштабные коэффициенты равны 1, мы имеем направленное масштабирование.

В случае, когда v _x = v _y = v _z = k , масштабирование увеличивает площадь любой поверхности в k ² раз , а объем любого твердого тела — в k ^{3 раз} .

Масштабирование в произвольных измерениях

В -мерном пространстве равномерное масштабирование с коэффициентом достигается путем скалярного умножения на , то есть умножением каждой координаты каждой точки на . Как частный случай линейного преобразования, его можно также достичь путем умножения каждой точки (рассматриваемой как вектор-столбец) на диагональную матрицу, все элементы которой на диагонали равны , а именно . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle vI}$

Неравномерное масштабирование выполняется путем умножения на любую симметричную матрицу . Собственные значения матрицы являются масштабными коэффициентами, а соответствующие им собственные векторы являются осями, вдоль которых применяется каждый масштабный коэффициент. Особым случаем является диагональная матрица с произвольными числами по диагонали: оси масштабирования тогда являются осями координат, а преобразование масштабируется вдоль каждой оси на коэффициент . ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots v_{n}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v_{i}}$

При равномерном масштабировании с ненулевым масштабным множителем все ненулевые векторы сохраняют свое направление (как видно из начала координат) или все имеют обратное направление, в зависимости от знака масштабного множителя. При неравномерном масштабировании только векторы, принадлежащие собственному пространству, сохранят свое направление. Вектор, являющийся суммой двух или более ненулевых векторов, принадлежащих разным собственным пространствам, будет наклонен в сторону собственного пространства с наибольшим собственным значением.

Использование однородных координат

В проективной геометрии , часто используемой в компьютерной графике , точки представляются с использованием однородных координат . Чтобы масштабировать объект с помощью вектора v = ( v _x , v _y , v _z ), каждый однородный вектор координат p = ( p _x , p _y , p _z , 1) необходимо умножить на эту матрицу проективного преобразования :

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

Поскольку последний компонент однородной координаты можно рассматривать как знаменатель остальных трех компонентов, равномерное масштабирование с помощью общего множителя s (равномерное масштабирование) может быть выполнено с помощью следующей матрицы масштабирования:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}.}$

Для каждого вектора p = ( p _x , p _y , p _z , 1) мы будем иметь

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}},}$

что было бы эквивалентно

${\displaystyle {\begin{bmatrix}sp_{x}\\sp_{y}\\sp_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

Расширение и сокращение функции

При заданной точке дилатация связывает ее с точкой посредством уравнений ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle P'(x',y')}$

${\displaystyle {\begin{cases}x'=mx\\y'=ny\end{cases}}}$для . ${\displaystyle m,n\in \mathbb {R} ^{+}}$

Таким образом, если задана функция , уравнение расширенной функции имеет вид ${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle y=nf\left({\frac {x}{m}}\right).}$

Частные случаи

Если , то преобразование горизонтальное; когда , то это растяжение, когда , то это сжатие. ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle m<1}$

Если , то преобразование вертикальное; когда это расширение, когда , то это сжатие. ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle n<1}$

Если или , преобразование представляет собой отображение сжатия . ${\displaystyle m=1/n}$ ${\displaystyle n=1/m}$

Смотрите также

• Математический портал

• 2D_компьютерная_графика#Масштабирование
• Цифровой зум
• Расширение (метрическое пространство)
• Однородная функция
• Гомотетическое преобразование
• Ортогональные координаты
• Скаляр (математика)
• Масштаб (значения)
  • Масштаб (соотношение)
  • Масштаб (карта)
• Масштабный фактор (информатика)
• Масштабный фактор (космология)
• Масштабы масштабных моделей
• Масштабирование в статистической оценке
• Масштабирование в гравитации
• Матрица преобразования
• Масштабирование изображения

Сноски

1. Дюран; Катлер. «Трансформации» (PowerPoint) . Массачусетский технологический институт . Получено 12 сентября 2008 г.

Внешние ссылки

• Понимание масштабирования 2D и понимание масштабирования 3D Роджера Гермундссона, The Wolfram Demonstrations Project .
• Калькулятор масштабного коэффициента