Спин-орбитальное взаимодействие

Релятивистское взаимодействие в квантовой физике

В квантовой физике спин -орбитальное взаимодействие (также называемое спин-орбитальным эффектом или спин-орбитальным взаимодействием ) представляет собой релятивистское взаимодействие спина частицы с ее движением внутри потенциала . Ключевым примером этого явления является спин-орбитальное взаимодействие, приводящее к сдвигам уровней атомной энергии электрона из-за электромагнитного взаимодействия между магнитным диполем электрона , его орбитальным движением и электростатическим полем положительно заряженного ядра . Это явление можно обнаружить как расщепление спектральных линий , которое можно рассматривать как эффект Зеемана, продукт двух релятивистских эффектов: кажущегося магнитного поля, наблюдаемого с точки зрения электрона, и магнитного момента электрона, связанного с его собственным спином. Аналогичный эффект, обусловленный связью между угловым моментом и сильным ядерным взаимодействием , возникает для протонов и нейтронов , движущихся внутри ядра, что приводит к сдвигу их энергетических уровней в модели оболочки ядра . В области спинтроники спин-орбитальные эффекты для электронов в полупроводниках и других материалах исследуются для технологических приложений. Спин-орбитальное взаимодействие лежит в основе магнитокристаллической анизотропии и спинового эффекта Холла .

Для атомов расщепление энергетических уровней, вызванное спин-орбитальным взаимодействием, обычно имеет тот же порядок по величине, что и релятивистские поправки к кинетической энергии и эффект zitterbewegung . Сложение этих трех поправок известно как тонкая структура . Взаимодействие между магнитным полем, создаваемым электроном, и магнитным моментом ядра представляет собой небольшую поправку к уровням энергии, известную как сверхтонкая структура .

На уровнях атомной энергии

Тонкая и сверхтонкая структура водорода (не в масштабе).

В этом разделе представлено относительно простое и количественное описание спин-орбитального взаимодействия электрона, связанного с водородоподобным атомом , вплоть до первого порядка теории возмущений , с использованием некоторой квазиклассической электродинамики и нерелятивистской квантовой механики. Это дает результаты, которые достаточно хорошо согласуются с наблюдениями.

Строгий расчет того же результата будет использовать релятивистскую квантовую механику , уравнение Дирака и включать взаимодействия многих тел . Для достижения еще более точного результата потребуется вычислить небольшие поправки из квантовой электродинамики .

Энергия магнитного момента

Энергия магнитного момента в магнитном поле определяется выражением

$${\displaystyle \Delta H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} ,}$$

μмагнитный моментBмагнитное поле,

Магнитное поле

Сначала разберемся с магнитным полем . Хотя в системе покоя ядра на электрон не действует магнитное поле, в системе покоя электрона оно есть (см. классический электромагнетизм и специальную теорию относительности ). Игнорируя пока, что эта система отсчета неинерциальна , мы получаем уравнение

$${\displaystyle \mathbf {B} =-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}},}$$

vE^[a]E ${\displaystyle \gamma \backsimeq 1}$ ${\textstyle \mathbf {E} =\left|E\right|{\frac {\mathbf {r} }{r}}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =m_{\text{e}}\mathbf {v} }$

$${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {p} }{m_{\text{e}}c^{2}}}\left|{\frac {E}{r}}\right|.}$$

Далее мы выражаем электрическое поле как градиент электрического потенциала . Здесь мы делаем приближение центрального поля , то есть электростатический потенциал сферически симметричен и является функцией только радиуса. Это приближение является точным для водорода и водородоподобных систем. Теперь мы можем сказать, что ${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V}$

$${\displaystyle |E|=\left|{\frac {\partial V}{\partial r}}\right|={\frac {1}{e}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}},}$$

где – потенциальная энергия электрона в центральном поле, а e – элементарный заряд . Теперь мы помним из классической механики, что момент импульса частицы . Сложив все это вместе, мы получим ${\displaystyle U=-eV}$ ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

$${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} .}$$

Здесь важно отметить, что B — положительное число, умноженное на L , что означает, что магнитное поле параллельно орбитальному угловому моменту частицы, который сам перпендикулярен скорости частицы.

Спиновый магнитный момент электрона

Спиновый магнитный момент электрона равен

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{S}=-g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}{\frac {\mathbf {S} }{\hbar }},}$$

магнетон Бораg-факторспинспиновый магнитный момент ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mu _{\text{B}}}$ ${\displaystyle g_{\text{s}}=2.0023...\approx 2}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$

Спин-орбитальный потенциал состоит из двух частей. Ларморовская часть связана с взаимодействием спинового магнитного момента электрона с магнитным полем ядра в сопутствующей системе отсчета электрона. Второй вклад связан с прецессией Томаса .

Энергия ларморовского взаимодействия

Энергия ларморовского взаимодействия равна

$${\displaystyle \Delta H_{\text{L}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} .}$$

Подставив в это уравнение выражения для спинового магнитного момента и магнитного поля, получим

$${\displaystyle \Delta H_{\text{L}}={\frac {g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \approx {\frac {2\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$

Теперь нам нужно принять во внимание поправку на прецессию Томаса для искривленной траектории электрона.

Энергия взаимодействия Томаса

В 1926 году Ллевеллин Томас релятивистски пересчитал разделение дублетов в тонкой структуре атома. ^[1] Скорость прецессии Томаса связана с угловой частотой орбитального движения вращающейся частицы следующим образом: ^{[2] [3]} ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}=-{\boldsymbol {\omega }}(\gamma -1),}$$

лоренц-фактор ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}}$

$${\displaystyle \Delta H_{\text{T}}={\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}\cdot \mathbf {S} .}$$

В первом порядке по получаем ${\displaystyle (v/c)^{2}}$

$${\displaystyle \Delta H_{\text{T}}=-{\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$

Полная энергия взаимодействия

Полный спин-орбитальный потенциал во внешнем электростатическом потенциале принимает вид

$${\displaystyle \Delta H\equiv \Delta H_{\text{L}}+\Delta H_{\text{T}}={\frac {(g_{\text{s}}-1)\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \approx {\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$

половина Томаса

Оценка энергетического сдвига

Благодаря всем вышеизложенным приближениям теперь мы можем оценить детальный сдвиг энергии в этой модели. Обратите внимание, что L _z и S _z больше не являются сохраняющимися величинами. В частности, мы хотим найти новый базис, который диагонализует как H ₀ (невозмущенный гамильтониан), так и ∆ H . Чтобы выяснить, что это за основа, сначала определим оператор полного углового момента

$${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$$

Взяв скалярное произведение этого с самим собой, мы получаем

$${\displaystyle \mathbf {J} ^{2}=\mathbf {L} ^{2}+\mathbf {S} ^{2}+2\,\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }$$

LS

$${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} ^{2}-\mathbf {L} ^{2}-\mathbf {S} ^{2}\right)}$$

Можно показать, что все пять операторов _H0 ^, J2 , L2 ^, S2 и Jz коммутируют ^друг с другом и _с ΔH . Следовательно, базис, который мы искали, — это одновременный собственный базис этих пяти операторов (т. е. базис, в котором все пять диагональны). Элементы этого базиса имеют пять квантовых чисел : («главное квантовое число»), («квантовое число полного углового момента»), («квантовое число орбитального углового момента»), («спиновое квантовое число»), и (« z- компонент полного углового момента»). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle j_{z}}$

Для оценки энергий заметим, что

$${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{r^{3}}}\right\rangle ={\frac {2}{a^{3}n^{3}\;\ell (\ell +1)(2\ell +1)}}}$$

БораZ ${\displaystyle a=\hbar /(Z\alpha m_{\text{e}}c)}$

$${\displaystyle \left\langle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \right\rangle ={\frac {1}{2}}{\big (}\langle \mathbf {J} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {L} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {S} ^{2}\rangle {\big )}={\frac {\hbar ^{2}}{2}}{\big (}j(j+1)-\ell (\ell +1)-s(s+1){\big )}.}$$

Окончательный энергетический сдвиг

Теперь мы можем сказать, что

$${\displaystyle \Delta E={\frac {\beta }{2}}{\big (}j(j+1)-\ell (\ell +1)-s(s+1){\big )},}$$

$${\displaystyle \beta =\beta (n,l)=Z^{4}{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}^{2}{\frac {1}{n^{3}a_{0}^{3}\;\ell (\ell +1/2)(\ell +1)}}.}$$

Точный релятивистский результат см. в решениях уравнения Дирака для водородоподобного атома .

Приведенный выше вывод вычисляет энергию взаимодействия в (мгновенной) системе покоя электрона, и в этой системе отсчета существует магнитное поле, которого нет в системе покоя ядра.

Другой подход состоит в том, чтобы вычислить его в системе покоя ядра, см., например, Джордж П. Фишер: Электрический дипольный момент движущегося магнитного диполя (1971). ^[4] Однако иногда избегают расчета остального кадра, поскольку приходится учитывать скрытый импульс . ^[5]

В твердых телах

Кристаллическое твердое тело (полупроводник, металл и т. д.) характеризуется зонной структурой . Хотя в общем масштабе (включая основные уровни) спин-орбитальное взаимодействие все еще представляет собой небольшое возмущение, оно может сыграть относительно более важную роль, если мы приблизимся к зонам, близким к уровню Ферми ( ). Например, атомное (спин-орбитальное) взаимодействие расщепляет полосы, которые в противном случае были бы вырождены, и конкретная форма этого спин-орбитального расщепления (обычно порядка нескольких-нескольких сотен миллиэлектронвольт) зависит от конкретной системы. Затем интересующие полосы можно описать с помощью различных эффективных моделей, обычно основанных на каком-либо пертурбативном подходе. Пример того, как атомное спин-орбитальное взаимодействие влияет на зонную структуру кристалла, объясняется в статье о взаимодействиях Рашбы и Дрессельхауза . ${\displaystyle E_{\text{F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }$

В кристаллическом твердом теле, содержащем парамагнитные ионы, например ионы с незамкнутой атомной подоболочкой d или f, существуют локализованные электронные состояния. ^{[6] [7]} В этом случае атомоподобная структура электронных уровней формируется за счет собственных магнитных спин-орбитальных взаимодействий и взаимодействий с кристаллическими электрическими полями . ^[8] Такая структура называется тонкой электронной структурой . Для редкоземельных ионов спин-орбитальные взаимодействия намного сильнее, чем взаимодействия кристаллического электрического поля (КЭП). ^[9] Сильная спин-орбитальная связь делает J относительно хорошим квантовым числом, поскольку первый возбужденный мультиплет по крайней мере на ~ 130 мэВ (1500 К) выше первичного мультиплета. В результате его заполнение при комнатной температуре (300 К) пренебрежимо мало. В этом случае (2 J + 1) -кратно вырожденный первичный мультиплет, расщепленный внешним КЭП, можно рассматривать как основной вклад в анализ свойств таких систем. В случае приближенных расчетов по базису , для определения того, какой из них является первичным мультиплетом, применяются принципы Хунда , известные из атомной физики: ${\displaystyle |J,J_{z}\rangle }$

• Основное состояние структуры термов имеет максимальное значение S , разрешенное принципом исключения Паули .
• Основное состояние имеет максимально допустимое значение L с максимальным S .
• Первичному мультиплету соответствует J = | Л - С | когда оболочка заполнена менее чем наполовину, и J = L + S , где заполнение больше.

S , L и J основного мультиплета определяются правилами Хунда . Основной мультиплет вырожден на 2 J + 1 – его вырождение снимается CEF-взаимодействиями и магнитными взаимодействиями. Взаимодействия CEF и магнитные взаимодействия чем-то напоминают эффект Штарка и Зеемана , известный из атомной физики . Энергии и собственные функции дискретной тонкой электронной структуры получены путем диагонализации (2 J + 1)-мерной матрицы. Тонкую электронную структуру можно непосредственно обнаружить с помощью множества различных спектроскопических методов, включая эксперименты по неупругому рассеянию нейтронов (INS). В случае сильных кубических КЭФ ^[10] (для ионов 3d - переходных металлов) взаимодействия образуют группу уровней (например, T _{2 g} , A _{2 g} ), которые частично расщепляются спин-орбитальными взаимодействиями и (если имеют место) нижне- симметрия CEF-взаимодействий. Энергии и собственные функции дискретной тонкой электронной структуры (для младшего члена) получены диагонализацией (2 L + 1)(2 S + 1)-мерной матрицы. При нулевой температуре ( Т = 0 К) занято только самое нижнее состояние. Магнитный момент при Т = 0 К равен моменту основного состояния. Это позволяет оценить полный, спиновый и орбитальный моменты. Собственные состояния и соответствующие собственные функции могут быть найдены путем прямой диагонализации матрицы Гамильтона, содержащей кристаллическое поле и спин-орбитальные взаимодействия. С учетом термического заселения состояний установлена ​​термическая эволюция одноионных свойств соединения. Этот метод основан на эквивалентной теории операторов ^[11] , определяемой как CEF, расширенная термодинамическими и аналитическими расчетами, определяемая как дополнение теории CEF путем включения термодинамических и аналитических расчетов. ${\displaystyle |\Gamma _{n}\rangle }$

Примеры эффективных гамильтонианов

Дырочные зоны объемного (3D) полупроводника цинковой обманки будут расщеплены на тяжелые и легкие дырки (которые образуют четверку в -точке зоны Бриллюэна) и отщепленную зону ( дуплет). Включая две зоны проводимости ( дуплет в -точке), система описывается эффективной восьмизонной моделью Кона и Латтинджера . Если интерес представляет только верх валентной зоны (например , когда уровень Ферми измеряется от верха валентной зоны), правильная четырехзонная эффективная модель имеет вид ${\displaystyle \Delta _{0}}$ ${\displaystyle \Gamma _{8}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{7}}$ ${\displaystyle \Gamma _{6}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle E_{\text{F}}\ll \Delta _{0}}$

$${\displaystyle H_{\text{KL}}(k_{\text{x}},k_{\text{y}},k_{\text{z}})=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[\left(\gamma _{1}+{{\tfrac {5}{2}}\gamma _{2}}\right)k^{2}-2\gamma _{2}\left(J_{\text{x}}^{2}k_{\text{x}}^{2}+J_{\text{y}}^{2}k_{\text{y}}^{2}+J_{\text{z}}^{2}k_{\text{z}}^{2}\right)-2\gamma _{3}\sum _{m\neq n}J_{m}J_{n}k_{m}k_{n}\right]}$$

магнитокристаллическую анизотропиюмагнитной анизотропии ${\displaystyle \gamma _{1,2,3}}$ ${\displaystyle J_{{\text{x}},{\text{y}},{\text{z}}}}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle H_{{\text{D}}3}=b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}[(k_{\text{x}}k_{\text{y}}^{2}-k_{\text{x}}k_{\text{z}}^{2})J_{\text{x}}+(k_{\text{y}}k_{\text{z}}^{2}-k_{\text{y}}k_{\text{x}}^{2})J_{\text{y}}+(k_{\text{z}}k_{\text{x}}^{2}-k_{\text{z}}k_{\text{y}}^{2})J_{\text{z}}]}$$

где материальный параметр для GaAs (см. стр. 72 в книге Винклера, по более поздним данным константа Дрессельхауза в GaAs равна 9 эВÅ ³ ; ^[12] полный гамильтониан будет ). Двумерный электронный газ в асимметричной квантовой яме (или гетероструктуре) будет испытывать взаимодействие Рашбы. Соответствующий двухзонный эффективный гамильтониан имеет вид ${\displaystyle b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}=-81.93\,{\text{meV}}\cdot {\text{nm}}^{3}}$ ${\displaystyle H_{\text{KL}}+H_{{\text{D}}3}}$

$${\displaystyle H_{0}+H_{\text{R}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}\sigma _{0}+\alpha (k_{\text{y}}\sigma _{\text{x}}-k_{\text{x}}\sigma _{\text{y}})}$$

${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{{\text{x}},{\text{y}}}}$ ${\displaystyle m^{*}}$ ${\displaystyle H_{\text{R}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

Приведенные выше выражения для спин-орбитального взаимодействия связывают спиновые матрицы и с квазиимпульсом , и с векторным потенциалом переменного электрического поля посредством замены Пайерлса . Это члены низшего порядка теории возмущений Латтинджера–Кона k·p в степенях . Следующие члены этого разложения также порождают члены, которые связывают операторы спина координаты электрона . Действительно , векторное произведение инвариантно относительно инверсии времени. В кубических кристаллах он имеет симметрию вектора и приобретает смысл спин-орбитального вклада в оператор координаты. Для электронов в полупроводниках с узкой щелью между зонами проводимости и тяжелыми дырками Яфет вывел уравнение ^{[13] [14]} ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\textstyle \mathbf {k} =-i\nabla -{\frac {e}{\hbar c}}\mathbf {A} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\times {\mathbf {k} })}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{\text{SO}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {G}}}$

$${\displaystyle {\mathbf {r} }_{\text{SO}}={\frac {\hbar ^{2}g}{4m_{0}}}\left({\frac {1}{E_{\rm {G}}}}+{\frac {1}{E_{\rm {G}}+\Delta _{0}}}\right)({\boldsymbol {\sigma }}\times {\mathbf {k} })}$$

${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbf {S} ={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle -e(\mathbf {r} _{\text{SO}}\cdot \mathbf {E} )}$

Колеблющееся электромагнитное поле

Электрический дипольный спиновый резонанс (ЭДСР) — это взаимодействие спина электрона с колеблющимся электрическим полем. Подобно электронному спиновому резонансу (ЭПР), в котором электроны могут возбуждаться электромагнитной волной с энергией, определяемой эффектом Зеемана , в ЭПР резонанс может быть достигнут, если частота связана с расщеплением энергетической зоны, определяемым спин- Орбитальная связь в твердых телах. В то время как в ЭПР связь достигается через магнитную часть ЭМ волны с магнитным моментом электрона, в ЭСДР связь электрической части со спином и движением электронов. Этот механизм был предложен для управления спином электронов в квантовых точках и других мезоскопических системах . ^[15]

Смотрите также

• Муфта углового момента
• Диаграммы углового момента (квантовая механика)
• Электрический дипольный спиновый резонанс
• Связь Кугеля – Хомского
• Баранья смена
• Релятивистский угловой момент
• Сферическая основа
• Эффект Старка

Сноски

1. На самом деле это электрическое поле в системе покоя ядра, но особой разницы нет. ${\displaystyle v\ll c}$

Рекомендации

1. Томас, Ллевеллин Х. (1926). «Движение вращающегося электрона». Природа . 117 (2945): 514. Бибкод : 1926Natur.117..514T. дои : 10.1038/117514a0 . ISSN  0028-0836. S2CID  4084303.
2. Л. Фёппль и П. Дж. Даниэль, Zur Kinematik des Born'schen starren Körpers , Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 519 (1913).
3. Мёллер, К. (1952). Теория относительности. Лондон: Оксфорд в Clarendon Press. стр. 53–56.
4. Джордж П. Фишер (1971). «Электрический дипольный момент движущегося магнитного диполя» . Американский журнал физики . 39 (12): 1528–1533. Бибкод : 1971AmJPh..39.1528F. дои : 10.1119/1.1976708 . Проверено 14 мая 2023 г.
5. Гриффитс, Дэвид Дж.; Хниздо, В. (2013). «Парадокс Мансурипура». Американский журнал физики . 81 (8): 570–574. arXiv : 1303.0732 . Бибкод : 2013AmJPh..81..570G. дои : 10.1119/1.4812445. ISSN  0002-9505. S2CID  119277926.
6. А. Абрагам и Б. Блини (1970). Электронный парамагнитный резонанс переходных ионов . Кларендон Пресс, Оксфорд.
7. Дж. С. Гриффит (1970). Теория ионов переходных металлов . Теория ионов переходных металлов, Издательство Кембриджского университета.
8. Мулак, Дж.; Гаек, З. (2000). Эффективный потенциал кристаллического поля . Elsevier Science Ltd, Кидлингтон, Оксфорд, Великобритания.
9. Фульде. Справочник по физике и химии редких земель Том. 2 . Северная Голландия. Инк (1979).
10. Радвански, Р.Дж.; Михальский, Р; Ропка, З.; Блаут, А. (1 июля 2002 г.). «Взаимодействие кристаллического поля и магнетизм в интерметаллидах редкоземельных переходных металлов». Физика Б. 319 (1–4): 78–89. Бибкод : 2002PhyB..319...78R. дои : 10.1016/S0921-4526(02)01110-9.
11. Ватанабэ, Хироши (1966). Операторные методы в теории поля лигандов . Прентис-Холл.
12. Крич, Джейкоб Дж.; Гальперин, Бертран И. (2007). «Кубическое спин-орбитальное взаимодействие Дрессельхауса в двумерных электронных квантовых точках». Письма о физических отзывах . 98 (22): 226802. arXiv : cond-mat/0702667 . Бибкод : 2007PhRvL..98v6802K. doi : 10.1103/PhysRevLett.98.226802. PMID  17677870. S2CID  7768497.
13. Яфет, Ю. (1963), Факторы g и спин-решеточная релаксация электронов проводимости , Физика твердого тела, том. 14, Elsevier, стр. 1–98, номер документа : 10.1016/s0081-1947(08)60259-3, ISBN. 9780126077148
14. Е.И. Рашба и В.И. Шека, Электрически-дипольные спиновые резонансы, в: Спектроскопия уровня Ландау , (Северная Голландия, Амстердам) 1991, стр. 131; https://arxiv.org/abs/1812.01721
15. Рашба, Эммануэль И. (2005). «Спиновая динамика и спиновый транспорт». Журнал сверхпроводимости . 18 (2): 137–144. arXiv : cond-mat/0408119 . Бибкод : 2005JSup...18..137R. дои : 10.1007/s10948-005-3349-8. ISSN  0896-1107. S2CID  55016414.

Учебники

• Кондон, Эдвард У. и Шортли, GH (1935). Теория атомных спектров. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-09209-8.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл.
• Ландау, Лев ; Лифшиц, Евгений . «§72. Тонкая структура атомных уровней». Квантовая механика: нерелятивистская теория, том 3 .
• Ю, Питер Ю.; Кардона, Мануэль (1995). Основы полупроводников . Спрингер.
• Винклер, Роланд (2003). Эффекты спин-орбитальной связи в двумерных электронных и дырочных системах . Спрингер.

дальнейшее чтение

• Маншон, Орельен; Ку, Хён Чхоль; Нитта, Джунсаку; Фролов С.М.; Дуин, РА (2015). «Новые перспективы спин-орбитального взаимодействия Рашбы». Природа . 14 (9): 871–82. arXiv : 1507.02408 . Бибкод : 2015NatMa..14..871M. дои : 10.1038/nmat4360. PMID  26288976. S2CID  24116488.
• Рашба, Эммануэль И. (2016). «Спин-орбитальное взаимодействие становится глобальным» (PDF) . Физический журнал: конденсированное вещество . 28 (42): 421004. Бибкод : 2016JPCM...28P1004R. дои : 10.1088/0953-8984/28/42/421004. PMID  27556280. S2CID  206047842.