Последовательное пространство

Топологическое пространство, характеризующееся последовательностями

В топологии и смежных областях математики секвенциальное пространство — это топологическое пространство , топологию которого можно полностью охарактеризовать сходящимися/расходящимися последовательностями. Их можно рассматривать как пространства, удовлетворяющие очень слабой аксиоме счетности , и все пространства с первой счетностью (особенно метрические пространства ) являются секвенциальными.

Если в любом топологическом пространстве сходящаяся последовательность содержится в замкнутом множестве , то предел этой последовательности также должен содержаться в нем. Множества, обладающие этим свойством, называются последовательно замкнутыми . Секвенциальные пространства — это именно те топологические пространства, для которых секвенциально замкнутые множества фактически замкнуты. (Эти определения также можно перефразировать в терминах последовательно открытых множеств; см. ниже.) Иными словами, любую топологию можно описать в терминах сетей (также известных как последовательности Мура – ​​Смита), но эти последовательности могут быть «слишком длинными» ( индексирован слишком большим порядковым номером) для сжатия в последовательность. Секвенциальные пространства — это те топологические пространства, для которых для описания топологии достаточно сетей счетной длины (т. е. последовательностей). ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle C}$

Любая топология может быть уточнена (то есть сделана тоньше) до последовательной топологии, называемой последовательным кор-отражением . ${\displaystyle X.}$

Связанные концепции пространств Фреше-Урысона , T -секвенциальных пространств и -секвенциальных пространств также определяются с точки зрения того, как топология пространства взаимодействует с последовательностями, но имеют слегка разные свойства. ${\displaystyle N}$

Секвенциальные пространства и -секвенциальные пространства были введены С. П. Франклином . ^[1] ${\displaystyle N}$

История

Хотя пространства, удовлетворяющие таким свойствам, неявно изучались в течение нескольких лет, первое формальное определение было дано С. П. Франклином в 1965 году. Франклин хотел определить «классы топологических пространств, которые могут быть полностью определены путем знания их сходящихся последовательностей», и начал с исследования пространств с первой счетностью , для которых уже было известно, что достаточно последовательностей. Затем Франклин пришел к современному определению, абстрагируя необходимые свойства пространств с первой счетностью.

Предварительные определения

Пусть будет набором и пусть будет последовательностью в ; то есть семейство элементов , индексированных натуральными числами . В этой статье это означает, что каждый элемент последовательности является элементом и, если это карта, то для любого индекса хвост, начинающийся с, является последовательностью. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }.}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$

$${\displaystyle x_{\geq i}=(x_{i},x_{i+1},x_{i+2},\ldots ){\text{.}}}$$

${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq S.}$

Пусть – топология и последовательность в ней . Последовательность сходится к записанной точке (если позволяет контекст ), если для каждой окрестности в конечном итоге она называется предельной точкой ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Функция между топологическими пространствами секвенциально непрерывна , если из этого следует ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle f(x_{\bullet })\to f(x).}$

Последовательное закрытие/внутреннее

Пусть — топологическое пространство и пусть — подмножество. Топологическое замыкание (соответственно топологическая внутренность ) in обозначается (соответственно ). ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$

Последовательное замыкание in представляет собой множество ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

$${\displaystyle \operatorname {scl} (S)=\left\{x\in X:{\text{there exists a sequence }}s_{\bullet }\subseteq S{\text{ such that }}s_{\bullet }\to x\right\}}$$

оператор последовательного замыкания ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau )}(S).}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,}$

Последовательная внутренняя часть in представляет собой множество ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

$${\displaystyle \operatorname {sint} (S)=\{s\in S:{\text{whenever }}x_{\bullet }\subseteq X{\text{ and }}x_{\bullet }\to s,{\text{ then }}x_{\bullet }{\text{ is eventually in }}S\}}$$

Последовательное замыкание и внутреннее пространство удовлетворяют многим замечательным свойствам топологического замыкания и внутреннего пространства: для всех подмножеств ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$

• ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {sint} _{X}(S)}$и ; ${\displaystyle \operatorname {sint} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {scl} _{X}(S)}$
• ${\displaystyle \operatorname {scl} (\emptyset )=\emptyset }$и ; ${\displaystyle \operatorname {sint} (\emptyset )=\emptyset }$
• ${\textstyle \operatorname {sint} (S)\subseteq S\subseteq \operatorname {scl} (S)}$;
• ${\displaystyle \operatorname {scl} (R\cup S)=\operatorname {scl} (R)\cup \operatorname {scl} (S)}$; и
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)\subseteq \operatorname {scl} (\operatorname {scl} (S)).}$

То есть последовательное замыкание является оператором предварительного замыкания . В отличие от топологического замыкания, последовательное замыкание не является идемпотентным : последнее включение может быть строгим. Таким образом, последовательное замыкание не является оператором замыкания ( Куратовского ) .

Последовательно закрытые и открытые множества

Множество последовательно замкнуто, если ; эквивалентно, для всех и таких, что мы должны иметь ^{[примечание 1]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {scl} (S)}$ ${\displaystyle s_{\bullet }\subseteq S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}x,}$ ${\displaystyle x\in S.}$

Множество называется секвенциально открытым, если его дополнение секвенциально замкнуто. К эквивалентным условиям относятся: ${\displaystyle S}$

• ${\displaystyle S=\operatorname {sint} (S)}$или
• Для всех и таких, которые в конечном итоге находятся в (то есть существует какое-то целое число такое, что хвост ). ${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}s,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq S}$

Множество является последовательной окрестностью точки , если оно содержится в своей последовательной внутренности; последовательные окрестности не обязательно должны быть секвенциально открытыми (см. § T- и N-секвенциальные пространства ниже). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$

Подмножество может быть последовательно открытым, но не открытым. Точно так же возможно существование секвенциально замкнутого подмножества, которое не является замкнутым. ${\displaystyle X}$

Последовательные пространства и корефлексия

Как обсуждалось выше, последовательное замыкание, вообще говоря, не является идемпотентным и, следовательно, не является оператором замыкания топологии. Можно получить идемпотентное последовательное замыкание посредством трансфинитной итерации : для определения порядкового номера преемника (как обычно) ${\displaystyle \alpha +1,}$

$${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\alpha +1}(S)=\operatorname {scl} ((\operatorname {scl} )^{\alpha }(S))}$$

предельного порядкового номера ${\displaystyle \alpha ,}$

$${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\alpha }(S)=\bigcup _{\beta <\alpha }{(\operatorname {scl} )^{\beta }(S)}{\text{.}}}$$

первый несчетный порядковый номерпоследовательный порядок^[2] ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S,}$

Трансфинитное последовательное замыкание — это терминальный набор в приведенной выше последовательности: Оператор идемпотентен и, следовательно, является оператором замыкания . В частности, он определяет топологию последовательного короотражения. При последовательном корефлексии каждое последовательно замкнутое множество закрыто (и каждое последовательно открытое множество открыто). ^[3] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}(S).}$ ${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}}$

Последовательные пространства

Топологическое пространство является секвенциальным , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle (X,\tau )}$

• ${\displaystyle \tau }$является его собственным последовательным корефлексированием. ^[4]
• Каждое последовательно открытое подмножество является открытым. ${\displaystyle X}$
• Каждое последовательно замкнутое подмножество замкнуто. ${\displaystyle X}$
• Для любого незамкнутого подмножества существует [ примечание ^2] и последовательность в нем , сходящаяся к ^[5] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} (S)\setminus S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$
• (Универсальное свойство) Для каждого топологического пространства отображение непрерывно тогда и только тогда , когда оно секвенциально непрерывно (если то ). ^[6] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$
• ${\displaystyle X}$есть фактор первого счетного пространства.
• ${\displaystyle X}$является фактором метрического пространства.

Если взять и быть тождественным отображением по свойству универсальности, то из этого следует, что класс секвенциальных пространств состоит именно из тех пространств, топологическая структура которых определяется сходящимися последовательностями. Если две топологии согласовывают сходящиеся последовательности, то они обязательно имеют одно и то же последовательное корефлексирование. Более того, функция from секвенциально непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна на последовательном ко-отражении (то есть, когда она предварительно составлена ​​с ). ${\displaystyle Y=X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

T- и N- секвенциальные пространства

T -секвенциальное пространство — это топологическое пространство секвенциального порядка 1, которое эквивалентно любому из следующих условий: [ ^1]

• Последовательное закрытие (или внутреннее) каждого подмножества последовательно закрыто (соответственно открыто). ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {scl} }$или идемпотентны. ${\displaystyle \operatorname {sint} }$
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)=\bigcap _{{\text{sequentially closed }}C\supseteq S}{C}}$или ${\textstyle \operatorname {sint} (S)=\bigcup _{{\text{sequentially open }}U\subseteq S}{U}}$
• Любую последовательную окрестность можно сжать до последовательно открытого множества, содержащего ; формально, последовательно открытые окрестности являются базисом окрестности для последовательных окрестностей. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$
• Для любой и любой последовательной окрестности существует последовательная окрестность такая , что для любого множества является последовательной окрестностью ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m\in M,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m.}$

Быть T -секвенциальным пространством несравнимо с тем, чтобы быть секвенциальным пространством; существуют секвенциальные пространства, которые не являются T -секвенциальными, и наоборот. Однако топологическое пространство называется -секвенциальным ( или соседне-секвенциальным ), если оно одновременно секвенциально и T -секвенциально. Эквивалентное условие состоит в том, что каждая последовательная окрестность содержит открытую (классическую) окрестность. ^[1] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle N}$

Каждое счетное пространство (и, следовательно, каждое метризуемое пространство ) является -секвенциальным. Существуют топологические векторные пространства , которые являются секвенциальными, но не -секвенциальными (и, следовательно, не T -секвенциальными). ^[1] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Пространства Фреше–Урысона

Топологическое пространство называется Фреше–Урысона , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle (X,\tau )}$

• ${\displaystyle X}$является наследственно последовательным; то есть каждое топологическое подпространство является секвенциальным.
• Для каждого подмножества ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S=\operatorname {cl} _{X}S.}$
• Для любого незамкнутого подмножества и в каждом существует последовательность, сходящаяся к ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)\setminus S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$

Пространства Фреше-Урысона также иногда называют «Фреше», но их не следует путать ни с пространствами Фреше в функциональном анализе, ни с условием T 1 .

Примеры и достаточные условия

Каждый CW-комплекс является секвенциальным, поскольку его можно рассматривать как фактор метрического пространства.

Простой спектр коммутативного нётерова кольца с топологией Зариского секвенциален. ^[7]

Возьмите вещественную линию и определите множество целых чисел до точки. В качестве фактора метрического пространства результат является последовательным, но не является первым счетным. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Каждое первое счетное пространство является пространством Фреше–Урысона, а каждое пространство Фреше–Урысона секвенциально. Таким образом, каждое метризуемое или псевдометризуемое пространство — в частности, каждое пространство со счетом второй секунды , метрическое пространство или дискретное пространство  — является секвенциальным.

Пусть – набор отображений пространств Фреше–Урысона в. Тогда конечная топология , индуцирующая on, является секвенциальной. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

Топологическое векторное пространство Хаусдорфа является секвенциальным тогда и только тогда, когда не существует строго более тонкой топологии с такими же сходящимися последовательностями. ^{[8] [9]}

Пространства, которые являются последовательными, но не Фреше-Урысона.

Пространство Шварца и пространство гладких функций , как обсуждалось в статье о распределениях , являются широко используемыми секвенциальными пространствами, но не Фреше-Урысона . Действительно, сильные двойственные пространства к обоим этим пространствам также не являются пространствами Фреше-Урысона . ^{[10] [11]} ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$

В более общем смысле, каждое бесконечномерное DF-пространство Монтеля является секвенциальным, но не Фреше-Урысона .

Пространство Аренса последовательное, но не Фреше-Урысона. ^{[12] [13]}

Непримеры (пробелы, которые не являются последовательными)

Простейшее несеквенциальное пространство — это косчетная топология на несчетном множестве. Каждая сходящаяся последовательность в таком пространстве в конечном итоге постоянна; следовательно, каждое множество последовательно открыто. Но счетная топология не дискретна . (Можно было бы назвать топологию «секвенциально дискретной».) ^[14]

Пусть обозначает пространство -гладких основных функций с ее канонической топологией и пусть обозначает пространство распределений, сильное двойственное пространство к ; ни одно из них не является последовательным (и даже пространством Асколи). ^{[10] [11]} С другой стороны, оба и являются пространствами Монтеля ^[15] , и в пространстве, двойственном любому пространству Монтеля, последовательность непрерывных линейных функционалов сходится в сильной двойственной топологии тогда и только тогда, когда она сходится в слабая* топология (т. е. сходится поточечно). ^{[10] [16]} ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Последствия

Всякое секвенциальное пространство обладает счетной теснотой и компактно порождено .

Если — непрерывная открытая сюръекция между двумя хаусдорфовыми секвенциальными пространствами, то множество точек с единственным прообразом замкнуто. (По непрерывности таков же и его прообраз в множестве всех точек, на которых инъективен.) ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \{y:{|f^{-1}(y)|=1}\}\subseteq Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f}$

Если это сюръективное отображение (не обязательно непрерывное) на секвенциальное пространство Хаусдорфа и базы топологии на нем , то оно является открытым отображением тогда и только тогда, когда для каждой базовой окрестности и последовательности в существует подпоследовательность, которая в конечном итоге находится в  ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to f(x)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle y_{\bullet }}$ ${\displaystyle f(B).}$

Категориальные свойства

Полная подкатегория Seq всех секвенциальных пространств замыкается при следующих операциях в категории Top топологических пространств:

• Коэффициенты
• Непрерывные закрытые или открытые изображения
• Суммы
• Индуктивные пределы ^{[ оспаривается ]}
• Открытые и закрытые подпространства

Категория Seq не закрывается при следующих операциях в Top :

• Непрерывные изображения
• Подпространства
• Конечные произведения

Поскольку секвенциальные пространства замкнуты относительно топологических сумм и частных, они образуют коррефлективную подкатегорию категории топологических пространств . Фактически они представляют собой коррефлективную оболочку метризуемых пространств (т. е. наименьший класс топологических пространств, замкнутых относительно сумм и частных и содержащих метризуемые пространства).

Подкатегория Seq является декартовой закрытой категорией относительно своего собственного продукта (не продукта Top ). Экспоненциальные объекты оснащены (сходящейся последовательностью)-открытой топологией.

П. И. Бут и А. Тиллотсон показали, что Seq — это наименьшая декартова замкнутая подкатегория Top , содержащая основные топологические пространства всех метрических пространств , CW-комплексов и дифференцируемых многообразий , и которая замкнута относительно копределов, частных и других «некоторых разумных тождеств ", который Норман Стинрод назвал "удобным". ^[17] .

Каждое секвенциальное пространство компактно порождено , и конечные произведения в Seq совпадают с произведениями для компактно порожденных пространств, поскольку произведения в категории компактно порожденных пространств сохраняют факторы метрических пространств.

Смотрите также

• Аксиома счетности  – свойство определенных математических объектов (обычно в категории), утверждающее существование счетного множества с определенными свойствами. Без такой аксиомы такое множество, вероятно, не существовало бы.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Свойство замкнутого графа  – график карты, замкнутой в пространстве продукта.
• Первое счетное пространство  - Топологическое пространство, в котором каждая точка имеет счетный базис окрестности.
• Пространство Фреше – Урысона  - Свойство топологического пространства.
• Карта покрытия последовательности

Примечания

1. Нельзя одновременно применить этот «тест» к бесконечному множеству подмножеств (например, нельзя использовать что-то вроде аксиомы выбора ). Не все секвенциальные пространства являются пространствами Фреше-Урысона , но только в этих пространствах замыкание множества может быть определено без необходимости рассматривать какое-либо множество, кроме ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
2. Пространство Фреше – Урысона определяется аналогичным условием для всех таких : ${\displaystyle x}$

   Для любого подмножества , не замкнутого ни в каком, существует последовательность, сходящаяся к ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}(S)\setminus S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$

Цитаты

1. Снайпс, Рэй (1972). «Т-секвенциальные топологические пространства» (PDF) . Фундамента Математика . 77 (2): 95–98. дои : 10.4064/fm-77-2-95-98. ISSN  0016-2736.
2. * Архангельский, А.В.; Франклин, СП (1968). «Порядковые инварианты топологических пространств». Мичиганская математика. Дж . 15 (3): 313–320. дои : 10.1307/mmj/1029000034 .
3. Барон, С. (октябрь 1968 г.). «Коррефлективная подкатегория последовательных пространств». Канадский математический бюллетень . 11 (4): 603–604. дои : 10.4153/CMB-1968-074-4 . ISSN  0008-4395. S2CID  124685527.
4. «Топология последовательно открытых множеств является последовательной?». Математический обмен стеками .
5. Архангельский А.В., Понтрягин Л.С.,  Общая топология I, определение 9, стр.12.
6. Барон, С.; Лидер Соломон (1966). «Решение проблемы №5299». Американский математический ежемесячник . 73 (6): 677–678. дои : 10.2307/2314834. ISSN  0002-9890. JSTOR  2314834.
7. «О секвенциальных свойствах нётеровых топологических пространств» (PDF) . 2004 . Проверено 30 июля 2023 г.
8. Вилански 2013, с. 224.
9. Дадли, Р.М., О последовательной сходимости - Труды Американского математического общества, том 112, 1964, стр. 483-507.
10. Габриелян, Саак (2019). «Топологические свойства строгих -пространств и сильных двойственных монтелевских строгих -пространств». Монашефте по математике . 189 (1): 91–99. arXiv : 1702.07867 . дои : 10.1007/s00605-018-1223-6. ${\displaystyle (LF)}$ ${\displaystyle (LF)}$
11. Т. Шираи, Sur les Topologies des Espaces de L. Schwartz, Proc. Япония Акад. 35 (1959), 31–36.
12. Энгелькинг 1989, пример 1.6.19.
13. Ма, Дэн (19 августа 2010 г.). «Заметка о пространстве Аренсов» . Проверено 1 августа 2013 г.
14. математика; Слезьяк, Мартин (6 декабря 2016 г.). «Пример различных топологий с одинаковыми сходящимися последовательностями». Математический обмен стеками . Переполнение стека . Проверено 27 июня 2022 г.
15. «Топологическое векторное пространство». Энциклопедия математики . Проверено 6 сентября 2020 г. Это пространство Монтеля, следовательно, паракомпактное и поэтому нормальное.
16. Тревес 2006, стр. 351–359.
17. Стинрод 1967

Рекомендации

• Архангельский А.В. и Понтрягин Л.С., Общая топология I , Springer-Verlag, Нью-Йорк (1990) ISBN 3-540-18178-4 . 
• Архангельский А.В. (1966). «Отображения и пространства» (PDF) . Российские математические обзоры . 21 (4): 115–162. Бибкод :1966РуМаС..21..115А. doi : 10.1070/RM1966v021n04ABEH004169. ISSN  0036-0279. S2CID  250900871 . Проверено 10 февраля 2021 г.
• Акиз, Хюрмет Фуля; Кочак, Локман (2019). «Секвенциально Хаусдорфово и полное секвенциально Хаусдорфово пространство». Факультет коммуникаций Университета Анкары Серия A1Математика и статистика . 68 (2): 1724–1732. doi : 10.31801/cfsuasmas.424418 . ISSN  1303-5991 . Проверено 10 февраля 2021 г.
• Бун, Джеймс (1973). «Заметка о мезокомпактных и последовательно мезокомпактных пространствах». Тихоокеанский математический журнал . 44 (1): 69–74. дои : 10.2140/pjm.1973.44.69 . ISSN  0030-8730.
• Бут, Питер; Тиллотсон, Дж. (1980). «Моноидальные замкнутые, декартово замкнутые и удобные категории топологических пространств». Тихоокеанский математический журнал . 88 (1): 35–53. дои : 10.2140/pjm.1980.88.35 . ISSN  0030-8730 . Проверено 10 февраля 2021 г.
• Энгелькинг Р., Общая топология , Хелдерманн, Берлин (1989). Переработанное и дополненное издание.
• Фогед, Л. (1985). «Характеристика замкнутых образов метрических пространств». Труды Американского математического общества . 95 (3): 487–490. дои : 10.1090/S0002-9939-1985-0806093-3 . ISSN  0002-9939.
• Франклин, С. (1965). «Пространства, в которых достаточно последовательностей» (PDF) . Фундамента Математика . 57 (1): 107–115. дои : 10.4064/fm-57-1-107-115 . ISSN  0016-2736.
• Франклин, С. (1967). «Пространства, в которых достаточно последовательностей II» (PDF) . Фундамента Математика . 61 (1): 51–56. дои : 10.4064/fm-61-1-51-56 . ISSN  0016-2736 . Проверено 10 февраля 2021 г.
• Горэм, Энтони, «Последовательная сходимость в топологических пространствах» (2016)
• Грюнхейдж, Гэри; Майкл, Эрнест; Танака, Ёсио (1984). «Пространства, определяемые счетными накрытиями». Тихоокеанский математический журнал . 113 (2): 303–332. дои : 10.2140/pjm.1984.113.303 . ISSN  0030-8730.
• Майкл, Э.А. (1972). «Квест на пятерное частное». Общая топология и ее приложения . 2 (2): 91–138. дои : 10.1016/0016-660X(72)90040-2. ISSN  0016-660X.
• Шоу, Лин; Чуан, Лю; Мумин, Дай (1997). «Образы на локально сепарабельных метрических пространствах». Акта Математика Синика . 13 (1): 1–8. дои : 10.1007/BF02560519. ISSN  1439-8516. S2CID  122383748.
• Стинрод, штат Нью-Йорк (1967). «Удобная категория топологических пространств». Мичиганский математический журнал . 14 (2): 133–152. дои : 10.1307/mmj/1028999711 . Проверено 10 февраля 2021 г.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.