Методы Монте-Карло для ценообразования опционов

В математических финансах модель опциона Монте-Карло использует методы Монте-Карло ^{[Примечания 1]} для расчета стоимости опциона с множественными источниками неопределенности или со сложными характеристиками. ^[1] Первое применение к ценообразованию опционов было сделано Фелимом Бойлом в 1977 году (для европейских опционов ). В 1996 году М. Броуди и П. Глассерман показали, как оценивать азиатские опционы с помощью Монте-Карло. Важным достижением стало введение в 1996 году Карриером методов Монте-Карло для опционов с характеристиками раннего исполнения .

Методология

Как обычно , оценка Монте-Карло основана на оценке, нейтральной к риску . ^[1] Здесь цена опциона — это его дисконтированная ожидаемая стоимость ; см. нейтральность к риску и рациональное ценообразование . Применяемая затем методика заключается в следующем: (1) сгенерировать большое количество возможных, но случайных , ценовых путей для базового актива (или базовых активов) с помощью моделирования , и (2) затем рассчитать связанную стоимость исполнения (т. е. «выплату») опциона для каждого пути. (3) Затем эти выплаты усредняются и (4) дисконтируются к сегодняшнему дню. Этот результат является стоимостью опциона. ^[2]

Этот подход, хотя и относительно прост, допускает увеличение сложности:

• Опцион на акционерный капитал может быть смоделирован с одним источником неопределенности: ценой рассматриваемой базовой акции . ^[2] Здесь цена базового инструмента обычно моделируется таким образом, чтобы она следовала геометрическому броуновскому движению с постоянным дрейфом и волатильностью . Итак: , где находится с помощью случайной выборки из нормального распределения ; см. далее в разделе Блэка-Шоулза . Поскольку базовый случайный процесс тот же самый, для достаточного количества ценовых путей стоимость европейского опциона здесь должна быть такой же, как и в разделе Блэка-Шоулза . Однако в более общем плане моделирование применяется для экзотических производных инструментов , зависящих от пути , таких как азиатские опционы . ${\displaystyle \ S_{t}\,}$ ${\displaystyle \mu \,}$ ${\displaystyle \sigma \,}$ ${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}$ ${\displaystyle dW_{t}\,}$

• В других случаях источник неопределенности может быть удален. Например, для опционов на облигации ^[3] базовым активом является облигация , но источником неопределенности является годовая процентная ставка (т. е. краткосрочная ставка ). Здесь для каждой случайно сгенерированной кривой доходности мы наблюдаем различную результирующую цену облигации на дату исполнения опциона; эта цена облигации затем является входными данными для определения выплаты опциона. Тот же подход используется при оценке свопционов , ^[4] где стоимость базового свопа также является функцией изменяющейся процентной ставки. (В то время как эти опционы чаще оцениваются с использованием моделей на основе решетки , как указано выше, для производных процентных ставок, зависящих от пути , таких как CMO , основным используемым методом является моделирование . ^[5] ) Для моделей, используемых для моделирования процентной ставки, см. далее в разделе Модель краткосрочной ставки ; «для создания реалистичных симуляций процентной ставки» Иногда используются многофакторные модели краткосрочной ставки . ^[6] Чтобы применить моделирование в данном случае, аналитик должен сначала «откалибровать» параметры модели таким образом, чтобы цены на облигации, полученные с помощью модели, наилучшим образом соответствовали наблюдаемым рыночным ценам.

• Методы Монте-Карло допускают усложнение неопределенности . ^[7] Например, если базовый актив номинирован в иностранной валюте, дополнительным источником неопределенности будет обменный курс : базовая цена и обменный курс должны быть смоделированы отдельно, а затем объединены для определения стоимости базового актива в местной валюте. Во всех таких моделях также включена корреляция между базовыми источниками риска; см. разложение Холецкого § Моделирование Монте-Карло . Также могут быть введены дополнительные осложнения, такие как влияние цен на сырьевые товары или инфляции на базовый актив. Поскольку моделирование может решать сложные проблемы такого рода, оно часто используется при анализе реальных опционов ^[1] , где решение руководства в любой момент является функцией нескольких базовых переменных.

• Аналогичным образом моделирование может использоваться для оценки опционов, где выплата зависит от стоимости нескольких базовых активов ^[8] , таких как опцион Basket или опцион Rainbow . Здесь также включена корреляция между доходностями активов. ^[9]

• При необходимости моделирование Монте-Карло может использоваться с любым типом распределения вероятностей , включая изменяющиеся распределения: модельер не ограничен нормальными или логнормальными доходностями; ^[10] см., например, метод Дейтара–Мэтьюза для оценки реальных опционов . Кроме того, стохастический процесс базового актива(ов) может быть указан таким образом, чтобы демонстрировать скачки или возврат к среднему значению , или и то, и другое; эта особенность делает моделирование основным методом оценки, применимым к производным от энергии . ^[11] Кроме того, некоторые модели даже допускают (случайно) изменяющиеся статистические (и другие) параметры источников неопределенности. Например, в моделях, включающих стохастическую волатильность , волатильность базового актива изменяется со временем; см. модель Хестона . ^{[ необходима ссылка ]}

Метод наименьших квадратов Монте-Карло

Метод наименьших квадратов Монте-Карло — это метод оценки опционов раннего исполнения (т. е. бермудских или американских опционов ). Впервые он был представлен Жаком Каррьером в 1996 году. ^[12]

Он основан на итерации двухэтапной процедуры:

• Сначала выполняется процесс обратной индукции , в котором значение рекурсивно присваивается каждому состоянию на каждом временном шаге. Значение определяется как регрессия наименьших квадратов против рыночной цены стоимости опциона в этом состоянии и времени (-шаг). Стоимость опциона для этой регрессии определяется как стоимость возможностей исполнения (зависит от рыночной цены) плюс стоимость значения временного шага, к которому приведет это исполнение (определено на предыдущем шаге процесса). ^[13]
• Во-вторых, когда все состояния оцениваются для каждого временного шага, стоимость опциона рассчитывается путем перемещения по временным шагам и состояниям путем принятия оптимального решения об исполнении опциона на каждом шаге на основе ценового пути и стоимости состояния, которое в результате этого возникнет. Этот второй шаг можно выполнить с несколькими ценовыми путями, чтобы добавить стохастический эффект к процедуре. ^[12]

Приложение

Как можно видеть, методы Монте-Карло особенно полезны при оценке опционов с множественными источниками неопределенности или со сложными характеристиками, которые затрудняют их оценку с помощью простых вычислений в стиле Блэка-Шоулза или на основе решетки . Таким образом, этот метод широко используется при оценке зависимых от пути структур, таких как опционы с оглядкой на будущее и азиатские опционы ^[10] , а также при анализе реальных опционов . ^{[1] [7]} Кроме того, как и выше, модельер не ограничен в отношении предполагаемого распределения вероятностей. ^[10]

Однако, наоборот, если существует аналитический метод оценки опциона — или даже числовой метод , такой как (модифицированное) дерево ценообразования ^[10] — методы Монте-Карло обычно будут слишком медленными, чтобы быть конкурентоспособными. Они, в некотором смысле, являются методом последнего средства; ^[10] см. далее в разделе Методы Монте-Карло в финансах . С более быстрыми вычислительными возможностями это вычислительное ограничение вызывает меньше беспокойства. ^{[ по мнению кого? ]}

Смотрите также

• Методы Монте-Карло в финансах
• Методы квази-Монте-Карло в финансах
• Стохастическое моделирование (страхование)
• Стохастическая модель активов

Ссылки

Примечания

1. Хотя термин «метод Монте-Карло» был придуман Станиславом Уламом в 1940-х годах, некоторые связывают такие методы с французским натуралистом 18-го века Бюффоном и вопросом, который он задал о результатах случайного бросания иглы на полосатый пол или стол. См. игла Бюффона .

Источники

1. Марко Диас: Реальные опционы с моделированием Монте-Карло
2. Дон Чанс: Учебная записка 96-03: Моделирование Монте-Карло
3. Питер Карр и Гуан Ян: Моделирование опционов на американские облигации в рамках HJM
4. Карлос Бланко, Джош Грей и Марк Хаззард: Альтернативные методы оценки свопов: Дьявол кроется в деталях. Архивировано 2 декабря 2007 г. на Wayback Machine.
5. Фрэнк Дж. Фабоцци : Оценка ценных бумаг с фиксированным доходом и производных инструментов, стр. 138
6. Дональд Р. ван Девентер (Kamakura Corporation): Ловушки в управлении активами и пассивами: модели однофакторной временной структуры. Архивировано 03.04.2012 в Wayback Machine.
7. Гонсало Кортасар, Мигель Гравет и Хорхе Урсуа: Оценка многомерных американских реальных опционов с использованием метода моделирования LSM
8. global-derivatives.com: Опционы на корзину – Моделирование
9. Рубинштейн, Марк. «Где-то за радугой». Риск 4.11 (1991): 61-63.
10. Рич Таненбаум: Битва моделей ценообразования: деревья против Монте-Карло
11. Лес Клевлоу, Крис Стрикленд и Винс Камински: Расширение диффузии скачков возврата к среднему
12. Carriere, Jacques (1996). «Оценка цены раннего исполнения опционов с использованием моделирования и непараметрической регрессии». Страхование: Математика и экономика . 19 : 19–30. doi :10.1016/S0167-6687(96)00004-2.
13. Лонгстафф, Фрэнсис. «Оценка американских опционов с помощью моделирования: простой подход наименьших квадратов» (PDF) . Получено 18 декабря 2019 г. .

Первичные ссылки

• Boyle, Phelim P. (1977). «Опционы: подход Монте-Карло». Journal of Financial Economics . 4 (3): 323–338. doi :10.1016/0304-405x(77)90005-8 . Получено 28 июня 2012 г.
• Броди, М.; Глассерман, П. (1996). «Оценка деривативов цен на ценные бумаги с использованием моделирования» (PDF) . Наука управления . 42 (2): 269–285. CiteSeerX  10.1.1.196.1128 . doi :10.1287/mnsc.42.2.269 . Получено 28 июня 2012 г. .
• Longstaff, FA; Schwartz, ES (2001). «Оценка американских опционов с помощью моделирования: простой подход наименьших квадратов». Review of Financial Studies . 14 : 113–148. CiteSeerX  10.1.1.155.3462 . doi :10.1093/rfs/14.1.113 . Получено 28 июня 2012 г.

Библиография

• Бруно Дюпир (1998). Монте-Карло: методологии и приложения для ценообразования и управления рисками . Риск.
• Пол Глассерман (2003). Методы Монте-Карло в финансовом инжиниринге . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-00451-8.
• Питер Джэкел (2002). Методы Монте-Карло в финансах . John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-49741-7.
• Дон Л. Маклиш (2005). Моделирование Монте-Карло и финансы . ISBN 978-0-471-67778-9.
• Кристиан П. Роберт, Джордж Каселла (2004). Статистические методы Монте-Карло. ISBN 978-0-387-21239-5.

Внешние ссылки

Онлайн-инструменты

• Моделирование временных рядов цен акций методом Монте-Карло и генератор случайных чисел (позволяет выбирать распределение), Стивен Уитни

Дискуссионные доклады и документы

• Моделирование Монте-Карло, проф. Дон М. Ченс, Университет штата Луизиана
• Оценка сложных опционов с использованием простого моделирования Монте-Карло, Питер Финк (перепечатка на quantnotes.com)
• Моделирование Монте-Карло в финансах, global-derivatives.com
• Оценка производной Монте-Карло, продолжение, Тимоти Л. Крехбиль, Университет штата Оклахома – Стиллуотер
• Применение методов Монте-Карло в финансах: ценообразование опционов, Y. Lai и J. Spanier, Claremont Graduate University
• Оценка опционов с помощью моделирования, Бернт Арне Эдегор, Норвежская школа менеджмента
• Ценообразование и хеджирование экзотических опционов с помощью моделирования Монте-Карло, Аугусто Перилла, Диана Оанча, проф. Михаэль Рокингер, HEC Lausanne
• Метод Монте-Карло, riskglossary.com