Поддержка (математика)

Часть области определения математической функции, где функция принимает ненулевые значения.

В математике носитель функции с действительным значением — это подмножество области определения функции , содержащее элементы, которые не отображаются в ноль. Если область определения является топологическим пространством , то носитель вместо этого определяется как наименьшее замкнутое множество , содержащее все точки, не отображаемые в ноль. Это понятие широко используется в математическом анализе . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Формулировка

Предположим, что — действительная функция, областью определения которой является произвольное множество . ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$Теоретико-множественная поддержка написанного— это множество точек, вкоторыхнеравно нулю: ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {supp} (f)=\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}.}$$

Носитель — это наименьшее подмножество со свойством, равным нулю на дополнении подмножества. Если для всех точек, кроме конечного числа , то говорят, что имеет ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f}$конечная поддержка .

Если множество имеет дополнительную структуру (например, топологию ), то носитель определяется аналогичным образом как наименьшее подмножество соответствующего типа, которое обращается в нуль в соответствующем смысле на своем дополнении. Понятие носителя также естественным образом распространяется на функции, принимающие значения в более общих множествах, чем , и на другие объекты, такие как меры или распределения . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Закрытая поддержка

Наиболее распространенная ситуация возникает, когда является топологическим пространством (например, вещественной линией или -мерным евклидовым пространством ) и является непрерывной вещественной (или комплексной ) функцией. В этом случае ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$поддержка , ${\displaystyle f}$,или ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$Замкнутая поддержка , определяется топологически какзамыкание(взятое в) подмножества ,гдене равно нулю^[1][2][3],то есть, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {supp} (f):=\operatorname {cl} _{X}\left(\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}\right)={\overline {f^{-1}\left(\{0\}^{\mathrm {c} }\right)}}.}$$

Поскольку пересечение замкнутых множеств замкнуто, то есть пересечение всех замкнутых множеств, содержащих теоретико-множественную поддержку ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ ${\displaystyle f.}$

Например, если — функция, определенная с помощью , то носитель , или замкнутый носитель , — это замкнутый интервал , поскольку не равен нулю на открытом интервале , а замыкание этого множества равно ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-x^{2}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [-1,1],}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle [-1,1].}$

Понятие замкнутого носителя обычно применяется к непрерывным функциям, но определение имеет смысл для произвольных действительных или комплекснозначных функций на топологическом пространстве, и некоторые авторы не требуют, чтобы (или ) был непрерывным. ^[4] ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$

Компактная поддержка

Функции сКомпактный носитель в топологическом пространстве— это те, замкнутый носитель которых являетсякомпактнымподмножествомЕсли— вещественная прямая или-мерное евклидово пространство, то функция имеет компактный носитель тогда и только тогда, когда она имеет ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ограниченная поддержка , поскольку подмножествокомпактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Например, функция , определенная выше, является непрерывной функцией с компактным носителем. Если является гладкой функцией, то поскольку она тождественна на открытом подмножестве, все частные производные всех порядков также тождественны на ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [-1,1].}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f).}$

Условие компактности носителя сильнее условия исчезновения на бесконечности . Например, функция, определяемая равенством , исчезает на бесконечности, так как при , но ее носитель не является компактным. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$$ ${\displaystyle f(x)\to 0}$ ${\displaystyle |x|\to \infty ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Вещественные компактные гладкие функции на евклидовом пространстве называются функциями выпуклости . Успокоители являются важным частным случаем функций выпуклости, поскольку они могут использоваться в теории распределений для создания последовательностей гладких функций, аппроксимирующих негладкие (обобщенные) функции, посредством свертки .

В хороших случаях функции с компактным носителем плотны в пространстве функций, которые исчезают на бесконечности, но это свойство требует некоторой технической работы для обоснования в данном примере. В качестве интуиции для более сложных примеров и на языке пределов , для любого любая функция на действительной прямой , которая исчезает на бесконечности, может быть аппроксимирована выбором подходящего компактного подмножества такого , что для всех , где — индикаторная функция Каждая непрерывная функция на компактном топологическом пространстве имеет компактный носитель, поскольку каждое замкнутое подмножество компактного пространства действительно компактно. ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \left|f(x)-I_{C}(x)f(x)\right|<\varepsilon }$$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle I_{C}}$ ${\displaystyle C.}$

Необходимая поддержка

Если - топологическое мерное пространство с мерой Бореля (такое как или измеримое по Лебегу подмножество, снабженное мерой Лебега), то обычно определяются функции, которые равны -почти всюду. В этом случае ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mu }$Существенная поддержка измеримойфункцииопределяется как наименьшее замкнутое подмножествотакое, что-почти всюду снаружиЭквивалентно,является дополнением наибольшегооткрытого множества, на котором-почти всюду^[5] ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f),}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f)}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f):=X\setminus \bigcup \left\{\Omega \subseteq X:\Omega {\text{ is open and }}f=0\,\mu {\text{-almost everywhere in }}\Omega \right\}.}$$

Существенный носитель функции зависит от меры , а также от и может быть строго меньше замкнутого носителя. Например, если — функция Дирихле , которая есть на иррациональных числах и на рациональных числах и снабжена мерой Лебега, то носитель — весь интервал , но существенный носитель пуст, так как равен почти всюду нулевой функции. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

В анализе почти всегда хотят использовать существенную поддержку функции, а не ее замкнутую поддержку, когда два множества различны, поэтому часто записывается просто как и упоминается как поддержка. ^{[5] [6]} ${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$

Обобщение

Если — произвольное множество, содержащее ноль, то понятие поддержки немедленно обобщается на функции Поддержка может быть также определена для любой алгебраической структуры с тождеством (такой как группа , моноид или композиционная алгебра ), в которой элемент тождества принимает роль нуля. Например, семейство функций от натуральных чисел до целых чисел — это несчетное множество целочисленных последовательностей. Подсемейство — это счетное множество всех целочисленных последовательностей, которые имеют только конечное число ненулевых элементов. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:X\to M.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left\{f\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }:f{\text{ has finite support }}\right\}}$

Функции конечного носителя используются при определении алгебраических структур, таких как групповые кольца и свободные абелевы группы . ^[7]

В теории вероятностей и меры

В теории вероятностей носитель распределения вероятностей можно в общих чертах рассматривать как замыкание множества возможных значений случайной величины, имеющей это распределение. Однако есть некоторые тонкости, которые следует учитывать при работе с общими распределениями, определенными на сигма-алгебре , а не на топологическом пространстве.

Более формально, если — случайная величина на , то носитель — это наименьшее замкнутое множество такое, что ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle P\left(X\in R_{X}\right)=1.}$

Однако на практике носитель дискретной случайной величины часто определяется как множество , а носитель непрерывной случайной величины определяется как множество , где — функция плотности вероятности (теоретико-множественный носитель). ^[8] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :P(X=x)>0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :f_{X}(x)>0\}}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$ ${\displaystyle X}$

Обратите внимание, что слово «поддержка» может относиться к логарифму правдоподобия функции плотности вероятности. ^[9]

Поддержка дистрибутивов

Можно также говорить о носителе распределения , например, дельта-функции Дирака на вещественной прямой. В этом примере мы можем рассмотреть тестовые функции , которые являются гладкими функциями с носителем, не включающим точку Поскольку (распределение, примененное как линейный функционал к ) является для таких функций, мы можем сказать, что носитель есть только . Поскольку меры (включая вероятностные меры ) на вещественной прямой являются частными случаями распределений, мы также можем говорить о носителе меры таким же образом. ${\displaystyle \delta (x)}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \delta (F)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \{0\}}$

Предположим, что является распределением, и что является открытым множеством в евклидовом пространстве таким, что для всех тестовых функций, таких, что носитель содержится в Тогда говорят, что он исчезает на Теперь, если исчезает на произвольном семействе открытых множеств, то для любой тестовой функции, поддерживаемой простым аргументом, основанным на компактности носителя и разбиении единицы, это также показывает. Следовательно, мы можем определить носитель как дополнение к наибольшему открытому множеству, на котором исчезает. Например, носитель дельты Дирака равен ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle f(\phi )=0.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\textstyle \bigcup U_{\alpha },}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f(\phi )=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{0\}.}$

Единственная поддержка

В частности, в анализе Фурье интересно изучитьсингулярная поддержка распределения. Это имеет интуитивную интерпретацию как набор точек, в которых распределениеперестает быть гладкой функцией.

Например, преобразование Фурье ступенчатой ​​функции Хевисайда можно с точностью до постоянных множителей считать (функцией) , за исключением точки . В то время как является явно особой точкой, точнее будет сказать, что преобразование распределения имеет сингулярный носитель : его нельзя точно выразить как функцию по отношению к тестовым функциям с носителем, включающим . Его можно выразить как применение несобственного интеграла главного значения Коши . ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle 0.}$

Для распределений с несколькими переменными сингулярные носители позволяют определить волновые фронты и понять принцип Гюйгенса в терминах математического анализа . Сингулярные носители также могут использоваться для понимания явлений, характерных для теории распределений, таких как попытки «умножить» распределения (возведение в квадрат дельта-функции Дирака не удается — по сути, потому что сингулярные носители распределений, которые нужно умножить, должны быть непересекающимися).

Семейство опор

Абстрактное понятиесемейство носителей натопологическом пространстве подходящем длятеории пучков, было определеноАнри Картаном. При распространениидвойственности Пуанкаренамногообразия, которые не являются компактными, идея «компактного носителя» естественным образом появляется с одной стороны двойственности; см., например,когомологии Александра–Спаньера. ${\displaystyle X,}$

Bredon, Sheaf Theory (2-е издание, 1997) дает эти определения. Семейство замкнутых подмножеств является семейством носителей , если оно замкнуто вниз и замкнуто относительно конечного объединения . Его протяженность является объединением по Паракомпактному семейству носителей , которое удовлетворяет далее тому, что любое из является, с топологией подпространства , паракомпактным пространством ; и имеет некоторые , в которых является окрестностью . Если является локально компактным пространством , предполагаемым Хаусдорфовым , семейство всех компактных подмножеств удовлетворяет дальнейшим условиям, делая его паракомпактным. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi .}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Ограниченная функция  – математическая функция, множество значений которой ограничено.
• Функция Bump  – плавная и компактная функция поддержки
• Поддержка модуля
• Теорема о свертке Титчмарша

Цитаты

1. Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ, 2-е изд . Нью-Йорк: John Wiley. С. 132.
2. Хёрмандер, Ларс (1990). Линейные дифференциальные уравнения в частных производных I, 2-е изд . Берлин: Springer-Verlag. п. 14.
3. Паскуччи, Андреа (2011). Методы PDE и Мартингейла в ценообразовании опционов . Bocconi & Springer Series. Берлин: Springer-Verlag. стр. 678. doi :10.1007/978-88-470-1781-8. ISBN 978-88-470-1780-1.
4. Рудин, Уолтер (1987). Действительный и комплексный анализ, 3-е изд . Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 38.
5. Lieb, Elliott ; Loss, Michael (2001). Анализ . Graduate Studies in Mathematics. Vol. 14 (2nd ed.). American Mathematical Society . p. 13. ISBN 978-0821827833.
6. Аналогичным образом используется существенный супремум измеримой функции вместо ее супремума.
7. Томаш, Качиньский (2004). Вычислительная гомология . Мишайков, Константин Михаил, Мрозек, Мариан. Нью-Йорк: Спрингер. п. 445. ИСБН 9780387215976. OCLC  55897585.
8. Табога, Марко. «Носительство случайной величины». statlect.com . Получено 29 ноября 2017 г. .
9. Эдвардс, AWF (1992). Вероятность (Расширенное издание). Балтимор: Johns Hopkins University Press. С. 31–34. ISBN 0-8018-4443-6.

Ссылки

• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.